Chuyên đề số phức (Trường đại học Phương Đông)

Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 1 số thực là trường hợp riêng của tập đó.. Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 2 Số –z được gọi

Trang 1

Khoa Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông Trường ĐH Phương Đông 1

số thực là trường hợp riêng của tập đó Người ta đã đưa ra khái niệm số phức

II Số phức và các phép toán trên số phức:

1 Khái niệm số phức:

Một biểu thức dạng : z a bi, ,a bR (1) được gọi là một số phức

Trong đó: i là số thỏa mãn 2

1

i   , gọi là đơn vị ảo

a gọi là phần thực của z, ký hiệu : aRe( )z

b gọi là phần ảo của z, ký hiệu : bIm( )z Dạng (1) gọi là dạng chính tắc (hay dạng đại số) của số phức

Tập hợp tất cả các số phức ký hiệu là C

Đặc biệt :

* Khi b0 ta có số phức za chính là số thực

* Khi a0 ta có số phức dạng z  bi gọi là số thuần ảo

* Hai số phức z a bi và w c di gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần

ảo của chúng tương ứng bằng nhau, nghĩa là: z w a c

Trang 2

Số –z được gọi là số đối của số phức z

Với phép toán nhân :

* Tính chất giao hoán : z1.z2 z2.z1, z1,z2C

* Tính chất kết hợp : (z1z2)z3 z1(z2z3), z1,z2,z3C

* Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng :

C z z z z

z z z z z z z

z z z z z

* Nhân với đơn vị : z.11.z, zC

Trang 3

* Với mỗi số phức z a bi, a b, R a b, , 0, nếu kí hiệu 1

Số z1 gọi là nghịch dảo của số phức z

Với những tính chất trên, có thể coi tập các số thực là trường hợp riêng của tập các số phức

3 Biểu diễn hình học của số phức:

Mỗi số phức z a bi a b, Rđược biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ngược lại mọi điểm M(a;b) trong mặt phẳng Oxy đều có thể xem là ảnh của số phức a + bi Do đó mặt phẳng Oxy còn được gọi là mặt phẳng phức

Các số phức dạng z a 0i (ta đồng nhất với số thực a) được biểu diễn bởi các điểm M(a,0) trên trục Ox, do đó trục Ox còn được gọi là trục thực

Trục Oy được gọi là trục ảo, các điểm nằm trên trục ảo tương ứng với các số phức dạng zbi b, R

4 Số phức liên hợp:

Cho số phức z a bi Số phức z a bi được gọi là số phức liên hợp của z

Về mặt hình học hai số phức z và z được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng nhau

Trang 4

5 Dạng lượng giác của số phức :

Cho số phức z a bi có ảnh là điểm M trên mặt phẳng Oxy

Giả sử z  0, khi đó điểm M gốc O

Trang 5

 gọi là argument của z, kí hiệu Arg z ( ) Arg z không duy nhất mà sai khác ( )nhau 2k, kZ

Chiếu vuông góc véc tơ OM lên hai trục Ox và Oy ta được: 

cossin

Số phức z viết dưới dạng (2) được gọi là dạng lượng giác

Một số phép toán thực hiện trên dạng lượng giác của số phức :

Cho hai số phức : z1 r c1( osisin ),  z2 r c2( os isin ) Ta dễ dàng

chứng minh các công thức sau:

 Phép nhân: z z1 2 r r c1 2 os(  ) isin(  )

 Phép nâng lên lũy thừa :

Với zr c( osisin ) thì z n r n(cosnisinn), nN (3)

Công thức (3) còn được gọi là công thức Moivre

Chú ý rằng công thức (3) vẫn đúng trong trường hợp n nguyên bằng không hoặc

âm, nghĩa là nó đúng với mọi nZ

 Căn bậc n của số phức :

Trang 6

Xét phương trình an  z

Giả sử

( os sin )(cos sin )

Trang 7

2

z

z z

z

5 |z1z2||z1||z2|, z1,z2C

III Một số dạng bài tập số phức trong các kỳ thi TN THPT và TSĐH:

Dạng 1 - Tìm các thành phần của số phức (phần thực , phần ảo, mođun):

Ví dụ1 Tìm phần thực, phần ảo và môđun của các số phức sau:

Trang 8

Tìm phần thực và phần ảo của z

Giải

Ta có:

2(1i) (2i z)    8 i (1 2 )i z

Vậy phần thực của z: a2, phần ảo: b 3

Ví dụ 3 (ĐH Khối A – 2010 CB) Tìm phần ảo của số phức z:

2( 2 ) (1 2 )

Vậy phần ảo của z là - 2

Ví dụ 4 (ĐH Khối A, A1 2014) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện :

Trang 9

Vậy phần thực của z là 2, phần ảo của z là -3

Ví dụ 5(ĐH Khối B 2014) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện :







i z

i Tìm môđun

của số phức z  iz

Trang 10

Trang 11

a z  (2  5 )(3 i  4 ) i b 2

3

i z

4 5

i z

Trang 12

Dạng 2 Tìm tập hợp số phức thỏa mãn điều kiện cho trước :

Ví dụ 1 Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các số phức thỏa mãn điều kiện:

a Phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó

b Phần thực của z thuộc đoạn [-1, 2]

c Phần thực của z thuộc đoạn [-1, 2] và phần ảo của z thuộc đoạn [1, 3]

Trang 13

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x   1 và x  2 trong mặt phẳng Oxy

c Phần thực của z thuộc đoạn [-1, 2] và phần ảo của z thuộc đoạn [1, 3] nên ta có

Trang 14

2 1 0 ( 1) 2

Trang 15

1 (TSĐH Khối D – 2009) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện : z   (3 4 ) i  2

Đáp số : Đường tròn tâm I(3 ; - 4), bán kính 2

2 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn :

Trang 16

Vậy có hai số phức thỏa mãn điều kiện bài toán là z   3 4 ivà z  5

Ví dụ 4 (TSĐH Khối D -2010) Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện | |z  2 và z2 là

Trang 17

Trang 18

Dạng 4 – Dạng lượng giác của số phức:

Ví dụ 1 Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

Trang 19

Trang 20

Trang 21

Trang 22

Theo công thức tính căn bậc n của số phức, ta có :

Trang 23

Ví dụ 6 Hãy tính các căn bậc bốn của số phức: 1 3

Gọi số phức wr c( osisin ) là căn bậc bốn của z Khi đó w4  z

Theo công thức tính căn bậc n của số phức, ta có :

Trang 24

Trang 25

Ví dụ 1 (ĐH Khối A – 2009 CB) Gọi z z1, 2 là hai nghiệm phức của phương trình 2

Vậy phương trình có các nghiệm phức là z1 3 ,i z2  1 2i

Ví dụ 3 (TSĐH Khối D – 2012 NC) Giải phương trình 2

Trang 26

Giải

Nhận xét rằng z =0 không phải là nghiệm của phương trình

Chia 2 vế của phương trình cho 2

z ta có:

2 2

i w

Trang 27

Giải

Giả sử z a, aR là nghiệm thực của phương trình Khi đó:

Trang 28

Trang 29

5 Giải các phương trình sau:

a z4 2z3 6z2 8z 8 0, biết phương trình có một nghiệm z   1 i

b z3  (1 2 )i z2  (1 i z)  2i 0, biết phương trình có một nghiệm thuần ảo

c z3  (3 i z) 2  (2 i z) 16 2 i 0, biết phương trình có một nghiệm thực

Định dạng
Số trang	29
Dung lượng	1,51 MB