Logic mờ và ứng dụng

Trên cơ sở nghiên cứu các tài liệu ở mục tài liệu tham khảo, tác giả sẽtrình bày các kiến thức cơ sở của logic mờ gồm: tập mờ, các phép toán trên tập mờ, logic mờ và một số ứng dụng của

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

BÙI THỊ KIM CHI

LOGIC MỜ VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

BÙI THỊ KIM CHI

LOGIC MỜ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Đình Nam

MỤC LỤC

1.1 Tập mờ và các khái niệm cơ bản 1

1.1.1 Khái niệm tập mờ 1

1.1.2 Các kiểu hàm thuộc của tập mờ 3

1.1.3 Các đặc trưng của tập mờ 7

1.2 Các phép toán trên tập mờ 8

1.2.1 Phép hợp 9

1.2.2 Phép giao 9

1.2.3 Phép lấy phần bù 10

1.2.4 Tích Descartes giữa hai (nhiều) tập mờ 13

1.2.5 Các tính chất liên quan 13

1.3 Một số cách tiếp cận khác 17

1.3.1 Định nghĩa tổng quát của phép giao 17

1.3.2 Định nghĩa tổng quát của phép hợp 19

1.3.3 Định nghĩa tổng quát của phép lấy phần bù 22

2 Logic mờ 25 2.1 Quan hệ mờ 25

2.1.1 Định nghĩa 25

2.1.2 Các phép toán trên quan hệ mờ 26

2.1.3 Tính chất 27

2.2 Logic mờ 27

2.2.1 Biến ngôn ngữ và mệnh đề mờ 27

2.2.2 Phép phủ định 31

2.2.3 Phép hội 32

2.2.4 Phép tuyển 32

2.2.5 Một số quy tắc với phép hội và phép tuyển 35

2.2.6 Luật De Morgan 36

2.2.7 Phép kéo theo 36

2.2.8 Phép hợp thành 44

2.3 Suy luận theo logic mờ 48

2.3.1 Phương pháp lập luận xấp xỉ trên tập mờ 48

2.3.2 Luật modus ponens tổng quát 55

2.3.3 Luật modus tollens tổng quát 59

3 Ứng dụng của logic mờ 68 3.1 Ứng dụng của logic mờ vào việc xác định thời gian làm bài thi trắc nghiệm khách quan môn Toán 68

3.1.1 Giới thiệu chung 68

3.1.2 Mờ hoá dữ liệu 69

3.1.3 Nhập dữ liệu 74

3.2 Hệ thống mờ - thị giác màu sắc 75

3.3 Điều khiển mờ 76

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đếnngười thầy, người hướng dẫn khoa học của mình, TS Lê Đình Nam, người đãđưa ra đề tài, luôn quan tâm và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiêncứu của tác giả Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong khoa Toán, cácthầy cô trong bộ môn Đại số đã giúp đỡ, góp ý kiến chỉ bảo để tác giả hoànthành luận văn cũng như trong suốt khóa học vừa qua Tác giả cũng xin gửi lờicảm ơn tới các thầy cô Khoa đào tạo Sau đại học, Ban giám hiệu Trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội đã tạo mọi điều kiện cho tác giả trong thời gian học tậptại trường Đồng thời, tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, đặc biệt

là các thành viên trong lớp Đại số K25, đã động viên và cổ vũ rất nhiều trongsuốt thời gian vừa qua

Hà Nội, tháng 05 năm 2017

Học viênBùi Thị Kim Chi

LỜI MỞ ĐẦU

Trong cuộc sống, con người truyền thông tin cho nhau chủ yếu bằng ngônngữ tự nhiên Mặc dù ngôn ngữ tự nhiên thường đa nghĩa, không chính xác vàkhông đầy đủ nhưng nó vẫn là phương tiện truyền thông tin mạnh mẽ và thôngdụng nhất giữa con người với nhau Nhưng con người thường hiểu đúng và ítkhi hiểu sai những điều mà người khác muốn nói với mình Tham vọng của cácnhà toán học, logic học và công nghệ thông tin là muốn xây dựng cho máy móckhả năng suy diễn và xử lý thông tin, tương tự như bộ óc của con người Nhưvậy, vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để máy tính hiểu được những tri thứcdiễn đạt bằng ngôn ngữ tự nhiên Để đạt được điều này trước hết, người ta cầnphải xây dựng một lý thuyết logic toán cho phép mô tả chính xác ý nghĩa củacác mệnh đề không rõ ràng, đa nghĩa (hay còn gọi là "mờ")

Trong logic toán cổ điển, một mệnh đề chỉ có thể đúng hoặc sai, nói cáchkhác nó có giá trị chân lý là 1 hoặc 0 Nhưng trong lập luận hằng ngày củachúng ta xuất hiện các mệnh đề đúng, sai không rõ ràng ví dụ như mệnh đề "xemáy đi với vận tốc 60 km/h là nhanh" thì đối với một số người là đúng, đối vớimột số người khác lại là sai Do đó, từ nhanh là một khái niệm mơ hồ, khôngchính xác hay chắc chắn Ngoài ra, có rất nhiều từ khác cũng rơi vào tình trạngtương tự như: chậm, giỏi, cao, thấp, giàu, nghèo, Như vậy, trong cuộc sống

ta còn gặp rất nhiều những mệnh đề đúng, sai không rõ ràng (gọi là các mệnh

đề "mờ") Chính vì thế, ta cần mở rộng lý thuyết logic cổ điển thành lý thuyếtmới để làm việc tốt hơn với các mệnh đề "mờ"

Vào những năm 1960, Lotfi Zadeh, một nhà logic học và cũng là nhà toánhọc người Hà Lan, đã xây dựng thành công lý thuyết tập mờ và hệ thống logic

mờ trên cơ sở logic cổ điển đã biết trước đó Phát minh này của Lotfi Zadeh đãcho phép người ta có thể lượng hoá giá trị các mệnh đề mờ, nhờ đó truyền đạtmột số thông tin cho máy móc qua ngôn ngữ tự nhiên, và chúng có thể “hiểu”khá chính xác nội dung của những thông tin đó và xử lý thông tin mềm dẻo và

linh hoạt hơn Đây là một bước tiến có tính đột phá trong việc lượng hoá nhữngmệnh đề của ngôn ngữ tự nhiên (có giá trị nội dung “không rõ ràng”) sang ngônngữ nhân tạo.

Vì vậy, đề tài nghiên cứu của luận văn được chọn là “Logic mờ và ứngdụng”

Trên cơ sở nghiên cứu các tài liệu ở mục tài liệu tham khảo, tác giả sẽtrình bày các kiến thức cơ sở của logic mờ gồm: tập mờ, các phép toán trên tập

mờ, logic mờ và một số ứng dụng của logic mờ

Ngoài các phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm cácchương sau:

Chương 1 Lý thuyết tập mờ

Chương 1, tác giả trình bày các khái niệm cơ bản của tập mờ: khái niệmtập mờ, các kiểu hàm thuộc trên tập mờ, các hàm đặc trưng của tập mờ Bêncạnh đó, tác giả cũng trình bày các phép toán trên tập mờ, các tính chất củacác phép toán, giữa các phép toán và một số cách tiếp cận khác của phép giao,hợp, lấy phần bù

Chương 2 Logic mờ

Trong chương 2, tác giả tập trung chủ yếu đi sâu tìm hiểu về logic mờ Đầutiên, tác giả trình bày về biến ngôn ngữ và mệnh đề mờ Sau đó, tác giả trìnhbày các toán tử logic thường gặp: phép hội, phép tuyển, phép kéo theo, phéphợp thành Trên cơ sở này, tác giả trình bày phương pháp lập luận xấp xỉ trêntập mờ và hai luật: modus ponens tổng quát, modus tollens tổng quát Đây làcông cụ quan trọng nhất để đưa logic mờ gần hơn với cuộc sống

Chương 3 Ứng dụng của logic mờ

Trong chương này, tác giả sử dụng suy diễn mờ để tìm hiểu ứng dụng củacủa logic mờ vào việc xác định thời gian làm bài thi trắc nghiệm khách quanmôn Toán nếu biết tổng số câu của đề thi và độ khó của đề thi Bên cạnh đó,tác giả cũng nêu ra hai ứng dụng khác của logic mờ: hệ thống mờ, điều khiển

mờ Nhưng vì khuôn khổ luận văn không cho phép nên tác giả không đi sâu vàohai ứng dụng này

Do đó ta có thể xây dựng một hàm thuộc để đánh giá độ thuộc của một phần

tử vào một tập hợp

Lý thuyết tập mờ cho phép chúng ta đánh giá nhiều mức độ khác nhau vềkhả năng một phần tử có thể thuộc hay không thuộc một tập hợp Do đó, ta cóthể định nghĩa một cách hình thức như sau:

Định nghĩa 1.1 Cho U là tập nền, một tập con mờ A trên U được xác địnhbởi một ánh xạ µA : U → [0; 1]; u 7→ µA(u)

Ánh xạ µA được gọi là hàm thuộc

+ µA(u) ∈ [0; 1] chỉ mức độ mà phần tử u thuộc về tập mờ A

+ µA(u) = 0 nghĩa là u chắc chắn không thuộc A

+ µA(u) = 1 nghĩa là u chắc chắn thuộc A

Một tập con mờ A trên tập nền U có thể được biểu diễn như sau:

• Nếu tập U là tập rời rạc, hữu hạn thì

+ A = {(u, µA(u))|u ∈ U }

+ A = P

u∈U

µA(u)u

• Nếu tập U là tập liên tục hoặc không đếm được thì A =R

U

µA(u)uChú ý hai kí hiệu P

A = {(u1, 0.3); (u2, 0.5); (u3, 0.7); (u4, 0.6); (u5, 0); (u6, 0.5); (u7, 0); (u8, 0); (u9, 1)}.(ii) Cho tập nền U = {cam, đào, nho, bưởi, ổi}

Ta xét ánh xạ µA : U → [0; 1]

cam 7→ 0đào 7→ 0.34nho 7→ 0.48bưởi 7→ 1

ổi 7→ 0.82Khi đó ta có tập mờ A = {(cam, 0); (đào, 0.34); (nho, 0.48); (bưởi, 1); (ổi, 0.82)}.(iii) Cho tập nền U

Ta xét ánh xạ µA : U → [0; 1]

x 7→ µA(x) := x

x + 2Khi đó A = R

[0;5]

x(x + 2)xThuật ngữ "tập mờ" mục đích dùng để phân biệt với "tập rõ" (tập hợptheo nghĩa cổ điển) Thực ra chính xác nhất ta phải dùng thuật ngữ "tập conmờ" của một tập nền nào đó Tuy nhiên để cho gọn ta dùng "tập mờ" thay cho

"tập con mờ" mà không gây sai sót hay hiểu lầm nào cả

Từ định nghĩa tập mờ, ta suy ra các khái niệm sau:

Cho A, B là hai tập mờ trên tập nền U

+ Tập mờ A trên tập nền U được gọi là rỗng nếu µA(a) = 0 ∀a ∈ U

1.1.2 Các kiểu hàm thuộc của tập mờ

Dưới đây là một số kiểu hàm thuộc tiêu biểu:

Hàm thuộc này gọi là hàm thuộc tam giác.

Hàm thuộc được gọi là tam giác đối xứng nếu nó là hàm thuộc tam giác và

Tập mờ hình thang là tập mờ có hàm thuộc xác định bởi 4 giá trị a < b <

c < d theo công thức sau: (với mọi h ≤ 1)

4 Tập mờ Gamma tuyến tính (hay L trái)

Tập mờ Gamma tuyến tính (hay L trái) là tập mờ có hàm thuộc xác định

bởi 2 giá trị a < b theo công thức sau: (với mọi h ≤ 1)

Hình 1.5: Tập mờ Singleton

1.1.3 Các đặc trưng của tập mờ

Các đặc trưng của một tập mờ A là những thông tin để mô tả về các phần

tử liên quan đến tập mờ A, những đặc trưng này chỉ rõ sự khác biệt của tập mờ

A so với tập con cổ điển ta biết trước đó

Định nghĩa 1.3 Giá của một tập mờ A (suppA) là tập các phần tử có giá trịhàm thuộc lớn hơn 0 trong tập mờ A

Như vậy, ker(A) 6= ∅ ⇔ A là tập mờ chuẩn hoá.

Định nghĩa 1.7 Lực lượng của tập mờ A được kí hiệu và xác định như sau:

|A| = X

u∈U

µA(u)

Nếu A là tập rõ thì µA(u) = 1∀u ∈ A nên tổng trên bằng số phần tử của tập

A Điều này trùng với định nghĩa về lực lượng của tập hợp cổ điển

Định nghĩa 1.8 Tập mức α của A (hay còn được gọi là α− nhát cắt), kí hiệu

là Aα là tập các phần tử có giá trị hàm thuộc lớn hơn hoặc bằng α với α ∈ [0; 1]

Aα = {u ∈ U |µA(u) ≥ α}

Chú ý rằng, tập mức α của một tập mờ A là một tập rõ, các phần tử của nóhoàn toàn được xác định

A = {(u1, 0.3); (u2, 0.5); (u3, 0.7); (u4, 0.6); (u5, 0); (u6, 0.5); (u7, 0); (u8, 0); (u9, 1)}.Khi đó ta có:

suppA = {u1, u2, u3, u4, u6, u9}

h(A) = sup{µA(u)|u ∈ U } = 1(do có µA(u9) = 1)

Khi đó ta thấy tập mờ A là chuẩn hoá

Cho A và B là hai tập mờ trên tập nền U với hàm thuộc lần lượt là µA, µB

1.2.1 Phép hợp

Định nghĩa 1.10 Hợp của hai tập mờ A và B, kí hiệu A ∪ B là một tập

mờ trên U với hàm thuộc được kí hiệu và xác định như sau:

µA∪B(u) = max{µA(u), µB(u)}, ∀u ∈ U

Ta có thể biểu diễn hợp hai tập mờ bằng hình vẽ như sau:

Hình 1.6: Hợp hai tập mờ

Phép hợp hai tập mờ có tính chất giao hoán và kết hợp như trong lý thuyết tậphợp cổ điển

1.2.2 Phép giao

Định nghĩa 1.11 Giao của hai tập mờ A và B, kí hiệu A ∩ B là một tập

mờ trên U với hàm thuộc được kí hiệu và xác định như sau:

µA∩B(u) = min{µA(u), µB(u)}, ∀u ∈ U

Ta có thể biểu diễn giao hai tập mờ bằng hình vẽ như sau:

µA(u) = 1 − µA(u), ∀u ∈ U

Ta có thể biểu diễn phần bù của tập mờ bằng hình vẽ như sau:

Hình 1.8: Phần bù của tập mờ

Phép lấy phần bù có các tính chất:

(i) Đối với các tập con cổ điển trên tập nền U , ta luôn có A ∩ A = ∅ và

A ∪ A = U , nhưng đối với các tập mờ thì hai tính chất này nói chung khôngđúng, nghĩa là:

A là tập các học sinh học giỏi môn Toán

B là tập các học sinh học giỏi môn Văn

+ Tập các học sinh học giỏi Văn hoặc Toán là A ∪ B

Trước hết ta định nghĩa tích Descartes của hai tập mờ A và B trên hai tập nền

U , V (giả sử U , V là độc lập với nhau.)

Định nghĩa 1.15 Cho A, B là hai tập mờ có các hàm thuộc tương ứng là

µA, µB trên các tập nền lần lượt là U , V Khi đó tích Descartes của hai tập

mờ A và B, kí hiệu A × B là một tập mờ trên U × V, với hàm thuộc được kíhiệu và xác định như sau:

µA×B(u, v) = min{µA(u), µB(v)}, ∀(u, v) ∈ U × VTương tự như trong lý thuyết tập hợp cổ điển, ta có thể mở rộng định nghĩacho tích Descartes của k tập mờ trên các tập nền độc lập

Định nghĩa 1.16 Tích Descartes của k tập mờ A1, A2, , Ak trên các tậpnền U1, U2, , Uk là một tập con mờ kí hiệu A1× A2× × Ak trên tập nền

U1× U2× × Uk với hàm thuộc được kí hiệu và xác định như sau:

µA1×A2× ×Ak(u) = min{µA1(u1), µA2(u2), , µAk(uk)}

∀u = (u1, u2, , uk) ∈ U1× U2× × UkDựa trên định nghĩa về tích Descartes của các tập con mờ, ta sẽ nghiên cứucác quan hệ mờ ở các phần tiếp theo

a Tính giao hoán là hiển nhiên.

b Tính kết hợp

+

µA∪(B∪C)(u) = max{µA(u), µB∪C(u)}

= max{µA(u), max{µB(u), µC(u)}}

= max{µA(u), µB(u), µC(u)}

+

µ(A∪B)∪C(u) = max{µA∪B(u), µC(u)}

= max{max{µA(u), µB(u)}, µC(u)}

= max{µA(u), µB(u), µC(u)}

Do đó có

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

µA∩(B∩C)(u) = min{µA(u), µB∩C(u)}

= min{µA(u), min{µB(u), µC(u)}}

= min{µA(u), µB(u), µC(u)}

+

µ(A∩B)∩C(u) = min{µA∩B(u), µC(u)}

= min{min{µA(u), µB(u)}, µC(u)}

= min{µA(u), µB(u), µC(u)}

Do đó có

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

c Tính phân phối của phép giao và phép hợp

+

µA∪(B∩C)(u) = max{µA(u), µB∩C(u)}

= max{µA(u), min{µB(u), µC(u)}}

= min{max{µA(u), µB(u)}, max{µA(u), µC(u)}}

= min{µA∪B(u), µA∪C(u)}

= µ(A∪B)∩(A∪C)(u)

Do đó có

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

+

µA∩(B∪C)(u) = min{µA(u), µB∪C(u)}

= min{µA(u), max{µB(u), µC(u)}}

= max{min{µA(u), µB(u)}, min{µA(u), µC(u)}}

= max{µA∩B(u), µA∩C(u)}

A ⊆ B ⇔ µA(u) ≤ µB(u) ∀u ∈ U

B ⊆ C ⇔ µB(u) ≤ µC(u) ∀u ∈ U

Do đó có µA(u) ≤ µC(u) ∀u ∈ U

µA∪B(u) = 1 − µA∪B(u)

= 1 − max{µA(u), µB(u)}

= min{1 − µA(u), 1 − µB(u)}

= min{µA(u), µB(u)}

= µA∩B(u)

Do đó có

A ∪ B = A ∩ B

+

µA∩B(u) = 1 − µA∩B(u)

= 1 − min{µA(u), µB(u)}

= max{1 − µA(u), 1 − µB(u)}

= max{µA(u), µB(u)}

= µA∪B(u)

Do đó có

A ∩ B = A ∩ B

1.3 Một số cách tiếp cận khác

1.3.1 Định nghĩa tổng quát của phép giao

Định nghĩa 1.17 Hàm T : [0, 1]2 7→ [0, 1] được gọi là một hàm t- chuẩn (hay t- norm) nếu thoả mãn các điều kiện sau:

(i) T (1, x) = x, ∀x ∈ [0, 1]

(ii) T có tính giao hoán: T (x, y) = T (y, x), ∀x, y ∈ [0, 1]

(iii) T không giảm theo nghĩa T (x, y) ≤ T (u, v),

∀0 ≤ x ≤ u ≤ 1, 0 ≤ y ≤ v ≤ 1

(iv) T có tính chất kết hợp: T (x, T (y, z)) = T (T (x, y), z), ∀x, y, z ∈ [0, 1]

Tiên đề (iv) đảm bảo tính thác triển duy nhất cho hàm nhiều biến

Một vài ví dụ về hàm t- chuẩn

1 t- chuẩn Min (Zadeh 1965) : T (x, y) = min(x, y)

2 t- chuẩn dạng tích : T (x, y) = xy

3 t- chuẩn Lukasiewicz : T (x, y) = max(x + y − 1, 0)

4 min nilpotent (Fodor 1993) : T (x, y) =

Z(x, y) ≤ T (x, y) ≤ min(x, y) ∀0 ≤ x, y ≤ 1

Do đó ta có thể định nghĩa phép giao như sau:

Cho hai tập mờ A, B trên cùng tập nền U với các hàm thuộc lần lượt kí hiệu làA(u), B(u) Cho T là một t- chuẩn

Định nghĩa 1.18 Ứng với mỗi t- chuẩn T , phép giao (tổng quát) của hai tập

mờ A, B là một tập mờ được kí hiệu là A ∩T B trên tập nền U với hàm thuộcxác định như sau:

(A ∩T B)(u) = T (A(u), B(u)), ∀u ∈ U

Việc lựa chọn phép giao nào tức là việc lựa chọn t- chuẩn nào để làm việc

và tính toán hoàn toàn phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể mà bạn đang quantâm

Chú ý rằng, trong định nghĩa phép giao ở mục trước, ta chọn t- chuẩn Min.Một số định nghĩa tập giao khác

• Hamacher, 1978 đề nghị dùng

p + (1 − p)[A(u) + B(u) − A(u)B(u)], p ≥ 0, ∀u ∈ U

• Yager, 1980 xét phép giao hai tập mờ A, B với hàm thuộc như sau:

(A ∩T B)(u) = 1 − min{1, ((1 − A(u))p+ (1 − B(u))p)1p}, p ≥ 1, ∀u ∈ U

• Dubois và Prade đề nghị dùng phép giao với hàm thuộc phụ thuộc tham sốt:

+ Nếu chọn t- chuẩn Lukasiewicz: T (x, y) = max(x + y − 1, 0) Khi đó

A ∩T B(1) = max{A(1) + B(1) − 1, 0} = max{0.5 + 1/3 − 1, 0} = 0

Tương tự ta có:

A ∩T B = ∅+ Nếu chọn t- chuẩn min nilpotent (Fodor 1993)

1.3.2 Định nghĩa tổng quát của phép hợp

Định nghĩa 1.20 Hàm S : [0, 1]2 7→ [0, 1] được gọi là một hàm t- đối chuẩn(hay t- conorm) nếu thoả mãn các điều kiện sau:

(i) S(0, x) = x, ∀x ∈ [0, 1]

(ii) S có tính giao hoán: S(x, y) = S(y, x), ∀x, y ∈ [0, 1]

(iii) S không giảm theo nghĩa S(x, y) ≤ S(u, v),

∀0 ≤ x ≤ u ≤ 1, 0 ≤ y ≤ v ≤ 1

(iv) S có tính chất kết hợp: S(x, S(y, z)) = S(S(x, y), z), ∀x, y, z ∈ [0, 1]

Một vài ví dụ về hàm t- đối chuẩn

max(x, y) ≤ S(x, y) ≤ Z0(x, y) ∀0 ≤ x, y ≤ 1

Do đó ta có thể định nghĩa phép hợp như sau:

Cho hai tập mờ A, B trên cùng tập nền U với các hàm thuộc lần lượt kí hiệu làA(u), B(u) Cho S là một t- đối chuẩn

Định nghĩa 1.21 Ứng với mỗi t- đối chuẩn S, phép hợp (tổng quát) của haitập mờ A, B là một tập mờ được kí hiệu là A ∪S B trên tập nền U với hàmthuộc xác định như sau:

(A ∪SB)(u) = S(A(u), B(u)), ∀u ∈ UViệc lựa chọn phép hợp nào tức là việc lựa chọn t- đối chuẩn nào để làm việc

và tính toán hoàn toàn phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể mà bạn đang quantâm

Chú ý rằng, trong định nghĩa phép hợp ở mục trước, ta chọn t- đối chuẩn Max.Một số định nghĩa phép hợp khác

• Hamacher, 1978 đề nghị dùng

(A ∪SB)(u) = (q − 1)A(u)B(u) + A(u) + B(u)

1 + qA(u)B(u) , q ≥ −1, ∀u ∈ U

• Yager, 1980 xét phép hợp hai tập mờ A, B với hàm thuộc như sau:

(A ∪S B)(u) = min{1, ((A(u)p+ B(u)p)1p}, p ≥ 1, ∀u ∈ U

• Dubois và Prade đề nghị dùng phép hợp với hàm thuộc phụ thuộc tham sốt:

(A ∪SB)(u) = A(u) + B(u) − A(u)B(u) − min{A(u), B(u), 1 − t}

max(1 − A(u), 1 − B(u), t) ,

A ∪S B(1) = A(1) + B(1) − A(1)B(1) = 0.5 + 1/3 − 0.5 × 1/3 = 12/3Tương tự ta có:

+ Nếu chọn t- đối chuẩn S(x, y) =

1.3.3 Định nghĩa tổng quát của phép lấy phần bù

Định nghĩa 1.23 Hàm n : [0, 1] 7→ [0, 1] không tăng thoả mãn các điều kiệnn(0) = 1, n(1) = 0 được gọi là hàm phủ định (hay phép phủ định)

Một vài ví dụ về hàm phủ định

1 n(x) = 1 − x

2 n(x) = 1 − x2

Định nghĩa 1.24 Cho n là một hàm phủ định, phần bù A của một tập mờ

A là một tập mờ với hàm thuộc được xác định như sau:

µA(u) = n(µA(u)), ∀u ∈ UViệc lựa chọn phép lấy phần bù nào tức là việc lựa chọn phép phủ định nào

để làm việc và tính toán hoàn toàn phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể mà bạnđang quan tâm

Chú ý rằng, trong định nghĩa phép lấy phần bù ở mục trước, ta chọn phép phủđịnh là n(x) = 1 − x

Để giúp người đọc hiểu rõ hơn về khái niệm cũng như các phép toántrên tập mờ, tác giả xin đề nghị một số bài tập tự luyện sau:

a Hãy biểu diễn các tập mờ A, B, C dưới dạng đồ thị.

b Hãy vẽ hình biểu diễn các tập mờ:

Từ đó kết luận rằng |A| + |A| = 6 = số các số nguyên trên đoạn [0,5]

Có thể kết luận tương tự với tập mờ B và C như vậy không?

Bài tập 4 Cho tập A, B là các tập rõ (tập con trong lý thuyết tập hợp cổđiển) Hãy xây dựng các hàm thuộc để biểu diễn các tập sau: A ∪ B, A ∩ B, A,

a Tìm giá của các tập mờ sau: A, B, C, A ∪ B, C ∩ A

b Tìm chiều cao của các tập mờ sau: A, B, C, A ∩ B, A ∪ C

c, Tìm hạt nhân của các tập mờ sau: A, B, C, A ∪ B, C ∩ A

d Tìm A0.1, B0.3, C0.6

Bài tập 6 Cho A là tập con mờ trên tập nền U Chứng minh rằng với mọi

α, α0 ∈ [0, 1] nếu α ≥ α0 thì Aα ⊆ Aα0, trong đó Aα, Aα0 tương ứng là các tậpmức α và α0 của A

Bài tập 7 Cho A, B là hai tập con mờ trên tập nền U Chứng minh rằng vớimọi α ∈ [0, 1], ta có:

x + 3, µC =

3

x + 6.Hãy xác định các tập mờ sau: A × B, B × C, A × C, A × B × C

Bài tập 10 Chứng minh rằng tập tất cả các tập con mờ của một tập nền nào

đó với các phép toán: giao, hợp, lấy phần bù lập thành một đại số Boole, nhưđại số các tập con của một tập

2.1.2 Các phép toán trên quan hệ mờ

Định nghĩa 2.3 Cho R1, R2 là hai quan hệ mờ trên X × Y

(a) Quan hệ R1∪ R2 với µR1∪R2(x, y) = max{µR1(x, y), µR2(x, y)},

∀(x, y) ∈ X × Y

(b) Quan hệ R1∩ R2 với µR1∩R2(x, y) = min{µR1(x, y), µR2(x, y)},

∀(x, y) ∈ X × Y

Định nghĩa 2.4 Quan hệ mờ trên những tập mờ

Cho A là tập mờ với hàm thuộc µA(x) trên tập nền X, B là tập mờ với hàmthuộc µB(y) trên tập nền Y Khi đó quan hệ mờ trên các tập mờ A, B là quan

hệ mờ R trên X × Y thoả mãn các điều kiện:

µR(x, y) ≤ µA(x), ∀y ∈ Y

µR(x, y) ≤ µB(y), ∀x ∈ XĐịnh nghĩa 2.5 Cho quan hệ mờ R trên X × Y

Phép chiếu của R lên X là: projX = {(x, maxyµR(x, y)) : x ∈ X}

Phép chiếu của R lên Y là: projY = {(y, maxxµR(x, y)) : y ∈ Y }

Định nghĩa 2.6 Cho quan hệ mờ R trên X × Y Thác triển R lên không giantích X × Y × Z là:

extXY ZR = {(x, y, z)|µext(x, y, z) = µR(x, y), ∀z ∈ Z}

Trong đời sống hằng ngày, chúng ta vẫn thường nói: "nhiệt độ cao", "nhiệt

độ trung bình", "nhiệt độ thấp" Chúng ta có thể xem biến "nhiệt độ" lấy các

từ "cao, "trung bình", "thấp" làm các giá trị của nó

Ta có thể hiểu nôm na như sau: Khi một biến nhận các từ trong ngôn ngữ

tự nhiên làm các giá trị thì biến đó gọi là biến ngôn ngữ

Khái niệm biến ngôn ngữ được Zadeh xây dựng năm 1973 như sau:

Định nghĩa 2.7 Một biến ngôn ngữ được xác định bởi bộ bốn (x, T, U, M ).Trong đó:

+ x: tên biến

+ T : tập nào đó mà x có thể nhận

+ U : miền các giá trị vật lý mà biến x có thể nhận

+ M : luật ngữ nghĩa, tức là gắn t ∈ T với một tập mờ At trên miền U

Ví dụ 2.8 (i) Nếu x là "tốc độ" thì:

+ T có thể là

T = { rất chậm(VS), chậm(S), trung bình(M), nhanh(F), rất nhanh(VF)}+ U có thể là U = [0, 130] nghĩa là ta xét tốc độ từ 0 km/h đến 130 km/h.+ M là luật ngữ nghĩa: các từ "rất chậm", "chậm", "trung bình", "nhanh",

"rất nhanh" là các tập mờ được xác định bởi hình vẽ sau:

Hình 2.1: Hàm thuộc của các giá trị của biến ngôn ngữ

(ii) Nếu x là "diện tích" thì:

+ T có thể là T = { nhỏ xíu, bé, trung bình, lớn, mênh mông}

+ U có thể là U = [0, 150] nghĩa là ta xét diện tích căn hộ cho 3 người ở

Mệnh đề mờ

Một mệnh đề có thể hiểu là một phát biểu, một khẳng định, một tuyên

bố thông qua việc sử dụng ngôn ngữ tự nhiên hoặc ngôn ngữ nhân tạo (cáccông thức toán, ngôn ngữ lập trình, ) Chẳng hạn: "Hôm nay trời mưa" hay

"2 > 5" là các mệnh đề Khi mệnh đề đó chắc chắn đúng hoặc chắc chắn sai, ta

có một mệnh đề theo nghĩa cổ điển còn gọi là mệnh đề rõ (mệnh đề là một câukhẳng định đúng hoặc sai, không thể vừa đúng, vừa sai), còn khi các phát biểu

đó không thể xác định được chắc chắn là đúng hay sai nhưng biết mức độ đúngsai (đúng bao nhiêu phần trăm, sai bao nhiêu phần trăm) thì ta nhận được cácmệnh đề mờ Ví dụ "xe máy đi với vận tốc 50 km/h là nhanh" là một mệnh đề

mờ Mệnh đề mờ có liên quan mật thiết đến biến ngôn ngữ

Trong logic cổ điển, một mệnh đề nguyên tử P (x) là một mệnh đề có dạng

x là P , trong đó: x là kí hiệu đại diện cho một đối tượng nằm trong một tập Unào đó, P là một tính chất nào đó của các đối tượng trong U Chẳng hạn, "5 là

số nguyên tố", " Trái Đất là một hành tinh của hệ Mặt Trời" là các mệnh đềnguyên tử

Trong các mệnh đề nguyên tử của logic cổ điển, tính chất P cho phép taxác định tập con rõ A của U : x ∈ A là x ∈ U và x có tính chất P Ví dụ, tínhchất "là số chẵn" xác định một tập con rõ của tập tất cả các số tự nhiên, đó làtập tất cả các số tự nhiên chia hết cho 2 hay tính chất "hàm số khả vi" xác địnhmột tập con rõ của tập tất cả các hàm số ta đang xét Nếu chúng ta kí hiệu giátrị chân lý của mệnh đề rõ là T ruth(P (x)) thì T ruth(P (x)) = µA(x), trong đó

µA(x) là hàm đặc trưng của tập rõ A (được xác định bởi tính chất P )

Ta có thể mở rộng khái niệm này Một mệnh đề mờ nguyên tử có dạng "x

là P ", tương tự như mệnh đề nguyên tử của logic cổ điển Nhưng ở đây P khôngphải là một tính chất chính xác mà là tính chất không rõ ràng chẳng hạn:"tốc

độ này là lớn", "nhiệt độ này là cao", "diện tích này là lớn", Theo định nghĩabiến ngôn ngữ thì P được xác định bởi một tập mờ A trên miền U Do đó, cóthể nói, mệnh đề mờ nguyên tử là mệnh đề có dạng x là A, trong đó: x là biếnngôn ngữ, A là tập mờ trên U (miền các giá trị vật lý mà x có thể nhận).Tương tự, nếu P (x) là một mệnh đề mờ, ta kí hiệu giá trị chân lý của nó

là T ruth(P (x)) thì T ruth(P (x)) = µA(x) Điều này có nghĩa là giá trị chân lýcủa mệnh đề mờ "P (x) = x là A" là độ thuộc của phần tử x vào tập mờ A

Ví dụ: Đối với biến ngôn ngữ "tốc độ" (đơn vị: km/h), mệnh đề "P (x) = x lànhanh"

Với x = 40, µA(x) = 0.72 nên T ruth(P (40)) = 0.72.

Với x = 60, µA(x) = 0.91 nên T ruth(P (60)) = 0.91

Với x = 80, µA(x) = 1 nên T ruth(P (80)) = 1 Ta nói mệnh đề mờ này chắc chắnđúng

Từ giờ trở đi, để ngắn gọn, ta gọi chung là mệnh đề

Tương tự như trong logic cổ điển, người ta cũng xây dựng các phép toán:phủ định, hội, tuyển, kéo theo, hợp thành trên các mệnh đề mờ để vận dụng vàothực tế tốt hơn

Các lượng từ mờ

Có hai lượng từ mờ trong logic cổ điển: lượng từ "với mọi" (Kí hiệu: ∀,

để chỉ mệnh đề thoả mãn mọi tình huống), lượng từ "tồn tại" (Kí hiệu: ∃, chỉ

ra có ít nhất một tình huống thoả mãn mệnh đề) Trong tự nhiên, với các trithức mờ, có một số mệnh đề hoặc luật chỉ đúng trong một số tình huống, do đócần các lượng từ trung gian để mô tả các tình huống trung gian trong phát biểu

là đúng Chẳng hạn, trong đời sống ta gặp những câu nói: "Hầu hết, các ngânhàng đóng cửa vào ngày chủ nhật" hay "khoảng một nửa lớp là con gái" Ở đó,

từ "hầu hết", "khoảng một nửa" là các lượng từ mờ mô tả các tình huống trunggian giữa hai lượng từ phổ dụng "với mọi", "tồn tại"

Một lượng từ mờ là một tập con mờ Q của tập số thực R mô tả một sốxấp xỉ các trường hợp, hay một tập con mờ của đoạn [0, 1] mô tả về tỷ lệ cáctrường hợp mà một mệnh đề mờ hay một luật mờ là đúng

Như vậy một lượng từ mờ được xác định bởi một hàm thuộc trên R

Ta có thể biểu diễ hàm thuộc của lượng từ mờ Q: "khoảng một nửa" và Q0 :

"hầu hết" như sau: Để làm việc tốt hơn với các mệnh đề mờ, ta cần nghiên

Hình 2.3: Hàm thuộc của các lượng từ mờ "khoảng một nửa" và "hầu hết"

cứu các phép toán sau:

2.2.2 Phép phủ định

Phép phủ định là một trong những phép toán logic cơ bản Để suy rộng ta cầntới toán tử v(N OT P ) nhằm xác định giá trị chân lý của N OT P đối với mỗimệnh đề P Toán tử này phải thoả mãn các tính chất sau: (P, P1, P2 là mệnhđề)

(i) v(N OT P ) chỉ phụ thuộc vào v(P )

2.2.3 Phép hội

Phép hội (AN D) cũng là một trong các phép toán logic cơ bản nhất Nó là cơ

sở để định nghĩa phép giao hai tập hợp Toán tử logic AN D thoả mãn các tínhchất sau với P1, P2, P3 là các mệnh đề:

(i) v(P1 AN D P2) chỉ phụ thuộc vào v(P1), v(P2)

(ii) Nếu v(P1) = 1 thì v(P1 AN D P2) = v(P2), với mọi mệnh đề P2

(iii) Giao hoán: v(P1 AN D P2) = v(P2 AN D P1)

(ii) T có tính giao hoán: T (x, y) = T (y, x), ∀x, y ∈ [0, 1]

(iii) T không giảm theo nghĩa T (x, y) ≤ T (u, v),

Phép tuyển (OR) là cơ sở để định nghĩa phép hợp hai tập hợp Toán tử logic

OR thoả mãn các tính chất sau với P1, P2, P3 là các mệnh đề:

(i) v(P1 OR P2) chỉ phụ thuộc vào v(P1), v(P2)

(ii) Nếu v(P1) = 0 thì v(P1 OR P2) = v(P2), với mọi mệnh đề P2

(iii) Giao hoán: v(P1 OR P2) = v(P2 OR P1)

(ii) T có tính giao hoán: S(x, y) = S(y, x), ∀x, y ∈ [0, 1]

(iii) T không giảm theo nghĩa S(x, y) ≤ S(u, v),

S(x, y) = nT (nx, ny), với mọi 0 ≤ x, y ≤ 1

là một t- đối chuẩn

Chứng minh Ta cần chứng minh S thoả mãn bốn điều kiện trong định nghĩacủa hàm t- đối chuẩn

(i) S(0, y) = nT (n(0), n(y)) = nT (1, n(y)) = n(n(y)) = y, ∀y ∈ [0, 1]

(ii) S(x, y) = nT (nx, ny) = nT (ny, nx) = S(y, x), ∀x, y ∈ [0, 1]