Đáp án tham khảo môn Toán (Đề TN THPT 2008) Câu 1:
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : y = x 4 – 2x 2
+ Tập xác định: D = R.
+ y’ = 4x3 – 4x y’ = 0 ⇔ 4x3 – 4x = 0 ⇔
= ⇒ =
= ⇒ = −
= − ⇒ = −
+ limx→−∞y= + ∞ lim
x
y
→+∞ = + ∞
+ Bảng biến thiên:
x - ∞ - 1 0 1 + ∞
y’ - 0 + 0 - 0 +
y
Căn cứ vào bảng biến thiên ta có: hàm số đồng biến trên khoảng (- 1; 0) ∪ (1; + ∞) Hàm số nghịch biến trên khoảng (- ∞; - 1) ∪ (0; 1)
+ y’’ = 12x2 – 4 y’’ = 0 ⇔ 12x2 – 4 = 0 ⇔
1
2
( ; )
= − ⇒ = − − −
+ Bảng xét dấu:
x - ∞ - 3
3
3
3 + ∞
y’’ + 0 - 0 +
y lồi lõm lồi
+ Đồ thị:
(C)
-8 -6 -4 -2
2 4 6 8
x y
- 1 CT
0 CĐ
- 1 CT
U1
U2
Trang 22/ Phương trình tiếp tuyến :
Ta có : x = -2 ⇒ y = 8 Mặt khác : k = y’(- 2) = - 24
⇒ Phương trình tiếp tuyến là : y – 8 = - 24(x + 2)
⇒ 24x + y + 40 = 0
Câu 2 :
1/ Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(x) = x 9
x
+ trên đoạn [2; 4] + Tập xác đinh : D = R \ {0}.
+ y’ = 1 - 92
2 2
9
x x
−
y’ = 0 ⇔ x2 – 9 = 0 ⇔ = − ⇒ = −x x=33 ⇒ =y y 66
+ Bảng biến thiên:
x - ∞ - 3 0 2 3 4 + ∞
y’ + 0 - - - 0 + +
y
Căn cứ vào bảng biến thiên ta có:
[ ] 2;4
13
ax ( )
2
M f x = M[ ]2;4in ( ) 6f x =
2/ Tính tích phân I =
1
0
(1 x)
e x dx
+
∫
+ Ta có: I =
.x
+ Tính I1 =
1
1
x
∫
+ Tính I2 =
1
0
.x
x e dx
∫
⇒
= =
1
0
⇒ = −∫ = − = − − =
Vậy I = 1
2 + 1 =
3
2.
Câu 3:
1/ Phương trình đường tròn (T) qua O(0; 0), A(0; 8), B(- 6 ; 0)
Phương trình đường tròn (T) có dạng : x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
Do (T) qua O, A, B nên ta có hệ phương trình :
( 3; 4)
Tam I
ban kinh R
− + = ⇒ = ⇒
= + =
6
13 2
25 4
Trang 3Vậy phương trình đường tròn (T) là: x2 + y2 + 6x – 8y = 0.
2/ Phương trình tiếp tuyến (t) tại A(0; 8)
Ta có phương trình tiếp tuyến tại A có dạng: x.xA + y.yA + 3(x + xA) – 4(y – yA) = 0
⇒ 8y + 3x – 4y -32 = 0
⇒ 3x + 4y – 32 = 0 Vậy phương trình tiếp tuyến (t) là : 3x + 4y – 32 = 0
* Tính góc giữa (t) và (d) : y -1 = 0.
Ta có : nurt =(3; 4); nuurd =(0;1) Gọi ϕ là góc giữa (t) và (d)
⇒ cosϕ = cos(nurt ,nuurd ) = . 2 4 2 45
t d
n n
+
ur uur
ur uur
⇒ϕ≈ 370
Câu 4: M(1; 2; 3), (α): 2x – 3y + 6z + 35 = 0, nuurα =(2; 3;6)−
1/ Phương trình đường thẳng qua M và vuông góc (α):
Do (d) ⊥ (α) (giả thiết) nên uuur uurd =nα =(2; 3;6)−
⇒ Phương trình của (d) là :
1 2
2 3
3 6
= +
= −
= +
2/ * Tính khoảng cách từ M đến (α):
Ta có: d(M, (α)) = 2.1 3.2 6.3 352 2 2 7
2 ( 3) 6
− + +
= + − +
* Tìm toạ độ điểm N:
Do N ∈ Ox nên N(x; 0; 0)
Ta có: MN = (x−1)2+ +22 32 = (x−1)2+13 Theo giả thiết ta có: MN = d(M, (α))
⇒ (x−1)2+13 = 7 (*)
⇒ (x – 1)2 + 13 = 49
⇒ x2 – 2x – 35 = 0
⇒ 7 ( (*))
5 ( (*))
=
= −
Vậy toạ độ điểm N cần tìm là: N1(7; 0; 0), N2(-5; 0; 0)
Câu 5:
Giải bất phương trình: (n2−5)C n4+2.C n3 ≤2.A n3 (1)
Điều kiện: n ≥ 4
(1) ⇔ ( 2 5) ! 2 ! 2 !
4!( 4)! 3!( 3)! ( 3)!
n
⇔ (n2 – 5).n.(n -1)(n – 2)(n – 3) + 8n.(n – 1)(n – 2) ≤ 48n.(n – 1)(n – 2)
⇔ (n2 – 5).(n – 3) + 8 ≤ 48
⇔ n3 – 3n2 – 5x – 25 ≤ 0 (2)
Ta có: n3 – 3n2 – 5x – 25 = 0 ⇔ (n – 5)(n2 + 2n +5) = 0 ⇔ n – 5 = 0 ⇔ n = 5
(vì n2 + 2n +5 > 0 ∀ n) Bảng xét dấu :
n - ∞ 5 + ∞
VT - 0 +
Trang 4Căn cứ vào bảng xét dấu và điều kiện (*), ta có tập nghiệm của bất phương trình (2) là :
4 ≤ n ≤ 5
Do n ∈ N -* nên nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = {4; 5}