Một đờng tròn tiếp xúc trong với đờng tròn đã cho tại điểm T trên cung nhỏ AB và cắt các dây TA, TB, TC lần lợt ở D, E, F .Chứng minh : a.. Bài 18: Đề 19 Cho đờng tròn tâm O và một đờng
Trang 1Một số bài toán ôn tập
Bài 1 : (Đề 16)
a Biết các số x1, x2 là các nghiệm của phơng trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0, và các số dơng x3, x4
là các nghiệm của phơng trình bậc hai : cx2 + bx + a = 0, trong đó a và c là các số dơng Với điều kiện nào của a và c thì biểu thức M x x1 2 x x3 4 đạt giá trị nhỏ nhất ?
b Chứng minh rằng nếu cặp giá trị (x, y) nghiệm đúng các phơng trình : x2 - 3xy + 2y2 + x - y = 0
(1) và x2 - 2xy + y2 - 5x + 7y = 0 (2) thì cũng nghiệm đúng phơng trình : xy - 12x +15 y = 0 (3)
c Cho dãy số nguyên dơng lẻ tăng a1 < a2 < a3 < < an
Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n (n 1), giữa hai số a1 + a2 + a3 + + an - 1 và a1 + a2 + a3 + + an
+ an+1 bao giờ cũng có ít nhất một số chính phơng k2
Bài 2: (Đề 15)
Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì phơng trình sau đây vô nghiệm : a2x2
+ (a2 + b2 - c2)x + b2 = 0
Bài 3: (Đề 17)
a.Giải phơng trình : x 2 2x 5 x 2 3 2x 5 7 2
b Giải hệ phơng trình :
2
2
xy 4 8 y
xy 2 x
Bài 4: (Đề 18)
a Chứng minh rằng nếu : 2 3 4 2 2 3 2 4
x x y y x y thì a 3 x2 3 y2 3 a2
b Cho phơng trình : m 2 x 4 2mx2m 4 0 (1)
1 Tìm điều kiện của m để phơng trình có bốn nghiệm phân biệt
2 Tìm m để bốn nghiệm x1 < x2 < x3 < x4 thỏa mãn điều kiện : x2 - x1 = x3 - x2 = x4 - x3
Bài 5: (Đề 19)
a Giải phơng trình :
3
3
x 1
10
b Giải hệ phơng trình :
2
2
2
5
x (y z)
3
y (z x) 3
1
z (x y)
3
Bài 6: (Đề 21)
a Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện : xy + yz + xz = 0 Đặt
a x xy y ;b y yz z ;c x xz z với a, b, c là các số dơng Hỏi a, b, c có thể là các cạnh của một tam giác đợc hay không ?
b Ba số thực a, b, c thỏa mãn :
a b c 0
ab bc ca 0 abc 0
Chứng minh a, b, c < 0
Bài 7: (Đề 22)
a Cho đa thức f(x) = ax4+ bx3 +cx2 + dx + e Biết rằng với x = 0 và x = 1 thì f(x) là số lẻ, trong đó
a, b, c, d, e Z Chứng minh rằng phơng trình f(x) = 0 không có nghiệm nguyên
b Với số nguyên dơng n nào thì các số dơng a1, a2, ., an thỏa mãn hệ phơng trình sau : :
Bài 8: (Đề 24)
a P(2) là giá trị của đa thức P(x) khi x = 2 Chứng minh rằng P(x) - P(2) chia hết cho x - 2
b.Tìm giá trị của đa thức Q(x) khi x = 2, biết giá trị của đa thức P(x) với x = 2 là P(2) = 4 và biết số
d trong phép chia (2x - 5).P(x) + (4x - 1).Q(x) cho x - 2 là 17
Bài 9: (Đề 26)
Cho ba số a, b, c tùy ý Chứng minh rằng trong ba số (a - b)2 ; (b - c)2 ; (c - a)2 ít nhất có một số không lớn hơn
2
và khi nào thì số nhỏ nhất trong ba số trên bằng
2
Trang 2
Bài 10: (Đề 28)
a Cho phơng trình 2x2 + 2(m + 2)x + m2 + 4m + 3 = 0 (1) Chứng minh rằng khi (1) có nghiệm thì hai nghiệm của nó thỏa mãn bất đẳng thức :
2
2
2
b Cho hàm số y = f(x) với f(x) là một biểu thức đại số lấy giá trị là số thực khác 0 Biết rằng
2
1
x
với mọi số thực x khác 0 Tính giá trị của f(2)
Bài 11: (Đề 29)
a Tìm số nguyên x sao cho đa thức 19x + 93 nhận giá trị là số chính phơng
b Cho hai phơng trình : x2 - (2m + n)x - 3m = 0 và x2 - (m +3n)x - 6 = 0 Tìm m và n để hai
ph-ơng trình trên tph-ơng đph-ơng với nhau
Bài 12: (Đề 30)
a Giải phơng trình : 16 4 1225
x 3 y 1 z 665
b Tìm a và b sao cho hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất :
2
xyz z a
c Chứng minh rằng nếu phơng trình bậc ba : ax3+ bx2 + cx + d = 0 có hai nghiệm thực thì tích hai nghiệm đó không nhỏ hơn
2
2
4ac b 4a
Bài 13: (Đề 32)
a Cho a, b, c là ba số khác nhau và c khác 0 Chứng minh rằng nếu các ph ơng trình x2 + ax + bc =
0 và x2 + bx + ac = 0 có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm còn lại của chúng thỏa mãn phơng trình
x2 + cx + ab = 0
b Cho ba số a, b, c thỏa mãn :
Tính tổng M = a + b2 + c3
c Lập phơng trình bậc hai có các hệ số nguyên và có một nghiệm là 2 3
Bài 14: (Đề 33) Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c với các hệ số nguyên
a Chứng minh rằng với a, b, c là ba số bất kì thì biệt số của tam thức trên không thể bằng 1994
và cũng không thể bằng 1995
b Khi tam thức có các hệ số nguyên thay đổi, hãy tìm số nguyên dơng nhỏ nhất mà không là số
chính phơng
Bài 15: (Đề 35) Biết các số dơng x, y, z thỏa mãn hệ phơng trình :
2 2
2 2
y
3 y
3
Tính giá trị của biểu thức : xy + 2yz + 3 xz
Bài 16: (Đề 15)
1 Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong một đờng tròn Một đờng tròn tiếp xúc trong với đờng tròn
đã cho tại điểm T trên cung nhỏ AB và cắt các dây TA, TB, TC lần lợt ở D, E, F Chứng minh :
a EF // BC; DF // AC và DE // AB
b CT = TA + TB
c Từ các điểm A, B, C vẽ các tiếp tuyến AM, Bn, và CP với đờng tròn nhỏ Chứng minh CP = AM + BN
2 Cho đờng tròn tâm O và tiếp tuyến PN (N là tiếp điểm) Gọi M là trung điểm đoạn PN Đờng tròn tâm O1 qua P và M cắt đờng tròn tâm O ở A và B Đờng thẳng BA cắt PN ở Q
Chứng minh MQ : QN : PM : PQ = 1 : 2 : 3 : 4
Bài 17: (Đề 17) Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn và d là tiếp tuyến của đờng tròn tại C Gọi AH và
BI là các đờng cao của tam giác
Trang 3a Chứng minh HI // d
b Gọi MN và EF lần lợt là hình chiếu của các đoạn thẳng AH và BI lên đờng thẳng d Chứng minh
MN = EF
Bài 18: (Đề 19) Cho đờng tròn tâm O và một đờng thẳng AB tiếp xúc với đờng tròn tại T sao cho T là
trung điểm của đoạn AB, P là một điểm trên đoạn BT (P không trùng với B và T) Từ P kẻ tiếp tuyến PMN với đờng tròn (O) trong đó M nằm giữa P và N NB cắt đờng tròn (O) ở E , AM cắt đờng tròn (O) ở I, IE cắt AB ở F Chứng minh AF = BP
Bài 19: (Đề 23)
1 Một hình vuông AMKE nội tiếp tam giác vuông ABC sao cho K thuộc cạnh huyền BC ; E, M thuộc các cạnh góc vuông CA và AB Các cạnh hình vuông tỉ lệ với bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC theo tỉ số 2 2
2
Tính các góc của tam giác
2 Cho hình vuông ABCD tâm O Gọi K, N lần lợt là trung điểm các cạnh AB, BC và F là trung
điểm của NC Từ A kẻ đờng thẳng song song với KF cắt CD tại G Chứng minh FG là tiếp tuyến đờng tròn tâm O nội tiếp trong hình vuông
3 Trên một đờng tròn viết 1994 số tự nhiên, biết rằng mỗi số là trung bình cộng của hai số đứng lièn trớc và sau nó Chứng minh tất cả các số đó bằng nhau
Bài 20: (Đề 24)
Hình thang ABCD ngoại tiếp một đờng tròn với hai cạnh bên AD và BC không song song Các đáy AB và
CD tiếp xúc với đờng tròn lần lợt ở M và N Trên cạnh AB lấy điểm M' sao cho AM' = MB Chứng minh các đờng thẳng AD, BC, NM' đồng qui
Bài 21: (Đề 25)
Cho tam giác tam giác vuông cân (AB = AC) M là một điểm trên cạnh BC khác hai điểm B và C và khác trung điểm của BC, kẻ MP // AC, MQ // AB (PAB, QAC) Đờng thẳng qua A song song PQ cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai R Tính góc ARM
Bài 22: (Đề 26)
Từ một điểm P nằm ngoài đờng tròn tam O bán kính R ta kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với A và B là các tiếp
điểm Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ A đến đờng kính BC
1 Chứng minh rằng: PC cắt AH tại trung điểm của AH
2 Tính AH theo R và PO = d
Bài 23: (Đề 28)
Cho tam giác ABC vuông ở B nội tiếp đờng tròn tâm O Trên tia đối của tia BA lấy điểm B sao cho AD = 3AB Đờng thẳng Dy vuông góc với CD tại D và cắt tiếp tuyến Ax của đờng tròn tâm O tại E Tam giác BDE là tam giác gì ? vì sao ?
Bài 24: (Đề 30)
Một đờng tròn tâm O đi qua các đỉnh A và B của tam giác ABC cắt các cạnh AC và BC của tam giác ABC lần lợt tại D và E Các đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC và CDE cắt nhau tại hai điểm phân biệt là C và
M Chứng minh góc OMC = 900
Bài 25: (Đề 35) Cho đờng tròn tâm O, dây cung AB và M là điểm chính giữa của cung AB Qua M kẻ dây
cung thay đổi cắt dây cung AB ở P và cắt đờng tròn tại Q
a Chứng minh rằng các đờng thẳng MA và MB theo thứ tự là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác APQ và đờng tròn ngoại tiếp tam giác BPQ
b Chứng minh rằng khi dây cung kẻ qua M thay đổi thì tổng hai bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác apq và bpq không đổi
B i 26 ài 26 (B i 922) Cho tam giác ABC có phân giác AD.ài 922) Cho tam giác ABC có phân giác AD
1 Chứng minh hệ thức : AD2 = AB.AC – DB.DC
2 Tính độ dài AD theo độ dài ba cạnh a, b, c của tam giác
Bài 27 (Bài 923) Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Gọi D là một điểm bất kì trên cung BC không
chứa A, D khác B và C Gọi H, I, K lần lợt là hình chiếu của D lên các đờng thẳng BC, CA, AB Gọi P là trực tâm của tam giác ABC Chứng minh:
1 Ba điểm H, I, K thẳng hàng
2
4 Đờng thẳng Hk đi qua trung điểm của đoạn DP
Bài 28 : (Bài 924)
Cho tam giác ABC cân tại A Một đờng tròn có tâm O trên BC và tiếp xúc với AB và AC Tiếp tuyến d của đờng tròn (O) cắt AB tại P và cắt AC tại Q
1 Chứng minh : BC2 = 4BP.CQ
2 Ngợc lại : chứng minh rằng nếu BC2 = 4BP.CQ thì đoạn thẳng PQ tiếp xúc với đờng tròn tâm (O) (P thuộc AB, Q thuộc AC)
Bài 29: (Bài 935)
Cho tam giác ABC Gọi P là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC Đờng thẳng qua P và vuông góc với CP cắt các tia CA, CB tơng ứng tại điểm M và N Chứng minh :
1 Điểm M nằm giữa hai điểm C và A, điểm N nằm giữa hai điểm C và B.
1001 bài toán
Trang 42
3.
2
1
Bài 30: (Bài 952) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O Cho biết phân giác của các góc BAD và
ABC cắt nhau tại điểm E thuộc cạnh CD.
1 Chứng minh : AD + BC = CD
2 Cho biết CD k 1
CB Tính
ADE BCE
S S
Bài 31: (Bài 956)
Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O bán kính R Các đờng cao AD, BE, CF Gọi I là trực tâm
1 Chứng minh rằng : I là tâm đờng tròn (I;r1) nội tiếp tam giác DEF
2 Chứng minh rằng : SABC =
2
R
(DE + EF + FD)
3 Chứng minh rằng : DEF 1
ABC
Bài 32: (Bài 963) Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) có Â = 450 , có BC = a Vẽ các đờng cao BB’, CC’ Gọi O’ là điểm đối xứng của O qua đờng thẳng B’C’
1 Chứng minh tứ giác AB’O’C’ nội tiếp đờng tròn;
2 Tính B’C’ theo a
Bài 32 : (Bài 966) Cho tam giác ABC cân tại A và H là trung điểm của cạnh BC Gọi I là hình chiếu
vuông góc của H lên cạnh AC và O là trung điểm của HI
1 Chứng minh hai tam giác BIC và AOH dồng dạng
2 Chứng minh AO vuông góc với BI
Bài 33: (Bài 970)
Cho tam giác ABC vuông tại A Dựng các đờng tròn (O) và (O’) có đờng kính tơng ứng là AB và AC, các
đờng tròn này cắt nhau tại A và D
1 Chứng minh rằng B, C, D thẳng hàng, suy ra hệ thức : 12 12 12
2 Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ CD ; AM cắt BC tại E và cắt đờng tròn (O) tại N Chứng minh tam giác ABE cân;
3 Gọi I là trung điểm của MN Chứng minh góc OIO’ = 900
các chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán 9 Bài 1: (T - 32)
Cho hai số dơng a, b Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2
2 a b a a b b a b a b
Bài 2: (T - 33) Chứng minh rằng : x y x y x x2 y2 x x2 y2
Bài 3: (T - 36) Cho
1 1 1
1
Chứng minh rằng : 3 ax2by2cz2 3 a3b3c
Bài 4:(T - 36)
Chứng minh rằng phơng trình x5 + x +1 = 0 có nghiệm duy nhất là :
1
Bài 5 : (T - 36) Rút gọn biểu thức sau:
M
Bài 6: (T - 37) Tính giá trị của biểu thức sau : 1 99 9 2 0,99 92
Trang 5Bài 7 (T - 37) Tính giá trị của biểu thức sau :
Bài 8: (T -23) Chứng minh rằng số :
x là một nghiệm của phơng trình :
x4 – 16x2 + 32 = 0
Bài 9: (T - 37) Chứng minh rằng số x 39 4 5 39 4 5 là một nghiệm của phơng trình : x3 – 3x – 18 = 0 Từ đó hãy tìm x
Bài 10 : (T - 37) Chứng minh rằng số 3 125 3 125
là một số nguyên
Bài 11: (T - 37) Chứng minh rằng với x > 1
8 thì số sau đây là một số nguyên :
Bài 12: (T - 37) Chứng minh rằng : 3 847 3 847
Bài 13: (T – 37) Cho 3
3
1
2 1
2 1
Tính P = x3 +3x +2
Bài 14: (T - 37) Hãy tính giá trị của biểu thức A = 2x3 +2x2 + 1 với
1
Bài 15: (T - 38) Tính tổng S = a1+ a2 + a3 + … +a +a99 với
1
n
a
vói n = 1, … +a., 99
Bài 16: (T -38) Chứng minh rằng mỗi số hạng của dãy số a1, a2,… +a, ak, … +a.với 2 3 2 3
2 3
n
là số nguyên Tìm tất cả các giá trị của n để an chia hết cho 3
Bài 17: (T - 48) Chứng minh rằng nếu số nguyên dơng a không phải là lũy thừa bậc n của bất kỳ số tự
nhiên nào, trong đó n là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 2, thì n a là một số vô tỉ.
Bài 18: (T - 48) Cho hai số hữu tỉ tùy ý r và s Chứng minh rằng nếu r và s không đồng thời bằng 0 thì
r s là một số vô tỉ.
Bài 19 : (T - 50) Giả sử a, b là các số hữu tỉ dơng, không phải là bình phơng của bất kì số hữu tỉ nào.
Chứng minh rằng nếu r và s là hai số hữu tỉ sao cho t r a s b là một số hữu tỉ thì t = 0.
Bài 21(T - 51) Cho các số hữu tỉ a, b, c, m, n Chứng minh rằng nếu : x = m + n 2 là một nghiệm của
ph-ơng trình ax2 + bx + c = 0 thì x = m - n 2 cũng là nghiệm của phơng trình đó
Bài 22: (T - 51)
a) Tìm tất cả các số hữu tỉ a, b sao cho x 2 5là nghiệm của phơng trình: x3 + ax2 + bx + 1 = 0
b) Gọi x1, x2, x3 là các nghiệm của phơng trình (1) ứng với a, b vừa tìm đợc Đặt Sn = x1 + x2 +
x3 Chứng minh rằng Sn Z với mọi số tự nhiên n tùy ý
Bài 23 : (T - 52) Tìm đa thức với hệ số nguyên nhận x 23 3 làm nghiệm.
Trang 6Bài 24: (T - 52) Giả sử a, b là hai số hữu tỉ dơng, ngoài ra b không phải là bình phơng của bất kì số hữu tỉ
nào Chứng minh rằng nếu tồn tại hai số hữu tỉ c và d sao cho a b c d thì a2 – b là một số
hữu tỉ Điều ngợc lại có đúng không ?
Bài 25 : (T - 66) Giải các phơng trình sau :
a x4 + (x – 1)(x2 - 2x + 2) = 0
4
4
2
1 3
x
x x
c x3 + x2 + x = 1
3
d
12
e
3
3
3
2 0 1
1
x
x x
f 2000(2001 – 2000x2)2 = 2001 – x
Bài 26: (T - 73) Giả sử các phơng trình x2 + px + 1 = 0 và x2 + qx + 2 = 0 có các nghiệm lần lợt là a, b và
c, b Chứng tỏ rằng (b – a)(b – c) = pq – 6
Bài 27 (T -74) Biết rằng m ≠ 0 và phơng trình mx2 + px + q = 0 (1) có hai nghiệm dơng x1, x2 Chứng minh rằng :
a Phơng trình qx2 + px + m = 0 (2) cũng có hai nghiệm dơng x3, x4 ;
b x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 4
B i 28(T - 76): ài 28(T - 76): Gọi x1, x2, x3 là ba nghiệm của phơng trình x3 + px + q = 0 (p, q R).Chứng minh rằng :
x1+ x2 + x3 = 3x1 x2 x3
Bài 29 (T - 76) Trình bày cách giải phơng trình bậc ba x3 + px2 + qx + r = 0 biết rằng giữa các nghiệm x1,
x2, x3 của nó có mối liên hệ x1 = x2 + x3
Bài 30(T - 77) : Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phơng trình x2 + px – 1 = 0 với là số nguyên lẻ Chứng minh rằng : với số tự nhiên n tùy ý, các số Sn = x1 + x2 và Sn + 1 = x1n + 1+ x2n + 1 là những số nguyên và nguyên tố cùng nhau
Bài 31(T77) Tìm tất cả các số tự nhiên m, n sao cho các nghiệm của phơng trình x2 – m(n + 1)x + m + n +1 = 0 cũng là số tự nhiên
Bài 32 (T77) Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phơng trình x2 – 6x + 1 = 0 Chứng minh rằng : Với số n tùy ý, số Sn = x1+ x2 là số nguyên và không là bội của 5
Bài 33(T77) Chứng minh rằng a1a2 ≥ 2(b1 + b2) thì ít nhất một trong hai phơng trình sau có nghiệm x2 +
a1x + b1 = 0 (1), x2 + a2x + b2 = 0 (2)
Bài 34(T77) Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phơng trình x2 – ax + 1 = 0
a Hãy tính S7 = x1 + x2
b Tìm đa thức bậc 7 có các hệ số nguyên nhận số 7 2 7 5
là nghiệm
Trang 7Bài 35(T78): Cho a, b là các số dơng Biết rằng phơng trình x – x + 3x – b = 0 có ba nghiệm (không nhất thiết phân biệt) Chứng minh rằng :
3
a
b
Bài 36(T78) Giả sử P abc là một số nguyên tố có ba chữ số Chứng minh rằng phơng trình ax2 + bx + c
= 0 không có nghiệm hữu tỉ
Bài 37(T78) Cho phơng trình bậc ba : ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a khác 0) có ba nghiệm dơng là x1, x2, x3 Chứng minh rằng x1 + x2 + x3 ≥
3 2
5
81
b c a
Bài 38(T94) Giải các phơng trình sau
a 497 x4 x15 4
c x3x21 x3x2 1 3
d 1 x4 x2 x 1
2
g x 94 96 xx2190x9027
8
2
x
x
k 4 3
2 8
l x22x 4 3 x34x
m x3 3x2 8x40 8 4 4 x4
n 2x211x21 3 4 4 x 4
o
2
2 2
Bài 39(T150) Cho tam thức bậc hai f(x) = x2 + ax + b Chứng minh rằng với mọi giá trị của a, b trong ba
số f(0) ; (1) ; ( 1)f f có ít nhất một số lớn hơn hay bằng 1
2.
Bài 40 (T153) Cho (x, y, z) là nghiệm của hệ phơng trình
4
xy yz zx
Chứng minh rằng
; ;
Bài 41 (T154) Chứng minh rằng với mọi giá trị của x, y thì x y 2 xy 1 x y 3
Bài 42 (T155) Cho ba số thực x, y, z bất kì Chứng minh rằng x2y2z2 xy yz zx
Bài 43 (T156) Với a, b, c là ba số dơng bất kì, hãy chứng minh rằng
a b c
Bài 44 (T156) Cho a, b, c 0; 2 có tổng a + b + c = 3 Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 ≤ 5
Bài 45 (T156) Chứng minh rằng nếu x, y nguyên dơng thì một trong hai bất đẳng thức sau là sai :
5
và
5
Bài 46 (T157) Chứng minh rằng nếu phơng trình 2x2 + (x + a)2 + (x + b)2 = c2 có nghiệm thì
4c2 ≥ 3(a2 +b2) – ab
Trang 8Bài 47 (T157) Cho x, y là hai số thực và x, y > 2 Chứng minh rằng x – xy + xy – xy + y > x + y
Bài 48 (T159) Giả sử các số thực x, y, z đều lớn hơn –1 và thỏa mãn điều kiện : x3 + y3 + z3 ≥ x2 + y2 +
z2 Chứng minh rằng : x5+ y5 + z5 ≥ x2 + y2 + z2
Bài 49 (T159) Cho a, b, c 0; 1 Chứng minh rằng a + b2 + c3 – ab – bc – ca ≤ 1
Bài 50 (T159) Cho x, y, z 0; 2 Chứng minh rằng 2(x + y + z) – (xy + yz + zx) ≤ 4
Bài 51 (T159) Cho x + y + z = 0 và x, y, z -1;1 Chứng minh rằng : x2 + y4 + z6 ≤ 2
Bài 52 (T159) Chứng minh rằng nếu hai số nguyên dơng m, n thỏa mãn bất đẳng thức : 7 m 0
n
thì 1
Bài 53 (T159) Hãy xét xem khẳng định sau đúng hay sai : “Với mọi số nguyên dơng m, n thì
2
1 2
m
Bài 54 (T175) Chứng minh rằng nếu các số dơng a, b, c thỏa mãn điều kiện 1 1 1
2
1a1b1c thì abc
1
8
Bài 55 (T177) Chứng minh rằng nếu a, b, c là các độ dài cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì :
3
Bài 56 (T177) Cho các số không âm x, y thỏa mãn điều kiện x3 + y3 = 2 Chứng minh rằng x2 + y2 ≤ 2
Bài 57 (T177) Cho x, y ≥ 0 và x2 + y2 = 1 Chứng minh rằng 1 3 3
1
2 x y
Bài 58 (T180) Cho a, b, c là ba số dơng thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng
1 a 1 b 1 c 6
Bài 59 (T180) Chứng minh rằng nếu a, b là các số dơng và a + b = 1 thì
2
Bài 60 (T181) Cho n số dơng bất kì a1, a2, … +a, an > 0
Chứng minh rằng : (1 + a1)(1 + a2) … +a (1 + an) 1 n 1 2 n
n
a a a
Bài 61 (T181) Cho a, b, c > 0 và abc = 1 Chứng minh rằng b c a c b a a b c 3
Bài 62 (T181) Cho a, b, c, d > 0 và c2 + d2 = (a2 + b2)3 Chứng minh rằng
1
Bài 63 (T182) Cho ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng :
a 3abc(a + b + c) ≤ 1
b Nếu a, b, c dơng thì 1a2 1b2 1c2 2a b c
Bài 64 (T199) Ba số không âm a, b, c thay đổi và luôn thỏa mãn điều kiện a, b, c ≤ 1; a + b + c = 2 Tìm
giá trị lớn nhất của P = a2 + b2 + c2
Bài 65 (T200) Cho a, b dơng cố định : x, y là hai số dơng thay đổi sao cho a b 1
x y Tìm giá trị nhỏ nhất
của :
(i) P = xy
(ii) Q=x + y
Bài 66 (T200) Cho hai số dơng có tổng bằng 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của 12 12
P
Bài 67 (T201) Cho x, y thay đổi sao cho 0 ≤ x ≤ 3 và 0 ≤ y ≤ 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
P = (3 – x)(4 – y)(2x + 3y)
Trang 9Bài 68 (T201) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
x P
x a
trong đó a > 0 cho trớc, x là số thực thay
đổi (x ≠ - a)
Bài 69 (T202) Cho x2 + y2 + z2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2 2
1 2
Bài 70 (T202) Xét các số x, y, z, t > 0 thỏa mãn xy + 4zt +2yz + 2xt = xy + 4zt +2yz + 2xt = 9 Tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức : A xy2 zt
Bài 71(218) Xác định các số thực p, q sao cho đa thức x4 + 1 chia hết cho đa thức x2 + ax + q
Bài 72 (T221) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c Chứng minh rằng nếu f x( ) với mọi x -1; 1, thìh
4