Tổng tập đề thi học sinh giỏi toán 9. Là bộ sưu tập các đề thi hay và khó ( tỉnh Nghệ An, Hà Tĩnh, ...) Trong đề thi là các dạng bài tiêu biểu, bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán, giúp các bạn học sinh ôn tập kiến thức đầy đủ và tự tin hơn.
Trang 1PHÒNG GD&ĐT NGHI LỘC - NGHE AN
ĐỀ THI HỌC SINH GIOI
Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4,5 điểm)
a) Tìm n ∈ N để A là số nguyên tố biết A = n3 - n2 - n - 2
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên m, n thì mn(m2 – n2) M 6
Bài 2: (3,0 điểm) Cho biểu thức P = 3 21 3 21 ( 5 2 34)( 21)
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P = 4
3
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình :
=
−
− +
+
=
− + +
x y x
x y x
2 3 2 3
4 2
3 2 3
b) Giải phương trình: x 2 x 1 3
Bài 4: (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
F = 3 1
6 18 1 2
2 8
+
− +
+
−
x
x x
x
Bài 5: (6,5 điểm)
Cho điểm M thuộc đường tròn (O) đường kính AB (M ≠ A; M ≠ B) và
MA < MB Tia phân giác của góc AMB cắt AB ở C Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt các đường thẳng AM và BM lần lượt tại D và H
a) Chứng minh hai đường thẳng AH và BD cắt nhau tại điểm N nằm trên đường tròn (O)
b) Chứng minh CA = CH
c) Gọi E là hình chiếu của H trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O), F là hình chiếu của D trên tiếp tuyến tại B của đường tròn (O)
Trang 2Chứng minh 3 điểm E; M; F thẳng hàng.
d) Gọi S1 ; S 2là diện tớch cỏc tứ giỏc ACHE và BCDF Chứng minh CM <
đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2009-2010
Môn : Toán - Lớp 9 Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1: Chứng minh rằng : A = 2130 + 3921 chia hết cho 45
Bài 2: Giải phơng trình và hệ phơng trình sau:
a, + =5
b,
+
=
= +
) y )(x
x -y ( y -x
2 y x
2010 2010
2 2
Bài 3: Tìm tích abc biết rằng:
= + +
= + +
1
1
3 3 3
2 2 2
c b a
c b a
Bài 4: Cho x2+y2 =1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S =(2-x)(2-y)
Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O đờng kính BC, đờng cao AH
Đờng tròn tâm O’ đờng kính AH cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ 2 là G, cắt AB và
AC lần lợt tại M và N
a, Chứng minh : AM.AB = AN.AC
b, Các tiếp tuyến của đờng tròn (O’) tại M và N cắt BC lần lợt tại I và K , so sánh IK và BC
c, Chứng minh các đờng thẳng : AG; NM và CB cùng đi qua một điểm
PHềNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÀ
Trang 3CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH.
NĂM HỌC: 2010 – 2011. Môn thi: TOÁN 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 Giải phương trình
a.
x − x+ = − +x x−
b.
2011 −x − 2006 −x = 2
Câu 2 Cho đường thẳng (d) có phương trình:
2(1 ) 2
.
m
−
, với m tham số m
2
≠
a. Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua
b Xác định giá trị tham số m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất
Câu 3
a. Cho B =
11 1122 225
1
12 3 1 2 3
; B là một số gồm n chữ số 1, n + 1 chữ số 2 và một chữ số 5 Chứng minh B là số chính phương
b. Cho p là số nguyên tố; p≥5 Chứng minh rằng nếu 2p+1 là số nguyên tố thì:
2
2p + 1
là hợp số
c. Chứng minh không tồn tại cặp giá trị nguyên ( ; )x y thỏa mãn:
x − − y =
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề gồm 1 trang)
Trang 4d. Cho x y z; ; >0 và x y z+ + ≥1, chứng minh:
y + z +x ≥
Câu 4 Cho đường tròn (O) và điểm P nằm ngoài đường tròn Từ P kẻ 2 tiếp tuyến PA,
PB với đường tròn (O), (A, B là các tiếp điểm); OP cắt AB tại M Qua M kẻ dây cung
CD của đường tròn (O), (CD khác AB và CD không đi qua O) Hai tiếp tuyến của (O) tại C và D cắt nhau ở Q Chứng minh:
a) AB < CD ; b) PQ vuông góc với PO tại P
Câu 5 Cho đường thẳng xy; đường tròn (O) và một điểm A nằm trên đừơng tròn (O),
xy không cắt (O) Dựng đường tròn tâm K tiếp xúc với (O) tại A và tiếp xúc với đường thẳng xy
PHÒNG GD & ĐT NGHĨA ĐÀN ĐỀ THI CHỌN DỰ TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN TOÁN ( Thời gian làm bài
150 phút )
Bài 1 : ( 4 điểm )
a , Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n5 - n M 10
b , Giải phương trình : x2 + x + 12 x+1 = 36
Bài 2 : ( 6 điểm )
a, Giải hệ phương trình :
1 1 9
2
1 5 2
x y
x y xy
xy
+ + + =
+ =
b, Cho 3 số không âm x , y , z thỏa mãn x + y + z = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Trang 5A =
x +xy y+ + y +yz z+ + z + +zx x
Bài 3 : ( 5 điểm )
a , Tìm một nghiệm của đa thức Q ( x ) = x 3 + a x2 + b x + c Biết rằng đa thức có nghiệm và a + 2b + 4c = -
1 2
b, Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :
P =
26
b c a c a b a b c+ + ≥
Bài 4 : ( 5 điểm )
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính
R = 2 cm
Có ∠
BAC = 600 , đường cao AH = 3 cm
a, Tính diện tích tam giác ABC
b, Gọi P là điểm tùy ý trên cung nhỏ BC và M , N lần lượt là điểm đối xứng
của P qua các đường thẳng AB và AC Xác định vị trí của điểm P sao cho
độ dài MN đạt giá trị lớn nhất Tính độ dài lớn nhất đó
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN YÊN ĐỊNH
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 26/02/2013
(Đề thi này gồm 01 trang)
Câu 1: (3 điểm) Cho A =
2
.
−
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A > 0
c) Tìm giá trị lớn nhất của A
Câu 2: (6 điểm)
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Trang 6a) Giải phương trỡnh:
2x − − 8x 3 x − 4x− = 8 18
b) Giải bất phương trỡnh: |2x-7| < x2 + 2x + 2
c) Giải hệ phương trỡnh:
= +
−
=
− +
85 ) )(
(
45 ) )(
(
2 2
2 2
y x y x
y x y x
Cõu 3 : (4 điểm)
a) Cho a b c+ + =0
, tớnh giỏ trị của biểu thức:
P
b) Tỡm số tự nhiờn n sao cho
2
6
A n= + +n
là số chớnh phương
Cõu 4 : (5 điểm)
a) Từ một điểm A nằm ngoài (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M,N∈ (O;R)) Trờn cung nhỏ MN lấy điểm P khỏc M và N Tiếp tuyến tại P cắt AM tại B, cắt AN tại C Cho A cố định và AO = a Chứng minh chu vi tam giỏc ABC khụng đổi khi P di động trờn cung nhỏ MN Tớnh giỏ trị khụng đổi ấy theo a và R
b) Cho tam giỏc ABC cú diện tớch bằng 36 (đơn vị diện tớch) Trờn cạnh BC
và cạnh CA lần lượt lấy điểm D và E sao cho DC = 3DB và EA = 2EC; AD cắt BE tại I Tớnh diện tớch tam giỏc BID
Cõu 5: (2 điểm) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2 16
16 2
10 2
10
) 1
( ) (
4
1 2
1
y x y
x x
y y
x
Q= + + + − +
Hết
phòng giáo dục - đào tạo
huyện trực ninh
đề chính thức
Đề thi chọn học sinh giỏi huyện
Năm học 2009 - 2010
Môn: Toán - lớp 9
Ngày thi: 08 tháng 12 năm 2009
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang
Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức
1 x
+ − + −
−
Với
> ≠ 1 ≠
4 a) Rút gọn biểu thức A.
Trang 7b) Tính giá trị của A khi x 17 12 2= −
c) So sánh A với A.
Bài 2: (3,5 điểm) Chứng minh rằng:
a)
b
− < < −
Biết a; b; c là 3 số thực thỏa mãn điều kiện:
a = b + 1 = c + 2 ; c >0
b) Biểu thức
2 2
2
2008 2008
B 1 2008
2009 2009
có giá trị là một số tự nhiên.
Bài 3: (3,0 điểm) Giải phơng trình
a)
x − 3x 2 + + x 3 + = x 2 − + x + 2x 3 −
b)
x 3
5
+ + − − =
.
Bài 4.(8,0 điểm)
Cho AB là đờng kính của đờng tròn (O;R) C là một điểm thay đổi trên đờng tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đờng tròn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K.
a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đờng tròn.
b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O;R).
c) Chứng minh K là trung điểm của CH.
d) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R.
a) Chứng minh rằng M có giá trị nguyên.
b) Tìm chữ số tận cùng của M.