Giúp học sinh vận dụng linh hoạt bất đẳng thức và tam thức bậc hai để giải một số bài toán cực trị trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi vật lí THPT

MỤC LỤC Trang SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH VẬN DỤNG LINH HOẠT BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

MỤC LỤC

Trang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIÚP HỌC SINH VẬN DỤNG LINH HOẠT

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG VIỆC BỒI

DƯỠNG HỌC SINH GIỎI VẬT LÍ THPT

Người thực hiện: Trần Chung Anh Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực: Vật lí

THANH HOÁ NĂM 2020

1.1 Lý do chọn đề tài 2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh

nghiệm

4

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng

để giải quyết vấn đề

4

2.3.1.1 Bài toán áp dụng bất đẳng thức Côsi 4 2.3.1.2 Bài toán áp dụng bất đẳng thức Bunhia Côpski 6 2.3.1.3 Bài toán áp dụng tam thức bậc hai 9 2.3.1.4 Bài toán áp dụng giá trị cực đại của hàm số sin và hàm

số cosin

11

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

13

Danh mục sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng sáng kiến

kinh nghiệm ngành giáo dục và đào tạo huyện, tỉnh và các cấp

cao hơn xếp loại từ C trở lên

16

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài.

Từ năm học 2005 - 2006, Bộ GD – ĐT quyết định chuyển từ hình thức thi tự luận sang thi trắc nghiệm khách quan đã đem lại sự đổi mới mạnh mẽ trong việc dạy và học của giáo viên và học sinh

Tuy nhiên, qua thời gian thực tế giảng dạy ở trường THPT tôi nhận thấy một

số vấn đề sau:

- Việc dạy học và đánh giá thi cử theo hình thức trắc nghiệm khách quan đòi hỏi giáo viên cũng như học sinh phải có sự thay đổi về cách dạy và học Dạy học theo phương pháp trắc nghiệm khách quan đòi hỏi giáo viên không những phải đầu tư theo chiều sâu mà còn phải đầu tư kiến thức theo chiều rộng, người dạy phải nắm được tổng quan chương trình của môn học Điều này gây rất nhiều khó khăn cho giáo viên, đặc biệt là đội ngũ giáo viên trẻ khi chưa có nhiều kinh nghiệm giảng dạy

- Khi chúng ta chuyển sang hình thức dạy học và đánh giá thi cử theo phương pháp trắc nghiệm khách quan thì giáo viên mãi mở rộng kiến thức theo chiều rộng để đáp ứng cho vấn đề thi theo hình thức trắc nghiệm Vì vậy vấn đề đầu

tư cho việc giải bài toán theo phương pháp tự luận có thể bị mờ nhạt Điều này ảnh hưởng khá lớn đến chất lượng, mức độ hiểu sâu kiến thức về Vật lý của học sinh, đặc biệt là những học sinh khá giỏi

Trong chương trình vật lý THPT có nhiều bài toán được giải theo phương pháp tính giá trị cực đại, cực tiểu của các đại lượng Vật lý Mỗi loại bài toán đều có một số cách giải nhất định Song, để chọn cách giải phù hợp là điều rất khó khăn cho học sinh và một số giáo viên, bởi lẽ: Chưa có tài liệu nào viết về vấn đề này có tính hệ thống

Để góp phần cải thiện thực trạng trên, tôi quyết định thực hiện đề tài “Giúp

học sinh vận dụng linh hoạt bất đẳng thức và tam thức bậc hai để giải một số bài toán cực trị trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi Vật Lí THPT”, để nghiên

cứu, chia sẻ và trao đổi với đồng nghiệp Qua đó giúp học sinh giải quyết những vướng mắc khó khăn khi gặp các bài toán cực trị

1.2 Mục đích nghiên cứu.

- Đưa ra được các phương pháp giải bài toán cực trị nói chung và bài toán cực trị Vật Lí 10 và 11 THPT nói riêng

- Biết cách vận dụng và khai thác các kiến thức toán vào đúng bài, đúng dạng

và đúng phạm vi của nó

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Các tài liệu, sách tham khảo có liên quan đến “bài toán cực trị Vật Lí 10 và

11 THPT”

- Chương trình vật lý phổ thông

- Các kiến thức toán ứng dụng

- Học sinh khá, giỏi khối 10 và 11 của nhà trường Qua đó giúp học sinh giải quyết đơn giản các bài toán cực trị gặp trong quá trình học tập

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Phương pháp chính là: Tổng kết kinh nghiệm

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo, tạp chí

2

- Phương pháp hỗ trợ trao đổi kinh nghiệm từ các giáo viên.

- Phương pháp điều tra cơ bản

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Khi giải các bài tập Vật lý, để tính giá trị cực đại hoặc cực tiểu của các đại lượng Vật lý, học sinh thường gặp phải khó khăn là không biết phải giải từ đâu, dùng phương pháp gì, kiến thức nào để giải Học sinh thường giải mò, lần tìm kết quả, mất thời gian mà không đi đến thành công Cuối cùng, học sinh cảm thấy thất vọng, chán nản và không muốn nghĩ tới những bài tập dạng như vậy

Do đó, để giải được các bài tập đó học sinh cần nắm vững một số kiến thức về toán học như:

* Bất đẳng thức Côsi

2

a b  ab (a, b dương)

3

3

a b c   abc(a, b, c dương)

- Dấu bằng xảy ra khi các số bằng nhau

- Khi tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau

- Khi tổng hai số không đổi, tích hai số lớn nhất khi hai số bằng nhau

* Bất đẳng thức Bunhiacôpski

2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2

(a b a b )  (a a ) (b b )

Dấu bằng xảy ra khi 1 1

2 2

a b

a b

* Tam thức bậc hai

yf x( ) ax2 bx c

- Nếu a > 0 thì ymin tại đỉnh parabol

- Nếu a < 0 thì ymax tại đỉnh parabol

Tọa độ đỉnh:

2

b x a

 ;

4

y a



 ( b2  4ac)

- Nếu = 0 thì phương trình: yf x( ) ax2 bx c  0 có nghiệm kép

- Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

* Giá trị cực đại hàm số sin hoặc cosin

max

(cos )   1    0

max

(sin )   1    90 0

Ngoài ra một số bài toán không cần sử dụng các công thức toán trên mà từ lập luận ta có thể giải quyết được

Ví dụ ta có thể vận dụng công thức cộng vận tốc và suy luận để giải bài toán cực trị

Vì vậy khi đọc và phân tích đề ta phải lựa chọn cách giải nào ngắn gọn và hay hơn để thực hiện

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Ở một mái trường với chất lượng đầu vào chưa thực sự cao thì việc học sinh gặp khó khăn với các bài tập ở mức độ khó như đã nêu trên là điều dễ hiểu Chính vì vậy mà kết quả khảo sát với 39 học sinh lớp 10A1 khi làm các bài tập tìm giá trị cực đại, cực tiểu phần Cơ học còn cho kết quả hạn chế Cụ thể là:

Mức độ nhận

thức vấn đề

Chưa có hướng giải

Còn phân vân tìm hướng giải

Có hướng giải nhưng chưa ra kết quả

Giải được bằng một PP

cụ thể

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Đứng trước thực trạng học sinh ở một lớp đầu khá của nhà trường gặp khó khăn với những bài tập khó phần Cơ học Vật lí 10 Bản thân tôi là một giáo viên trực tiếp giảng dạy lớp nhận thức được trách nhiệm mình cần phải làm gì để giúp các em đơn giản hóa vấn đề đó Hóa giải những băn khoăn của học trò bằng chính hành động thiết thực là tìm ra giải pháp hữu hiệu để giải thành công những bài tập cực trị trong chương trình Vật lí phổ thông nói chung và phần Cơ học Vật lí 10 nói riêng

Áp dụng các kiến thức toán vào giải các bài tập Vật lí phần cực trị một cách linh hoạt Tôi đã giúp học sinh đơn giản hóa các bài tập khó phần Cơ học Vật lí 10 một cách tốt nhất

2.3.1 Một số bài tập áp dụng.

2.3.1.1 Bài toán áp dụng bất đẳng thức Côsi.

Bài toán 1: Vật m1 chuyển động với vận tốc v1 tại A và đồng thời va chạm với vật m2 đang nằm yên tại đó Sau va chạm, m1 cóvận tốc '

1

v Hãy xác định

tỉ số

'

1

1

v

v của m1 để góc lệch  giữa v1 và '

1

v là lớn nhất  max Cho m1 > m2, va chạm là đàn hồi và hệ được xem là hệ kín [1]

Hướng dẫn giải:

* Động lượng của hệ trước va chạm:

1 1 1

T

P Pm v

* Động lượng của hệ sau va chạm:

1 2 1 1 2 2

S

P P P m v m v

4

s

p

1

p

2

p

Vì hệ là kín nên động lượng được bảo toàn:

1

S T

P P P

1 1 1

( , ) ( , ).v v P P S

      

Ta có: '2 '2 2

2 1 1 2 1 2 cos

P P P  P P  (1)

Mặt khác, vì va chạm là đàn hồi nên động năng bảo toàn:

1 1 1 1 2 2

m v m v m v

2 2 2 2 2 '2

1 1 1 1 2 2

m v m v m v

2 '2 '2

P P P

m  m  m 

2 '2 '2

2 '2 '2

P P P



2 '2 '2 2 1 1

2

1

(

m P P

P

m



Từ (1) và (2) ta suy ra:

'

'

(1 m P) (1 m P) 2cos

'

'

(1 m ).v (1 m ).v 2 cos

Đặt

'

1

1

0

v

x

v

1 (1 m ).x (1 m ) 2cos

Để  maxthì (cos )  min

min

1 (cos ) (1 m ).x (1 m ).

      

Tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau

1

1 m .x 1 m .

      

1 2

m m x

m m





Vậy khi

'

v m m

v m m





 thì góc lệch giữa v1 và '

1

v cực đại

Khi đó,

2 2

1 2 max

1

m

Bài toán 2: Trên đoạn đường thẳng AB dài s = 200m, một chiếc xe khởi hành

từ A chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a1 =1m/s2 sau đó chuyển động chậm dần đều với gia tốc có độ lớn a2 = 2m/s2 và dừng lại ở B Tính thời gian ngắn nhất để xe đi từ A đến B? [2]

Hướng dẫn giải:

Gọi s1, s2 là quãng đường xe đi trong hai giai đoạn ứng với gia tốc a1, a2

t1, t2 là thời gian xe đi trong hai giai đoạn ứng với gia tốc s1, s2

ta có:

1 1

1

2s

t

a



;

2 2

2

2s

t a



Tổng giời gian xe đi

1 2

2s 2s

t t

a a

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

2

s s s s

a  a  a a

Để thời gian xe đi là ngắn nhất thì:

1 2 2 1

1 (1) 2

s s s a

a a  s a 

Mặt khác s1 + s2 =200(2) suy ra s1= 66,67m, s2 = 33,33m

Vậy t = 15,63 s

Bài toán 3: Một nguồn điện có suất điện động 6 V, điện trở trong 2 ,

mắc với mạch ngoài là một biến trở R để tạo thành một mạch kín

a) Tính R để công suất tiêu thụ của mạch ngoài là 4 W

b) Với giá trị nào của R thì công suất tiêu thụ của mạch ngoài đạt giá trị cực đại Tính giá trị cực đại đó

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: P = I2R =

2













r R

E R  4 =

4 4

6

2 2



 R

 R2 - 5R + 4 = 0  R = 4  hoặc R = 1 

b) Ta có: P = I2R =

2













r R

E R =

R

r r R

E

2 2

2 

 Vì E và r không đổi nên P =

Pmax khi (R +

R

r2 ) có giá trị cực tiểu, mà theo bất đẳng thức Côsi thì (R +

R

r2 )

có giá trị cực tiểu khi R =

R

r2  R = r = 2  Khi đó Pmax =

r

4

2

E = 4,5 W.

2.3.1.2 Bài toán áp dụng bất đẳng thức Bunhia Côpski.

Bài toán 1: Hai chuyển động trên AO và BO cùng hướng về O với

0 1

2 ; 30

3

v

v    Khi khoảng cách giữa hai vật cực tiểu là dmin thì khoảng cách

từ vật (1) đến O là '

1 30 3( )

d  cm Hãy tính khoảng cách từ vật (2) đến O [3]

Hướng dẫn giải:

Gọi d1, d2 là khoảng cách từ vật (1) và vật (2) đến O lúc đầu ta xét (t = 0)

Áp dụng định lý hàm sin ta có:

6

A

O B

d

1

’

d

d

2

’







' '

d d d v t d v t

2

3

v

v  nên ta có:

0

3 sin 30 sin 3 sin

d v t d v t d

Áp dụng tính chất của phân thức ta có:

1 1 3 2 1 ( 3 2 1 ) ( 1 1 ) 3 2 1

d v t d v t d v t d v t d d

2 1 0

3 sin 30 3 sin sin

d d d





Mặt khác, tacó:

sin   sin(180   ) sin(     ) sin(30    )

3 sin  3 sin(30  ) 3(sin 30 cos  cos30 sin ) 

cos sin

2 1 0

3

cos sin sin

d d d



0

cos sin

d





Vậy 3 2 1 3 2 1

3 cos sin

d

y

Khoảng cách giữa hai vật dmin  ymax với y = ( 3 cos   sin )  2

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Côpski:

( 3 cos   sin )   (( 3)  1 ).(cos   sin  ) 2 





sin120

sin 30 sin120 sin 30

Vậy, khoảng cách từ vật hai đến O lúc này là: d 2 ’ = 90(m)

Bài toán 2: Cho cơ hệ như hình vẽ:

Cho biết: Hệ số ma sát giữa M và sàn là k2

Hệ số ma sát giữa M và m là k1.

Tác dụng một lực Flên M theo phương hợp với phương ngang một góc  Hãy tìm Fmin để m rời khỏi M Tính góc  tương ứng? [4]

F



M m

Hướng dẫn giải:

+ Xét vật m: P N1 1Fms21 ma (1)

Chiếu lên Ox: Fms21= ma 21

1 mn

F a m

Chiếu lên Oy: N1 – P1 = 0  N1 = P1

 Fms21= k1.N1 = k1.mg

1

k mg

m

   Khi vật bắt đầu trượt thì thì a1 = k1g

+ Xét vật M: F P 2P N1 2Fms12Fms  (M m a )2

Chiếu lên trục Ox: Fcos   F ms12  F ms  (M m a ) 2 12

2

a

M m

  



Chiếu lên Oy: Fsin   (P P1  2 ) N2   0 N2 P P1  2  Fsin 

Ta có: F ms12 k mg1

F ms k N2 2 k P P2 ( 1  2  Fsin ) 

1 2 1 2 2

F k mg k P P F

a

M m



Khi vật trượt a1 a2 1 2 1 2

1

F k mg k P P F

k g

M

1 (cos 2 sin ) 1 2 ( 1 2 )

k gM F  k  k mg k P P

2

k k Mg k k mg k k Mg k k mg

F



Nhận xét: Fmin  ymax Theo bất đẳng thức Bunhia Côpski:

(cos sin ) (1 )(cos sin ) 1

y  k   k     k

2 max 1 2

Vậy min 1 2 21 2

2

1

k k Mg k k mg F

k



Lúc đó: 2

2

sin

k

tg k





2.3.1.3 Bài toán áp dụng tam thức bậc hai.

Bài toán 1: Một con kiến bám vào đầu B của một

thanh cứng mảnh AB có chiều dài L đang dựng đứng

cạnh một bức tường thẳng đứng Vào thời điểm mà đầu

B của thanh bắt đầu chuyển động sang phải với vận tốc

8

O y

1

P

F



2

P ms

F

21

ms

F

12

ms

F

1

N N2

x

A

B

không đổi v theo sàn ngang thì con kiến bắt đầu bò dọc

theo thanh với vận tốc không đổi u đối với thanh Trong

quá trình bò trên thanh, con kiến đạt được độ cao cực đại là bao nhiêu đối với sàn? Cho đầu A của thanh luôn tì lên sàn thẳng đứng [5]

Hướng dẫn giải:

Khi B di chuyển một đoạn s = v.t thì con kiến đi

được một đoạn l = u.t

Độ cao mà con kiến đạt được:

sin sin

h l  ut  với sin L2 v t2 2

L

  

2 2 2 4

.

h L t v t y

Với y = L t2 2  v t2 4 Đặt X = t2 2 2

.

y v X L X

Nhận xét: hmax  ymax y là tam thức bậc hai có a = - v2 < 0  ymax tại đỉnh Parabol

max 4 max 4( 2 ) 4 2

L L





4

max 2

4

L

y

v

b L X

a v

Vậy độ cao mà con kiến đạt được là : max max

2

u u L

Bài toán 2: Hai chiếc tàu biển chuyển động với cùng vận tốc hướng tới điểm

O trên hai đường thẳng hợp với nhau một góc α = 600 Hãy xác định khoảng cách nhỏ nhất giữa hai con tàu Cho biết ban đầu chúng cách O những khoảng cách là d1 = 60km và d2 = 40km [6]

Hướng dẫn giải:

Chọn hệ trục tọa độ không vuông góc như hình vẽ

Giả sử tàu A chuyển động trên Oy về O, tàu B chuyển động trên Ox về O

Phương trình chuyển động của chúng lần lượt là:

60 (1)

40 (2)

y vt

x vt

 

 

Tại thời điểm t khoảng cách giữa hai tàu là

2 2 2

2 cos 60 (3)

d OA OB OA OBCOS

d x y xy

d x y xy

Thay (1), (2) vào (3) ta được:

2 2 2

100 2800(4)

d v t  vt

h B

A

X

y

O

A

B y

x

600

Vế phải là một tam thức bậc hai có giá trị nhỏ nhất là

min



Bài toán 3: Hai vật nhỏ chuyển động trên hai trục tọa độ vuông góc Ox, Oy

và qua O cùng một lúc Vật thứ nhất chuyển động trên trục Ox theo chiều dương với gia tốc 1m/s2 và vận tốc khi qua O là 6m/s Vật thứ hai chuyển động chậm dần đều theo chiều âm trên trục Oy với gia tốc 2m/s2 và vận tốc khi qua O là 8m/s Xác định vận tốc nhỏ nhất của vật thứ nhất đối với vật thứ hai trong khoảng thời gian từ lúc qua O cho đến khi vật thứ hai dừng lại [7] Hướng dẫn giải:

Chọn mốc thời gian lúc 2 vật qua O

- Phương trình vận tốc của vật thứ nhất trên trục Ox:

v1 = v01 + a1t = 6 + t

- Phương trình vận tốc của vật thứ hai trên trục Oy:

v2 = v02 + a2t = - 8 + 2t

- Khoảng thời gian vật thứ hai dừng lại: v2 = 0 => t = 4s

- Vận tốc của vật thứ nhất đối với vật thứ hai là:

2 1

12 v v

v   Do v1 vuông góc với v2

=> v12 = 2

2

2

1 v

) 2 8 ( ) 6 ( t    t

=> v12 = 5 2 20 100



 t

Vế phải là một tam thức bậc hai có giá trị nhỏ nhất là

t =

4a



5 2

) 20 (

2 (s) < 4 (s)

Vậy v12 có giá trị nhỏ nhất khi t = 2s

=> (v12)min = 5 2 2  20 2  100 8,94 (m/s)

Khi đó v1 = 8m/s, (v1 ,v12 )   với Cos = v1/v12 = 8/8,94  0,895

=>  = 26,50

- Vậy v12 đạt giá trị nhỏ nhất là 8,94m/s tại thời điểm t = 2s và hợp với Ox góc 26,50

2.3.1.4 Bài toán áp dụng giá trị cực đại của hàm số sin và hàm số cosin Bài toán 1: Hai vật chuyển động từ A và B cùng hướng về điểm O với

cùng vận tốc Biết AO = 20km; BO = 30km; Góc   60 0 Hãy xác định khoảng cách ngắn nhất giữa chúng trong quá chuyển động? [8]

Hướng dẫn giải:

Xét tại thời điểm t: Vật A ở A’

Vật B ở B’

Khoảng cách d = A’B’

10

O y

x 1

v

2

v

12

v