Chứng minh rằng:.
Trang 150 Bài tập về bất đẳng thức
Bài 1: Cho a ≥ 3, tìm giá trị nhỏ nhất của 1
S a
a
= +
Bài 2: Cho a ≥ 2, tìm giá trị nhỏ nhất của 12
S a
a
= +
Bài 3: Cho a, b > 0 và a + ≤ b 1, tìm giá trị nhỏ nhất của 1
S ab
ab
Bài 4: Cho a, b, c> 0 và a b c+ + ≤32
Bài 5: Cho x, y, z là ba số thực dương và x y z + + ≤ 1 Chứng minh rằng:
Bài 6: Cho a, b, c > 0 và a+2b+3c≥20
2
S a b c
a b c
Bài 7: Cho x, y, z > 0 và 1 1 1 4
x+ + =y z
P
y z x y z x y
Bài 8:
Chứng minh rằng với mọi x R ∈ , ta có 12 15 20 3 4 5
x x x
+ + ≥ + +
÷ ÷ ÷
Bài 9:
Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 6 Chứng minh rằng 8x+ + ≥8y 8z 4x+ 1+4y+ 1+4z+ 1
Bài 10:
Cho x, y, z> 0 và xyz = 1 Hãy chứng minh rằng
3 3
Bài 11:
Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( )
( ) (2 )2
1
1 1
x y xy
P
=
Bài 12:
Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
a b c
ab bc ca
b + c + a ≥ + +
Bài 13:
Cho x,y > 0 và x+ ≥y 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của A 3x2 4 2 23
4x
y y
Bài 14: Cho x, y > 0 và x+y = 1 Chứng minh rằng 3 3
1 1
4 2 3
P
= + ≥ + +
Bài 15: Cho x, y, z > 0 và 11x+11y+11z=2
1 x 8
yz≤
Bài 16: Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Tìm giá trị lớn nhất của
1 1 1
S
Bài 17:
Cho a, b, c > 1 Chứng minh rằng: 4a2 5 2 3 2 48
b c
a +b +c ≥
Trang 2Bài 18:
Cho a, b, c > 0, chứng ming rằng:
1 1 1 1 1 1
3
2 2 2a
a b c a b b c c
Bài 19:
Với a, b, c > 0 chứng minh rằng:
1 4 9 36
a b c+ + ≥a b c
+ +
Bài 20:
Cho a, b, c, d > 0 chứng minh rằng:
1 1 4 16 64
a b c+ + + d ≥a b c d
+ + +
Bài 21:
Với a, b, c > 0 chứng minh rằng: 4 5 3 4 3 2 1
a b c a b b c c a
Bài 22:
Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác , p là nửa chu vi tam giác đó
p a p b p c a b c
Bài 23:
Cho x, y, z> 0 và x y x + + ≥ 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của
P
y z z x x y
Bài 24:
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x+2y+3z =18 Chứng minh rằng
Bài 25:
Chứng minh bất đẳng thức:
2 2
a + + ≥b 1 ab a b+ +
Bài 26:
Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì
3
p a− + p b− + p c− ≤ p
Bài 27:
Cho hai số a, b thỏa mãn: a 1;≥ b≥4 Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng A a 1 b 1
= + + +
Bài 28:
Chứng minh rằng a4+ ≥b4 a b ab3 + 3
Bài 29:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
2
2
x y xy y x
A
xy y x x y
+ + + + (Với x; y là các số thực dương).
Bài 30:
Cho ba số thực a b c , , đôi một phân biệt
Chứng minh
( ) ( ) ( )
b c + c a + a b ≥
Bài 31:
Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c ≤ 3 Chứng ming rằng
2 12 2 2009
670
a b c + ab bc ca ≥
Bài 32:
Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a b c + + = 3
Trang 3Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a b b c c a
Bài 33:
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của
16 x + 4 y + z
Bài 34:
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: 4 5
23
x + ≥ y
Bài 35
Cho x, y z là ba số thực thuộc đoạn [1;2] và có tổng không vượt quá 5 Chứng minh rằng x2 + y2 + z2 ≤ 9
Bài 36:
Cho a, b, c là các số thuộc [ − 1; 2 ] thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 6 Chứng minh rằng a + + ≥ b c 0
Bài 37:
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + + ≤ b c 2 Chứng minh rằng:
2
Bài 38:
Cho tam giác có ba cạnh lần lượt là a,b,c và chu vi là 2p Chứng minh rằng p p p 9
p a + p b + p c ≥
Bài 39:
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 6 Chứng minh rằng:
3( a + + b c ) 2a + bc ≥ 52
Bài 40:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = a + + b c + abc
Bài 41:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1 Chứng minh rằng
3
9 ≤ a + + + b c abc < 4
Bài 42:
Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 Chứng minh rằng:
Bài 43:
Cho a 1342; ≥ b ≥ 1342 Chứng minh rằng a2+ + b2 ab ≥ 2013 ( a b + ) Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 44:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = − x + − x + x − x −
Bài 45:
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng:
1
ab bc ca
c + a + b ≤
Bài 46
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = 1 Chứng minh rằng:
Trang 43 3 3 3 3 3
1
1 x y + 1 y z + 1 z x ≤
Bài 47
Cho a,b là các số thực dương Chứng minh rằng:
2a 2 2
a b
a b + + + ≥ b + b a
Bài 48
Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện:
1
1 8a + 1 8b + 1 8c ≥
Bài 49
Với a,b,c là ba số thực dương Chứng minh rằng:
a b c
a b c
b + c + a ≥ + +
Bài 50
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn xyz = 1 Chứng minh rằng:
x y z
y + z + x ≥