Chuyên đề điểm và đường thẳng cố định của đồ thị

Chuyên đề điểm và đường thẳng cố định của đồ thị Chuyên đề điểm và đường thẳng cố định của đồ thị Chuyên đề điểm và đường thẳng cố định của đồ thị Chuyên đề điểm và đường thẳng cố định của đồ thị Chuyên đề điểm và đường thẳng cố định của đồ thị Chuyên đề điểm và đường thẳng cố định của đồ thị Chuyên đề điểm và đường thẳng cố định của đồ thị Chuyên đề điểm và đường thẳng cố định của đồ thị Chuyên đề điểm và đường thẳng cố định của đồ thị Chuyên đề điểm và đường thẳng cố định của đồ thị Chuyên đề điểm và đường thẳng cố định của đồ thị Chuyên đề điểm và đường thẳng cố định của đồ thị Chuyên đề điểm và đường thẳng cố định của đồ thị Chuyên đề điểm và đường thẳng cố định của đồ thị Chuyên đề điểm và đường thẳng cố định của đồ thị Chuyên đề điểm và đường thẳng cố định của đồ thị Chuyên đề điểm và đường thẳng cố định của đồ thị Chuyên đề điểm và đường thẳng cố định của đồ thị Chuyên đề điểm và đường thẳng cố định của đồ thị Chuyên đề điểm và đường thẳng cố định của đồ thị Chuyên đề điểm và đường thẳng cố định của đồ thị Chuyên đề điểm và đường thẳng cố định của đồ thị Chuyên đề điểm và đường thẳng cố định của đồ thị Chuyên đề điểm và đường thẳng cố định của đồ thị Chuyên đề điểm và đường thẳng cố định của đồ thị Chuyên đề điểm và đường thẳng cố định của đồ thị Chuyên đề điểm và đường thẳng cố định của đồ thị Chuyên đề điểm và đường thẳng cố định của đồ thị

ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG CỐ ĐỊNH CỦA ĐỒ THỊ

I Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong / Điểm mà họ đường cong không đi qua

1 Xét họ đường cong (C m) có phương trình y f x m( , ), trong đó f là hàm đa thức theo biến x với m là

tham số sao cho bậc của m không quá 2 Tìm những điểm cố định thuộc họ đường cong khi m thay đổi ?

Phương pháp giải:

Ta có điểm A x( 0;y0) gọi là điểm cố định của họ đường cong (C m) :y f x m( , ) nếu f x m( 0, ) y0  (1) m

Ta biến đổi (1) về dạng phương trình ẩn m như sau

2

( , ) ( , ) ( , ) 0

( , ) ( , ) ( , ) 0

Từ đó ta tìm được điểm A x y( 0, 0)

2 Xét họ đường cong (C m) có phương trình y f x m( , ), trong đó f là hàm đa thức theo biến x với m là

tham số sao cho bậc của m không quá 2 Tìm những điểm có đúng n đồ thị của họ (C m) đi qua ?

Phương pháp giải: Ta đi tìm điểm A x y sao cho phương trình ẩn ( ;0 0) m:

2

( , ) ( , ) ( , ) 0

f x y m g x y m h x y  có đúng n nghiệm

3 Xét họ đường cong (C m) có phương trình y f x m( , ), trong đó f là hàm đa thức theo biến x với m là tham số sao cho bậc của m không quá 2 Tìm những điểm mà họ đường cong luôn không đi qua khi m thay đổi

?

Phương pháp giải:

Ta có điểm A x y( 0, 0) gọi là điểm không có đường cong nào của họ đường cong (C m) :y f x m( , ) đi qua nếu

0

( , )

f x m  y  hay phương trình m f x m( 0, ) y0 vô nghiệm  m

Chú ý: Phương trình ax b  vô nghiệm 0 0

0

a b





  



Phương trình 2

0

ax bx c vô nghiệm

2

0 0 0 0

a b c a

b ac

 



 







 

 













Đối với hàm hữu tỉ có tiệm cận đứng cố định thì những điểm nằm trên tiệm cận đứng là những điểm đồ thị không bao giờ đi qua

Ví dụ Cho hàm số y(m2)x33(m2)x m 7 có đồ thị là (C m) Chứng mình rằng họ đường cong(C m) luôn đi qua 3 điểm cố định và 3 điểm này thẳng hàng

Giải:

Gọi là A x y( ;0 0) là điểm cố định thuộc họ đường cong (C m)

3

o

        m

3

Vì phương trình x3 3x1 luôn có 3 nghiệm phân biệt nên ta suy ra họ đường cong (C m) luôn đi qua 3 điểm

cố định

Từ phương trình y0 12x0 5 ba điểm cố định này nằm trên đường thẳng y12x5

I Bài toán tìm đường thẳng/ Đương cong cố định mà họ đường cong luôn đi qua

Ta sử dụng định lí tương giao hoặc điều kiện nghiệm kép để giải ( tùy thuộc theo bài toán mà cách giải khác nhau sẽ có ưu thế tốc độ khác nhau )

1 Điều kiện nghiệm kép:

-Hai đồ thị tiếp xúc nhau  phương trình hoành độ giao điểm của chúng có nghiệm kép

-Đường thẳng ( )d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số  phương trình hoành độ giao điểm của chúng có nghiệm

2 Định lí tương giao:

Hai đồ thị hàm số f x( ) và g x( ) tiếp xúc với nhau  hệ sau có nghiệm: ( ) ( )

'( ) '( )

f x g x

f x g x





 Khi đó nghiệm x0 của hệ phương trình chính là hoành độ tiếp điểm

Trên đây là 2 cách làm tổng quát và thông dụng đối với lớp bài toàn này Tuy nhiên đối với từng dạng bài nhỏ riêng biệt ta sẽ có những kĩ thuật/ cách làm khác nhau

Các dạng bài tập:

Dạng 1: Tiếp tuyến cố định với họ (C m) tại điểm cố định

- Giả sử họ (C m) có điểm cố định A x y ( Ta đưa về mục I – tìm điểm cố định ) ( ;0 0)

- Hệ số góc tiếp tuyến với (C m) tại A ( tức là y x'( 0)h x m( , )0 ) không phụ thuộc vào m

- Họ (C m) có chung một tiếp tuyến có phương trình: yy0 y x'( )(0 xx0)

Dạng 2: Cho biết dạng của đường cố định ( ) :L yg x( )

- Nếu ( )L là đường thẳng thì thì yg x( )ax b , nếu ( )L là parabol thì yax2bxc (a 0)

- Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C m) và ( )L : f x m( , )g x( ) (1)

- (C m) tiếp xúc với ( )L , m   (1) có nghiệm kép m hoặc hệ sau có nghiệm: ( , ) ( )

'( , ) '( )

f x m g x

f x m g x





Dạng 3: Chưa cho biết dạng của đường cố định ( )L

- Phân tích f x m( , )[ ( )a m x b m ( )]2g x( )( Hoặc ( , ) [ ( ) ( )] ( )

( )

k

a m x b m

c m x



  với 2  ) trong đó k

( )

g x không chứa m

Khi đó phương trình f x m( , )g x( ) luôn có nghiệm bội nên (C m) luôn tiếp xúc với ( ) :L yg x( ) cố định

Về Dạng 3, mình sẽ có một tài liệu riêng viết về kĩ thuật casio để giải :v