SÁCH lớp 8 tháng 8 2015

Nhân tử chung của một đa thức gồm: a Hệ số là ước chung lớn nhất của các hệ số trong mọi hạng tử.. Nếu một đa thức chứa một trong các vế của bảy hằng đẳng thức đnág nhớ thì ta có thể dùn

SÁCH LỚP 8

PHẦN ĐẠI SỐ CHƯƠNG 1: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC

§1 Nhân đơn thức với đa thức

2 Dạng 2: Đơn giản biểu thức và tính giá trị của biểu thức

VD2 Đơn giản biểu thức rồi tính giá trị của chúng

Với x = 2,1 giá trị của biểu thức là – 2,1 + 39 = 36,9

3 Dạng 3: Tìm x thỏa mãn đẳng thức cho trước

VD3: Tìm x biết:

a) 5x(12x + 7) –3x(20x – 5) = – 100;

4 Dạng 4: Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào x

VD3: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

d) –a2(3a – 5) + 4a(a2 – a)

Bài 4: Đơn giản biểu thức:

a) (3b2)2 – b3(1 – 5b); b) y(16 – y3) – (2y2)2

c) −12x3 ÷ −x 1 2− −x 18x2÷;

    d) (0,2a3)2 – 0,01a4(4a2 – 100).

Bài 5: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức :

TIẾT 2: NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC

I Lý thuyết

1 Muốn nhân một đa thức với một đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng

tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau:

(A + B)(C + D) = A.D + A.D + A.C + C.D

2 Phép nhân hai đa thức là tổng các kết quả nhân từng đơn thức của đa thức này với đa thứckia

2 Dạng 2: Đơn giản và tính giá trị của biểu thức

VD2: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức :

c) (x + 2) (x2 – 2x + 4) – x (x2 + 5) = 2.

4 Dạng 4: Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc biến:

VD4: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến.a) y(y3 + y2 – y – 2) – (y2 – 2) (y2 + y + 1)

6 Giải bài toán bằng cách đặt ẩn x.

VD6: Cho ba số tự nhiên liên tiếp Tích hai số đầu nhỏ hơn tích hai số sau là 62 Tìm 3 số đó

- Giải hai phương trình A(x) = 0 và B(x) = 0

- Lấy tất cả các nghiệm thu được

- Viết tập hợp nghiệm S

Ví dụ 1: (Bài 21, trang 17 SGK)

Dạng 4 :Rút gọn và tính giá trị của biểu thức

VD4: Đơn giản các biểu thức sau và tính giá trị của chúng:

a) 126y3 + (x – 5y)(x2 +25y2 + 5xy) với x = –5; y = –3

b) a3 + b3 – (a2 – 2ab + b2)(a – b) với a = –4; b = 4

Dạng 5: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến.

VD5: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến.a) 5(x + 4)2 + 4(x – 5)2 – 9(4 + x)(x – 4);

b) (x + 2y)2 + (2x – y)2 – 5(x + y)(x – y) – 10(y + 3)(y – 3)

HD:

a) Rút gọn biểu thức được kết quả là 324 (không phụ thuộc vào biến)

b) Rút gọn biểu thức được kết quả là 90 (không phụ thuộc vào biến)

Dạng 6: Tìm x thỏa mãn đẳng thức cho trước

VD6: Bài 9 trang 3 mục a, b sách tham khảo 2

7 Dạng 7: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.

VD7: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 – 4x + 7

b) Tìm giá trị lớn nhất của B = 3 + 6x – x2

Giải:

a) A = x2 – 4x + 7 = x 2 – 4x + 4 + 3

= (x – 2)2 + 3

Vì (x – 2)2 ≥ 0 với mọi x nên

A = (x – 2)2 + 3 ≥ 3 suy ra giá trị nhỏ nhất của A bằng 3 khi a – 2 = 0 hay x = 2

Bài 5: Tính nhẩm theo các hằng đẳng thức các số sau:

a) 19.21; 29.31; 39.41, b) 292 – 82; 562 – 462; 672 – 562

Bài 6: bài 7 trang 3 s tham khảo 2

Bài 7: Tính giá trị các biểu thức sau:

1) (x – 2)2 – (x + 7)(x – 7) tại x = 3

2) (x – 3)2 – (x + 4)(x – 4) tại x = –1

3) (3x + 2y)2 – 4y(3x + y) tại x = – 1

34) 8x3 + 12x2 + 6x + 1 tại x = –2

Bài 10: 20,21 trang 4 sách tham khảo 2

Bài 11: b 19 trang 4 sách tyham khảo 2

Bài 12: Chứng minh rằng:

a) Biểu thức A = x2 + x + 1 luôn luôn dương với mọi x;

b) Biểu thức B = x2 – xy + y2 luôn luôn dương với mọi x , y không đồng thời bằng 0;

c) Biểu thức C = 4x – 10 – x2 luôn luôn âm với mọi x

Bài 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = x4 – 2x3 + 3x2 + + ax + b là bình phương của một đa thức

Bài 19: Cho a + b + c = 0; a2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh rằng a4 + b4 + c4 = 1

2.Bài 20: Cho a2 – b2 = 4c2

1) Chứng minh rằng (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2

2) Cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng (a3 + b3 + c3) = 3ac

3) Cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng (a2 + b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4)

4) Cho a + b + c + d = 0 Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 + d3 = 3(c + d)(ab – cd)

N – n

§ 6, 7, 8, 9: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

I Tóm tắt lý thuyết

1 Khi các hạng tử của một đa thức có chung một nhân tử, ta có thể đặt nhân tử chung ra ngoàidấu hoặc theo công thức:

A.B + A.C = A (B + C)

Nhân tử chung của một đa thức gồm:

a) Hệ số là ước chung lớn nhất của các hệ số trong mọi hạng tử

b) Các lũy thừa bằng chữ số có mặt trong mọi hạng tử với số mũ nhỏ nhất của nó

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử:

–13x4y3 + 26x2y2z2 – 39xy2z3

+ UCLN (13, 26, 39) = 13;

+ Số mũ nhỏ nhất của x trong các hạng tử là 1;

+ Số mũ nhỏ nhất của y trong các hạng tử là 2;

Vậy: –13x4y3 + 26x2y2z2 – 39xy2z3 = –13xy2 (x3y – 2xz2 + 3z3)

2 Nếu một đa thức chứa một trong các vế của bảy hằng đẳng thức đnág nhớ thì ta có thể dùnghằng đẳng thức đó để viết đa thức thành tích các nhân tử

2 Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.

VD2: Phân tích đa thức thành nhân tử:

3 Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử.

VD3: Phân tích các đa thức thành nhân tử:

a) x3 + y3 + 2x2 – 2xy + 2y2 b) a4 + ab3 – a3b – b4

c) 70a – 84b – 20ab – 24b2

LG:

a) (x + y)(x2 – xy + y2) + 2(x2 – xy + y2) = (x2 – xy + y2)(x + y + 2)

b) a(a3 + b3) – b(a3 + b3) = (a3 + b3)(a – b) = (a + b)(a2 – ab + b2)(a – b)

c) 10a(2b + 7) – 12b(2b + 7) = (2b + 7)(10a – 12b) = 2(2b + 7)(5a – 6b)

Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử

Các em đã được học 3 phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử, đó là:

Phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử và phối hợp cả

ba phương pháp này Tuy nhiên có những đa thức chẳng hạn đa thức A = 2x2 – 5x – 2, nếu chỉdùng ba phương pháp kể trên, thì không thể phân tích thành nhân tử được vì A không có nhân

tử chung, không có dạng một hằng đẳng thức nào, cũng không thể dùng phương pháp nhómhạng tử (vì đa thức A chỉ có 3 hạng tử) Vì vậy ta sẽ xét thêm một số phương pháp khác đểphân tích đa thức thành nhân tử

Ta nhân thấy tích các hệ số đưa 2 hạng tử xuất hiện sau khi tách là 2.(–6) = –12

Trong khi tích các hệ số đầu và cuối là: 4.(–3) = –12 Do đó hai tích này đúng bằng nhau.Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử bậc nhất

bx thành b1x + b2x sao cho b1.b2 = ac sau đó đặt nhân tử chung theo từng nhóm

VD2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

VD4: Phân tích đa thức thành nhân tử A = m4 + 64

Ta thấy đa thức đã cho là đa thức bậc 5 Đa thức này khuyết các hạng tử bậc 3, bậc 2, bậc

1 Vì vậy có thể thêm bớt hạng tử có bậc ba khuyết, ở đây ta chọn thêm bớt hạng tử bậc 3

B = x5 + x4 + x3 – x3 + 1 = x3(x2 + x + 1) – (x3 – 1)

= x3(x2 + x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1) = (x3 – x + 1)(x2 + x + 1)

Nhận xét: Cơ sở của phương pháp này là thêm bớt cùng một hạng tử để xuất hiện nhóm hạng

tử để có thể dùng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức

3 Phương pháp đổi biến.

VD5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Bài 5: Cho a ∈¢, chứng minh rằng a5 – a M 30.

Bài 6: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện (x + y)(y + z)(z + x) = 8xyz (1) Chứngminh rằng x = y = z

Bài 7: Phân tích thành nhân tử (Thêm bớt hạng tử)

1) a4 + a2 + 1 2) a2 + 64 3) a4 + 4b4

4) x4 + 4 5) 64x4 + 1 6) 81x4 + 1

7) x8 + x7 + 1 8) x8 + x + 1 9) x8 + x4 + 1

Bài 8: Cho x ∈¢ Chứng minh rằng x200 + x100 + 1 M x4 + x2 + 1

Bài 9: B4 Trang 3 Tkhao 1

Bài 10: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

§ 10: CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC

§ 11: CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC

I Tóm tắt lý thuyết

1 Quy tắc chia đơn thức A cho đơn thức B:

• Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B

• Chia từng lũy thừa của biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B

• Nhân các kết quả tìm được với nhau

Ví dụ: 20x4 y3z : 4x2y = 5x2y2z

2 Quy tắc chia đa thức A cho đơn thức B:

Muốn chia đa thức A cho đơn thức B, ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả lạivới nhau

Điều này chứng tỏ A chia hết cho 17

Các đa thức bị chia và đa thức chia trong bài toán này đều đã xắp xếp theo lũy thừa giảm dầncủa một chữ nên thực hiện phép chia này như thực hiện phép chia hai số tự nhiên

3 Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức

§ 12: CHIA ĐA THỨC BIẾN ĐÃ SẮP XẾP

I Tóm tắt lí thuyết.

• Phép chia hai đa thức đã sắp xếp thực hiện tương tự như phép chia hai số tự nhiên

• Đối với hai đa thức một biến A, B tùy ý, B ≠ 0 tồn tại hai đa thức duy nhất Q và P sao cho A

= B.Q + R, trong đó R = 0 hoặc bậc của R thấp hơn bậc của B Khi R = 0 phép chia A cho B làphép chia hết

• Muốn tìm hạng tử cao nhất của đa thức thương Q ta chia hạng tử cao nhất của đa thức bịchia A cho hạng tử cao nhất của đa thức chia B

• Để tìm hạng tử thứ hai của đa thức thương ta chia hạng tử cao nhất của dư thứ nhất cho hạng

tử cao nhất của đa thức chia

• Chia đến khi nào bậc của đa thức dư R bé hơn bậc của đa thức chia B

A được gọi là tử thức (hay tử); B được gọi là mẫu thức (hay mẫu)

• Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1

Bài 4: Cho ad = bc trong đó cd ≠ 0 và c2 ≠ 2d2 Chứng minh rằng 22 2 22

3 Muốn rút gọn một phân thức đại số ta phải:

– Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử;

– Chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung

VD1: Điền đa thức thích hợp vào mỗi chỗ trống trong các đẳng thức sau:

x x

+

= −

4 2 2

20 10 5

8

a a a

2( 2)(4 2 )

Bài 8: Tính giá trị của phân thức A = 33x x−22y y

x xy

x y

−+ (x ≠ 0, y ≠ 0).

a) 3

2x−1 ; b) 2

51

x + ; c) 2

71

x x

++ .

§ 4: QUY ĐỒNG MẪU THỨC CỦA NHIỀU PHÂN THỨC

I Tóm tắt lý thuyết

1 Tìm mẫu thức chung (MTC) của nhiều phân thức

Muốn tìm mẫu thức chung của những phân thức đã cho ta phải:

• Phân tích các mẫu thức thành nhân tử;

• Lấy tích của BCNN của các hệ số với các lũy thừa có mặt trong các mẫu thức, số mũ củamỗi lũy thừa là số mũ cao nhất của nó trong các mẫu thức

2 Cách quy đồng các mẫu thức

Muốn quy đồng mẫu thức ta phải:

• Tìm mẫu thức chung; tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức tương ứng

• Nhân tử thức và mẫu thức của mỗi phân thức với nhân tử phụ

II Các dạng bài tập:

1 Dạng 1: Tìm mẫu thức chung của nhiều phân thức.

VD1: Tìm mẫu thức chung của các phân thức sau

A =

2 2

Ta biết (x – 4)2 + 6 6≥ , vậy (x – 4)2 + 6 nhỏ nhất là 6 khi x = 4

Do đó 2

6(x 4) 6≤ =

− + , vậy giá trị lớn nhất của 2

6(x−4) +6 là 1 khi và chỉ khi x = 4.

Tóm lại giá trị lớn nhất của A = 3 khi và chỉ khi x = 4

a) A = 5 3 2

a b b a

a− + b−+ − với a ≠ 7−3; b ≠ 7

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

2 2

++

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q =

2 2

b) Tìm giá trị của P khi 10a2 + 5a = 3

Bài 20: Tìm giá trị bé nhất của biểu thức: A =

2 2

−+

§ 7: PHÉP NHÂN CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ.

§ 8: PHÉP CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

I Tóm tắt lí thuyết

1 Quy tắc

Muốn nhân hai phân thức đại số ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau Kết quả

là một phân thức với tử thức bằng tích các tử thức, mẫu thức bằng tích các mẫu thức của haiphân thức đã cho

1 Dạng 1: Thực hiện phép nhân các phân thức.

VD1: Thực hiện phép nhân các phân thức

2 Dạng 2: Thực hiện phép chia các phân thức.

VD2: Thực hiện phép chia các phân thức:

8 :6721

c c d d

c)

2

2 2:

7

9

cd ab

25 :153

a b ab cd

−

5 5 20: 20

3 3( 1)

a a

Bài 6: Chứng minh rằng với bất kỳ số tự nhiên n (n ≠ 0) nào thì giá trị của biểu thức A =

§ 9: BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ

GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC

I Tóm tắt lí thuyết

• Biến đổi một biểu thức phân thành một phân thức đại số gọi là phép biến đổi đồng nhất

• Thực chất phép biến đổi đồng nhất là việc thực hiện các phép tính về phân thức đại số trongbiểu thức hữu tỉ

• Giá trị của một biểu thức phân chỉ được xác định với điều kiện giá trị của mẫu thức khác 0

−

−

Dạng 2: Tìm điều kiện để giá trị của phân thức xác định.

VD2: Với giá trị nào của x thì giá trị của mỗi phân thức sau được xác định

Bài 2: Đơn giản biểu thức

2 21

3 2

x x

Bài 7: Tìm giá trị nguyên của x để các phân thức sau có giá trị nguyên:

−  − + + + ÷ ++ không phụ thuộc vào b.

Bài 11: Chứng minh với tất cả các giá trị của x ≠ ±2 thì giá trị của biểu thức:

a) Chứng minh rằng với tất cả các giá trị x ≠ 1

a thì giá trị của P không phụ thuộc vào x.

b) Với giá trị nào của a thì P nhận giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị đó

Bài 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

Bài 14: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau

x x

+

2 2

− + − Tính giá trị của B khi x = 34 và y = 1−2.

Bài 10: Tính giá trị biểu thức:

+ − +

− + + với a = 3−4, b = 1,5; c = 134

Bài 11: Cho biểu thức K =

2 2

c) Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên

Bài 12: Cho biểu thức P = 1 +

Chứng minh rằng với mọi giá trị thích hợp của x thì giá trị của N luôn là một số nguyên

Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

2 . 2 16 8 94

CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT.

• Giá trị x0 của ẩn x để A(x0) = B(x0) được gọi là nghiệm

2 • Tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình gọi là tập nghiệm của phương trình đó

• Giải phương trình là tìm tập nghiệm của phương trình.

• Hai phương trình có cùng một tập nghiệm là hai phương trình tương đương.

3 Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân, ta luôn được một phươngtrình mới tương đương với phương trình đó

4 Nghiệm duy nhất của phương trình ax + b = 0 (a ≠ 0) là: x = –b a

II Các dạng bài tập

1 Dạng 1 Xét xem x = a có là nghiệm của phương trình hay không?

Ví dụ 1 Xét xem x = 4 có là nghiệm của mỗi phương trình sau hay không?

2 Dạng 2: Xét xem hai phương trình có tương đương với nhau không?

Ví dụ 2: Hai phương trình sau có tương đương không, vì sao?

++++++++++++++++

++++++++++++++++

II Bài tập tự luyện

Bài 1: Xét xem trong các số: 1; 2; 1; 2; 3

a) 4(x – 1) = 5 + 4x b) 2(3 – 4x) = –8x

Xác định m để phương trình sau nhận giá trị x = –1 làm nghiệm: 4x + m = x – 2

Bài 3: Không giải phương trình xét xem các cặp phương trình sau có tương đương không?a) 3x + 2 = 2x – 1 và 3x + 4 = 2x + 1

2 Dạng 2 Giải toán bằng cách lập phương trình

Ví dụ 2: Đem một số gấp đôi lên rồi thêm vào 25 thì được 13 Hỏi số đó là bao nhiêu?

GiảiGọi x là số phải tìm, ta có phương trình : 2x + 25 = 13

Giải phương trình ta tìm được x = –6

Vậy số đó là –6

III Bài tập tự luyện

Bài 1 Giải các phương trình sau:

Bài 4 Tìm nghiệm của phương trình:

Bài 8 Đem một số nhân với 4, rồi trừ đi 25 thì được 37 Hỏi số đó là bao nhiêu?

Bài 9 Hiệu các bình phương của hai số nguyên liên tiếp bằng 11 Tìm hai số đó

§ 4: PHƯƠNG TRÌNH TÍCH.

I Nhắc lại lí thuyết

A(x).B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0.

Muốn giải phương trình A(x).B(x) = 0 ta giải phương trình A(x) = 0 và B(x) = 0 rồi lấy tất cảcác nghiệm thu được

Nếu phương trình có một nghiệm bằng 2 Tính các nghiệm còn lại.

Bài 10* Cho 2 và 3 là nghiệm của các phương trình:

2x3 + mx2 – 13x + n = 0 (1)

a) Xác định m và n

b) Tìm nghiệm thứ 3 của phương trình

§ 5 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU

I Nhắc lại lí thuyết

II Các dạng bài tập

1 Dạng 1: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

1 Điều kiện xác định của phương trình

Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình là giá trị của ẩn để tất

cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0

2 Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

• Tìm điều kiện xác định của phương trình.

• Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình rồi khử mẫu thức.

• Giải phương trình vừa nhận được.

• Kết luận: Với giá trị x tìm được, kiểm tra điều kiện xác định của

phương trình rồi viết tập nghiệm