Chuyên đề Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu

Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp Hình đa diện Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu Tất cả các mặt của hình đa diện đều tiếp xúc với mặt cầu Hình trụ Hai đường tròn đáy c

l h

R'

R

CHUYÊN ĐỀ MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Công thức tính thể tích và diện tích xung quanh

Hình nón cụt

1/ Khối chóp: V 1.S.h

3

2/ Lăng trụ: VS.h

noncut

1

3

    ; Sxq  p(R  R ')l

4/ Khối nón: V 1 Bh 1 r h2

   ; Sxq   rl; Stp SxqSday 3/ Khối trụ: V  Sh   r h2 ; Sxq   2 rl; Stp Sxq2Sday

5/ Khối cầu: V 4 r3

3

  S   4 r2

2 Vị trí tương đối

 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

+ OH > R  Mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) không có điểm chung

+ OH = R  Mặt cầu, mặt phẳng tiếp xúc tại H Khi đó:

M

R O

H

P

M

R O

H

P

M

R O

H

P

 Mặt phẳng tiếp xúc gọi là tiếp diện, H gọi là tiếp điểm;

 Tính chất: Tiếp diện vuông góc với bán kính tại tiếp điểm

+ OH < R: Mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn giao tuyến có tâm H và bán kính

+ Nếu OH = 0 (hay O H): Mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn giao tuyến có tâm O và bán kính bằng R

 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

Giả sử đường thẳng () không qua O Khi đó mp(O,)S(O,R) = C(O,R) Gọi OH là các khoảng cách từ O tới ()

+ OH > R  () và (S) không có điểm chung

+ OH = R  () tiếp xúc với (S) tại H Khi đó:

 () gọi là tiếp tuyến, H gọi là tiếp điểm

 Tính chất: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm

+ OH < R  () cắt (S) tại 2 điểm

3 Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp

Hình đa

diện

Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu

Tất cả các mặt của hình đa diện đều tiếp xúc với mặt cầu

Hình trụ Hai đường tròn đáy của hình trụ

nằm trên mặt cầu

Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và mọi đường sinh của hình trụ

Hình nón Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn

đáy của hình nón

Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi đường sinh của hình nón

4 Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

• Cách 1: Tìm một điểm cách đều các đỉnh của đa diện

Xác định điểm O cách đều các đỉnh của hình đa diện Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp

R O

P

(C)



(C)

H

(C)



d

S

A

D

I

M

O

góc vuông thì tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó)

• Cách 2: Xác định trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

B1 Dựng trục d đi qua tâm I của đường tròn ngoại tiếp đa

giác đáy ABCD

B2 Dựng mặt phẳng trung trực   của cạnh bên SA Gọi O là

giao điểm của d và   thì ta có:

 



B3 Kết luận: Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, bán kính mặt cầu là

R = OA

Đặc biệt:

Hình chóp có đường thẳng d là trục của đường tròn đáy  Tâm mặt cầu ngoại tiếp là giao điểm của d và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên (nếu có cạnh bên SA và d đồng phẳng thì dựng đường trung trực của cạnh bên SA đó trong mp (d, SA)

• Cách 3: Sử dụng phương pháp tọa độ

B1 Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp;

B2 Xác định toạ độ các điểm có liên quan;

B3 Sử dụng kiến thức về toạ độ để giải quyết yêu cầu của bài toán

II BÀI TẬP ÁP DỤNG

1 Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích khối tròn xoay

Ví dụ 1 Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ

b) Tính thể tích của khối trụ

c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên

Hướng dẫn giải:

a) OA = 5cm; AA’ = 7cm

Sxq = 2  Rl = 2 OA.AA’ = 2  5.7 = 70  (cm2)

Stp = Sxq + 2Sđáy = 70  + 50  = 120  (cm2)

b) V = 2

R h

.OA OO

 =  52.7 = 175  (cm3)

h

r

l

B' O'

I

A

c) Gọi I là trung điểm của AB  OI = 3cm

 OAIvuông ở I: AI = 4(cm)

AB = 2AI = 2.4 = 8; AA’ = 7;

SABB A  = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình chữ nhật)

Ví dụ 2 Cho hình nón đỉnh S có đường sinh là a, góc giữa đường sinh và đáy là 

a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón

b) Một mặt phẳng hợp với đáy một góc 600 và cắt hình nón theo hai đường sinh SA và

SB Tính diện tích tam giác SAB và khoảng cách từ tâm của đáy hình nón đến mặt

phẳng này

Hướng dẫn giải:

Tính V và Sxq

SAO

 vuông ở O: SO = a.sin  , AO = a.cos

a) * Tính SSAB: Kẻ OHABSHAB, do đó

SHO60

sin 60 3



OH = SO.cot600 =a 3.sin

3



 AOH vuông ở H:

AH2 = AO2 – OH2 = a2.cos2

2

3a sin 9



AH 3cos sin

3



Vậy SSAB =

2a sin 3cos sin

3

1 AB.SH 2



* Tính d(O,(SAB)):

Kẻ OKSHOK(SAB)

OKH

 vuông ở K: OK = OH.sin 600 = a 3 sin 3 a.sin

a

K

H O

B A

S

2 Tìm tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp đa diện

Ví dụ 1 (Hình lăng trụ đứng)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình lập phương đã cho

Hướng dẫn giải:

Áp dụng cách 1: Tìm điểm cách đều các đỉnh

Gọi O là trung điểm của đường chéo AC’ thì O là tâm của hình

lập phương nên O cách đều các đỉnh của hình lập

phương Vậy mặt cầu đi qua 8 đỉnh hình lập phương có tâm O,

bán kính:

r = AC '

2 , AC’ = a 3  r = a 3

2

Ví dụ 2 (Hình chóp đều)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C và D

Hướng dẫn giải:

Áp dụng cách 2: Xác định trục đường tròn

Gọi O là tâm hình vuông ABCD Qua O dựng đường thẳng d

vuông góc mp(ABCD) (d là trục đường tròn ngoại tiếp hình

vuông ABCD) Vì SA = SB = SC = SD nên S  d

Trong mp(SAO), gọi I = d  a (a là đường trung trực đoạn

thẳng SA trong mp(SAO))

Ta có I d nên IA= IB= IC= ID,

I a nên IA = IS,

Do đó IA = IB = IC = ID =IS Vậy I là tâm mặt cầu qua S, A, B, C, D

Ví dụ 3 Cho hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1, đáy ABC là tam giác có góc  0

BAC120 , AB = a,

AC = 2a, đường chéo AB1 của mặt bên ABB1A1 tạo với đáy một góc 750 Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ

Hướng dẫn giải:

Trong tam giác ABC, theo định lý côsin, ta có:

O

C

D A’

B’

C’

D’

BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cos1200=a2 + 4a2 + 2a2 = 7a2

7

mà BC = 2Rsin1200 nên bán kính r của đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABC bằng:

0

7 21

2 sin120 3 3

Theo giả thiết AB1 tạo với đáy một góc 750 nên góc

1

BAB 75 suy ra, trong tam giác vuông ABB1 ta có:

1 tan 75 tan(45 30 ) (2 3)

Gọi E, E1 lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp các

tam giác ABC và A1B1C1 Khi đó, EE1 là trục của các đường

tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy, gọi I là trung điểm BB1 kẻ đường trung trực của BB1 cắt EE1

tại O suy ra OA = OB = OC = OA1 = OB1= OC1 hay O chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình

lăng trụ bán kính R = OB

Ta có OI = EB = r Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông OIB:

OB2 = OI2 + IB2 =

7 (2 3) (49 12 3) 49 12 3

.

Ví dụ 4 Cho hai nửa đường thẳng Ax và By vuông góc với nhau và nhận ABa (a0)là

đoạn vuông góc chung Lấy điểm M trên Ax và điểm N trên By sao cho AMBN2a Xác

định tâm I và tính theo a bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN

Giải

Áp dụng cách 3: Phương pháp tọa độ

Dựng Ay '/ /ByAxAy '

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Axy 'z như sau:

A(0;0;0) ; B(0;0;a) ; M(2a;0;0) N(0;2a;a)



 

vuông nhận MN là cạnh huyền nên trung điểm

a

I a ; a ;

2

  của MN là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN

E 1

A

B

C

A 1

B 1

C 1

M

N

I

O

E

B

N

A

Ta có: MN a( 2 ; 2 ; 1)

Vậy bán kính mặt cầu: R MN 3a

3 Hình trụ, hình cầu, hình nón nội tiếp

Ví dụ 1: Cho hình nón có bán kính đáy R và đường sinh tạo với mặt đáy một góc 600

a) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón

b) Tính bán kính của mặt cầu nội tiếp trong hình nón, suy ra thể tích khối cầu đó

c) Một hình trụ được gọi là nội tiếp hình nón nếu một đường tròn đáy nằm trên mặt xung quanh của hình nón, đáy còn lại nằm trên mặt đáy của hình nón Biết bán kính của hình trụ bằng

một nửa bán kính đáy của hình nón Tính thể tích khối trụ

Hướng dẫn giải:

a) SAB đều  SA2R, SOR 3

2 xq

1

2

3 2



   b) Tâm O’ của mặt cầu thuộc SO

Bán kính mặt cầu r = O’O

3 3

r



 

c) N: trung điểm OB; ON: bán kính hình trụ ON=R

2

3

.ON IO

8



Ví dụ 2: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a và đường cao bằng a 2

a) M và N là hai điểm lưu động trên hai đáy sao cho góc của MN và đáy bằng  Tính khoảng cách từ trục đến MN

b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ tam giác đều ngọai tiếp hình trụ

Hướng dẫn giải:

a) Kẻ đường sinh NN’ ta có NMN '   , kẻ OHMN ' thì OH bằng khoảng cách giữa trục

OO’ và MN

Ta có: MN’ = NN’ cot = a 2.cot 

 vuông OMH: OH2=OM2–MH2=a2 a2 2 a2 2

cot (2 cot )

2   2  

2

2 cot

OH a

2

b) Gọi x là cạnh của tam giác đều ngọai tiếp đường tròn

đáy của hình trụ

Ta có:

VABC.A’B’C’ =

2

Ví dụ 3: Cho hình nón có chiều cao bằng h, góc giữa đường

sinh và đường cao là 

a) Tính diện tích thiết diện của hình nón bởi một mặt

phẳng qua hai đường sinh vuông góc nhau

b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón

c) Tính độ dài đường cao hình trụ nội tiếp trong hình

nón, biết thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông

Hướng dẫn giải:

C'

B'

A'

C

B

A

O'

O

J I

N

N'

H

M

Q

P

N

M

O

B A

S

a) Tính diện tích thiết diện

R = OA =h tan  , SA = h

cos ; SA  SB  SAB vuông cân; SSAB =

2 2

2

SA



b) + Sxq = R.SA .h.tan

cos

 + V =

3 2

c) Đặt OM = x MN2x



Ví dụ 4 Cho mặt cầu đường kính AB =2R Gọi I là điểm trên AB sao cho AI=h Một mặt

phẳng vuông góc với AB tại I cắt mặt cầu theo đường tròn (C)

Tính thể tích khối nón đỉnh A và đáy là (C)

Xác định vị trí điểm I để thể tích trên đạt giá trị lớn nhất

Hướng dân giải:

Gọi EF là 1 đường kính của (C) ta có:

IE2 = IA.IB = h(2Rh)

⇒ R = IE = h(2Rh)

3 3

2

h r

h h

(4 3 )

3 Rh h



3

R h

 

V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi: h 4R

3

 hay AI =4R

3

III BÀI TẬP TỰ LUYỆN

B

O I F E

Bài 1 Thiết diện qua trục của một hình nĩn là một tam giác vuơng cĩ cạnh gĩc

vuơng bằng a

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nĩn

b) Tính thể tích của khối nĩn

c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một gĩc 600 Tính diện tích của thiết diện

này

a)

2

2 xq

a

S   (đvdt); 1 1 2

2 2

tp xq đáy

S S S   a (đvdt)

b)

3

6 2

a

V  (đvtt);

2 2 3

a

S (đvdt)

Bài 2 Cho hình nĩn trịn xoay cĩ đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nĩn

b) Tính thể tích của khối nĩn

c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nĩn cĩ khoảng cách từ tâm của đáy đến

mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm Tính diện tích của thiết diện đĩ

25 1025 xq

S   (cm );Stp  Sxq  Sđáy  25  1025 625 (cm )2 ;

25 20 3

V   (cm ); c) S 500 (cm )2

Bài 3 Cắt hình nĩn đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuơng

cân cĩ cạnh huyền bằng a 2

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nĩn

b) Tính thể tích của khối nĩn

c) Cho dây cung BC của đường trịn đáy hình nĩn sao cho mặt phẳng (SBC) tạo

với mặt phẳng chứa đáy hình nĩn một gĩc 600 Tính diện tích tam giác SBC

a)

2

2 2

xq

a

S   (đvdt);

2

2 1 2

tp xq đáy

( ) a

S S S    (đvdt)

b)

3 2 12

a

V   (đvtt); c)

2

2 3

xq

a

S  (đvdt)

Bài 4 Một hình trụ cĩ đáy là đường trịn tâm O bán kính R, ABCD là hình vuơng nội

tiếp trong đường trịn tâm O Dựng các đường sinh AA’ và BB’ Gĩc của mp(A’B’CD)

với đáy hình trụ là

600

a) Tính thể tích và diện tích tồn phần của hình trụ

b) Tính thể tích khối đa diện ABCDB’A’

6

V R (đvtt); 2

6 1 2

tp xq đáy R ( )

S  S  S    (đvdt)

b) V  R3 6 (đvtt)

Bài 5 Cho hình trụ cĩ thiết diện qua trục là hình vuơng ABCD cạnh 2 3 cm với AB

là đường kính của đường trịn đáy tâm O Gọi M là điểm thuộc AB sao cho

ABM  60 Tính thể tích của khối tứ diện ACDM

V 3.3.2 3 3 cm 6

Bài 6 Một hỡnh trụ cú bỏn kớnh r và chiều cao h = r 3

a) Tớnh diện tớch xung quanh và diện tớch toàn phần của hỡnh trụ

b) Tớnh thể tớch của khối trụ tạo nờn bởi hỡnh trụ đó cho

c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trờn hai đường trũn đỏy sao cho gúc giữa

đường thẳng AB và trục của hỡnh trụ bằng 300 Tớnh khoảng cỏch giữa đường thẳng

AB và trục của hỡnh trụ

3 xq

S  2 r (ủvdt); 2

3 1 2

tp xq ủaựy ( ) r

S  S  S    (ủvdt)

b) V r3 3(ủvtt); c) r 3

O ' H

2



Bài 7 Bờn trong hỡnh trụ cú một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà A, B thuộc

đ-ờng tròn đáy thứ nhất và C, D thuộc đ-ờng tròn đáy thứ hai của hình trụ mặt

phẳng hình vuông tạo với đáy hình trụ một gúc 450 Tớnh thể tớch khối trụ

8 2 16

V a a  a (ủvtt)

Bài 8 Cho hỡnh lăng trụ tứ giỏc đều ABCD.A’B’C’D’ cú cạnh đỏy bằng a và đường chộo tạo

với đỏy một gúc 45 Tớnh thể tớch của khối cầu ngoại tiếp hỡnh lăng trụ

Đỏp số: V 4 3

3 a

  (đvtt)

Bài 9 Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc đều ABC.A’B’C’ cú tất cả cỏc cạnh đều bằng a Tớnh thể tớch

của khối lăng trụ và diện tớch của mặt cầu ngoại tiếp hỡnh lăng trụ theo a

Đỏp số:

3

a 3 V

4

2

7 a S 3





Bài 10 Cho lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều các cạnh đều bằng a, cạnh bên bằng b

Tính thể tích mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ

Đỏp số:

3

2 2 2

1

18 3 (4 3 )

Bài 11 (TSĐH B-2010) Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc đều ABC.A’B’C’ cú AB = a, gúc

giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600 Gọi G là trọng tõm tam giỏc A’BC

Tớnh thể tớch khối lăng trụ đó cho và tớnh bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC

theo a

Đỏp số: V =

2

a 3 3a

4 2 =

3 3a 3

8 (đvtt); R = 7

12

a

Hỡnh chúp cú cạnh bờn vuụng gúc với đỏy

• Trong trường hợp hỡnh chúp cú một cạnh bờn vuụng gúc với đỏy thỡ trục của

đường trũn ngoại tiếp đa giỏc đỏy và cạnh bờn này luụn đồng phẳng

• Những bài toỏn dạng này cú thể sử dụng phương phỏp tọa độ để làm

Bài 12 Xỏc định tõm và bỏn kớnh của mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp SABC biết SA

vuụng gúc với đỏy, SA = 2a, ABC là tam giỏc đều cạnh a

6

R a

Bài 13 Cho tứ diện ABCD cú DA = 5a và vuụng gúc với mp(ABC),  ABC vuụng tại B

và AB=3a, BC = 4a

a) Xỏc định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D

b) Tớnh bỏn kớnh của mặt cầu núi trờn Tớnh diện tớch và thể tớch của mặt cầu

2

a

50

S a (đvdt);

3

125 2 3

a

Bài 14 Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA=a; AB=AC=b,

60

BAC  Xác định tâm và bán hình cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC

Đỏp số:

2 2

R

4 3

 

Bài 15 (TNPT–2006) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a Cạnh bờn

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b) Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

2 3

V  a

Ngoài việc cho một cạnh bên vuông góc với đáy trực tiếp như trên thì có những bài toán

cạnh bên như thế là giao tuyến của hai mặt bên cùng vuông góc với đáy :

Bài 16 Cho hình chóp S.ABCD Hai mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy Đáy ABCD là

tứ giác nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD biết SA = h

Trục đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD là đường thẳng qua O và song song với SA

Đáp số :

2 2 4

h R

Bài 17 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, hai mặt bên SAB và SAC cùng

vuông góc với đáy, SB = a, SCa 2, góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 0

30 a) Tính thể tích khối chóp S.ABC

b) Xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và tính thể tích khối cầu tương ứng

Đáp số : a)

24

3

3

a

V  ; b) Tâm I là trung điểm SC; 3

3

1

a

Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy

Với hình chóp có một mặt bên (P) vuông góc với đáy thì trục d của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy thường là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) hoặc là một đường thẳng song song với một đường nằm trong (P) và vuông góc với đáy

Bài 18 Cho tứ diện ABCD có AB = AC = a; BC = b Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc

90

Đáp số:

2

2 2

4

a R



