Các công thức lượng giác cơ bản Nội dung 1.. Chirng minh bát đẳng thức về sin và cosin -.... InputDevLastIndex VoiceChatEnable MarkTalkPlayerEnable ShowBloodFX KoreanVoice.
Trang 1Bài 1 Các công thức lượng giác cơ bản
Nội dung
1 Biến đổi lượng giác
* 2 Chirng minh bát đẳng thức về sin và cosin
- 3 Chứng minh bắt đẳng thức và tang và cotang
Nhắc lại các công thức lượng giác cơ bản
sin? a+cos? a =1
tga.cot ga = 1
lga=———; cotga
1
cosỶ a
1
=1+cotg’a
1 Biến đổi lượng giác
Bài 1: Rút gọn biểu thức Q = sin? a + cos? a - 3sin“ a- 3cos? a
Giải
Ta có:
sin’ a +cos® a =(sin’a+cos’ a) ~ 3sin? acos? a(sin” a+ cos” a) sin° a+cosỸ a = 1- 3sin? acos” a
Q = sin° a+cos? a - 3 sin” a- 3cos” a
Q =1-3sin? acos” a- 3sin” a— 3cos? a
= 1~ 3sin? a(cos? a + sin? a)~ 3cos? a
=1- 3sin?°a— 3cos? a
=1~ 3(cos? a + sin a) = ~2
Đáp số: Q = -2
InputDevLastIndex VoiceChatEnable MarkTalkPlayerEnable ShowBloodFX KoreanVoice
Trang 2“70080909 (Ne MrCoñGà ,°” ) °69s s99”” Phạm: ti'm 5 chu~ do'
Bai 1 (tt)
Lưu ý 1: Công thức hay dùng
1+3cos?2a 5+3cos4a
sinÊ a+ cos° a = 1- 3sin? acos? a =1 tú 2a=
2
sin a + cos“ a = 1~2sin” acos? a = 1~ ~ sỉn? 2a = a 2a ss eee
1 Biến đỏi lượng giác (tt)
Bài tương tự 1: Biết sinx + cosx = a, tính P = sin” x + cos x
Giải
Ta có:
sinÝ x + cosf x = (sin? x + cos? x) ~2sin* xcos? x
sin* x + cos“ x = 1- 2sin? xcosỶ x
Lại có
a’ =(sinx +cosx) = sin’ x + cos’ x + 2sinxcosx =1+2sinxcosx
4
— sinxcosx =
“sin x e088 =1-2sin xeos? x =1-2/ 5 '
1 Bién déi lwong giác (tt)
Lưu ý: Các công thức hay dùng
a’ —1
sinx +COSX =a => SINXCOSX =
1—aˆ
Sin x - COSX = a > SinXCOSX =
1
tgX + COtQX =———————
9 9 cos x sinx
Trang 32 Chứng minh bat đẳng thức về sin và cosin
Bài 2: Chứng minh bắt đẳng thức 3 < sin‘ x +cos* x <1
Giai
Ta cé: sin* x +cos* x =1—2sin? xcos’ x <1
Lại có bất đẳng thức
; < sin‘ x + cos* x <> 1< 2(sin* x + cos* x)
<> (sin? x + cos? x) < 2(sin* x + cos* x)
<> sin* x + cos* x + 2sin® xcos’ x < 2(sin* x + cos* x)
<> sin‘ x + cos* x — 2sin? xcos* x >0
<> (sin’ x —cos? x) >0
1 Biến đổi lượng giác (tt)
Bài tương tự 2: Biết sinx - cosx = a, tính Q = tg`x + cotgx
Ta có:
a? = (sinx - cosx)ˆ = sin? x + eos? x— 2sinxosx
= 1- 2sinxcos x => sinxcosx =
Ta được :
sinx cosx sin°x+cos?x 1
COSX sinx cosxsinx cosxsinx
=> †gX + COtgX =
1-a?
=> tg*x + cotg”x = (tgx + cot gx) — 3tgx cot gx(tgx + cot gx)
tg’x + cot g*x = ——_ -_—_>
Trang 42 Chứng minh bắt đẳng thức về sin và cosin
Bài tập tương tự 1: Chứng minh bắt đẳng thức ; < sin® x +cos® x <1
Giai
Ta cé: sin®x +cos® x =1—3sin* xcos? x <1
Ta có bắt đẳng thức
ï < sin® x +cos® x © ; < 1-3sin? xcos? x
©> 1- 4sin? xcos? x >0
Pe
c© (sin? x + cos? x) ~4sin? xcos? x > 0 No,
c© (sin? Xx —cos? x) >0
2 Chứng minh bắt đẳng thức về sin va cosin (tt)
Bài tập tương tự 2: Chứng minh bắt đẳng thức -v/13 < 2sinx - 3cosx < 13
Giải
Bất đẳng thức
-\13 < 2sinx -3cosx < 4/13
© |2sinx - 3cos x| < M13
<> (2sinx—3cosx) <13
<> 4sin* x + 9cos? x - 12sin xcosx < 13(sin? X+cos? x)
<> 9sin? x + 4cosỶ x + 12sinxcosx > 0 “`
© (3sinx + 2cos x) 20(BDT dung) => ĐÐĐpcm >>
Trang 53 Chứng minh bat đẳng thức và tang và cotang
Bài 3: Chứng minh bắt đẳng thức |tgx + cotgx| > 2
Giải Bát đẳng thức
|tgx + cotgx| > 2
<> (tgx + cotgx)Ÿ >4
<> tg’x + cotg’x + 2tgxcot gx = 4tgxcot gx
<> (tgx — cot gx) >0 (BĐT đúng) =› Ðpcm