Dạng 3: Tìm giới hạn của biểu thức được xây dựng từ dãy số cho trướcBài 1: Cho dãy số được xác định bởi: Tìm Bình luận:+ Từ Giả thiết ta có + Hay + Chỉ ra dãy đơn điệu tăng+ Giả sử , khi đó ta lại tìm được a = 0, nên mâu thuẫn với giả thiết+ Vậy + Kết quả Bài 2: Cho dãy số được xác định bởi: Tìm .Bình luận:+ Từ giả thiết + Vậy , mà + Ta tìm được + Kết quả: Bài 3: Cho dãy số được xác định bởi: Tìm Bình luận:+ Từ giả thiết ta tìm được: + Tính được tổng + Chỉ ra dãy số dương, đơn điệu tăng+ Giả sử có giới hạn hữu hạn, dẫn tới vô lý, nên + Kết luận:
Trang 1PHẦN I: HÀM SỐ LIÊN TỤC
I Các khái niệm:
1 Các định nghĩa
1.1 Định ngĩa 1: Hàm số f(x) xác định trên (a,b) và ∀ ∈x0 ( , )a b Ta nói rằng hàm số f liên tục tại điểm x0 nếu 0
0
lim ( ) ( )
Các ví dụ:
* Ví dụ 1: Các hàm số sơ cấp xác định trên toàn miền xác định
* Ví dụ 2: Xét hàm số
1
( )
x
x
=
Hàm số gián đoạn tại x = 0, vì không có giới hạn tại x = 0, tức là không tồn tại 0
lim ( )
→
* Ví dụ 3: Hàm số Điriclê:
1;
( )
0;
x Q
D x
x I
∈
= ∈
Hàm số gián đoạn tại mọi điểm x0∈R, vì hàm số không có giới hạn tại bất kì một điểm x0 nào thuộc R
* Ví dụ 4: Hàm số
sin
( )
x x
x
=
Hàm số gián đoạn tại x = 0 vì 0 0
sin
x
x
1.2 Định nghĩa 2: Hàm số liên tục một phía
1.2.1 Hàm số liên tục phải: 0
0
lim ( ) ( )
Ví dụ: Xét hàm số
2
f x = −x
, ta có
2
Vậy hàm số liên tục phải tại điểm x = -1
1.2.2 Hàm số liên tục trái: 0
0
Ví dụ: Xét hàm số
2
f x = −x
, ta có
2
Vậy hàm số liên tục trái x = 1
Trang 21.3 Các loại điểm gián đoạn:
1.3.1 Điểm gián đoạn loại 1(hay còn gọi là gián đoạn bỏ được): Nếu f có giới hạn phải và giới hạn trái hữu hạn tại điểm x0
0
( 0) lim ( )
x x
→
0
( 0) lim ( )
x x
→
1.3.2 Điểm gián đoạn loại 2: Điểm gián đoạn không là loại 1 thì là điểm gián đoạn loại 2
Ví dụ:
* Ví dụ 1: Xét hàm số
( )
x x
f x
x
<
(1 0) lim ( ) lim 2 2 (1)
(1 0) lim ( ) lim 1 (1)
Hàm số liên tục phải tại điểm x = 1, nhưng không liên tục trái tại x = 1, tuy nhiên do f(1+0) và f(1-0) đều hữu hạn nên x = 1 là điểm giới hạn loại 1 của hàm số f
* Ví dụ 2: Xét hàm số
2
1
( )
x
x
=
Hàm số gián đoạn tại x = 0, mặt khác 0
lim
x→ + = +∞
nên x = 0 là điểm gián đoạn loại 2 của hàm số đã cho
* Ví dụ 3: Xét hàm số Điriclê:
1;
( )
0;
x Q
D x
x I
∈
= ∈
Hàm số gián đoạn tại mọi điểm x0∈R, vì hàm số không có giới hạn tại bất kì một điểm x0 nào thuộc R, nên mọi điểm x thuộc R đều là điểm gián đoạn loại
2 của hàm số
* Ví dụ 4: Hàm số
1
( )
x
=
Tại x = 0 là điểm gián đoạn loại 1 của hàm số
* Ví dụ 5: Hàm số
2 1; 2 ( )
f x
= − >
Hàm số liên tục trên R
Trang 31.4 Hàm số liên tục trên khoảng (a;b): Nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó
1.5 Hàm số liên tục trên đoạn [a;b]: Nếu liện tục trên (a;b) và liên tục phải tại a và liên tục trái tại b
1.6 Liên tục đều:
1.6.1 Định nghĩa: Hàm số f được gọi là liên tục đều trên D nếu với mỗi số
0
ε >
nhỏ tùy ý cho trước tồn tại số δ >0 sao cho ∀x x1, 2∈D sao cho
x −x < ⇒ δ f x − f x < ε
1.6.2 Ví dụ:
* Ví dụ 1: Xét hàm số f(x) = 4x +2017
Ta có D = R ∀x x1, 2∈ ∀ >R, ε 0 nhỏ tùy ý, tồn tại 2
ε
δ =
sao cho x1−x2 <δ thì
f x − f x = x + − x − = x −x < δ ε =
* Ví dụ 2: Xét hàm số f(x) = x2 Hàm số này liên tục trên R? Nhưng không liên tục đều trên R
Thật vậy ta chỉ ra rằng: Tồn tại ε >0 cho trước với mọi số δ >0 sao cho
1 , 2
x x D
sao cho x1−x2 < ⇒δ f x( )1 − f x( )2 ≥ε
Ta chọn
;
2
, khi đó
1 2
2
x −x = < δ δ
, nhưng
2
2 2
4
f x − f x = x −x = +δ >
II Các định lí:
2.1 Định lí Vâyơxtrat
Nếu Hàm số f liên tục trên [a,b] thì:
a) f bị chặn trên đoạn [a.b]
b) f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên [a,b]
Ví dụ:
Ví dụ 1: Hàm số
1 ( )
f x
x
=
liên tục trên khoảng (0;+∞) bị chặn dưới bởi 0, nhưng không bị chặn trên Hàm số không đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên khoảng (0;+∞)
Trang 4Ví dụ 2: Hàm số f(x) = x liên tục trên (-1;1) nhưng không bị chặn trên khoảng này nên không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên khoảng đó
2.2 Định lí Bônsano- Côsi
Nếu hàm số f liên tục trên [a;b] và α là số thực giữa f(a) và f(b) thì tồn tại ít nhất một điểm c∈[ ; ]a b sao cho f(c) = α
2.3 Hệ quả: Nếu f liên tục trên [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c∈[ ; ]a b sao cho f(c) = 0
Ví dụ:
Ví dụ 1 Cho hàm số f(x) = -x2 -2x +3 liên tục trên [-1;4] và f(-1) = 4 > 0; f(3) = -12 < 0, khi đó tồn tại c∈[-1;3] sao cho f(c) = 0 Tìm được c = 1
III Bài tập:
Bài1: Tìm các số thực a, b sao cho hàm số
2
ax b x
bx a x
= < <
liên tục tại điểm x = 1, nhưng gián đoạn tại x = 2
Bình luận:
ĐS: a – b = 3; b≠3
Bài 2: Cho hàm số f x( ) liên tục trên [0;1] Chứng minh rằng ∀ ∈n N tồn tại
một điểm c∈[0;1] sao cho
1 ( )
f c f c
n
≥ + ÷
Bình luận:
+ Do f(x) liên tục trên [0;1] nên tồn tại giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ nhất m sao cho m≤ f x( )≤M,∀ ∈x [0;1]
+ Vì M là giá trị lớn nhất của f(x) trên [0;1] nên tồn tại c∈[0;1] sao cho f(c) =
M, do đó f c( )≥ f x( ) với ∀ ∈x [0;1]
+ Đặt
1
x c
n
= +
sao cho
1 [0;1]
x c
n
= + ∈
, ta có
1 ( )
f c f c
n
≥ + ÷
Bài3: Cho hàm f(x) liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn f(0) = f(1) Chúng
minh rằng phương trình
1 ( )
2017
f x = f x +
có nghiệm trên [0;1]
Trang 5Bình luận:
+ Xét hàm số
1
2017
g x = f x + − f x
trên
2016 0;
2017
Ta có:
1
2017
+ Cộng vế với vế ta được:
g +g + +g = f − f =
+ Do đó tồn tại ít nhất 2 điểm i j, ∈{0,1,2, , 2016}
sao cho
0 2017
i
g ≤÷
và
0
2017
j
g ≥÷
+ Nếu
0 2017
i
g =÷
hoặc
0 2017
j
g =÷
thì ta có điều phải chứng minh
+ Nếu
0 2017
i
g <÷
và
0 2017
j
g >÷
Do hàm g(x) liên tục trên [0;1] nên tồn tại
2017 2017
sao cho g(x0) = 0 + Vậy phương trình đã cho có nghiệm
Bài4: Cho f(x) là hàm liên tục trên [0;1], f(0) > 0 và
1
0
1 ( )
2017
f x dx<
∫
Chứng minh rằng phương trình x2016 = f(x) luôn có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [0;1]
Bình luận:
+ Xét hàm số g(x) = x2016 – f(x) trên [0;1] Khi đó g(x) cũng liên tục trên [0;1]
+ Ta có g(0) = 0 – f(0) < 0(d0 f(0) > 0)
Trang 6+ Mặt khác
2016
1
2017
g x dx= x − f x dx= − f x dx>
Nên tồn tại ít nhất
1 (0;1)
x ∈
để g(x1) > 0
+ Vì g(0) g(x1) < 0, do đó tồn tại x0∈(0; )x1 ⊂(0;1)để g(x0) = 0
Vậy phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm là x0
Bài5: Cho f là hàm liên tục trên R và
lim ( )
x
f x
Giả sử tồn tại 2017 số a1,
a2, , a2017 sao cho f(a1) + f(a2) + +f(a2017) = 2017 Chứng minh rằng
tồn tại 2017 số b1, b2, , b2017 sao cho bi > ai, i =1,2017 và f(b1) + f(b2) + +f(b2017) = 2018
Bình luận:
+ Đặt g(x) = f(a1 +x) + f(a2 + x) + +f(a2017 + x) – 2018, x R∈ Khi đó g(x)
là hàm liên tục trên R
+ Ta có g(0) = f(a1) + f(a2) + +f(a2017) – 2018 = 2017 – 2018 = - 1 < 0 (1)
+ Mặt khác
lim ( )
x
f x
nên
lim ( )
x
g x
→+∞ = +∞
suy ra ∃ >x1 0 để g(x1) > 0 (2) + Từ (1) và (2) tồn tại x0∈(0; )x1 để g(x0) = 0
+ Đặt b i = + >a i x0 a i,∀ =i 1, 2017 Khi đó
f b + f b + + f b − = ⇔ f b( ) 1 + f b( ) 2 + + f b( 2017 ) 2018 =
Trang 7Bài tập tuần 03 Dạng 2: Tìm giới hạn của dãy
Bài 1: Cho dãy số { }u n
được xác định bởi:
1; u , 1, 2,
u =u = u + = u + − n=
Tìm lim( )n
→+∞
Bình luận:
Bài 2: Cho dãy số { }u n
được xác định bởi:
0 1; 1 2 , 1, 2,
1
n n
n
u
u
+
= = =
+
Tìm lim( )n
→+∞
Bình luận:
Bài 3: Cho dãy số { }u n
được xác định bởi:
1
0 0; ( 1) , 1
2016
n n
n
u
u = u = − + − n≥
Tìm lim( )n2
→+∞
Bình luận:
Bài 4: Cho dãy số { }u n
được xác định bởi:
1
u = n+ u + =n u − −n n≥
Tìm lim( )n
→+∞
Bình luận:
Bài 5: Cho dãy số { }u n
được xác định bởi: u0 =1,u1 =3;u n+2 =4u n+1−4 ,u n n ≥2
Tìm
lim
.2
n n n
u
n
→+∞
÷
Bình luận:
Bài 6: Cho dãy số { }u n
được xác định bởi:
1
1 2016
2
n
u
−
−
= = + ÷ ≥
Tìm
( )
lim n
→+∞
Bình luận:
Bài 7: Cho dãy số { }u n
được xác định bởi:
2
1
n n
u
u = u + = − n≥
Trang 8Chứng minh rằng
( )
lim n 1 3
Bình luận:
Bài 8: Cho hai dãy số { }u n
và { }v n
được xác định bởi:
2015 2017
;
2016 2016
u = v =
và
,
Tìm
2017
lim
n
u v
→+∞
=
+ ÷
Bình luận:
Trang 9Bài tập tuần 04 và bình luận Dạng 3: Tìm giới hạn của biểu thức được xây dựng từ dãy số cho trước Bài 1: Cho dãy số { }u n
được xác định bởi:
2
Tìm
1 2
n
n
u
u u
→+∞
+
+ + +
Bình luận:
+ Từ Giả thiết ta có
2
1 1
u u
+ +
−
− = ⇔ =
1 1 2017
k
u
= − ÷
+ Chỉ ra dãy đơn điệu tăng
+ Giả sử lim( )n 1
, khi đó ta lại tìm được a = 0, nên mâu thuẫn với giả thiết
+ Vậy
( )
lim n
+ Kết quả
1 2
lim n 2017
n
n
u
u u
→+∞
+
+ + + =
Bài 2: Cho dãy số { }u n
được xác định bởi:
2
1 5; n 1 n 2, 1, 2,
u = u + =u − n=
Tìm
1
1 2
lim
n n
n
u
u u u
+
→+∞
÷
Bình luận:
+ Từ giả thiết 2 ( 2 )2 2 2 2
1 2 1 4 ( 4), 1, 2,
u + = u − ⇒u + − =u u − n=
+ Vậy
, mà u1=5
2 1
2
4 21
n
u
+
= +
÷
Trang 10+ Kết quả:
1
1 2
n n
n
u
u u u
+
→+∞
=
÷
Bài 3: Cho dãy số { }u n
được xác định bởi: ( 2017)
1 1; n 1 n 1 n , 1, 2,
u = u + =u +u n=
Tìm
2017
2017 2017
n
n
u
→+∞
+
+ + +
Bình luận:
+ Từ giả thiết ta tìm được:
2017
1 1
k
u
u + =u −u +
+ Tính được tổng
2017
2017 2017
1 1 n
u
+ + + = −
+ Chỉ ra dãy số dương, đơn điệu tăng
+ Giả sử có giới hạn hữu hạn, dẫn tới vô lý, nên lim( )n
+ Kết luận:
2017
2017 2017
n
n
u
→+∞
+
+ + + =
Bài 4: Cho dãy số { }u n
được xác định bởi: u1 =1;u n =nu n−1+n,n≥2,
Tìm 1
1 lim 1
n
n
+
÷
∏
Bình luận:
+ Ta có: u1=1, u2 =2u1+ =2 2.1 2+
3 2
3!
3 3 3.2.1 3.2 3 3! 3!
2!
u = u + = + + = + +
4! 4!
4 4 4.3.2.1 4.3.2 4.3 4 4! 4!
2! 3!
u = u + = + + + = + + +
1
−
= + = + + + + + = + + + + ÷
Trang 11+ Mặt khác ta có: 1 1 1 ( 1 )
1 1
1 1.2.3 !
+ = + = + = + = +
÷
÷ ÷ + ÷
+ Vậy 1
1! 2! !
n
+ = + + + +
÷
∏
+ Kết luận: 1
1! 2! !
n
k
e
+ = + + + + =
÷ ÷
∏
Bài 5: Cho dãy số { }u n
được xác định bởi:
2
2016
2017
n
u = u+ = + n≥
lim
1
n
k
k
u u
+
− ÷
∑
Bình luận:
+ Từ giả thiết ta rút ra được: 1 1
2017
k
u
= − ÷
− − −
+ Cho k thay đổi, ta được: 1 1 1
1
2017 1
n k
u
= −
− ÷ − ÷
∑
+ Chỉ ra dãy tăng
+ Giả sử dãy un có giới hạn chỉ ra vô lý , nên lim( )n
+ Kết luận: 1 1
1
n k
k
u u
+
=
− ÷
∑
Bài 6: Cho dãy số { }u n
được xác định bởi:
1 1 1
n
n u
= + ÷ + ÷ + ÷
Tìm lim ln( n)
→+∞
Bình luận:
+ Ta chứng minh được:
2 ln(1 ) , 0 2
x
x− < + <x x x>
+ Từ giả thiết ta có
lnu n ln 1 ln 1 ln 1 n
= + ÷+ + ÷+ + + ÷
+ Xét với
2
i x n
=
ta được:
2
2
− < + ÷<
Trang 12+ Vậy
1 2 1 2 ln 1 2
n + + + − n + + + < < n + + +
+ Kết quả
lim ln
2
n
Bài 7: Cho a>0 và dãy số { }u n
được xác định bởi:
2
1 ; 1 u , 1,
2017
n
u
u =a u + = + n≥
lim
n
k n
u u
+
÷
∑
Bình luận:
+ Từ giả thiết ta rút ra được: 1 1
1 1 2017
k
u
u + u u +
= − ÷
+ Cho k thay đổi, ta được: 1 1 1 1
1 1 2017
n k
u
= −
÷ ÷
∑
+ Chỉ ra dãy tăng
+ Giả sử dãy un có giới hạn chỉ ra vô lý , nên
( )
lim n
+ Kết luận: 1 1
2017 lim
n k n
u
+
=
÷
∑