Kỹ thuật khảm ảnh và ứng dụng

Trong mỗi trường hợp, kỹ thuật khảm ảnh được sử dụng để tạo nên một bức ảnh với tầm nhìn rộng hơn hoặc chi tiết hơn một bức ảnh riêng lẻ thông thường.. Việc xử lý, biến đổi ảnh có sử dụn

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 1

Mục lục hình 3

PHẦN MỞ ĐẦU 4

Chương 1 KHÁI QUÁT VỀ XỬ LÝ ẢNH VÀ KHẢM ẢNH 6

1 Khái quát về xử lý ảnh 6

Hệ thống xử lý ảnh 8

Ảnh và biểu diễn ảnh 11

Mức xám và lược đồ mức xám 14

2 Khảm ảnh 15

Khái niệm khảm ảnh 16

Một số kỹ thuật khảm ảnh 27

Chương 2 MỘT SỐ KỸ THUẬT KHẢM ẢNH .29

2.1 Kỹ thuật đan đa phân giải 29

2.1.1 Các phép toán hình chóp cơ bản 33

2.1.1.1 Hàm trọng số tương đương 35

2.1.1.2 Hình chóp Laplace 37

2.1.1.3 Các điều kiện biên 38

2.1.2 Kỹ thuật đan đa phân giải 38

2.1.2.1 Đan các ảnh chồng lên nhau 39

2.1.2.2 Đan các vùng có hình dạng tùy ý 41

2.1.2.3 Đan các ảnh không chồng lên nhau 43

2.2 Kỹ thuật nâng cao chất lượng ảnh 43

2.2.1 Kỹ thuật lọc trung bình 44

2.2.2 Kỹ thuật lọc trung vị 46

2.3.Kỹ thuật khảm ảnh dựa trên nắn chỉnh biến dạng và biến đổi mức xám 48

2.3.1 Nắn chỉnh biến dạng 49

2.3.2 Khảm ảnh dựa trên tập điểm đặc trưng 52

2.3.3 Hiệu chỉnh mức xám 54

Chương 3 ỨNG DỤNG KHẢM ẢNH .59

3.1 Một số ứng dụng của khảm ảnh 59

3.2 Chương trình thực nghiệm 63

3.2.1 Mô tả các chức năng chính 63

TÀI LIỆU THAM KHẢO 70

PHỤ LỤC 72

Mục lục hình

MỤC LỤC 1

Mục lục hình 3

PHẦN MỞ ĐẦU 4

Chương 1 KHÁI QUÁT VỀ XỬ LÝ ẢNH VÀ KHẢM ẢNH 6

1 Khái quát về xử lý ảnh 6

2 Khảm ảnh 15

Chương 2 MỘT SỐ KỸ THUẬT KHẢM ẢNH .29

2.1 Kỹ thuật đan đa phân giải 29

2.2 Kỹ thuật nâng cao chất lượng ảnh 43

2.3.Kỹ thuật khảm ảnh dựa trên nắn chỉnh biến dạng và biến đổi mức xám 48

Chương 3 ỨNG DỤNG KHẢM ẢNH .59

3.1 Một số ứng dụng của khảm ảnh 59

3.2 Chương trình thực nghiệm 63

TÀI LIỆU THAM KHẢO 70

PHỤ LỤC 72

PHẦN MỞ ĐẦU

Trong những năm gần đây, công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ cả về phần cứng lẫn phần mền Sự phát triển của công nghệ thông tin đã thúc đẩy sự phát triển của nhiều lĩnh vực xã hội khác như y học, giáo dục, giải trí, kinh tế v.v… Sự phát triển của phần cứng cả về phương diện thu nhận, hiển thị, tốc độ

xử lý đã mở ra nhiều hướng mới cho sự phát triển phần mềm, đặt biệt là lĩnh vực xử lý ảnh

Ngày nay, nhu cầu tạo một ảnh lớn từ nhiều ảnh nhỏ hơn ngày một tăng Ảnh toàn cảnh sao Mộc và sao Thổ được ghép từ nhiều ảnh riêng lẻ do vệ tinh Voyager truyền về Trái đất Ảnh toàn cảnh Trái đất cũng được tạo ra tương tự như vậy Các bức ảnh chi tiết về thiên hà và tinh vân cũng được ghép từ nhiều ảnh viễn vọng Trong mỗi trường hợp, kỹ thuật khảm ảnh được sử dụng để tạo nên một bức ảnh với tầm nhìn rộng hơn hoặc chi tiết hơn một bức ảnh riêng lẻ thông thường Trong quảng cáo hoặc đồ hoạ vi tính, kỹ thuật này cũng được sử dụng để tạo nên các bức ảnh nhân tạo từ các ảnh riêng biệt một cách hợp lý Khi khảm hai ảnh với nhau, một vấn đề kỹ thuật đặt ra là làm sao cho đường biên giữa chúng bị che giấu Như chúng ta đã biết, sự khác biệt mức xám rất nhỏ giữa hai bên đường biên cũng có thể dễ dàng nhận thấy Thật không may là sự chênh lệch mức xám như thế thường không thể tránh khỏi do một số nhân tố như sự khác nhau về vị trí đặt máy ảnh hoặc quá trình tiền xử

lý Vì vậy, đòi hỏi phải có kỹ thuật chỉnh sửa các mức xám của ảnh trong miền lân cận của biên để tạo nên một miền chuyển tiếp trơn giữa các bức ảnh

Xuất phát từ hoàn cảnh đó, em lựa chọn đề tài: “Kỹ thuật khảm ảnh và ứng dụng” là một việc làm không chỉ có ý nghĩa khoa học mà còn mang đậm

tính thực tiễn, nhất là trong hoàn cảnh Việt Nam chưa có nhiều hệ thống thuộc dạng này

Về lý thuyết: Tìm hiểu khái quát về xử lý ảnh và một số kỹ thuật khảm

ảnh

Về thực tiễn: Trên cơ sở các kiến thức đã thu thập, tổng hợp các kỹ thuật để

hướng đến ứng dụng thực tế cho các kỹ thuật tìm hiểu này

Ngoài tài liệu tham khảo và phụ lục, cấu trúc luận văn bao gồm phần mở đầu, phần kết luận và ba chương nội dung, cụ thể:

• Chương 1: KHÁI QUÁT VỀ XỬ LÝ ẢNH VÀ KHẢM ẢNH

Chương này trình bày khái quát những khái niệm cơ bản của xử lý ảnh và khảm ảnh

Nói chung, xử lý ảnh trên máy tính là nhằm mục đích phân tích ảnh và phục hồi các thông tin bị sai lệch của ảnh trong quá trình chụp Các chương trình xử lý ảnh thực hiện các phép xử lý đối với ảnh số trên máy tính Việc xử

lý, biến đổi ảnh có sử dụng đến các kỹ thuật khảm ảnh nhằm chỉnh sửa các mức xám của ảnh trong miền lân cận của biên để tạo nên một miền chuyển tiếp trơn giữa các bức ảnh

Chương 1 KHÁI QUÁT VỀ XỬ LÝ ẢNH VÀ KHẢM ẢNH

Con người thu nhận thông tin qua các giác quan, trong đó thị giác đóng vai trò quan trọng nhất Những năm trở lại đây với sự phát triển của phần cứng máy tính, xử lý ảnh và đồ hoạ đã phát triển một cách mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng trong cuộc sống Xử lý ảnh và đồ họa đóng một vai trò quan trọng trong tương tác người – máy [2]

Xử lý ảnh (Image processing) là một lĩnh vực mang tính khoa học và công

nghệ Tuy còn khá mới mẻ so với nhiều ngành khoa học khác nhưng tốc độ phát triển của nó rất nhanh, nhất là trên qui mô công nghiệp, điều này đã kích thích các trung tâm nghiên cứu, ứng dụng, đặc biệt là máy tính chuyên dụng cho nó

Xử lý ảnh có quan hệ mật thiết với nhận thức về ảnh của con người

Xử lý ảnh với ứng dụng đầu tiên được biết đến là nâng cao chất lượng ảnh báo được truyền qua cáp từ London đến New York từ những năm 1920 Vấn đề nâng cao chất lượng ảnh có liên quan tới phân bố mức sáng và độ phân giải của ảnh Việc nâng cao chất lượng ảnh được phát triển vào khoảng những năm

1955 Năm 1964, máy tính đã có khả năng xử lý và nâng cao chất lượng ảnh từ mặt trăng và vệ tinh Ranger 7 của Mỹ bao gồm: làm nổi đường biên và lưu ảnh[5] Các ứng dụng của xử lý ảnh trở nên phổ biến và giữ một vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực như điện ảnh, y tế, an ninh, thiên văn học…

Đồ họa máy tính (Computer graphics) nghiên cứu về cơ sở toán học, các

thuật toán cũng như các kỹ thuật để vẽ, hiển thị và điều khiển hình ảnh trên màn hình máy tính Các ứng dụng chính của đồ họa máy tính liên quan đến mô phỏng hình và chuẩn đoán hình ảnh, tạo mô hình, hoạt cảnh, hỗ trợ thiết kế đồ họa và huấn luyện ảo

Thị giác máy (Computer vision) là ngành khoa học và công nghệ làm cho

máy móc có khả năng “nhìn” Thị giác máy bao gồm cả việc thu nhận, xử lý, phân loại và nhận dạng ảnh để cuối cùng đưa ra quyết định Các ứng dụng chính của thị giác máy liên quan đến điều khiển quá trình, xác định sự kiện, tổ chức thông tin, mô hình hóa vật thể và tương tác người - máy

Ranh giới giữa xử lý ảnh, đồ họa máy tính và thị giác máy chỉ mang tính tương đối Chúng có mối liên hệ mật thiết, tương hỗ và có những phần giao thoa với nhau.

Quá trình xử lý ảnh được xem như là quá trình thao tác ảnh đầu vào nhằm

cho ra kết quả mong muốn Kết quả đầu ra của một quá trình xử lý ảnh có thể là một ảnh “tốt hơn” hoặc một kết luận [2]

Hệ thống xử lý ảnh

Để có thể hình dung cấu hình một hệ thống xử lý ảnh chuyên dụng hay một

hệ thống xử lý ảnh dùng trong nghiên cứu, đào tạo, trước hết chúng ta sẽ xem xét các bước cần thiết trong xử lý ảnh

Hình 1.1 Các bước cơ bản trong một hệ thống xử lý ảnh

Các thiết bị thu nhận ảnh có hai loại chính ứng với hai loại ảnh thông dụng Raster và Vector Các thiết bị thu nhận ảnh thông thường Raster là camera Các thiết bị thu nhận ảnh thông thường Vector là sensor hoặc bộ số hoá (digitalizer) hoặc được chuyển đổi từ ảnh Raster [2] Các thiết bị thu ảnh

thông thường gồm camera cộng với bộ chuyển đổi tương tự số AD (Analog to Digital) hoặc scanner chuyên dụng Các thiết bị thu nhận ảnh này có thể cho ảnh đen trắng hoặc ảnh màu Đầu ra của scanner là ảnh ma trận số mà ta quen gọi là bản đồ ảnh (ảnh Bitmap) Bộ số hoá (digitalizer) sẽ tạo ảnh vectơ có hướng Nhìn chung, các hệ thống thu nhận ảnh thực hiện hai quá trình:

- Cảm biến: biến đổi năng lượng quang học (ánh sáng) thành năng lượng điện

- Tổng hợp năng lượng điện thành ảnh [1]

Tiền xử lý là bước tăng cường ảnh để nâng cao chất lượng ảnh Do những nguyên nhân khác nhau: có thể do chất lượng thiết bị thu nhận ảnh , do nguồn sáng hay do nhiễu, ảnh có thể bị suy biến Do vậy cần phải tăng cường và khôi phục lại ảnh để làm nổi bật một số đặc tính chính của ảnh, hay làm cho ảnh gần giống nhất với trạng thái gốc - trạng thái trước khi ảnh bị biến dạng [1]

Vì lượng thông tin chứa trong ảnh là rất lớn, trong khi đó đa số ứng dụng chỉ cần một số thông tin đặc trưng nào đó, cần có bước trích chọn đặc điểm để giảm lượng thông tin khổng lồ ấy Các đặc trưng của ảnh thường gồm: mật độ xám, phân bố xác suất, phân bố không gian, biên ảnh [1]

Nếu lưu trữ ảnh trực tiếp từ các ảnh thô (brut image) theo kiểu bản đồ ảnh đòi hỏi dung lượng bộ nhớ lớn, tốn kém mà nhiều khi không hiệu quả theo

quan điểm ứng dụng Thường người ta không biểu diễn toàn bộ ảnh thô mà tập

trung đặc tả các đặc trưng của ảnh như biên ảnh (boundary) hay vùng ảnh

(region) [1] Một số phương pháp biểu diễn thường dùng:

- Biểu diễn mã loạt dài (Run-Length Code)

- Biểu diễn mã xích (Chaine -Code)

- Biểu diễn mã tứ phân (Quad-Tree Code)

Ảnh là một đối tượng khá phức tạp về đường nét, độ sáng tối, dung lượng điểm ảnh, môi trường để thu ảnh phong phú kéo theo nhiễu Trong nhiều khâu

xử lý và phân tích ảnh ngoài việc đơn giản hóa các phương pháp toán học đảm bảo tiện lợi cho xử lý, người ta mong muốn bắt chước quy trình tiếp nhận và xử

lý ảnh theo cách của con người Trong các bước xử lý đó, nhiều khâu hiện nay

đã xử lý theo các phương pháp trí tuệ con người Vì vậy, ở đây các cơ sở tri

thức- hệ quyết định được phát huy.

So sánh ảnh sau bước hậu xử lý với mẫu chuẩn hoặc ảnh đã được lưu trữ từ trước, phục vụ cho các mục đích nhận dạng và nội suy ảnh

Nhận dạng ảnh (Image recognition) là quá trình phân loại các đối tượng

được biểu diễn theo một mô hình nào đó và gán cho chúng vào một lớp (gán cho đối tượng một tên gọi ) dựa theo những qui luật và các mẫu chuẩn [1]

Một số đối tượng nhận dạng khá phổ biến hiện nay đang được áp dụng trong khoa học và công nghệ là nhận dạng ký tự (chữ in, chữ viết tay, chữ ký

điện tử), nhận dạng văn bản (text), nhận dạng vân tay, nhận dạng mã vạch, nhận dạng mặt người…

Nội suy (Image interpretation) là phán đoán theo ý nghĩa trên cơ sở nhận

dạng Ví dụ, một loạt chữ số và nét gạch ngang trên phong bì thư có thể được nội suy thành mã điện thoại

Ảnh và biểu diễn ảnh

Ảnh trong thực tế là một ảnh liên tục về không gian và về giá trị độ sáng

Để có thể xử lý ảnh bằng máy tính cần thiết phải tiến hành số hoá ảnh Trong quá trình số hoá, người ta biến đổi tín hiệu liên tục sang tín hiệu rời rạc thông qua quá trình lấy mẫu (rời rạc hoá về không gian) và lượng hoá thành phần giá trị mà về nguyên tắc bằng mắt thường không phân biệt được hai điểm kề nhau Trong quá trình này, người ta sử dụng khái niệm Picture element mà ta quen gọi hay viết là Pixel - điểm ảnh

Điểm ảnh được xem như là dấu hiệu hay cường độ sáng tại một toạ độ trong

không gian của đối tượng [2]

Ảnh được xem như là một tập hợp các điểm ảnh Khi được số hoá, nó

thường được biểu diễn bởi bảng hai chiều I(n,p): n dòng và p cột Ta nói ảnh gồm n x p điểm ảnh Người ta thường kí hiệu I(x,y) để chỉ một điểm ảnh Thường giá trị của n chọn bằng p và bằng 256 Một điểm ảnh có thể lưu trữ trên

1, 4, 8 hay 24 bit [1]

Về mặt toán học có thể xem ảnh là một hàm hai biến f(x,y) với x, y là các biến tọa độ Giá trị số ở điểm (x,y) tương ứng với giá trị xám hoặc độ sáng của ảnh (x là các cột, y là các hàng) Giá trị của hàm ảnh f(x,y) được hạn chế trong phạm vi của các số nguyên dương: 0 ≤ f(x,y) ≤ fmax Thông thường đối với ảnh xám, giá trị fmaxlà 255 ( 28=256) bởi vì mỗi phần tử ảnh được mã hóa bởi một byte Khi quan tâm đến ảnh màu, ta có thể mô tả màu qua ba hàm số: thành phần màu đỏ qua hàm R(x,y), thành phần màu lục qua hàm G(x,y) và thành phần màu lam qua hàm B(x,y).

Số điểm ảnh tạo nên một ảnh gọi là độ phân giải (resolusion) Độ phân

giải thường được biểu thị bằng số điểm ảnh theo chiều dọc và chiều ngang của ảnh Ảnh có độ phân giải càng cao càng rõ nét Như vậy, ảnh càng to thì càng

bị vỡ hạt, độ mịn càng kém Ảnh có thể được biểu diễn theo mô hình Vector hoặc mô hình Raster:

Đây là mô hình biểu diễn ảnh thông dụng nhất hiện nay Ảnh được biểu diễn dưới dạng ma trận các điểm ảnh Tùy theo nhu cầu thực tế mà mỗi điểm ảnh có thể được biểu diễn bởi một hay nhiều bit Mô hình Raster rất thuận lợi cho hiển thị và in ấn [2]

Khi xử lý các ảnh Raster, chúng ta quan tâm đến mối quan hệ trong vùng lân cận của các điểm ảnh Các điểm ảnh có thể xếp hàng trên một lưới (Raster)

hình vuông, lưới hình lục giác hoặc theo một cách hoàn toàn ngẫu nhiên với nhau Cách sắp xếp theo hình vuông là được quan tâm đến nhiều nhất và có hai loại: điểm 4 láng giềng (4 liền kề) hoặc 8 láng giềng (8 liền kề) được minh hoạ như sau:

Hình 1.2 Quan hệ giữa các điểm ảnh

Biểu diễn ảnh ngoài mục đích tiết kiệm không gian lưu trữ, dễ dàng cho hiển thị và in ấn, còn phải đảm bảo dễ dàng trong lựa chọn, sao chép, di chuyển, tìm kiếm…Theo những yêu cầu này, kỹ thuật biểu diễn Vector tỏ ra ưu việt hơn Trong mô hình Vector người ta sử dụng hướng giữa các Vector của điểm ảnh lân cận để mã hoá và tái tạo hình ảnh ban đầu Ảnh Vector được thu nhận trực tiếp từ các thiết bị số hóa như Digital hoặc được chuyển đổi từ ảnh Raster thông qua các chương trình số hóa Công nghệ phần cứng cung cấp những thiết bị xử lý với tốc độ nhanh và chất lượng cao cho cả đầu vào và ra, nhưng lại chỉ hỗ trợ cho ảnh Raster Do vậy, những nghiên cứu về biểu diễn Vector đều tập trung chuyển đổi từ ảnh Raster [2]

Mức xám và lược đồ mức xám

Mức xám là kết quả sự mã hoá tương ứng một cường độ sáng của mỗi

điểm ảnh với một giá trị số - kết quả của quá trình lượng hoá Cách mã hoá kinh điển thường dùng 16, 32 hay 64 mức Mã hoá 256 mức là phổ dụng nhất

do lý do kỹ thuật Vì 28 = 256 (0, 1, , 255), nên với 256 mức, mỗi điểm ảnh sẽ được mã hoá bởi 8 bit [1]

Ảnh có hai mức xám được gọi là ảnh nhị phân Mỗi điểm ảnh của ảnh nhị phân chỉ có thể là 0 hoặc 1 Ảnh có mức xám lớn hơn 2 được gọi là ảnh đa cấp xám hay ảnh màu

Ảnh đen trắng là ảnh chỉ có hai màu đen và trắng, mức xám ở các điểm

ảnh có thể khác nhau

Với ảnh màu, có nhiều cách tổ hợp màu khác nhau Theo lý thuyết màu do Thomas đưa ra từ năm 1802, mọi màu đều có thể tổ hợp từ 3 màu cơ bản: Red(đỏ), Green(lục) và Blue(lam) Mỗi điểm ảnh của ảnh màu lưu trữ trong 3 bytes và do đó ta có 28x3 = 224 màu ( cỡ 16,7 triệu màu) [1]

Ảnh xám là ảnh chỉ có các mức xám Thực chất màu xám là màu có các

thành phần R, G, B trong hệ thống màu RGB có cùng cường độ Tương ứng với mỗi điểm ảnh sẽ có một mức xám xác định

• Lược đồ mức xám (Histogram)

Lược đồ mức xám của một ảnh, từ này về sau ta qui ước gọi là lược đồ xám hay biểu đồ tần suất, là một hàm cung cấp tần suất xuất hiện của mỗi mức

xám Lược đồ xám được biểu diễn trong hệ tọa độ vuông góc Oxy Trong hệ tọa

độ này, trục hoành biểu diễn cho số mức xám từ 0 đến N, N là số mức xám (256 mức trong trường hợp ảnh xám mà chúng ta đang xét) Trục tung biểu diễn số điểm ảnh cho một mức xám (số điểm ảnh có cùng mức xám) Cũng có thể biểu diễn khác đi một chút: trục tung là tỉ lệ số điểm ảnh có cùng mức xám trên tổng

số điểm ảnh[1]

Hình 1.3 Lược đồ xám của ảnh

Lược đồ xám cung cấp rất nhiều thông tin về phân bố mức xám của ảnh Theo thuật ngữ của xử lý ảnh gọi là tính động của ảnh Tính động của ảnh cho phép phân tích trong khoảng nào đó phân bố phần lớn các mức xám của ảnh: ảnh rất sáng hay ảnh rất đậm Nếu ảnh sáng, lược đồ xám nằm bên phải (mức xám cao), còn ảnh đậm lược đồ xám nằm bên trái (mức xám thấp)

Khái niệm khảm ảnh

Khảm (Mosaic) là kỹ thuật ghép nối nhiều mảnh vật nhỏ tạo nên một vật

lớn hơn thể hiện tính thẩm mỹ mạnh mẽ trong nghệ thuật tạo hình Hiện nay, vật liệu được dùng để khảm rất đa dạng: gốm màu, đá màu, vỏ trai, thủy tinh, kim loại, gỗ… Kỹ thuật khảm cũng phát triển, tạo nhiều hiệu quả sống động

Ưu điểm của tranh khảm là rất bền, không bị phai màu do mưa nắng, gây cảm nhận dày, chắc, khỏe, độc đáo

Hình 1.4 Tranh gốm vườn đào Nhật Tân Ảnh khảm là tập hợp hai hay nhiều ảnh được ghép nối thông qua hệ thống

ghép nối phối hợp ảnh Bằng việc thực hiện ở vùng chuyển tiếp toán tử chồng hay nối và làm trơn ảnh, nó có thể tạo nên một ảnh riêng biệt bao phủ toàn bộ vùng có thể nhìn thấy được

Theo hướng tiếp cận khác, ảnh khảm là tập các ảnh nhỏ được sắp xếp và

khớp màu sắc hợp lý theo phân vùng để tạo nên một bức ảnh lớn mà nhìn ở một khoảng cách nhất định, nó giống với ảnh gốc được lấy làm mẫu

Khảm ảnh là sắp xếp và ghép nối hợp lí tập các ảnh nhỏ để tạo nên bức

ảnh lớn hơn tùy mục đích của con người Có thể phân loại khảm ảnh thành khảm ảnh nhiều lớp và khảm ảnh toàn cảnh

Trong hội họa, các họa sĩ thuộc trường phái ấn tượng đã khai thác một thuộc tính của mắt người, đó là kết hợp các màu sắc trong cùng một phân vùng, lấy màu trung bình làm màu chung cho cả phân vùng đó Khi nhìn gần, bức tranh ấn tượng sẽ xuất hiện như một tập hợp các nét vẽ nhỏ nhiều màu sắc, nhưng ở một khoảng cách nhất định, các đường nét đó lại kết hợp với nhau tạo nên một hình ảnh tổng thể hoàn toàn khác Những bức tranh như vậy được gọi

là tranh khảm (mosaic painting) Để vẽ tranh khảm, người họa sĩ phải hình

dung ra bức tranh tổng thể trước, sau đó tái tạo lại hình ảnh đó một cách chính xác bằng cách sắp xếp và hiệu chỉnh các dấu hiệu nhỏ hơn (smaller figure – có thể là các nét vẽ, cũng có thể là các bức tranh nhỏ li ti), mà từ đó bức tranh lớn được cấu tạo thành

Lấy cảm hứng từ các tác phẩm nghệ thuật đó, nhiều nhà nghiên cứu trong lĩnh vực khoa học máy tính đã khám phá cách tạo ra những bức tranh như thế một cách tự động hoặc bán tự động Năm 1990, Haeberli đã mô tả một phương pháp tạo ra một bức ảnh mà khi nhìn tổng thể, nó trông giống một bức tranh mẫu đã cho trước, nhưng thực chất nó lại được cấu tạo bởi những nét vẽ nhỏ li

ti (tiny brush stroke) Năm 1996, Meier đã mở rộng nghiên cứu này để áp dụng cho hình động 3D và năm 1997, Litwinowicz tiếp tục mở rộng cho video Năm

1995, những nghiên cứu của Ostromoukhov và Hersch sử dụng các bức ảnh thay vì các nét vẽ như Haeberli Năm 1998, các nghiên cứu của Adam Finkelstein and Marisa Range tương tự như của Ostromoukhov nhưng họ thao tác trên ảnh đa mức xám và ảnh màu, thay vì ảnh đen trắng như Ostromoukhov[10] Dưới đây là một trong số các tác phẩm của Finkelstein:

Hình 1.5 John F Kennedy, 1994

Hình ảnh này được tạo bằng cách chia bức ảnh của Marilyn thành các mảnh nhỏ và sau đó, sắp xếp các mảnh này vào một lưới Việc sắp xếp được dựa trên một thuật toán đã cố gắng tối ưu hóa để kết quả là một bức tranh của John F Kennedy Sau đó, lưới sẽ được sử dụng như là các màn hình của máy in

để “halftone” bức ảnh John F Kennedy Finkelstein đã chạy thuật toán hai lần (sử dụng hai kích thước ảnh Marilyn khác nhau) và sau đó, cắt dán hai ảnh kết quả để chọn ra phần tốt nhất từ mỗi cái

Sau đây là quá trình tạo một ảnh khảm (theo hướng tiếp cận của Frinkelstein):

Bài toán: Cho trước một ảnh mẫu (target image) I và một tập các ảnh nhỏ Ti

(tile image) Hãy tạo một ảnh khảm M bằng cách ghép các ảnh nhỏ Ti sao cho

M giống I Bài toán này được giải quyết theo 4 bước sau:

- Bước 1: Chọn ảnh

Việc chọn mẫu I và tập ảnh nhỏ Ti hoàn toàn mang tính nghệ thuật Đôi khi, vì mục đích quảng cáo hay thương mại, sự lựa chọn sẽ hướng tới hiệu ứng mong muốn đạt được

- Bước 2: Chọn lưới ảnh

Một bức ảnh lớn có thể được chia thành nhiều ảnh nhỏ bằng các lưới, ví

dụ, lưới chữ nhật, lục giác, tam giác…, lưới có thể đều hoặc không đều Khi khảm ảnh, từng ảnh nhỏ được khảm vào các mắt lưới để tạo thành ảnh khảm Việc tìm lưới tối ưu và sắp xếp tối ưu các ảnh nhỏ trong lưới đó là rất tốn kém (chi phí tính toán cao) và vẫn còn là một thách thức trong tương lai Để đơn giản, ta có thể chọn lưới chữ nhật đều

- Bước 3: Sắp xếp các ảnh

Sau khi chọn được lưới, chúng ta sẽ sắp xếp các ảnh nhỏ vào lưới đó Có một số cách sắp xếp sau: xếp cùng một ảnh cho mọi mắt lưới, sắp ngẫu nhiên các ảnh vào mắt lưới, sắp thủ công hoặc xếp ảnh nhỏ bằng cách khớp màu

trung bình của phân vùng trong ảnh mẫu mà chúng được khảm vào Để thu được ảnh khảm kết quả M giống với ảnh mẫu I nhất thì từng mắt lưới của M cần phải được khảm bằng một ảnh nhỏ phù hợp nhất Nhiều kỹ thuật được ứng dụng trong lĩnh vực này như khớp biểu đồ màu sắc, khớp cạnh, phân tích cấu trúc, phân tích hình khối …

- Bước 4: Chỉnh sửa màu sắc

Sau khi sắp xếp các ảnh nhỏ, việc tiếp theo là chỉnh sửa màu sắc của chúng để làm cho ảnh khảm khớp với ảnh mẫu hơn Cụ thể là khớp màu của ảnh nhỏ với màu của phân vùng trong ảnh mẫu mà nó phủ (khảm) lên Nếu trong vùng này, ảnh mẫu có màu (hoặc cường độ sáng với ảnh đa mức xám) x

là hằng số, thì chúng ta muốn thay đổi màu của ảnh nhỏ sao cho màu trung bình của nó bằng x Nếu cường độ sáng của ảnh mẫu biến thiên từ tối-ở bên trái tới sáng-ở bên phải của phân vùng thì chúng ta cũng muốn cường độ sáng của ảnh nhỏ tương ứng cũng có chiều hướng như vậy… Tuy nhiên, trong khi thay đổi màu sắc, các đặc tính riêng của các ảnh nhỏ vẫn phải được bảo toàn tối đa

Các máy ảnh thông thường bị hạn chế về thị trường (field of view) và độ phân giải nên ảnh thu được thường có tầm nhìn tương đối hẹp, ngay cả khi dùng chế độ wide (màn hình rộng) Nhưng trong một số ứng dụng, người ta muốn thu được ảnh với tầm nhìn rộng hơn như khi chụp hình bao quát cả một

không gian rộng lớn chẳng hạn Máy ảnh toàn cảnh chuyên dụng (panoramic camera) có thể đáp ứng được yêu cầu này Điểm khác biệt cơ bản giữa panoramic camera và camera thông thường nằm ở tiêu cự của ống kính Tiêu

cự của máy ảnh là thông số cho biết góc nhìn của máy ảnh, nghĩa là khoảng phạm vi mà máy ảnh có thể “thâu tóm” được Thông thường thấu kính của máy ảnh có độ dài 36-60mm (normal lens), dài hơn là thấu kính tele (telephoto lens)

và ngắn hơn là thấu kính góc rộng (wide-angle lens), đặc biệt thấu kính siêu góc rộng ( ultra wide ange lens) nhỏ hơn 24mm Thấu kính càng dài càng phóng đại đối tượng, khoảng cách dường như bị thu hẹp và nền bị làm mờ vì trường độ của ảnh nông Thấu kính tele thích hợp để chụp ảnh chân dung, chụp đối tượng ở xa, chụp ảnh thể thao…

Thấu kính ngắn phóng đại khoảng cách tới đối tượng, làm tăng trường độ của ảnh nên thích hợp để chụp ảnh phong cảnh khi muốn thu được hình của cả một không gian rộng lớn Panoramic camera là loại máy ảnh có độ dài thấu kính nhỏ hơn 36mm, có thể xuống tới 16mm hoặc ngắn hơn nữa Panoramic camera

có góc chụp 64-80 độ, thậm chí là 360 độ đối với máy có thấu kính mắt cá (circular fisheye lens), trong khi con số này ở máy ảnh bình thường chỉ là 40-62

độ Dưới đây là hình ảnh được chụp bằng panoramic camera với thấu kính có

độ dài tiêu cự 16mm:

Hình 1.6 Toàn cảnh sân vận động JJB, tháng 7 năm 2009

Khi dùng thiết bị chuyên dụng, ảnh toàn cảnh được chụp một cách trực tiếp, nhưng chi phí tốn kém và phức tạp về mặt kỹ thuật nhiếp ảnh Có một cách đơn giản và chi phí thấp là dùng máy ảnh thông thường chụp một chuỗi các ảnh về cùng một chủ đề (một bức chụp bên trái, một bức chụp ở giữa và một bức chụp bên phải chẳng hạn) rồi sau đó ghép các ảnh đó lại Ảnh thu được theo cách này sẽ không chịu giới hạn nào về tầm nhìn và tỉ lệ dài - rộng như khi chụp trực tiếp bằng panoramic camera

Các nhiếp ảnh gia thực hiện ghép ảnh toàn cảnh bằng tay nhờ kỹ thuật dán kính ảnh ướt (wet-plate) Ví dụ, bức ảnh dưới đây được chụp bởi nhiếp ảnh gia George N Barnard:

Hình 1.7 Quang cảnh nhìn từ đỉnh núi Lookout, Tennessee, 1864

Quy trình ghép chuỗi các ảnh thành ảnh toàn cảnh đã được nghiên cứu để có thể thực hiện một cách tự động hoặc bán tự động Năm 1992, Brown nghiên cứu các kỹ thuật sắp xếp ảnh Nghiên cứu lĩnh vực này còn

có Szeliski (1994), McMillan và Bishop (1995), Kang và Szeliski (1997) Năm 1997, Szeliski và Shum giới thiệu một hệ thống tạo ra ảnh toàn cảnh Ảnh toàn cảnh này được tạo ra từ các ảnh được chụp bằng máy cầm tay Với kỹ thuật làm mờ bóng (deghosting), những sự thay đổi nhỏ về điểm nhìn có thể được khắc phục Năm 1997, Zoghiami giới thiệu một phương pháp sắp xếp các ảnh có sự chênh lệch đáng kể về góc quay và độ phóng đại Năm 1998, Capel và Zisserman giới thiệu một kỹ thuật khảm khác với

độ phóng đại siêu phân giải (supper-resolution) [7]

Ngày nay, người ta thường sử dụng các phần mềm ghép ảnh chuyên dụng để tạo ra ảnh toàn cảnh Trong hình 1.8, với đầu vào là 6 ảnh rời, phần mềm ghép ảnh cho kết quả là một ảnh toàn cảnh tương ứng:

Hình 1.8 Minh hoạ kết quả của phần mềm ghép ảnh

Sử dụng phần mềm ghép ảnh toàn cảnh, với dữ liệu đầu vào là chuỗi ảnh thành phần ta sẽ thu được kết quả là ảnh toàn cảnh tương ứng Quy trình ghép

tự động này gồm 3 công đoạn [6] sau:

- Sắp xếp các ảnh

Mỗi ảnh trong chuỗi ảnh đầu vào được sắp xếp vào đúng vị trí của nó Giữa hai ảnh liên tiếp trong chuỗi thường có một phần chồng lên nhau (overlap) Phần chung này sẽ được tính toán để ghép cho phù hợp Nếu lấy một ảnh làm chuẩn thì ảnh còn lại có thể được ghép vào phía trên, phía dưới, bên trái hoặc bên phải ảnh đó Các ảnh được ghép một cách lần lượt sao cho nó phù hợp nhất với ảnh kết quả hiện thời

- Nắn chỉnh biến dạng

Vì các ảnh được chụp ở các góc độ khác nhau nên không gian mà hai ảnh thu được sẽ không đồng nhất Hơn nữa, bản thân các ảnh thu nhận được cũng thường bị biến dạng do các thiết bị quang học và điện tử Đó là những nguyên nhân dẫn đến ảnh nhận được sau khi ghép thường bị méo, biến dạng và không đồng nhất Để khắc phục hiện tượng này, người ta thường sử dụng các phép chiếu Các phép chiếu này thường được xây dựng trên tập các điểm điều khiển

- Làm trơn vùng chuyển tiếp giữa các ảnh thành phần

Ảnh nhận được sau khi ghép và nắn chỉnh thường xuất hiện các đường nối

ở vùng chuyển tiếp giữa các ảnh thành phần Các đường nối này sẽ phá hỏng cảm giác ảnh toàn cảnh là một ảnh liên tục Nguyên nhân của hiện tượng này là

do sự chênh lệch cường độ sáng giữa các ảnh, sự thay đổi nhiệt độ, khí hậu, thời

điểm chụp hoặc thay đổi đặc tính bề mặt Ngay cả khi chuỗi ảnh thành phần được chụp gần như ở cùng một thời điểm thì sự khác biệt về film, máy quét,…cũng có thể tạo ra sự khác biệt cường độ, từ đó tạo ra các đường nối giữa chúng Vấn đề này có thể được giải quyết bằng nhiều kỹ thuật khác nhau như khớp biểu đồ màu sắc (histogram matching), đan đa phân giải (Multiresolution spline), lọc…

Tóm lại, cả hai kiểu khảm ảnh trên đều là ghép các ảnh nhỏ thành ảnh khảm Mục tiêu của khảm ảnh nhiều lớp là tạo ra ảnh khảm trông giống với bức ảnh mẫu nhất Còn mục tiêu của khảm ảnh toàn cảnh là tạo ra ảnh khảm có tính liên tục Nói cách khác, khảm ảnh nhiều lớp chú trọng đến hình khối và màu sắc Còn khảm ảnh toàn cảnh chú trọng đến chi tiết đường nét Vì thế, các

kỹ thuật trong khảm ảnh nhiều lớp tập trung vào khâu hiệu chỉnh màu sắc Còn các kỹ thuật trong khảm ảnh toàn cảnh chú trọng vào các khâu sắp xếp ảnh và làm trơn các miền chuyển tiếp giữa các ảnh thành phần

Một số kỹ thuật khảm ảnh

• Đan đa phân giải (Multiresolution spline)

• Lọc trung bình (Mean filter)

• Lọc trung vị (Median filter)

• Khớp biểu đồ màu sắc ( Color histogram matching).

• Khớp cạnh (Edge matching)

• Phân tích cấu trúc (Texture analysis)

• Phân tích hình khối (Shape analysis)

• Wavelets-based image matching

Hiện nay, một số phần mềm khảm ảnh đang được sử dụng như Easy Mosaic, AndreaMosaic, Mazaika, Autopano pro, Panorama Factory, Easypano Studio…

Chương 2 MỘT SỐ KỸ THUẬT KHẢM ẢNH 2.1 Kỹ thuật đan đa phân giải

Kỹ thuật đan đa phân giải là kỹ thuật khử đường nối giữa các ảnh thành phần trong ảnh khảm Kỹ thuật này có thể tạo ra đường nối trơn hoàn hảo mà vẫn bảo toàn được tối đa thông tin của ảnh gốc

Hình 2.1 Các hàm trọng số trong vùng chuyển tiếp

Phương thức trung bình trọng số có thể được sử dụng để tránh các đường biên khi ảnh khảm được tạo bởi các ảnh chồng lên nhau Mỗi ảnh được nhân với một hàm trọng số Hàm này đơn điệu giảm từ bên này sang bên kia đường biên của nó Sau đó, tổng hợp các ảnh thu được để tạo thành ảnh khảm Các

hàm trọng số mẫu được trình bày ở đây là trong không gian một chiều Độ rộng của miền chuyển tiếp T là tham biến cho phương thức này.

Chúng ta đang đề cập tới kỹ thuật đan trung bình trọng số Để bắt đầu, giả

sử rằng các ảnh được nối chồng lên nhau sao cho có thể tính được giá trị mức xám của mỗi điểm trong miền chuyển tiếp bằng cách tính trung bình có trọng

số của các điểm tương ứng trong mỗi ảnh Giả sử Fl(i) là ảnh bên trái và Fr(i)

là ảnh bên phải Giả sử các ảnh được đan tại điểm i^ Cho H l (i) một hàm trọng

số, hàm này đơn điệu giảm từ trái sang phải và cho Hr(i)=1-Hl(i) Sau đó, ảnh

đan F được cho bởi:

F(i) = Hl(i—i^ ) Fl(i) + Hr(i—i^ ) Fr(i).

Với một H thích hợp, kỹ thuật trung bình trọng số sẽ cho kết quả là miền chuyển tiếp mịn Tuy nhiên, chỉ riêng điều này chưa đảm bảo được vùng biên

sẽ được làm mờ Cho T là độ rộng của miền chuyển tiếp với Hl chạy từ 1 đến 0

Nếu T hẹp so với các điểm đặc trưng của ảnh thì biên có thể vẫn xuất hiện Mặt khác, nếu T rộng so với các điểm đặc trưng của ảnh thì trong miền chuyển tiếp các chi tiết của cả hai ảnh có thể xuất hiện chồng lên nhau, giống như trong một bức ảnh được phơi sáng hai lần [9]

Trong ví dụ này, ảnh khảm được tạo bằng cách nối nửa trái của hình 2.2a với nửa phải của hình 2.2b Nếu việc này được thực hiện mà không có bất kì biện pháp nào để làm mịn vùng chuyển tiếp ảnh (T=0) thì đường biên sẽ xuất hiện như trong hình 2.2c Nếu thay vào đó, các ảnh được nối bằng phương pháp trung bình trọng số trong một miền chuyển tiếp hẹp (T=8) thì cạnh bị mờ đi nhưng vẫn nhìn thấy được như trong hình 2.2d Khi các ảnh được đan với miền chuyển tiếp rộng (T=64) thì không nhìn thấy cạnh nữa nhưng trong miền chuyển tiếp các ngôi sao nhìn như được phơi sáng hai lần (hình 2.2e) Một miền T phù hợp chỉ có thể được chọn nếu các ảnh được đan chiếm một dải tần tương đối hẹp, xấp xỉ một quãng 8

Làm thế nào để đan các ảnh có dải tần vượt quá một quãng 8? Cách tiếp cận được đề xuất ở đây là đầu tiên các ảnh này có thể được tách ra thành một tập các ảnh thành phần band-pass Sau đó, mỗi phần đan với một T thích hợp Cuối cùng, các thành phần band-pass đã đan được nối lại với nhau thành ảnh khảm mong muốn Chúng ta gọi hướng tiếp cận này là đan đa phân giải Kỹ thuật này đã được sử dụng để tạo nên hình 2.2f

Trong việc phân tích ảnh thành nhiều dải tần số, điều quan trọng là dải tần trong ảnh gốc phải được phủ đều, mặc dù các dải tần bản thân chúng có thể chồng chéo lên nhau Thực tế, tập các bộ lọc low-pass - bộ lọc cho phép những ảnh có tần số bé hơn một tần số xác định đi qua được dùng để sinh một chuỗi các ảnh Trong các ảnh này, giới hạn dải tần của chúng giảm dần qua từng ảnh

với bước nhảy là một quãng tám Các ảnh band-pass có thể được tạo ra dễ dàng bằng cách trừ mỗi ảnh low-pass cho ảnh ngay trước nó Điều này không chỉ chắc chắn phủ hoàn toàn dải tần, mà còn có ý nghĩa là ảnh khảm cuối cùng

có thể dễ dàng tạo ra bằng cách tổng hợp các ảnh band-pass thành phần

2.1.1 Các phép toán hình chóp cơ bản

Chuỗi các ảnh lọc low-pass G 0 , G 1 , …, G N có thể được tạo ra bằng cách cuộn liên tiếp một hàm trọng số nhỏ với ảnh Với kỹ thuật này, mật độ ảnh mẫu sẽ giảm đi sau mỗi lần lặp, do đó độ rộng dải tần cũng giảm Sự giảm bớt mẫu cũng có nghĩa là chi phí tính toán sẽ giảm xuống mức tối thiểu [9]

Hình 2.3 Lọc liên tiếp một chiều

Mỗi dòng các dấu chấm trong hình 2.3 biểu diễn các mẫu hoặc các điểm

ảnh của một trong các ảnh đã được lọc Dòng thấp nhất G 0 là ảnh gốc Giá trị của mỗi node ở dòng G1 được tính bằng trung bình trọng số của 1 mảng con

kích thước 5 x 5 của các node G 0 Sau đó, các node của dòng G 2 được tính từ

G 1 cũng với trọng số tương tự Tiến trình được lặp đi lặp lại để tính G 2 từ G 1,

G 3 từ G 2 và cứ tiếp tục như vậy Khoảng cách mẫu được nhân đôi sau mỗi lần lặp, do đó các mảng liên tiếp chỉ rộng bằng một nửa mảng trước nó Nếu chúng ta hình dung các mảng này được xếp mảng nọ chồng lên mảng kia thì kết quả sẽ là một cấu trúc dữ liệu hình chóp Nếu kích thước ảnh gốc là (2N +1)

Mẫu trọng số w(m, n) được sử dụng để sinh mỗi mức hình chóp từ mức

liền trước nó được gọi là nhân hàm sinh Các trọng số này được chọn theo bốn điều kiện:

Đầu tiên, để thuận tiện cho tính toán, nhân hàm sinh phải tách được:

Thứ hai, mỗi hàm một chiều là đối xứng ( xem hình 2.3):

Thứ 3, là không tầm thường: a + 2b + 2c = 1

Cuối cùng, mỗi node của mức l phải đóng góp cùng một trọng số tổng vào

các node của mức l +1, vì thế a + 2c = 2b Bây giờ, kết hợp các ràng buộc, chúng ta nhận thấy rằng a có thể coi là biến tự do, b = l/4 và c = l/4 – a/2.

2.1.1.1 Hàm trọng số tương đương

Rõ ràng là mỗi node mức l trong hình chóp tương ứng với một trung bình trọng số của mảng con 5 x 5 các node của mức l - 1 Mỗi một lần lặp tương ứng với một giá trị trung bình của mảng con của mức l - 2 Theo cách này,

chúng ta có thể truy vết được các trọng số từ node đã cho của hình chóp ngược

trở lại ảnh G 0 để nhận được “hàm trọng số tương đương” W l thoả mãn Nếu

được cuộn trực tiếp với ảnh gốc, nó sẽ cho các giá trị node giống hệt tại mức l

Thật là tiện lợi khi thảo luận về tính toán dựa trên hình chóp dưới dạng các hàm trọng số tương đương, mặc dù tiến trình lặp REDUCE hiệu quả hơn nhiều

và được sử dụng trong tất cả các tính toán

Các hàm trọng số tương đương có nhiều tính chất quan trọng trong các toán tử lọc và đan Tính co giãn của các hàm này tăng gấp đôi sau mỗi mức

của hình chóp trong khi dáng điệu của chúng không thay đổi Dáng điệu hàm

phụ thuộc vào giá trị của các tham biến a trong nhân hàm sinh Ví dụ, nếu a = 0,5 thì tất cả các hàm sẽ có dạng tam giác (triangular in shape) Nếu a = 0,4 thì

các hàm sẽ tương tự với hàm mật độ xác suất Gauss Việc cuộn với hàm Gauss

sẽ cho hiệu ứng ảnh lọc low-pass Cấu trúc hình chóp tương đương với cuộn ảnh với một tập các hàm giống như hàm Gauss để tạo ra tập các ảnh lọc tương

ứng Chúng ta sẽ xét chuỗi các ảnh G 0 , … G N này như là hình chóp Gauss

Giả sử các mẫu (điểm ảnh) trong G 0 cách nhau một đơn vị khảng cách Các mẫu tại mức l cách nhau khoảng 2l Điều này có thể được thể hiện bằng

độ rộng của hàm trọng số tương đương Wl là 2 l+2, phủ 2l+2 – 3 mẫu ảnh hoặc

khoảng cách mẫu giảm bốn lần Với mọi i, j và l: ( , ) 1

2 2

2 2 ,

j i

Kết quả này có được từ tính chất phân bố đều của nhân hàm sinh Dáng

điệu Gauss và các đặc tính tổng hợp của các hàm W l có ý nghĩa là chúng ta có

thể tạo nên hàm trọng số H cần tìm để đan ảnh (Hình 2.1) Giả sử rằng W l liên quan tới mỗi node trong nửa trái của Wl trong khi trọng số bằng 0 với các node bên phải Sau đó, tổng của các hàm này sẽ tạo thành một hàm điệu giảm từ 1

xuống 0 với miền chuyển tiếp độ rộng T gấp 3 lần khoảng cách mẫu mức l

Tính chất này sẽ được sử dụng trong kỹ thuật đan đa phân giải dựa trên hình

chóp (pyramid-based multiresolution spline), mặc dù các hàm H và W không

bao giờ tính được một cách cụ thể

2.1.1.2 Hình chóp Laplace

Hình chóp Gauss là tập các ảnh lọc low-pass Để tạo ra các ảnh band-pass, chúng ta trừ mỗi mức của hình chóp cho mức liền trước nó Vì các mảng này khác biệt về mật độ mẫu, nên trước khi trừ cần phải nội suy các mẫu trung gian Phép nội suy có thể đạt được bằng cách đảo chiều tiến trình REDUCE Chúng

ta sẽ gọi phép toán tử này EXPAND Đặt G l,k là ảnh thu được bằng cách mở rộng Gl k lần: G l,0 =G l

Và với k>0: G l,k =EXPAND [G l,k-1 ]

Với EXPAND, chúng ta đã thực hiện:

Gl,k(i,j)=4 (2 2 ,2 2 )

2 2

n j m i

Vì không có mảng mức cao hơn để trừ cho GN, nên chúng ta định nghĩa LN

= GN Khi giá trị của mỗi node trong hình chóp Gauss thu được trực tiếp từ việc

cuộn hàm trọng số W l với ảnh Mỗi node của L l có thể thu được trực tiếp bằng

cách cuộn W l -W l+1 với ảnh

Các bước tạo ra hình chóp Laplace cũng có thể được đảo ngược để khôi

phục lại ảnh gốc G 0 một cách chính xác Mức trên cùng của chóp, L N, được mở

rộng và cộng vào L N-1 để khôi phục G N-2. Mảng này sau đó được mở rộng và

cộng L N-2 để được G N-2 và cứ tiếp tục như vậy Ta có thể viết:

2.1.1.3 Các điều kiện biên

Cả hai toán tử REDUCE và EXPAND cần đặc biệt chú ý tới các nút biên

Ví dụ, khi một thủ tục REDUCE được thực hiện, nhân hàm sinh cho mỗi node

biên tại mức G l=1 mở rộng thêm hai node so với G l Vì thế, trước khi thực hiện

REDUCE hay EXPAND, mỗi bên G l được tăng lên hai hàng node Các giá trị được gán tại các nút cho bởi phép phản xạ và đảo ngược qua các node biên Vì

thế, nếu G l (0,j) là node biên trái của G l, chúng ta đặt:

G l ( -1, j) = 2G l (0, j) – G l (1, j)

Và tương tự: G l ( -2, j) = 2G l (0, j) – G l (2, j).

2.1.2 Kỹ thuật đan đa phân giải