Đề thi vao lop 10 Môn Toán 80-09

sở giáo dục và đào tạo phú thọkỳ thi tuyển sinh lớp 10 thpt chuyên Hùng Vơng năm học 2008-2009 Môn Toán Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời g

sở giáo dục và đào tạo phú thọ

kỳ thi tuyển sinh lớp 10 thpt chuyên Hùng Vơng năm học 2008-2009

Môn Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán)

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

(Đề thi có 01 trang)

Ngày thi: 26/6/2008

_

Câu 1 (2 điểm).

Cho phơng trình: x2+ 2(m+1)x + m2+m+2 = 0 (1), (m là tham số)

a) Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình (1) có nghiệm

b) Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình (1), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Px x1 2 2 x( 1x2)

Câu 2 (2 điểm) Giải phơng trình 2

x  x 24 x 1 .

Câu 3 (2 điểm) Giải hệ phơng trình:

3 3

3x x 2y 3y y 2x

 





 



Câu 4 (3 điểm).

Cho 3 điểm A, B, C theo thứ tự đó thẳng hàng và AB < BC, vẽ đ ờng tròn tâm O

đờng kính AB và đờng tròn tâm I đờng kính BC M là một điểm di động trên đờng tròn (O) nhng không trùng với A và B, kẻ đờng kính MN của đờng tròn (O), nối

MB kéo dài cắt đờng tròn (I) tại điểm thứ hai E, nối NB kéo dài cắt đờng tròn (I) tại

điểm thứ hai F

a) Chứng minh MN//EF và 3 đờng thẳng MF, NE và OI đồng qui tại một điểm

J cố định

b) Chứng minh tổng 2 2

ME NF không đổi

c) Gọi H là hình chiếu của B trên MF, chứng minh rằng HB là tia phân giác của góc OHI

Câu 5 (1 điểm).

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, chứng minh bất đẳng thức sau:

3 2b 2c a   2c 2a  b  2a2b c 

- hết

-Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: , SBD:

Đề số 1

sở giáo dục và đào tạo phú thọ

kỳ thi tuyển sinh lớp 10 thpt chuyên Hùng Vơng năm học 2008-2009

Hớng dẫn chấm môn Toán (Cho bài thi chuyên Toán, ngày thi 26/6/2008)

Câu 1

(2 điểm) a) Phơng trình x

2+ 2(m+1)x + m2+m+2 = 0 có nghiệm

 (m+1)2– m2– m–2 0  m 1 0,5 b)

Khi m 1, phơng trình (1) có 2 nghiệm x1 và x2 , theo Viet ta có:

.

2

1 2







0,5

Từ đó : Px x1 2 2 x( 1x2)m2  3m 2

= ( 3)2 17 17 m

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m 3

2

 (thỏa mãn)

Vậy minP 17

4

 khi m 3

2



0,5

Câu 2

(2 điểm) Giải phơng trình

2

x  x 24 x 1

Đặt t x 1  t  x=t0 2+1 Thay vào phơng trình đã cho ta đợc:

t 3t  4t 0

0,5

t t 3t 4   (0 )( 2 )

t t 1 t  t 4 0 0,5

 t = 0; t = 1 (còn t2+t+4 > 0 với mọi t) 0,5

Từ đó giải đợc x=1 ; x=2 là nghiệm của phơng trình

Đề chính thức

Câu 3

(2 điểm)

Từ hệ đã cho: ( )

( )

3 3

3x x 2y 1 3y y 2x 2

 





 

 Trừ phơng trình (1) cho phơng trình (2) ta đợc:

3(x3-y3) = y-x  (x-y)(3x2+3xy+3y2+1) = 0 (*)

0,5

Nhận thấy 3x2+3xy+3y2+1 > 0 với mọi x, y

Vậy phơng trình (*) tơng đơng với x=y 0,5 Thay x=y vào (1) ta đợc :

3x3–3x = 0  3x(x2–1) = 0  x=0 ; x=–1 ; x=1

0,5

Từ đây ta đợc các nghiệm của hệ là :

x 0

y 0











; x 1











; x 1

y 1











0,5

Câu 4 (3 điểm)

a)

Do EBF 1v  nên 3 điểm E, I, F thẳng hàng

Ta có OMBOBMIBEIEB Do đó MN//

EF

0,5

Gọi J là giao điểm các đờng thẳng MF, NE, nối JO cắt

EF tại I’, từ Talét, ta có các tỷ số bằng nhau:

OM JO ON

I F JI I E , mà OM=ON  I’E=I’F  'I  I Vậy 3 đờng MF, NE và OI đồng qui tại điểm J

0,25

Hơn nữa JO OM BO

JI  IF BI không đổi, mà O, B, I cố

định nên J cố định

0,25

b)

Đặt BO = R, BI = R’,

'

R t R



0,5

M

N

E

F H

P

K

Ta có BM BN t

BE BF 

BM tBE

BN tBF





 





ME t 1 BE

NF t 1 BF

 



 

 



 ME2 + NF2 = (t+1)2(BE2+BF2) = (t+1)24R’2

= ( ) ' ( ') '

R

1 4R 4 R R

R    không đổi.

0,5 c) Hạ OP, IK vuông góc với đờng thẳng MF, khi đó

'

IK JI  IF R và '

HK BI R

0,5

Từ đó các tam giác vuông OPH và IKH đồng dạng, suy ra OHP IHK  OHBIHB, tức là HB

là tia phân giác của góc OHI 0,5

Câu 5

(1 điểm) Ta có:

2b 2c a   3a 2b2c a a b c

0,25

2c 2a  b  3b 2c 2a  b a b c 0,25

2a2b c  3c 2a2b c a b c 0,25 Cộng 3 bất đẳng thức trên ta đợc:

3 2b 2c a   2c 2a  b  2a2b c  0,25

–––––––––––––––––––––––––––– Hết

––––––––––––––––––––––––––