Tuyển tập các bài toán lạ 9 thi tuyển sinh vào lớp 10 hay nhất.Ủng hộ tớ thật nhiều nhé Thankss các bạn đã tải (love,love,love,.....) Chúc các bạn thi tốt kì thi nháb :)))))))))))))))
Trang 1Vớ dụ 3: Cho 0≤ x,y,z ≤1 Chứng minh rằng
2 2 2 2 2
2x + y + z −x + −y + −z ≤ .
Giải
Đặt a=2x,b=2y,c=2z (1≤a,b,c≤2)
) 1 ( 3
2 0
2 3
0 2 1 2
1
2 − + ≤ ⇒ + ≤
⇒
≤
−
−
⇒
≤
≤
a a a
a
a a a
Chứng minh tương tự:
) 3 ( 3 2
) 2 ( 3 2
≤
+
≤
+
c
c
b
b
Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ta được
) ( 1 1 1 ) (
8
81
1 1 1 2 2
1 1 1 2 9
đpcm c
b a c b a
c b a c b a c
b a c
b
⇒
+ + +
+
≥
⇒
+ + +
+
+ + +
+ +
Chỳ ý: Bài toỏn tổng quỏt dạng này
“ Cho n số x1,x2, ,x n∈[ ]a,b ,c>1
Ta luụn cú:
b a
b a x
x x x x
x
c
c c n c
c c c c
+
−
−
+ +
+
4
2
2 1 2
1
1 Giải hệ phơng trình:
=
− + +
=
− + +
4 7
1
4 7
1
x y
y x
Giải: Điều kiện -1 ≤ x ≤ 7 , -1 ≤ y ≤ 7
Từ hệ phơng trình suy ra
(1) 7 1 7
1 7
1 7
a có hàm số f(x) = x+1− 7−x đồng biến trên đoạn [-1 ; 7] Nên từ (1) suy ra x = y Vậy hệ phơng trình trở thành :
x
x+1+ 7− = 4 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki ta có : (1⋅ x+1+1⋅ 7−x)2 ≤ (12 + 12)(x + 1 + 7 - x) = 16
⇔ x+1+ 7−x ≤ 4 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 7 - x ⇔ x = 3
Trang 2Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất là ( x ; y) = (3 ; 3)
=
− +
=
− +
1 1
1 1
4
4
x y
y x
Giải : Để các căn thức có nghĩa thì x ≥ 1 và y ≥ 1
Khi đó x+4 y−1 ≥ 1, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1 thử lại ta có x = y = 1 là nghiệm của hệ đã cho Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x ; y) = (1 ; 1)
=
− + +
=
− + +
m x
y
m y
x
2 1
2 1
a) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ có nghiệm
b) Giải hệ phơng trình khi m = 9
Giải :
Điều kiện
≥
≥
≥ 0 2 2
m y x
a) Từ hệ đã cho ta có :
y x
x y y
x
x y
y x
x y
y x
=
⇔
+
= +
⇔
− +
=
− +
⇔
− + +
=
− + +
⇔
− + +
=
− + +
2 -2y -x xy 2 -2x -y xy
) 2 )( 1 ( ) 2 )( 1 (
2 1
2 1
2 1
2
Hệ phơng trình đã cho trở thành :
m x
x+1+ −2 = (1).
Vì hàm số f(x) = x+1+ x−2 đồng biến trên [ 2 ; + ∞ )
nên giá trị nhỏ nhất của hàm số này bằng f(2) = 3 Vì vậy phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi m
≥ 3 hay m ≥ 3
b) m = 9 thì f(3) = 3 = 9 nên với m = 9 yhì hệ
có nghiệm duy nhất là (x ; y) = (3 ; 3)
Trang 3I Bài 16
cho tứ giác lồi ABCD có diện tích S và O là
điểm nằm trong tứ giác sao cho 2 2 2 2
2
OA +OB +OC +OD = S
chứng minh rằng ABCD là hình vuông có tâm là O
Giải
Gọi BH là đờng cao của tam giác ABC , ta có : 2
ABC
S =OA.BH nhng BH ≤BO nên : 2 2 2
2
AOB
OA OB
cô si) Do đó 1 2 2
4
AOB OA OB
S ≤ + dấu bằng xảy khi và chỉ
4
BOC OB OC
1
4
COD OC OD
1
4
AOD OA OD
2
ABCD AOB BOC COD DOA
≤
Hay : 2S≤OA2+OB2+OC2+OD2,
dấu bằng xảy ra khi và khi và chỉ khi
OA=OB=OC=OD và ãAOB BOC COD DOA=ã =ã =ã =9O0 Tức là ABCD là hình vuông và O là tâm của hình vuông
đó
7 Một số cú 4 chữ số giống nhau chỉ cú hai ước số là những số nguyờn tố Hóy tớnh số đú
và cỏc ước số nguyờn tố của nú ?
Giải:
Ta biểu diễn số N đó là aaaa = 1000a + 100a + 10a + a = 1111a = 101.11.1
=> a = 1 và số N = 1111 Các ớ c số của nó là: 11 và 101.
8 Tỡm tất cả cỏc số nguyờn tố p và q sao cho cỏc số 7p + q và pq + 11 cũng là số nguyờn tố
Giải:
Nếu pq + 11 là số nguyờn tố thỡ nú phải là số lẻ (vỡ là số nguyờn tố lớn hơn 2) Suy ra ớt nhất một trong cỏc số p và q phải chẵn tức là bằng 2
a) Giả sử p = 2 Khi đú 7p – q = 7.2 + q = 14 + q
pq + 11 = 2q + 11
D
C
O H A
B
Trang 4Nếu q = 2 thì 14 + q = 14 + 2 = 16 là hợp số.
Nếu q là số nguyên tố lớn hơn 3 thì nó không chia hết cho 3
Với q = 3k + 1 thì 14 + q = 14 + 3k + 1 = 3(k + 5) là hợp số
Với q = 3k + 2 thì 2q + 11 = 2(3k + 2) + 2 = 6(k + 1) là hợp số
Vậy p = 2 và q = 3 là đáp số cần tìm
b) Giả sử q = 2 Lập luận tương tự như phần a), ta có đáp số nữa là : p = 3 , q = 2 Như vậy các số nguyên tố cần tìm là : p = 2 ; q = 3 và p = 3 ; q = 2