Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.. Mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S và vuông góc với mặt đáy ABCD.. Tính co
Trang 1Đề Kiểm tra chất lợng Lớp KHTN
Môn : Toán 12
Ngày 06/09/2008
Thời gian làm bài: 150 phút
-Câu 1( 2,5 điểm)
Cho hàm số: y = 4 x3 − 3 x
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2 Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;-3)
Câu 2( 2,25 điểm)
1 Cho phơng trình: m( 2+ −x 2−x) =2( 4−x2 − 2+ +x 2−x)−3m
Hãy tìm m để phơng trình có nghiệm.
2 Giải phơng trình: (sin x − cos ) x 2 + 3 cos 2 x = 2
Câu 3( 2,25 điểm)
1 Cho x và y là các số thực dơng thoả mãn : 4 x + 9 y = 6
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 2 1
2
xy
+
2 Trong khai triển (3 )n 0 1 n
n
+ = + + + hãy tìm hệ số của x8 biết rằng
0 1 1
n
a
−
Câu 4( 3,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho các đờng thẳng:
d1 : 2x + y + 3 = 0 ; d2 : x - 2y - 4 = 0 và d3 : x + 2y = 0
Tìm toạ độ điểm M trên đờng thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đờng thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M tới đờng thẳng d2
2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S và vuông góc với mặt đáy (ABCD)
a Tính cosin của góc tạo bởi đờng thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).
b Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AB và SC
Trang 2Hớng dẫn chấm đề kiểm tra chất lợng đầu năm học 2008-2009
Môn: Toán 12- Ban KHTN
(Hớng dẫn chấm này có 4 trang)
1
Cho hàm số: y=4x3−3x.
1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1.5)
2.Sự biến thiên:
0.25
a.Chiều biến thiên:
Ta có : y'=12x2−3
0
2
2
x= −
Trên các khoảng ; 1
2
1
; 2
ta có
' 0
y > , trên khoảng 1 1;
2 2
có y'<0 Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1
2
1
; 2
; hàm
số nghịch biến trên khoảng 1 1;
2 2
b.Cực trị:
Tại 1
2
x= − hàm số đạt giá trị cực đại y CD =1 Tại 1
2
x= hàm số đạt giá trị cực tiểuy CT = −1 0.25 c.Giới hạn: lim lim 3 4 32
x
3
2
3
x
d.Bảng biến thiên:
x −∞ 1
2 − 1
2 +∞
y’ + 0 - 0 +
1 +∞
y −∞ -1
3.Đồ thị:
* Điểm uốn: y" =24x; y" = ⇔ =0 x 0
Vì y đổi dấu khi x đi qua x = 0 Vậy đồ thị hàm số có điểm uốn U(0;0)"
*Giao của đồ thị với Ox là: 3;0
2
−
3
;0 2
*Vẽ đồ thị
* Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
0.25
0.25
0.25
Trang 3Bài ý Nội dung Điểm
1 2
2.Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;-3) (1.0)
Xét tiếp tuyến tại 3
( ; 4 3 )
M x x − x của đồ thị hàm số Phơng trình tiếp tuyến là:
Tiếp tuyến trên đi qua điểm A(1 ; -3) khi và chỉ khi
3 (12x 3)(1 x ) 4x 3x
8x 12x 0
2
Với x0 =0 thay vào (1) ta có phơng trình tiếp tuyến là: y= −3x
0.25 Với 0 3
2
x = thay vào (1) ta có phơng trình tiếp tuyến là: y=24x−27 Kết luận: Có hai tiếp tuyến thoả mãn yêu cầu của bài toán
2
1
1.Cho phơng trình:
m( 2+ −x 2−x) =2( 4−x2 − 2+ +x 2−x)−3m (1)
Hãy tìm m để phơng trình có nghiệm
(1.25)
0.25 0.25 0.25 0.25
Đặt 2+ −x 2− =x t ta có t∈ −[ 2; 2] Khi đó 2 4−x2 = −4 t2.
Vậy phơng trình đã cho trở thành phơng trình:
2
3
t t
m t
− − + =
Phơng trình (1) có nghiệm ⇔phơng trình (2) có nghiệm t∈ −[ 2; 2]
⇔
m
4
4
5 m
2
2 Giải phơng trình: (sinx−cos )x 2 + 3 cos 2x=2 (1.0)
Ta có (1) ⇔1 sin 2− x+ 3 cos 2x=2⇔ −sin 2x+ 3 cos 2x=1 0.25
0.25 1
sin(2 )
…⇔
12
x= π +kπ
và 3
4
x= π +kπ
Kết luận: 0.250.25
1 Cho x và y là các số thực dơng thoả mãn : 4x+9y=6 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 2 1
2
xy
+
(1.25)
3
Vì x,y > 0 nên áp dụng BĐT CôSi ta có : 6 4= x+9y≥2 4 9x y 0 1
4
xy
Đặt xy = t Yêu cầu bài toán đa về: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ( ) 2 1
2
f t t
t
= +
+
với 0 1
4
t
0.25
Xét hàm số: ( ) 2 1
2
f t t
t
= +
'
2
1
( 2)
f t
t
1 0
4
t
⇒ f(t) đồng biến trên 0;1
4
Do đó 0;1
4
t
∈
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 17
18 khi
x y
x y
=
3 4 1 3
x y
=
=
0.25
Trang 4Bài ý Nội dung Điểm
2 Trong khai triển (3 )n 0 1 n
n
x a a x a x
+ = + + + hãy tìm hệ số của x8 biết
n
a
−
(1.0)
Ta có :
0
(3 )n n k.3 n k k
n k
x C − x
=
+ =∑ Vậy trong khai triển trên ta có 3 n k k
a = − C 0.25
Do đó:
n
a
−
C +C + +C + +C = 0.25
⇔ (1 1)+ n =1024⇔n = 10 0.25 Vậy hệ số của x8 trong khai triển trên là :a8 =C108.32 =405 0.25
4
1
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho các đờng thẳng:
d1 : 2x + y + 3 = 0 ; d2 : x - 2y - 4 = 0 và d3 : x + 2y = 0 Tìm toạ độ điểm M trên đờng thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đờng
thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M tới đờng thẳng d2
(1.0)
Vì M thuộc đờng thẳng d3 nên toạ độ của điểm M(-2y0 ; y0) 0.25 Khoảng cách từ M đến đờng thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M tới đờng thẳng
d2 ⇔ 4 0 0 3 2 0 2 0 4
2
0.25
⇔ 3y0 − =3 8y0+8 hoặc 3y0− = −3 8y0− ⇔8 0 11
5
y = − hoặc 0 5
11
y = − 0.25
Vậy có hai điểm thoả mãn yêu cầu bài toán: (22; 11)
M − và (10; 5)
11 11
2
2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S và vuông góc với mặt đáy (ABCD)
a Tính cosin của góc tạo bởi đờng thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)
b Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AB và SC
(2.0)
S
a Tính cosin của góc tạo bởi đờng thẳng
SC và mặt phẳng (ABCD) I
B C
H K
A D
(1.0)
Gọi H là trung điểm của AB Do SAB là tam giác vuông cân tại S⇒ SH ⊥AB Lại
SAB ABCD
SH ABCD SAB ABCD AB
0.25
⇒Hình chiếu của SC lên mp(ABCD) là HC Vậy góc giữa đờng thẳng SC và
mp(ABCD) là SCH∠
Trong tam giác vuông SHC có:
2 2
2
4 cos
a a
SCH
SC SH HC SH BH BC a a
a
+ +
5 7 0.25
0.5
