MOAT KYO THUAAT CHOUNG MINH BAT DANG THUC CO DIEU KIEN Trong một số bài toán Bất đẳng thức có một số khá nhiều bài toán chứng minh mà các ẩn có điều kiện ràng buộc; dạng: “Cho C > D.
Trang 1MOAT KYO THUAAT CHOUNG MINH BAT DANG THUC CO DIEU KIEN
Trong một số bài toán Bất đẳng thức có một số khá nhiều bài toán chứng minh mà các
ẩn có điều kiện ràng buộc; dạng: “Cho C > D Chứng minh A > B7”
Có một kỹ thuật để chứng minh là ta đi từ chứng minh: (A —- B) + (D —C) = 0; Khi đó tử
điều kiện C 3> D ta suy ra được A > B
Sau đây là một số ví dụ:
Bài toán 1: Cho a +b > 1 Chứng minh rằng: a” + b 2 1/2
Giải: Ta có (a° +b’ — 1/2)+(1—a—b)=a +b-a-b- 1/⁄2=(a-a+1⁄4)+(b-b+1⁄4)= (a — 1/2) + (b— 1/2) >0.Mà a+b> 1suyra:lI-a-b<0=>a+b-1⁄2>0
Hay a° +b’ 2 1/2
Bài toán 2: Chứng minh rằng nếu a +b 3 2 thia’ +b’ < a'+bf
Giải: Ta có: (aˆ” +b°— a'+b)+(2-a-b)=a-a-a+l+b-b-b+lI=
=(a-— 1)(a”— 1)+(b-1I)(bÌ— 1)=(a- 1Iÿ(a+a+1)+(b- Iƒ(b+b+1)30
Mà a+bÈ2=>2-a-b<0=>a'+bf-a'+b>0=>a`+b<a'+b
Bài toán 3: Cho x, y là các số dương thoả mãn: xỶ + y° Š x” + y” Chứng minh rằng:
x'+y` Sx +y vàx +y <x+y
Giải: a/ Ta có: (x”+ y — x`— y)+(x`+y `—x —y)=y — 2y +y)=y(y-— 30
Mà xÌ`+y' <S x +y°=>xÌ+y!-x-y`<0=>xÌ+y`<x +y
b/ Ta có: X+y“—- x +y)+(xÌ+y°-x-y)=x-2xX+x'+y—-2y`+y'°=
=x(I— xX +y(y- I >0(vìx>0)
Mà xÌ+ y° <Sx +y=>xÌ+y'-x"-y<X0=>x+y <x+y
Bài toán 4: Chứng minh rằng nếu: a +b +c 3 3 thìa?+bÝ+c°>a°+bÍ+c”
Giải: Ta có: (aˆ +bÊ+c`—a`—bÌ—c)+(3-a-b-c)=
=(a— Iÿ{aˆ+a+1)+(b-— IƑ(b+b+l)+(c— IƑŸ(cẴ+c+1Ề30
Mà:a+b+c>3=>3-a-b-cS0=>af+b+c>a+b+c
Bài toán 5: Cho x, y là các số dương thoả mãn xỶ + y`= x— y
Chứng minh rằng: xÝ + y” < I
Giải: Ta có: I — x”— y ` =(1— x”— y)+(xX`+y`—x+y)=x`-Xx-x+l+y`—y+y=
(x 10? I +yy?-y+ D a(x + DK 1? + y@°— y+1)>0 (vìx;y>0)
=>x+y <1
_ -cog E] =>
BAI TAP AP DUNG:
1/ Biét ring x* + y° S x+y Chitng minh ring x+y < 2
2/ Biết rằng ab > 1 Chifng minh rang a +b° 2a+b
3/ Biét ring x° + y° S x Chifng minh rang y(x + 1) 2 -1