Luận văn thạc sĩ Vật lý

Vấn đề đặt ra là ta phải cài đặt hệ vật lý như thế nào để tạo ra được các trạng thái hai qubit có độ đan rối cao nhất trong trường hợp có mất mát có tính đến sư tiêu hao, tiêu tán bởi vì

BỘ GIÁO DỤCVÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC VẬT LÝ

Thanh Hóa, năm 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luận văn, luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố.

Người cam đoan

Nguyễn Thị Hồng

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành ngoài sự nổ lực của bản thân, tôi còn nhận được nhiều sự giúp đỡ, động viên của thầy cô, gia đình và bè bạn Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo – GS.TSKH Cao Long Vân đã giúp đỡ tôi rất nhiều về mặt tài liệu và dành cho tôi sự hướng dẫn tận tình trong suốt thời gian tôi tìm hiểu, nghiên cứu và thực hiện đề tài.

Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo – TS Đoàn Quốc Khoa đã tận tình giúp đỡ tôi nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.

Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy giáo, cô giáo ở Bộ môn Vật Lý – Khoa KHTN, Khoa Kỹ Thuật Công Nghệ Trường Đại học Hồng Đức, và các quý thầy giáo, cô giáo Trường ĐHSP Hà Nội, Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội - những người đã trực tiếp giảng dạy; xin cảm ơn các thầy cô ở Phòng Đào tạo Sau Đại học Trường Đại Học Hồng Đức đã giúp đỡ tôi về nhiều mặt trong những năm tháng học tập vừa qua tại trường.

Xin gửi lời cảm ơn đến, Ban giám hiệu,các thầy cô trong Tổ Vật lý và các đồng nghiệp Trường Đại học Hồng Đức đã cho tôi có cơ hội được học tập và tạo điều kiện thuận lợi về thời gian để tôi hoàn thành khóa học.

Trong quá trình học tập, tôi luôn nhận được sự động viên, khích lệ và sự giúp đỡ nhiệt tình của các anh chị, các bạn học viên Cao học Vật lý lý thuyết và Vật lý toán K1 củaTrường Đại học Hồng Đức Tôi xin chân thành cảm ơn.

Cuối cùng, xin gửi lời tri ân thành kính nhất đến gia đình, bố mẹ, các anh chị và những người bạn thân nhất của tôi; xin gửi tặng thành quả hôm nay cho

tất cả những người mà tôi yêu quý nhất.

Thanh Hóa, tháng năm 2015

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Hồng

MỤC LỤC

Trang phụ bìa ……… … i

Lời cam đoan ……… ii

Lời cảm ơn ……… ………….… iii

Mục lục ……… iv

MỞ ĐẦU 1

Chương 1- MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN VỀ TRẠNG THÁI ĐAN RỐI 4

1.1 Tiên đề về các trạng thái của hệ.Trạng thái thuần và trạng thái hỗn hợp 4

1.1.1 Tiên đề về các trạng thái của hệ Toán tử mật độ……… 4

1.1.2 Trạng thái thuần (pure state)……… 6

1.1.3 Trạng thái hỗn hợp (mixed state)……….……… 7

1.2 Trạng thái đan rối lượng tử……… ……… 8

1.2.1 Điều kiện chia tách được của trạng thái thuần……… … 8

1.2.2 Điều kiện chia tách được của trạng thái hỗn hợp……… 8

1.2.3 Tiên đề về các hệ phức hợp Trạng thái đan rối lượng tử…….……… 9

1.3 Tính độ đan rối thông qua độ tụ hợp (concurrence)……… 10

1.3.1 Tính độ đan rối cho trạng thái thuần……… … 11

1.3.2 Độ đan rối cho trạng thái hỗn hợp……… 13

1.4 Tính độ đan rối bằng entropy von Neumann……… 15

Chương 2 – CÁC HỆ QUANG HỌC PHI TUYẾN KIỂU KERR……… 17

2.1 Hiệu ứng Kerr và quang học phi tuyến……… 17

2.2 Môi trường phi tuyến kiểu Kerr và Hamiltonian……… 20

Chương 3- TIẾN TRIỂN THEO THỜI GIAN CỦA HỆ LƯỢNG TỬ VÀ MÔ HÌNH KÉO LƯỢNG TỬ……… 26

3.1 Tiến triển theo thời gian của hệ lượng tử……….……… … 26

3.1.1 Bức tranh Schrodinger……… ……… 26

3.1.2 Bức tranh Heisenberg……… ……… 27

3.1.3 Sự tiến triển theo thời gian của trạng thái hỗn hợp……… 28

3.2 Mô hình kéo lượng tử tạo ra không gian Hilbert hữu hạn chiều…… … 29

3.2.1 Hình thức luận kéo lượng tử………… ……… 29

3.2 2 Mô hình kéo lượng tử tuyến tính cắt chùm tia……… 31

3.2 3 Kéo lượng tử phi tuyến……… 35

3.2.3.1 Trạng thái Bell và ứng dụng……… 35

3.2.3.2 Kéo lượng tử phi tuyến tạo ra các trạng thái Bell……… 40

Chương 4- CƠ CHẾ TẠO RA CÁC TRẠNG THÁI BELL CÓ ĐỘ ĐAN RỐI CAO TRONG TRƯỜNG HỢP CÓ MẤT MÁT………

49 4.1 Tiến triển của toán tử mật độ trong các kéo lượng tử phi tuyến khi có mất mát 49

4.2 Biên độ tắt dần……… 50

4.3 Pha tắt dần……… 56

KẾT LUẬN ……… .60

TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… 61 PHỤ LỤC……….… … P1

1 Độ đan rối trong trường hợp α β = ……… P1

2 Độ đan rối trong trường hợp α = − β ……… P3

3 Độ chính xác trong trường hợp α β = P5

4 Tính độ chính xác trong trường hợp α = − β……… P6

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ

1 Hình 3.1: Đồ thị biểu diễn thiết bị kéo lượng tử tuyến tính với hai chùm tia BS 1

và BS 2 và các bộ dò photon D 1 và D 2

2 Hình 3.2: Mô hình kéo lượng tử phi tuyến hai chế độ

3 Hình 3.3: Tiến triển của độ đan rối của các trạng thái ψ( )t được tạo ra (các dấu chấm) và các trạng thái được cắt ngắn theo mong muốn ψ( )t cut (đường liền nét) bới bộ ghép bơm 2 mode β α =

4 Hình 3.4: Tiến triển của độ đan rối của các trạng thái ψ( )t được tạo ra (đường chấm) và các trạng thái được cắt ngắn theo mong muốn ψ( )t cut (đường liền nét) bới bộ ghép bơm 2 mode β = − α

5 Hình 3.5: Độ chính xác giữa trạng thái thực được tạo ra ψ( )t và trạng thái cắt

ngắn lý tưởng ψ( )t cut bới bộ ghép bơm 2 mode β α = .

6 Hình 3.6: Độ chính xác giữa trạng thái thực được tạo ra ψ( )t và trạng thái cắt

ngắn lý tưởng ψ( )t cut bới bộ ghép bơm 2 mode β = − α

7 Hình 4.1: Ảnh hưởng của tắt dần trong trường hợp biên độ giảm dần với

vị nhỏ nhất là bit, đòi hỏi các dữ liệu phải được mã hóa thành các chữ số nhị phân (bit), mà mỗi số được gán cho một trong hai trạng thái nhất định (0 hoặc 1) Các tính toán dựa trên khái niệm bit, được cài đặt bằng hệ vật lý là các bóng bán dẫn đã dẫn đến việc phát triển như vũ bão công nghệ máy tính ,đưa đến cuộc cách mạng tin học trong thế kỷ XX Do nhu cầu tính toán ngày càng tăng, máy tính được vi tính hóa liên tục, dẫn đến những giới hạn không thể vượt qua do chính bản chất vật lý của hệ tính toán Có nhiều vấn đề không thể giải được trong khuôn khổ máy tính hiện thời được xây dựng theo mô hình của Turing.

Trong khoảng đầu những năm tám mươi của thế kỷ trước, để tìm lối thoát khỏi tình huống này, nhà bác học nổi tiếng Richard Feynman đã đưa ra ý tưởng tính toán chính ngay trên hệ vật lý chứ không chỉ cài đặt trên hệ vật lý

mô hình máy Turig cổ điển Năm 1983, nhà toán học Anh David Deutch đã đưa mô hình máy Turing lượng tử, mở đầu cho kỷ nguyên tính toán lượng tử Sau khi các hiệu ứng viễn tải và thuật toán phân tích một số tự nhiên lớn ra các thừa số nguyên tố được tìm ra, tính toán lượng tử đã phát triển như vũ bão, hiện đang là đề tài nóng hổi trong vật lý lý thuyết, hứa hẹn những ứng dụng lớn lao tạo ra cuộc cách mạng tin học mới trong thế kỷ XXI

Đơn vị tính toán trong thông tin lượng tử là qubit (bit lượng tử), một hệ hai trạng thái bất kỳ mà để liên hệ với tin học cổ điển, người ta thường ký hiệu

chúng là 0 và 1 Trong khuôn khổ lý thuyết lượng tử, chúng có thể ở trong trạng thái chồng chập lượng tử, tức là tổ hợp tuyến tính của hai trạng thái 0 và

1 Như vậy qubit có cả một continuum trạng thái giữa 0 và 1 Người ta có thể thực hiện qubit qua các hệ vật lý cụ thể như hai trạng thái phân cực của photon, có thể nhờ hai hình chiếu spin của một electron Máy tính lượng tử quy mô lớn sẽ có khả năng giải được các vấn đề phức tạp một cách nhanh hơn bất kỳ một máy tính cổ điển sử dụng các thuật toán tốt nhất hiện nay

Ta xét một hệ phức hợp đơn giản nhất là hệ hai qubit Trong các trạng thái chồng chất, tồn tại một tập con không thể phân ra được tích tenxơ của hai trạng thái mô tả các hệ con thành phần Trạng thái kiểu này được gọi là các

trạng thái đan rối Tính chất đan rối của hệ đóng vai trò vô cùng quan trọng,

nếu trạng thái của hệ là đan rối thì khi đọc qubit riêng biệt này được hai kết quả với cùng xác suất thì nếu ta đo qubit thứ hai cũng luôn thu được kết quả như qubit thứ nhất (thậm chí ở khoảng cách rất xa nhau).Tính chất đan rối của

hệ được ứng dụng trong các giao thức lượng tử như mật mã lượng tử, viễn tải lượng tử Hiệu ứng này, được khẳng định bởi quan sát thực nghiệm, cũng gây

ra sự thay đổi nhận thức rằng thông tin về một vật thể chỉ có thể thay đổi bằng

tương tác với các vật ngay gần nó Einstein đã gọi hiện tượng này là một tác động ma quái ở khoảng cách (spooky action at a distance) Một lớp các trạng

thái đan rối này được gọi là các trạng thái Bell Những tương quan phép đo trong một trạng thái Bell là lớn nhất trong những tương quan giữa các hệ cổ điển Như vậy tính chất đan rối của hệ lượng tử đóng vai trò tiên quyết trong việc cài đặt các thuật toán lượng tử, tiến tới thực hiện một máy tính lượng tử trong tương lai với những khả năng tính toán mà không một máy tính hiện thời nào thực hiện được

Có nhiều hệ vật lý thực hiện qubit, chẳng hạn như: hệ hai phân cực khác nhau của một photon, hai trang thái của điện tử trong nguyên tử, hướng spin hạt nhân trong từ trường… Hệ cài đặt qubit tốt nhất là hệ hai phân cực khác nhau của một photon Trước đây photon được coi là khó nắm bắt, khó giam

cầm nhất vì đặc thù của nó là không khối lượng, chuyển động với vận tốc ánh sáng Tuy nhiên, hiện nay người ta đã có thể nắm bắt, quan sát được chúng Ngoài ra mọi các hệ lượng tử có hai trạng thái đều có thể là một hệ thực hiện qubit Vấn đề đặt ra là ta phải cài đặt hệ vật lý như thế nào để tạo ra được các trạng thái hai qubit có độ đan rối cao nhất trong trường hợp có mất mát (có tính đến sư tiêu hao, tiêu tán) bởi vì các trạng thái đan rối thường có thời gian tồn tại ngắn do sự phá vỡ lượng tử.

Vì vậy, trong luận văn này đề tài: “Kéo lượng tử hai chiều sinh ra các trạng thái hai qubit có độ đan rối cao khi có mất mát” đã được lựa chọn, một

đề tài mang tính thời sự cao và có nhiều ứng dụng tiềm tàng, được thực hiện trên một hệ vật lý cụ thể có thể tạo ra nguồn tài nguyên đan rối cho tính toán lượng tử, đó là hệ các dao động tử kiểu Kerr

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là tìm ra các trạng thái hai qubit kiểu Bell – trạng thái có độ đan rối cao nhất bằng việc dùng kéo lượng tử, một phương pháp cắt không gian Hilbert từ vô hạn chiều xuống số chiều thấp, tạo điều kiện lọc ra trạng thái hai qubit kiểu này Mô hình sẽ được thực hiện trên hệ các dao động tử kiểu Kerr

3 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng hình thức luận Hamiltonian để mô tả hệ lượng tử

Chương 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN VỀ TRẠNG THÁI ĐAN RỐI

1.1 Tiên đề về các trạng thái của hệ Trạng thái thuần và trạng thái hỗn hợp 1.1.1 Tiên đề về các trạng thái của hệ Toán tử mật độ

Mỗi trạng thái của hệ lượng tử được biểu diễn bằng một toán tử mật độ (hay ma trận mất độ) ˆρ Toán tử mật độ là toán tử tự liên hợp, không âm và

có vết bằng 1: i i i

i p

ρ =∑ ψ ψ Tất cả thông tin liên quan đến trạng thái của

hệ được chứa đựng trong toán tử mật độ ấy.

Đây được xem là cách mô tả tổng quát nhất của hệ vật lý trong cơ học lượng tử Với cách mô tả này, cách mô tả nằng hàm sóng chỉ là trường hợp riêng để biểu diễn trạng thái thuần mà trong phần tiếp theo tôi sẽ đề cập đến Nếu hệ ở trạng thái được biểu diễn bằng toán tử mật độ ρthì giá trị trung bình

của biến số động lực A bất kỳ liên quan tới thời điểm t là: A =Tr( )ρˆAˆ Trong trường hợp không gian Hilbert các trạng thái là hữu hạn chiều, các toán

tử tuyến tính được quan tâm có thể biểu diễn bằng các ma trận mật độ Ma trận mật độ thực chất chính là ma trận của toán tử thống kê (hay toán tử mật độ) bởi vì toán tử thống kê thường được cho dưới dạng ma trận mà bản thân

các thành phần ma trận của toán tử này xác định mật độ xác xuất Ma trận mật

độ là một toán tử tác dụng lên không gian Hilbert của hệ đã biết Trong trường

hợp hệ vật lý đã cho tồn tại một vectơ trạng thái ψ chứa các thông tin có thể

có về hệ, muốn biết được các thông tin về đại lượng động lực học A, ta phải tính toán giá trị trung bình của toán tử A tương ứng là:

i i i i

Thật vậy, ta có: i i i

i p

1.1.2 Trạng thái thuần (pure state)

Trong vật lý lượng tử, một trạng thái lượng tử là một đối tượng toán học diễn tả đầy đủ về hệ lượng tử Một trạng thái được gọi là thuần (Trạng thái pure, còn gọi là trạng thái thuần khiết hay trạng thái sạch Trong luận văn này, tôi sử dụng cụm từ “trạng thái thuần”) nếu nó không thể được biểu diễn như là một hỗn hợp của nhiều các trạng thái khác nhau Nó có thể là một hệ lượng tử

bị cô lập hay ở trong trường ngoài mà tương tác giữa hệ với trường ngoài đã biết chính xác Khi đó, chỉ có một trạng thái ψ nào đó khác không, còn tất cả

các pi =0 Do đó ma trận mật độ hay toán tử mật độ biểu diễn hệ đồng thời là các toán tử chiếu và có dạng:

Từ các điều kiện mà toán tử mật độ thỏa mãn, ta suy ra rằng toán tử chiếu

mô tả trạng thái thuần khiết là toán tử chiếu lên không gian con một chiều của không gian Hilbert Như vậy ta có thể mô tả các trạng thái thuần bằng các véctơ trong không gian Hilbert với lưu ý rằng tất cả các trạng thái khác nhau một thừa số pha biểu diễn cùng một trạng thái Một hệ lượng tử ở thái thuần

thường được biểu diễn bằng một vectơ trong không gian Hilbert phức Ηvà được ký hiệu là ψ .

1.1.3 Trạng thái hỗn hợp (mixed state)

Trong trường hợp hệ lượng tử không bị cô lập và tương tác giữa hệ với các hệ xung quanh (hay với trường ngoài) không được xác định một cách chính xác, thì chúng ta không thể giải phương trình Schroedinger để xác định hàm sóng của hệ, trạng thái của hệ lúc này gọi là trạng thái hỗn hợp

Nói chung, chúng ta có thể nói rằng, trạng thái hỗn hợp (mixed state) là

một trạng thái có thể được biểu diễn như là một tập hợp của các trạng thái

thuần ψi với xác suất tương ứng p i mà điều kiện là:0 ≤ p i≤ 1 và i 1

mô tả trạng thái hỗn hợp của hệ lượng tử người ta dùng ma trận mật độ và toán tử thống kê tương tự như dùng hàm sóng để mô tả trạng thái thuần của hệ.

1.2 Trạng thái đan rối lượng tử

1.2.1 Điều kiện chia tách được của trạng thái thuần

Tính không thể chia tách lượng tử là một trong những tính chất quan trọng của hình thức luận lượng tử Nó được phát hiện đầu tiên bởi Einstein, Podolsky và Rosen Trong vật lý lượng tử, một trạng thái lượng tử là một đối tượng toán học diễn tả đầy đủ về hệ lượng tử

Xét một hệ lượng tử ở thái thuần, được biểu diễn bằng một vectơ trong không gian Hilbert phức Η ký hiệu là ψ Xét hai hệ lượng tử Α và Β trong các không gian Hilbert tương ứng là Η Α và ΗΒ Không gian Hilbert của hệ

tổng hợp là tích tenxơ Η ⊗ Η Α Β Nếu trạng thái ψ của hệ lượng tử có thể

được biểu diễn dưới dạng:

ψ = ψΑ ⊗ ψΒ , (1.12)

trong đó: ψΑ ∈ΗΑ, ψΒ ∈ΗΒ lần lượt là các trạng thái của hệ Α và Β tương ứng thì ta nói trạng thái của hệ lượng tử là chia tách được

1.2.2 Điều kiện chia tách được của trạng thái hỗn hợp

Năm 1935 Albert Einstein, Boris Podolsky và Nathan Rosen (EPR) đã công bố bài báo trên tạp chí Physical Review Bài báo khởi nguồn cho việc khám phá tính chất vô định xứ trong thế giới lượng tử, khai sinh ra một lĩnh vực có ý nghĩa cách mạng đó là công nghệ lượng tử Sau đó R.Horodecki và M.Horodecki đã đưa ra nguyên lý về tính không thể chia tách được của các trạng thái hỗn hợp “Nếu hai hệ đã tương tác với nhau trong quá khứ thì có thể tìm thấy toàn bộ hệ trong một trạng thái mà không thể viết dưới dạng hỗn hợp của các trạng thái tích trực tiếp” Các trạng thái hỗn hợp không chia tách được

có thể xem như bản sao của các trạng thái thuần không thể chia tách được.Nếu một trạng thái hỗn hợp là chia tách được nó sẽ tương đương với một trạng thái được tạo ra từ một tập hợp các trạng thái tích, tức là ta có thể gán

cho các hệ thành phần các vectơ trạng thái tích Tuy nhiên, nếu một trạng thái hỗn hợp là không chia tách được thì ta không thể gán cho các hệ thành phần các vectơ trạng thái Vì vậy, chúng tôi đưa ra một điều kiện cần cho sự chia tách được của các trạng thái hỗn hợp không thông qua các vectơ trạng thái (hàm sóng) như trong trượng hợp trạng thái thuần mà thông qua ma trận mật

độ biểu diễn hệ lượng tử trong trạng thái hỗn hợp

Một hệ lượng tử bao gồm hai hệ con trong không gian Hilbert Η = Η ⊗ ΗA B là

chia tách được nếu ma trận mật độ ρ của nó được viết dưới dạng:

i i i i

ρ lần lượt là ma trận mật độ của hai hệ con trong không

gian ΗA và ΗB, p i thỏa mãn điều kiện: i 1

i

1.2.3 Tiên đề về các hệ phức hợp Trạng thái đan rối lượng tử

Không gian Hilbert của hệ phức hợp có cấu trúc tích tenxơ của các không gian Hilbert H 1 và H 2 của hệ thành phần Trong trường hợp khi các hệ con là các hạt như nhau, tích ten xơ này phải được đối xứng hóa (các hạt boson) hoặc phản đối xứng hóa (các hạt ferrmion) để đảm bảo tính không phân biệt lượng tử của các hạt.

Như vậy so với lý thuyết cổ điển thì lý thuyết lượng tử về các hệ phức hợp đơn giản hơn Số lượng các trạng thái có thể có của hệ phức hợp trong lý thuyết lượng tử bằng tích số lượng các trạng thái của các hệ con, còn trong lý thuyết cổ điển thì bằng tổng số lượng các trạng thái của các hệ con Trong lý thuyết lượng tử đưa ra khả năng các trạng thái của hệ con chồng chất nhau và gọi là trạng thái đan rối hay trạng thái vướng víu lượng tử Trong luận văn này chúng tôi dùng thuật ngữ trạng thái đan rối Như ta biết ở trên, trạng thái đan rối của hai hệ con là trạng thái được mô tả bằng một véctơ trong không gian Hilbert của hệ phức hợp mà không phải là tích của các véctơ mô tả các hệ con Điều này có nghĩa là trạng thái thuần khiết của một hệ lượng tử được gọi là

đan rối nếu trạng thái ψ của hệ lượng tử không thể biểu diễn được dưới dạng

(1.12) và trạng thái hỗn hợp của một hệ lượng tử được gọi là trạng thái đan rối nếu toán tử ma trận mật độ của chúng không được biểu diễn dưới dạng (1.13) Trong trường hợp đơn giản nhất, trạng thái của hệ phức hợp là tổng:

Cho hai vectơ cơ sở 0 A và 1 A của không gian Hilbert ΗA và hai vectơ

cơ sở 0 B và 1 B của không gian Hilbert ΗB Ta đễ dàng chứng minh được

trạng thái sau là trạng thái đan rối:

Điều này không thể xảy ra

Vậy điều giả sử là sai, tức là trạng thái 1 ( )

2 A⊗ B+ A⊗ B là trạng

thái đan rối.

1.3 Tính độ đan rối thông qua độ tụ hợp (concurrence)

Tính đan rối là nguồn tài nguyên quan trọng cho tính toán lượng tử nên

từ gần hai chục năm gần đây các nhà vật lý tìm cách định lượng tính đan rối bằng nhiều độ đo Ở đây chúng tôi tập trung vào một độ đo thông dụng nhất

do việc tính toán nó là đon giản, đó là độ tụ hợp Để hiểu rõ hơn cho trường hợp chung, ta định nghĩa nó cho trạng thái thuần

1.3.1 Tính độ đan rối cho trạng thái thuần

Xét một trạng thái thuần tổng quát có dạng:

ψ AB =c00 00 +c01 01 +c1010 +c1111 , (1.15)

11

* 10

* 01

* 00

*

c c

c c

σ σ

A⊗ ψ ⊗ ψ = ψ ⊗ ψ , (1.18)

do đó:

σy ⊗ σy 00 = σy 0 ⊗ σy 0 = − 11 , (1.19)

10 1 0

00 01

10 11

11

* 10

* 01

Concurrence của trạng thái đang xét được xác định theo [23]:

Ví dụ 1: Xét một trạng thái thuần có thể phân tách được ψsepa AB biểu

C( ψ AB) = 2c c00 11 −c c01 10 = 2a b a b0 0 1 1 −a b a b0 0 1 1 = 0.

Thay vào (1.26) ta suy ra độ đan rối của trạng thái này là ( )= 0

AB sepa

Thay vào (1.26) ta tính được độ đan rối của trạng thái này là:

( tan ) xlog2 x ( 1 x) log2( 1 x)

2

4 1

1.3.2 Độ đan rối cho trạng thái hỗn hợp

Trong trường hợp cần tính độ đan rối cho trạng thái hỗn hợp Ở trạng thái này, hệ không thể biểu được biểu diễn chính xác bằng một hàm sóng Tuy

nhiên, ta có thể coi trạng thái hỗn hợp (mixed state) là một trạng thái có thể

được biểu diễn như là một tập hợp của các trạng thái thuần ψi với xác suất

tương ứng p i mà điều kiện là: 0 ≤ p i ≤ 1 và i 1

i

∑ Ta có thể biểu diễn trạng thái của hệ bằng ma trận mật độ dạng:

00 01 10 11

AB

c c c c

*

* 01

* 10

* 11

AB

c c c c

( )

* 00

*

* 10

* 11

* 00

* 01

* 10

* 11

* 10

* 01

* 00

,

c c c

00

01 * * * *

00 01 10 11 10

c c

c c

* 10

11 10 01 00

* 01

* 00

c

c

c c

c c

00 00 00 01 00 10 00 11

01 00 01 01 01 10 01 11

10 00 10 01 10 10 10 11

11 00 11 01 11 10 11 11

AB AB c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c ρ ρ       =         % * * * * 11 11 11 10 11 01 11 00 * * * * 10 11 10 10 10 01 10 00 * * * * 01 11 01 10 01 01 01 00 * * * * 00 11 00 10 00 01 00 00 c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c  − −    − −   − −     − −    (1.36) Lúc đó các kết quả tính toán trước đó và định lý vết của tích ngoại (outer product) bằng tích nội (inner product hay tích vô hướng) đã được dùng Từ đó, tương tự có thể định nghĩa concurrence cho hệ hỗn hợp khái quát là ( AB AB AB AB ) ( AB AB) AB AB AB AB Tr Tr C2 = ψ ψ~ ψ~ ψ = ψ ψ~ ψ ψ~ = ρ ρ~ (1.37) Từ tính chất của ma trận mật độ, ma trận: ( ) (* ) AB AB AB y y AB y y R= ρ ρ % = ρ σ ⊗ σ ρ σ ⊗ σ đảm bảo có bốn giá trị riêng dương Ký hiệu các giá trị riêng này tương ứng là λ 1 , λ 2 , λ 3 , λ 4 và sắp xếp sao cho số đầu tiên là lớn nhất, Wootters đã chứng minh rằng: ( ) ( ) 4 1 2 3 4 1 max 0, max 0, 2 max AB i i i C ρ λ λ λ λ λ λ =   = − − − =  − ÷  ∑  (1.38) Từ C(ρAB)trong (1.39) ta tính được độ đan rối theo công thức (1.26) ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 log 2 2 1 1 1 1 log 2 2 AB AB AB AB AB C C E C C ρ ρ ψ ρ ρ + − + − = − − − − − − − (1.39)

1.4 Tính độ đan rối bằng entropy von Neumann

Một cách khác để tính độ đan rối lượng tử đó chính là cách tính bằng entropy von Neumann [20] Giả sử chúng ta cần tính độ đan rối của một trạng thái hai qubit A và B được biểu diễn dưới dạng ma trận mật độ:

i i

i i

trong đó ψi là các trạng thái của hệ với xác suất tương ứng là p i Khi đó, chúng ta xác định được các vết cục bộ trên các qubit A và B như sau [6],[20]:

ρ =A Tr B(ψi ψi ) và ρ =B Tr A(ψi ψi ) (1.41)

Với mỗi trạng thái ψi , độ đan rối riêng của trạng thái này được định

nghĩa như entropy của một trong hai qubit A và B

( )= ( ) = ( ) = −∑ = −∑

k

B k

B k j

A j

A j B

λ là các trị riêng tương ứng của ρA và ρB Cuối cùng, độ đan

rối của trạng thái của hệ được xác định theo biểu thức:

( )= ∑ ( )

i

i

i E p

Độ đan rối của một trạng thái đan rối cực đại sẽ có giá trị bằng 1 trong khi các trạng thái phân tách được sẽ có độ đan rối bằng không Cách tính độ đan rối bằng entropy von Neumann ở trên cho phép chúng ta tính toán được

độ đan rối của các trạng thái nhiều qubit Bây giờ, chúng ta sẽ minh họa cách tính độ đan rối nói trên bằng việc tính độ đan rối của trạng thái ở (1.15) Từ biểu thức của ma trận mật độ ở (1.34), theo [22] ta có:

+ +

2 11

2 01

* 10 11

* 00 01

* 11 10

* 01 00

2 10

2 00

c c c c c c

c c c c c

c

(1.44)

Thực hiện việc tính trị riêng của ma trận trên với lưu ý 1

2 2 1 ,

=

∑

=

j ij

2 , 1

c c c c

Chương 2 CÁC HỆ QUANG HỌC PHI TUYẾN KIỂU KERR 2.1 Hiệu ứng Kerr và quang học phi tuyến

Có thể nói lịch sử quang học phi tuyến bắt đầu từ năm 1875, khi nhà vật

lý học người scotland John Kerr phát hiện ra hiệu ứng lưỡng chiết (birefringence) những chất liệu nhất định trở nên bị khúc xạ kép khi đặt trong những vùng bị ảnh hưởng bởi điện trường mạnh Hiệu ứng Kerr (còn gọi là hiệu ứng điện quang bậc hai) là một hiệu ứng vật lý xảy ra trên một số vật liệu trong suốt, trong đó chiết suất thay đổi dưới tác động của điện trường bên ngoài Khác với hiệu ứng Pockels, sự thay đổi của chiết suất trong hiệu ứng Kerr tỷ lệ thuận với bình phương của cường độ điện trường ngoài:

( ) 2

0 2 2 0 2

Trong đó: - n0 là chiết suất tuyến tính của ánh sáng đối với môi trường

- n2 là chiết suất phi tuyến

độ điện trường cỡ 105 V/cm đến 108 V/cm, trong khi cường độ điện trường liên quan đến ánh sáng mặt trời chỉ cỡ 10 V/cm Cường độ điện trường laser

tương đương với cường độ điện trường bên trong phân tử.Các hiệu ứng quang học phi tuyến xuất hiện qua một số hiện tượng quan sát được dẫn đến một số kết luận:

- Chiết suất (vận tốc của ánh sáng) trong môi trường quang học thay

đổi theo cường độ ánh sáng

- Nguyên lý chồng chất bị vi phạm

- Tần số của ánh sáng có thể thay đổi khi truyền qua môi trường phi tuyến

- Ánh sáng có thể tương tác với ánh sáng (dẫn tới điều khiển)

Trong các trường mạnh như vậy, các tính chất của các phân tử thay đổi

và từ đó cả môi trường vật chất bao gồm chúng cũng thay đổi Như vậy, quang phi tuyến là ngành học nghiên cứu sự tương tác của ánh sáng với vật chất khi các phản ứng của môi trường vật chất phụ thuộc phi tuyến theo cường độ của ánh sáng chiếu vào Trong giai đoạn đầu phát triển của quang học phi tuyến, các quá trình quang học bậc cao đã trở thành nguồn thông tin mới về môi trường Các trường quang học mạnh làm phân cực môi trường được coi là cổ điển và sự thay đổi của trường gây ra bởi tương tác phi tuyến với môi trường nói chung không được quan tâm đến Đặc biệt do một số lượng lớn các photon

mà ta có trong các chùm laser mạnh, thường đặc tính lượng tử của trường được coi là không có ý nghĩa căn bản trong việc mô tả các hiệu ứng phi tuyến Trong những năm 70 của thế kỷ XX, quang học lượng tử mô tả các tính chất của ánh sáng qua việc để ý đến cấu trúc hạt lượng tử của nó bắt đầu phát triển Lúc đó mới thấy rằng việc ánh sáng lan truyền qua môi trường phi tuyến thay đổi một cách căn bản các tính chất của ánh sáng Khi đó sẽ xuất hiện các hiệu ứng phi cổ điển, tức là các tính chất lượng tử của ánh sáng Đối tượng nghiên cứu đã là các tính chất thống kê của ánh sáng được mô tả bằng các hàm tương quan bậc cao của trường Chúng được xác định từ các phép đo tính kết hợp cường độ và thống kê các photon Tính phản kết hợp các photon, hay đặc tính dưới Poisson (subpoisssonian) của thống kê các photon chứng tỏ chắc chắn về đặc tính lượng tử của trường Để thu được các hiệu ứng phi cổ điển ấy

phép biến đổi phi tuyên của trường trong các quá trình phi tuyến đóng vai trò

cơ bản Bằng cách này quang học phi tuyến truyền thống chuyển thành quang học lượng tử phi tuyến Thực tế cho thấy hầu như mỗi một hiệu ứng phi tuyến

có thể là nguồn của trường với các tính chất phi cổ điển Các tương tác phi tuyến có thể phân loại là không cộng hưởng (xảy ra trong các vật liệu không hấp thụ) và cộng hưởng (trong các vật liệu mà sự hấp thụ xảy ra) Hiệu ứng Kerr cùng với các hiện tượng chỉnh lưu quang học, tự hội tụ, hiệu ứng Brillouin cưỡng bức, trộn bốn sóng…là những ví dụ của các tương tác phi tuyến không cộng hưởng Những ví dụ của các hiệu ứng cộng hưởng là hiệu ứng Raman cưỡng bức, sự lan truyền kết hợp các xung hay tương tác với plasma

Hiệu ứng Kerr DC: Hiệu ứng này xảy ra trên một số vật liệu khi áp

dụng một điện trường bên ngoài (điện trường biến đổi chậm) Trước khi điện trường được đặt vào, vật liệu có thể là đẳng hướng, có chiết suất đồng đều theo mọi phương Sau khi có điện trường đặt vào, chiết suất theo phương song song với điện trường sẽ khác biệt so với chiết suất thông thường (ở các phương vuông góc với điện trường) là: ∆ =n λkE2 với λ là bước sóng của bức

xạ điện từ, k là hằng số Kerr, và E là biên độ dao động của điện trường Tế bào Kerr hoạt động như một bộ trễ sóng Hiện tượng này hay được ứng dụng trong tế bào Kerr, trong đó một mẩu vật liệu hình khối hộp đặt trong điện trường theo một phương và ánh sáng được chiếu theo phương vuông góc với điện trường Khi đó tế bào Kerr hoạt động như một bộ trễ sóng waveplate Nếu hệ thống đặt giữa hai kính lọc phân cực có phương phân cực vuông góc với nhau thì, khi không có điện trường, sẽ không có ánh sáng đi ra khỏi hệ thống Khi điện trường với giá trị phù hợp được đặt vào, chiết suất theo phương điện trường khác với phương vuông góc với nó, làm cho ánh sáng phân cực theo phương điện trường lan truyền trong vật liệu với tốc độ khác với ánh sáng phân cực theo phương vuông góc với điện trường Khi thoát ra khỏi vật liệu, ánh sáng phân cực theo phương điện trường sẽ bị lệch pha với ánh sáng phân cực theo phương vuông góc, và trạng thái phân cực không còn

như cũ, và do đó có thành phàn ánh sáng ló ra được khỏi hệ thống Như vậy tế bào Kerr hoạt động như một công tắc bật tắt ánh sáng, điều khiển hoàn toàn bằng điện trường

Hiệu ứng Kerr AC: Trong hiệu ứng Kerr AC, điện trường làm thay đổi

chiết suất của vật liệu chính là điện trường của sóng điện từ Do bình phương cường độ điện trường tỷ lệ thuận với cường độ sáng của ánh sáng, độ thay đổi của chiết suất cũng tỷ lệ với cường độ sáng Đây là hiệu ứng gây nên các hiện tượng quang học phi tuyến, xảy ra với ánh sáng cường độ rất lớn, khiến cho chùm ánh sáng cường độ lớn tự hội tụ khi lan truyền trong vật liệu, có ứng dụng trong thấu kính Kerr

2.2 Môi trường phi tuyến kiểu Kerr và Hamiltonian

Cơ chế cơ bản giải thích sự biểu hiện phi tuyến của môi trường là sự biến dạng các đám mây điện tử xung quanh các nguyên tử (hạt nhân) trong điện trường của sóng ánh sáng Sự phân cực cưỡng bức của các nguyên tử bằng cách đó dao động phát ra bức xạ có những tính chất mới Các đặc tính quang học của một môi trường khi có ánh sáng truyền qua được mô tả đầy đủ bởi liên hệ giữa vectơ mật độ phân cực P r tr r( ),

(tức là phân cực của môi trường trên một đơn vị thể tích, thường được gọi là độ phân cực) hay biến đổi Fourier của nó Pr( )rr, ω và vectơ cường độ điện trường E r tr r( ),

của ánh sáng (xem tài liệu tiếng Việt [4]):

cho trước, trong trường hợp chung χ có thể là tenxơ.

Bây giờ chúng ta sẽ nghiên cứu các môi trường đồng nhất và đẳng hướng về mặt quang học được mô tả bằng việc đưa ra các hệ số hiện tượng luận ε và χ.

Sự phân cực tuyến tính của môi trường trong trường hợp tổng quát được biểu diễn như sau:

Đó là một tenxơ hạng hai với 9 thành phần thực và nó sẽ triệt tiêu với các giá trị t' >t * là ký hiệu tích chập Sự phân cực của môi trường là kết quả của sự xuất hiện điện trường Er trong thời gian trước thời điểm t đồng thời nó không phụ thuộc vào thời điểm sau t nên cận dưới của tích phân bắt đầu từ không

và độ từ thẩm của chân không Trong trường hợp các véctơ sóng phân cực phi tuyến, ta có:

Vì môi trường phi tuyến ta đang xét là đồng nhất và đẳng hướng nên tất

cả các thành phần của tenxơ χ( )2 đều bị triệt tiêu Trong phép gần đúng ở đây

ta chỉ xét phi tuyến bậc thấp tức là bậc ba Môi trường phi tuyến như vậy gọi

là môi trường phi tuyến kiểu Kerr Ta có:

Giả sử điện trường của chùm laser vào môi trường có một tần số ω Ta

có thể tính đến sự có mặt của phân cực bậc ba bằng cách định nghĩa chiết suất phụ thuộc cường độ sóng ánh sáng Nếu bỏ qua tính chất tenxơ của phân cực thì phân cực phi tuyến bằng:

ra phân cực có tần số bằng tần số của sóng tới và tỷ lệ với bậc ba biên độ điện trường của nó Trong trường hợp này phân cực toàn phần bằng:

P r tr r =ε χ + χ E r tr r E r tr r =ε χ E r tr r , (2.11) trong đó:

( )1 ( )3 ( ) 2

χ = χ + χ r , (2.12) gọi là độ cảm hiệu dụng Ta cũng có thể sử dụng biến đổi Fourier và tìm được dạng tương tự của phân cực toàn phần:

( ) ( ( )1 ( ) ( )3 ( ) ( ) 2) ( ) ( )

Pr ω =ε χ ω + χ ω E ω E ω =ε χ E ω (2.13) Bây giờ ta sẽ tìm dạng toán tử Hamiltonian (toán tử năng lượng) Ta

đã biết mật độ năng lượng điện trường được xác định bởi công thức:

.Dw

E Dr r là hai véctơ cùng phương (trong môi trường đẳng hướng) Thay (2.2) vào (2.14) ta thu được:

( 0 )

.

[ ]q pˆ ˆ, =i Ih (2.18) Khi đó, điện trường trở thành:

ˆ ˆ

a a+ được rút ra từ (2.25).Tích a aˆ ˆ+ có một ý nghĩa đặc biệt và gọi là toán tử số mà chúng ta ký hiệu là ˆn Ký hiệu n để biểu thị trạng thái năng lượng riêng của trường đơn mode với năng lượng riêng E n Trạng thái số n là một trạng thái năng lượng

được xác định rõ nhưng nó không phải là trạng thái của một trường điện từ xác định:

Chương 3 TIẾN TRIỂN THEO THỜI GIAN CỦA HỆ LƯỢNG TỬ

VÀ MÔ HÌNH KÉO LƯỢNG TỬ 3.1 Tiến triển theo thời gian của hệ lượng tử

Vì Hˆ là toán tử Hermite nên: U t U tˆ+( ) ( )ˆ =I, tức U t là toán tử unita ˆ( )

Trong trường hợp đơn giản nhất, hệ ở trạng thái thuần Khi đó sự biến đổi theo

thời gian của hệ được xác định một cách duy nhất và được biểu diễn bằng toán

tử chiếu P Nếu P là toán tử chiếu lên hướng ψ thì ˆU U P ˆ+ là toán tử chiếu lên véctơ U ψ Khi đó, tiến triển theo thời gian của các trạng thái thuần được

biểu diễn qua sự tiến triển theo thời gian của véc tơ trạng thái:

( )t e iHtˆ / ( )0

(3.4) Như vậy, trong biểu diễn Schroedinger, trạng thái của hệ vật lý thay đổi theo thời gian còn các toán tử biểu diễn các đại lượng vật lý không phụ thuộc

rõ vào thời gian Các hàm riêng của các toán tử này tạo thành hệ các hàm cơ

sở cố định trong không gian trạng thái

Xét toán tử ˆA không phụ thuộc rõ vào thời gian Khi đó ta có

{ }

ˆ ˆ , ˆ

A& = H A , (3.5) trong đó { } là dấu ngoặc Poisson lượng tử, hay phản giao hoán tử Trong biểu diễn năng lượng thì ma trận của toán tử Hˆ có dạng chéo Vì vậy, yếu ma trận của ˆA& được xác định bằng biểu thức:

lý phụ thuộc thời gian Gọi AˆS là toán tử nào đó trong biểu diễn Heisenberg, ta

dễ dàng thu được dạng của nó từ toán tử AˆH tương ứng trong biểu diễn Schroedinger:

3.1.3 Sự tiến triển theo thời gian của trạng thái hỗn hợp

Xét một hệ lượng tử trong không gian Hillbert H Đó là một không gian véc tơ phức đầy đủ Ta ký hiệu phần tử của không gian này ở dạng “két véc tơ” ψ Ta chọn trong không gian H một cơ sở trực chuẩn ψ ψ 1 , 2 , , ψn thì

trạng thái bất kỳ của hệ được biểu diễn dưới dạng:

1 1 2 2 n n

ψ = α ψ + α ψ + + α ψ + , (3.9)

trong đó αi là các biên độ xác suất phức đối với cơ sở đã được chọn Véc

tơ trạng thái của hệ phải thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa, tức là:

1 2 n 1

α + α + + α + = (3.10) Giả sử ở thời điểm t=0 trạng thái động lực của hệ được biểu diễn bằng hỗn hợp thống kê của tập các véctơ ψ 1 0, ψ 2 0, , ψn 0, là các hàm đã chuẩn hóa với các trọng số p p1 , 2 , ,p n, tương ứng Toán tử mật độ tại thời điểm ban đầu được xác định bằng:

i p

Tại thời điểm t bất kỳ, trạng thái hỗn hợp được biểu thị qua các véc tơ

{ ψn t} với các trọng số thống kê tương ứng như ở thời điểm t=0

trong đó: U t là toán tử tiến triển theo thời gian (hay toán tử Unita).ˆ( )

Nếu Hamiltonian không thay đổi theo thời gian thì: