giải bài tập toán 8 tập 1

KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Quy tắc: Muốn nhân một đa thức với một đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau... PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀ

PHẦN ĐẠI SỐ

CHƯƠNG 1: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC

§1: NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Quy tắc nhân đơn thức với đa thức

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng số hạng của đa thức rồi cộng các tích với nhau

Công thức: Cho A, B, C, D là các đơn thức, ta có: A(B+C-D) = AB + AC –AD

2 Nhắc lại các phép tính về lũy thừa

a) x2( 5x3 – x - 1

2

3x2yc) (4x3 – 5xy + 2x)( - 1

- Được bao nhiêu đem nhân với 2

- Lấy kết quả trên cộng với 10

- Nhân kết quả vừa tìm được với 5

- Đọc kết quả cuối cùng sau khi đã trừ đi 100

Tồi sẽ đoán được tuổi của bạn Giải thích tại sao

5 Rút gọn biểu thức: a) x(x – y) + y(x – y)

b) x n -1(x + y) – y(x n – 1 + y n – 1)

6 Đánh dấu x vào ô mà em cho là đáp số đúng :

Giá trị của biểu thức ax(x – y) + y3(x + y) tại x= -1 và y= 1 ( a là hằng số) là

a-a +2-2a2aGiải 1

Vì vậy, khi đọc kết quả cuối cùng, thì tôi chỉ việc bỏ đi một chữ số 0 ở tận cùng là ra số tuổi của bạn Chẳng hạn bạn đọc là 130 thì tuổi của bạn là 13.

§2 NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.Quy tắc: Muốn nhân một đa thức với một đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng

tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

2 Công thức: Cho A, B, C, D là các đa thức ta có:

9 Điền kết quả tính được vào bảng :

= x3y2 – 2x2y3 - 1

2x2y + xy2 + 2xy – 4y2b) (x2 – xy + y2)(x + y) = x2.x+ x2.y + (-xy).x + (-xy).y + y2.x + y2.y

= x3 + x2y– x2y – xy2 + xy2 + y3 = x3 + y3

9 Trước hết, ta làm tính nhân để rút gọn biểu thức, ta được :

( x – y)( x2+ xy + y2) = x.x2 + x.xy + x.y2 + ( - y).x2 + (-y).xy + (-y).y2

= x3 + x2y + xy2 – yx2 – xy2 – y3 = x3 – y3Sau đó tính giá trị của biểu thức x3 – y3

Giá trị của x và y Giá trị biểu thức x3 – y3

14 Tìm ba số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 192.

12 Trước hết thực hiện phép tính và rút gọn, ta được :

(x2 – 5)(x + 3) + (x + 4)(x – x2) = x3 + 3x2 – 5x – 15 + x2 – x3 + 4x – 4x2

= x3 – x3 + x2 – 4x2 – 5x + 4x - 15

= - x – 15a)với x = 0 : - 0 – 15 = -15

B.HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

1 Bài tập mẫu : a) Tính (2a + 3) 2 ; (3a – 2)2

b) Viết biểu thức dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

x2 – 4x + 4; 9x2 + y2 + 6xy

c) Tính nhanh: 1012 ; 2992 ; 110.150

Giảia) (2a + 3)2 = (2a)2+ 2.2a.3 + 32 = 4a2 + 12a + 9

(3a – 2)2 = (3a)2 – 2.3a.2 + 22= 9a2– 12a + 4

b) x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2

16 Viết các biểu thức sau đây dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu :

a) x2 + 2x + 1 b) 9x2 + y2 + 6xy c) 25a2 + 4b2 – 20ab d) x2 – x + 14

17 Chứng minh rằng: (10a + 5)2 = 100a a(a + 1) + 25

Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số

5 Áp dụng để tính: 252; 352; 652; 752

18 Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẵng thức bị mực làm nhòe đi một

số chỗ: a) x2 + 6xy + … = ( … + 3y)2 b) … - 10xy + 25y2 = ( … - …)2

Hãy nêu một đề bài tương tự

19 Đố Tính diện tích phần hình còn lại mà không cần đo

Từ một miếng tôn hình vuông có canh bằng a + b, bác thợ cắt đi một miếng cũng hình vuông

có cạnh bằng a – b ( cho a > b) Diện tích phần hình còn lại là bao nhiêu? Diện tích phần hình còn lại có phụ thuộc vào vị trí cắt không?

Giải

16 a) x2 + 2x + 1 = x2 + 2.x.1+ 12 = ( x + 1)2

b) 9x2 + y2 + 6xy = (3x)2 + 2.3.x.y + y2 = (3x + y)2

c) 25a2 + 4b2 – 20ab = (5a)2 – 2.5.a.2b + (2b)2 = (5a – 2b)2

Hoặc 25a2 + 4b2 – 20ab = (2b)2 – 2.2b.5a + (5a)2 = (2b – 5a)2

(10a + 5)2 = 100a(a + 1) + 25Vậy để tính bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bởi chữ số 5 ta tính tích a(a + 1) rồi viết 25 vào bên phải.

Áp dụng :

 Để tính 252 ta tính 2(2 + 1) = 6 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 625

 Để tính 352 ta tính 3(3 + 1) = 12 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 1225

 652 = 4225

 752 = 5625

18 a) x2 + 2.x.3y + … = (… + 3y)2

x2 + 2.x.3y + (3y)2 = ( x + 3y)2

Vậy : x2 + 6xy + 9y2 = ( x + 3y)2

b) … - 2.x.5y + (5y)2 = (… - …)2

x2 - 2.x.5y + (5y)2 = ( x – 5y)2

Vậy : x2 – 10xy + 25y2 = (x – 5y)2

c) Đề bài tương tự : Chẳng hạn :

4x + 4xy + … = (… + y2)

… - 8xy + y2 = ( … - ….)2

19 Diện tích của miếng tôn là (a + b)2

Diện tích của miếng tôn phải cắt là : (a – b)2

4LUYỆN TẬP

20 Nhận xét sự đúng, sai của kết quả sau :

Ta có: (x + 2y)2 = x2 + 2.x.2y + 4y2 = x2 + 4xy + 4y2

Nền kết quả x2 + 2xy + 4y2 = (x + 2y)2 sai

22 a) 1012 = (100 + 1)2 = 1002 + 2.100 + 1 = 10201

b) 1992 = (200 – 1)2 = 2002 – 2.200 + 1 = 39601

c) 47.53 = (50 – 3)(50 + 3) = 502 – 32 = 2500 – 9 = 2491

23 a) (a + b)2 = (a – b)2 – 4ab

Biến đổi vế trái :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = a2 – 2ab + b2 + 4ab = (a – b)2 + 4ab

Vậy (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab

Hoặc biến đổi vế phải:

(a – b)2+ 4ab = a2 – 2ab + b2 + 4ab = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

Tính (2x + 3y)3 ; (3x – 2y)3

Giải(2x + 3y)3 = (2x)3 + 3(2x)2.3y + 3.2x(3y)2 + (3y)3 = 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3

(3x – 2y)3 = (3x)3 – 3(3x)2.2y + 3.3x(2y)2 – (2y)3 = 27x3 – 54x2y + 36xy2 – 8y3

26 a) (2x2 + 3y)3 = (2x2)3 + 3.(2x2)2.3y + 3.2x2.(3y)2 + (3y)3

= 8x6 + 3.4x4.3y + 3.2x2.9y2 + 27y3

§5 HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (TIẾP THEO)

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

6 Tổng hai lập phương

B HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

1 Bài tập mẫu a) Viết dưới dạng tích: 8x3 + 27; 64 – 125y3

b) Viết dưới dạng tổng : (3x – 2y)(9x2 + 6xy + 4y2) ; (2x + 5)(4x2 – 10x + 25)

Giải a) 8x3 + 27 = (2x)3 + 33 = (2x + 3)[(2x)2 – 2x.3 + 32] = (2x + 3)(4x2 – 6x + 9)

64 – 125y3 = 43 – (5y)3 = (4 – 5y)[42 + 20y + (5y)2] = (4 – 5y)(16 + 20y + 25y2)

b) (3x – 2y)(9x2 + 6xy + 4y2) = (3x – 2y)[(3x)2 + 3x.2y + (2y)2] = (3x)3 – (2y)3 = 27x3 – 8y3(2x + 5)(4x2 - 10x + 25) = (2x + 5)[(2x)2 – 2x.5 + 52] = (2x)3 + 53 = 8x3 + 125

b) (2x - )( + 10x + ) = 8x3 – 125

Giải

30 a) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3) = ( x + 3)(x2 – 3.x + 32) – (54 + x3) = x3 + 33 – (54 + x3)

= x3 + 27 – 54 – x3 = -27b) (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)

= (2x + y)[(2x)2 – 2x.y + y2] – (2x – y)[(2x)2 + 2x.y + y2]

= [(2x)3 + y3] – [(2x)3 – y3] = (2x)3 + y3 – (2x)3 + y3 = 2y3

31 a) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) Thực hiện vế phải :

(a + b)3 – 3ab(a + b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2 = a3 + b3

Vậy a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

b) a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b) Thực hiện vế phải:

(a + b)3 – 3ab(a + b) = a3 – 3a2b+ 3ab2 – b3 + 3a2b– 3ab2 = a3 – b3

= [(a + b) – (a – b)][(a + b)2 + (a + b)(a – b) + (a – b)2] – 2b3

= (a + b – a + b)(a2 + 2ab + b2 + a2 – b2 + a2 – 2ab + b2) – 2b3

x3 + y3

x3 – y3

x2 + 2xy + y2

x2 – y2(y – x)2

x3 – 3x2y + 3xy2 – y3(x + y)3

= 2b.(3a2 + b2) – 2b3 = 6a2b + 2b3 – 2b3 = 6a2bc) (x + y + z)2 – 2(x + y +z)(x + y) + (x + y)2

= x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2yz + 2xz – 2(x2 + xy + yx + y2 + zx + zy) + x2 + 2xy + y2

= 2x2 + 2y2 + z2 + 4xy + 2yz + 2xz – 2x2 – 4xy – 2y2- 2xz – 2yz = z2

35 a) 342 + 662 + 68.66 = 342 + 2.34.66 + 662 = (34 + 66)2 = 1002 = 10000

b) 742 + 242 – 48.74 = 742 – 2.74.24 + 242 = (74 – 24)2 = 502 = 2500

36 a) x2 + 4x + 4 = x2 + 2.x.2 + 22 = (x + 2)2 Với x = 98 : (98 + 2)2 = 1002 = 10000b) x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 3.x2.1 + 3.x.12 + 13 = (x + 1)3

3ab2 + 3ba2 – a3) = - b3 + 3ab2- 3a2b + a3 = a3 - 3a2b+ 3ab2 – b3 = (a – b)3

Sử dụng tính chất hai số đối nhau:

(a – b)3 = [(-1)(b – a)]3 =(-1)3(b – a)3 = -13.(b – a)3 = -(b – a)3

b) ( - a – b)2 = (a + b)2

Biến đổi vế trái thành vế phải:

( - a – b)2 = [(-a) + (-b)]2 = ( - a)2- 2.(-a).(-b) + (- b)2 = a2+ 2ab + b2 = (a + b)2

Sử dụng tính chất hai số đối nhau:

( - a – b)2 = [(- 1).(a + b)]2 = (-1)2(a + b)2 = 1.(a + b)2 = (a + b)2

§6 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ

CHUNG

A KIẾN THỨC CƠ BẢN1.Khái niệm

x3 + y3

x3 – y3

x2 + 2xy + y2

x2 – y2(y – x)2

x3 – 3x2y + 3xy2 – y3(x + y)3

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

2 Ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử

Việc phân tích đa thức thành nhân tử giúp chúng ta rút gọn được biểu thức, tính nhanh, giải phương trình.

3 Phương pháp đặt nhân tử chung.

- Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc ( ) để làm nhân tử chung.

- Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử.

B HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP 1.Bài tập mẫu

1 Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 3x 2 (x – 2y) – 12x(x – 2y) b) 6(x – y) – 3x(y – x)

Giải a) 3x 2 (x – 2y) – 12x(x – 2y) = 3x(x – 2y)(x – 4)

b) 6(x – y) – 3xy(y – x) = 6(x – y) – 3x[- (x – y)] = 6(x – y) + 3x(x – y) = 3(x – y)(2 + x)

2 Giải phương trình :

a) 2x 2 – 10x = 0 b) 2x(x – 3) + 5(3 – x)

Giải a) 2x 2 - 10x = 0 ⟺2x( x – 5) = 0 ⟺[x−5=0 2 x=0 ⇔ [x=0 x=5

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 0, x= 5.

b) 2x(x – 3) + 5(3 – x) = 0 ⟺ 2x(x – 3) – 5(x – 3) = 0

⟺ (x – 3)(2x – 5) = 0 ⟺[2 x−5=0 x −3=0 ⟺ [x= x=35

2

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3, x= 5

5x(y – 1) -

2

5y(y – 1)e) 10x(x – y) – 8y(y – x)

40 Tính giá trị của biểu thức :

Hoặc 5x – 1 = 0 ⇒ 5x = 1 ⇒ x = 1

5Vậy x = 1

Vì 54 chia hết cho 54 nên 55n .54 luôn chia hết cho 54 với n là số tự nhiên

Vậy 55n + 1 – 55n chia hết cho 54

3 Bài tập tương tự

1 Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) 5x2y2 + 20x2y – 35xy2 b) 3x(x – 2y) + 6x(2y – x)

2 Giải phương trình :

a) x2(x + 1) + 2x(x + 1) = 0 b) x(2x – 3) – 2(3 – 2x) = 0

§7 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG

ĐẲNG THỨCA.KIẾN THỨC CƠ BẢN

Áp dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức cần lưu ý:

- Trước tiên nhân xét xem các hạng tử của đa thức có chứa nhân tử chung không? Nếu có thì

áp dụng phương pháp đặt thành nhân tử chung

- Nếu không thì xét xem có thể áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích thành nhân tử hay không?

Chú ý: Đôi khi phải đổi dấu mới áp dụng được hằng đẳng thức:

Ví dụ: -4x2 – 12x – 9 = - (4x2 + 12x + 9) =-[(2x)2 + 2.2x.3 + 32] = -(2x + 3)2

B.HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

1 Bài tập mẫu

1 Phân tích thành nhân tử : a) – x2 + 6x - 9 b) 8 – 27x3 c) 4x2 – 25

Giảia) – x2 + 6x – 9 = -(x2 – 2.x.3 + 32) = -(x – 3)2

b) 8 – 27x3 = 23 – (3x)3 = (2 – 3x)[22 + 2.3x + (3x)2] = (2 – 3x)(4 + 6x + 9x2)

c) 4x2 – 25 = (2x)2 – 52 = (2x – 5)(2x + 5)

2 Chứng minh rằng với mọi n ∈ Ζ, biểu thức (2n + 3)2 – 9 chia hết cho 4

Giải(2n + 3)2 - 9 = 4n2 + 12n + 9 – 9 = 4n(n + 3)

Ta có: 4 ⋮ 4 nên 4n(n + 3) ⋮ 4 Vậy (2n + 3)2 – 9 chia hết cho 4

b) (a + b)3 – (a – b)3 = [(a + b) – (a – b)][(a + b)2 + (a + b).(a – b) + (a – b)2]

= (a + b – a + b)(a2 + 2ab + b2 + a2 – b2+ a2 – 2ab + b2)

= 2b.(3a2+ b2)c) (a + b)3 + (a – b)3 = [(a + b) + (a – b)][(a + b)2 – (a + b)(a –b) + (a – b)2]

= (a + b – a + b)(a2 + 2ab + b2 – a2 + b2 + a2 – 2ab + b2)

= 2a.(a2 + 3b2)d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y + y3 = (2x + y)3

e) – x3 + 9x2 – 27x + 27 = 27 – 27x + 9x2 – x3 = 33 – 3.32.x + 3.3.x2 – x3 = (3 – x)3

45 a) 2 – 25x2 = 0 ⇒ (√2)2 – (5x)2 = 0 ⇒ (√2 - 5x)(√2 + 5x) = 0

Hoặc √2 - 5x = 0 ⇒ 5x = √2 ⇒ x = √2

5Hoặc √2 + 5x = 0 ⇒ 5x = −√2 ⇒ x = - √2

5b) x2 – x + 1

- Ta nhận xét để tìm cách nhóm hạng tử một cách thích hợp (có thể giao hoán và kết hợp các hạng tử để nhóm) sao cho sau khi nhóm, từng nhóm đa thức có thể phân tích được thành nhân

tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức Khi đó đa thức mới phải xuất hiện nhân tử chung

- Ta áp dụng phương pháp đặt thành nhân tử chung để phân tích đa thức đã cho thành nhân tử

2 Chú ý:

- Với một đa thức, có thể có nhiều cách nhóm các hạng tử một cách thích hợp

- Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta phải phân tích đến cuối cùng (không còn phân tích được nữa)

- Dù phân tích bằng cách nào thì kết quả cũng là duy nhất

- Khi nhóm các hạng tử, phải chú ý đến dấu của đa thức

B HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

1 Bài tập mẫu

1 Phân tích thành nhân tử a) xy – 2y + 3x – 6 b) x3– 2x2 – x + 2

Giải a) xy – 2y + 3x – 6 = y(x – 2) + 2(x – 2) = (x – 2)(y + 3)

Hoặc xy – 2y + 3x – 6 = xy + 3x – 2y – 6 = x(y + 3) – 2(y + 3) = (y + 3)(x – 2)

b) x3 – 2x2 – x + 2 = (x3 – 2x2) – (x – 2) = x2(x – 2) – (x – 2) = (x – 2)(x2 – 1)

= (x – 2)(x -1)(x + 1)Hoặc x3 – 2x2 – x + 2 = (x3 – x) – (2x2 – 2) = x(x2 – 1) – 2(x2 – 1)

47 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2 –xy + x – y b) xz + yz – 5(x + y) c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y

48 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) x2 + 4x –y2 + 4 b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2 c) x2 – 2xy + y2– z2 + 2zt – t2

§9 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG

PHÁP

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Phương pháp : Ta tìm hướng giải bằng cách đọc kỹ đề bài và rút ra nhận xét để vận dụng các phương pháp đã biết : đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử và phối hợp chúng để phân tích đa thức thành nhân tử

2 Chú ý : Nếu các hạng tử của đa thức có nhân tử chung thì ta nên đặt nhân tử chung ra ngoàidấu ngoặc để đa thức trong ngoặc đơn giản hơn rồi mới tiếp tục phân tích đến kết quả cuối cùng

B.HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

1 Bài tập mẫu

1 Phân tích thành nhân tử :

a) x2 + y2 + 2xy – xz – yz b) 4x4 – x3 + 4x2 – x c) x2 + 7x + 12

Giảia) x2 + y2 + 2xy – xz – yz=(x2 + 2xy + y2)–(xz + yz)= (x + y)2–z(x + y) = (x + y)(x+ y–z)b) 4x4– x3+ 4x2 – x = x(4x3 – x2 + 4x -1) = x[(4x3 – x2) + (4x – 1)]

= x[x2(4x – 1) + (4x – 1)] = x(4x – 1)(x2 + 1)

c) x2 + 7x + 12 = (x2 + 3x) + (4x + 12) = x(x + 3) + 4(x + 3) = (x + 3)(x + 4)

2 Tìm x, biết : (2x -1)2– (x + 3)2 = 0

Giải (2x – 1)2 – (x + 3)2 = 0 ⇔ [(2x – 1) – (x + 3)][(2x – 1) + (x + 3)] = 0

2 Bài tập cơ bản

51 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) x3– 2x2 + x b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2 c) 2xy – x2 – y2 + 16

52 Chứng minh rằng (5n + 2)2 – 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n

53 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) x2 – 3x + 2 b) x2 + x – 6 c) x2 + 5x + 6

(Gợi ý : Ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích nhưng nếu tách hạng tử - 3x = - x – 2x thì ta có x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2 và từ đó dễ dàng phân tích tiếp.Cũng có thể tách 2 = - 4 + 6, khi đó ta có x2 – 3x + 2 = x2 – 4 – 3x + 6, từ đó dễ dàng phân tíchtiếp)

c) x2 + 5x + 6 = x2 + 2x + 3x + 6 = x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3)

3 Bài tập tương tự

1 Phân tích thành nhân tử:

a) x2– xy – 5x + 5y b) 4x2 + 8xy – 3x – 6y

57 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

(Gợi ý câu d) : Thêm và bớt 4x2 vào đa thức đã cho)

58 Chứng minh rằng n3 – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

Giải

54 a) x3 + 2x2y + xy2 – 9x = x(x2 + 2xy + y2 – 9) = x[(x2 + 2xy + y2) – 9)

= x[(x + y)2 – 32] = x(x + y – 3)(x + y + 3)b) 2x – 2y – x2 + 2xy – y2 = (2x – 2y) – (x2 – 2xy + y2)

= 2(x – y) – (x – y)2 = (x – y)[2 – (x – y)] = (x – y)(2 – x + y)

c) x4 – 2x2 = x2(x2– 2) = x2(x2 – (√2)2) = x2 (x - √2 )(x + √2 )

Vậy x = 0 ; x = -

1

2 ; x =

12b) (2x – 1)2 – (x + 3)2 = 0

Vậy x = 4 ; x = -

23c) x2(x – 3) + 12 – 4x = 0 ⇒ x2(x – 3) – 4(x – 3) = 0

Với n ∈ Ζ là tích của ba số nguyên liên tiếp Do đó nó chia hết cho 3 và 2 mà 2 và 3 là hai số

nguyên tố cùng nhau nên n3 – n chia hết cho 2, 3 hay chia hết cho 6

§10 CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Đơn thức chia hết cho đơn thức : Với A và B là hai đơn thức, B ≠ 0 Ta nói A chia hết cho

B nếu tìm được một đơn thức Q sao cho A = B.Q Kí hiệu Q = A : B =

A B

2 Qui tắc : Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta làm như sau :

- Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B

- Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B

- Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau

B HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

2 Tính giá trị của biểu thức P = 12 x

2 Bài tập cơ bản

63 Không làm tính chia, hãy xét xem đa thức A có chia hết đơn thức B không :

A = 15xy 2 + 17xy 3 + 18y 2

B = 6y 2

64 Làm tính chia :

a) (-2x 5 + 3x 2 – 4x 3 ) : 2x 2 b) (x 3 – 2x 2 y + 3xy 2 ) : (-1

2x)c) (3x 2 y 2 + 6x 2 y 3 – 12xy) : 3xy

Hà trả lời : “A không chia hết cho B vì 5 không chia hết cho 2”.

Quang trả lời: “A chia hết cho B vì mọi hạng tử của A đều chia hết cho B.”

Cho biết ý kiến của em về lời giải của hai bạn.

Giải

63 A chia hết cho B vì mỗi hạng tử của A đều chia hết cho B( mỗi hạng tử của A đều có chứa nhân tử

y với số mũ lớn hơn hay bằng 2 bằng với số mũ của y trong B).

Vậy : Quang trả lời đúng, Hà trả lời sai.

Ta trình bày phép chia tương tự như cách chia các số tự nhiên.

Với hai đa thức A và B của một biến, B ≠ 0 tồn tại duy nhất hai đa thức Q và R sao cho :

A = B Q + R, với R = 0 hoặc bậc bé hơn bậc của 1

Nếu R = 0, ta được phép chia hết.

Nếu R ≠ 0, ta được phép chia có dư

B HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

3 x + 343

3 x -

8691139

b) 4x 5 + 2x 4 y – 6x 3 y 2 + 3xy 4 - y 5 2x 3 – 2xy 2 + y 3

4x 5 - 4x 3 y 2 + 2x 2 y 3 2x 2 + xy – y 2

2x 4 y – 2x 3 y 2 – 2x 2 y 3 + 3xy 4 – y 5

2x 4 y – 2x 2 y 3 + xy 4

- 2x 3 y 2 + 2xy 4 – y 5

- 2x 3 y 2 + 2xy 4 – y 5

0 Vậy 4x 5 + 2x 4 y – 6x 3 y 2 + 3xy 4 - y 5 = (2x 2 + xy – y 2 )(2x 3 – 2xy 2 + y 3 )

b) A chia hết cho B vì x 2 – 2x + 1 = (1 – x) 2 chia hết cho 1 – x.

72

2x 4 + x 3 – 3x 2 + 5x – 2 x 2 – x + 1 2x 4 – 2x 3 + 2x 2 2x 2 + 3x - 2 3x 3 – 5x 2 + 5x - 2

3x 3 – 3x 2 + 2x -2x 2 + 2x - 2

- 2x 2 + 2x - 2

0

73 a) (4x 2 – 9y 2 ) : (2x – 3y) = [(2x) 2 – (3y) 2 ] : (2x – 3y) = 2x + 3y

b) (27x 3 – 1) : (3x – 1) = [(3x) 3 – 1] : (3x – 1) = (3x) 2 + 3x + 1 = 9x 2 + 3x + 1 c) (8x 3 + 1) : (4x 2 – 2x + 1) = [(2x) 3 + 1] : (4x 2 – 2x + 1)

= (2x + 1)[(2x) 2 – 2x + 1) : (4x 2 – 2x + 1)

= (2x + 1)(4x 2 – 2x + 1) : (4x 2 – 2x + 1) = 2x + 1 d) (x 2 – 3x + xy – 3y) : (x + y) = [(x 2 + xy) – (3x + 3y)] : (x + y)

= [x(x + y) – 3(x + y)] : (x + y) = (x + y)(x – 3) : (x + y) = x - 3

74 2x 3 – 3x 2 + x + a x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 – 7x + 15 -7x 2 + x + a

- 7x 2 – 14x 15x + a 15x + 30

3 Khi nào thì đơn thức A chia hết cho đơn thức B?

4 Khi nào thì đa thức A chia hết cho đơn thức B?

5 Khi nào thì đa thức A chia hết cho đa thức B?

4 Khi từng hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B thì đa thức A chia hết cho đơn thức B.

5 Khi đa thức A chia hết cho đa thức B được dư bằng 0 thì ta nói đa thức A chia hết cho đa thức B.

= 3x 2 y + 5xy 2 + x 2 – 6xy 2 – 10y 3 – 2xy

= [(2x + 1) + (3x – 1)] 2

= (2x + 1 + 3x – 1) 2 = (5x) 2 = 25x 2

79