Chương III - Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

Tính góc giữa SC và AB bằng định nghiã tích vô h ớng PP1: PP2: Dùng định lý Côsin trong tam giác MNP Cách 1: CosSC,AB= SC.AB SC... Hai đ ờng thẳng cùng vuông góc với đ ờng thẳng thứ ba

Bµi cò:1.§Þnh nghÜa tÝch v« h íng cña hai vÐc t¬ 2.§Þnh lÝ C« sin trong tam gi¸c ABC

Tr¶ lêi: 1 a b = a b .Cos( a , b )

2 BC2 AB2  AC2  2 AB AC CosA

1 Góc giữa hai đ ờng thẳng:

Trong mặt phẳng, góc giữa hai đ ờng thẳng cắt nhau a và

b đ ợc xác định nh thế nào ?

o

a

b



O



Định nghĩa 1:

Góc giữa hai đ ờng thẳng a và

b là góc giữa hai đ ờng thẳng a

và b cùng đi qua một điểm

và lần l ợt song song (hoặc

trùng) với a và b

Nhận xét:

Có thể lấy điểm O nằm trên a hoặc b không?

a.Để xác định góc giữa hai đ ờng thẳng a và b ta có thể lấy điểm O nằm trên a hoặc b

0

90



 

o

O

b.Gọi là góc giữa hai đ ờng thẳng a và b thì  Oo    900



Gọi lần l ợt là véctơ chỉ ph ơng của a, b Gọi là góc giữa Có nhận xét gì về số đo ?

2

1,u

u  

2

1,u

Có nhận xét gì về góc giữa hai đ ờng thẳng?

1

c.Gọi là véctơ chỉ ph ơng của a, b Gọi là góc giữa

thì



2

1,u

u  

2

1,u





0

Có thể tính cos theo cos không?  

COS = COS 

PhiÕu tr¾c nghiÖm sè 1

Cho h×nh lËp ph ¬ng

1 Gãc gi÷a hai ® êng th¼ng AD vµ lµ:

A B C D

2 Gãc gi÷a hai ® êng th¼ng vµ lµ:

A B C D.

D C B A ABCD    

B

A  

0

30

0

0

60

0 90

0

90

0 45

0

45

B

A

C B

D

A

D

Ví dụ 1:

S

C

Nêu các ph ơng pháp tính góc

giữa SC và AB?

Tính góc giữa SC và AB bằng

định nghiã tích vô h ớng

PP1:

PP2: Dùng định lý Côsin

trong tam giác MNP

Cách 1:

Cos(SC,AB)= SC.AB

SC AB

=(SC+AC).AB

2

a

= SA AB + AC AB 2

0 2

2



 a

2

1



Vậy góc giữa hai đ ờng thẳng SC và AB

bằng 600

P

Cách 2:

Suy ra (SC, AB )=1200

Cho hình chóp S.ABC có

SA=SB=SC=AB=AC=a và

BC=a Tính góc giữa hai

đ ờng thẳng SC và AB.

2

4

3 2

2

; 4

5

; 4

3

; 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

a NP

SB NP

SP BP

a BP

a SP

a MP

MN



















0 2

2 2

2

120 2

1 2

2

2 4

;

.

2





















NMP a

a

a CosNMP

CosNMP NP

MN MP

NM NP

Vậy góc giữa hai đ ờng thẳng SCvà AB là 600

2.Hai đ ờng thẳng vuông góc:

Định nghĩa 2:

a

a'

b

Hai đ ờng thẳng đ ợc gọi là vuông góc với

nhau nếu góc giữa chúng bằng 90

Nếu u, v lần l ợt là véc tơ chỉ ph ơng của hai

đ ờng thẳng a và b thì

a b u v = 0 u

v

Nhận xét: a b

b c

a c

Trắc nghiệm khách quan

Điền đúng sai vào các mệnh đề sau:

A Hai đ ờng thẳng cùng vuông góc với đ ờng thẳng thứ ba thì song song với nhau.

B.Hai đ ờng thẳng vuông góc có duy nhất một điểm chung.

C.Một đ ờng thẳng vuông góc với một trong hai đ ờng thẳng song song thì vuông góc với đ ờng thẳng kia.

D.Hai đ ờng thẳng cùng vuông với đ ờng thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

Nêu ph ơng pháp chứng minh a b ?

Ph ơng pháp chứng minh a b:

1.Chứng minh góc giữa hai đ ờng thẳng a và b bằng 90

2.Xác định VTCP của hai đ ờng thẳng Chứng minh tích vô

h ớng của chúng bằng 0

3.Chứng minh đ ờng thẳng a c mà c b Đ

S S

S

Chú ý:Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau gọi là hình hộp thoi

Cho hình hộp thoi Hãy giải thích tại sao ?

D B AC    D C B A CD AB     B A D C A B C D Cho hình hộp thoi

có tất cả các cạnh đều bằng a và

ABC =B BA =B BC =

Tính diện tích tứ giác .

D C B A ABCD    

CD B

A 

0

60

Ví dụ 2:

Giải:

CD B

A 

Tứ giác là hình thoi

CD B

C  = ( CB  B B  ) BA

= CB BA  B B  BA =

2 2

2

a



Vậy tứ giác là hình vuông.A   B CD

Nên có diện tích là: S = a2

Ví dụ 3:

Cho hình lập ph ơng ABCD, trong đó AB AC, AB BD.Gọi P

và Q là các điểm lần l ợt thuộc các đ ờng thẳng AB và CD sao cho PA=k PB, QC=k QD (k 1).Chứng minh rằng AB và PQ vuông góc với nhau.

Giải

Q

P A

D

PQ=PA + AC + CQ

=kPB +AC +kDQ

PQ = PB + BD +DQ

kPQ = kPB + kBD +kDQ

(1)

(2)

Lấy (1)-(2) ta có: (1-k)PQ=AC - kBD

(1-k)PQ AB =(AC –kBD).AB =AC AB – kBD AB =0kBD).AB =AC AB –kBD).AB =AC AB – kBD AB =0 kBD AB =0

PQ AB =0

Vậy AB PQ

Ví dụ 4:

4

6

a

PN 

2

a

PQ 

Giải: a,

BA.CE=BA.(BE- BC)

=BA.BE.cos60 –kBD).AB =AC AB – kBD AB =0 BA.BC.cos60 =0

AB CE

b , MNPQ là hình bình hành.

A

C

B E

M

Q

N

P

=BA.BE –kBD).AB =AC AB – kBD AB =0 BA.BC

CE AB

PN CE PN MN

MN AB MNPQ là hình chữ nhật.

c,

Hai tam giác đều ABC và

ABE trong không gian có

chung cạnh AB và nằm

trong hai mặt phẳng khác

nhau.Gọi M,N,P,Q lần l ợt

là trung điểm của các cạnh

AC,CB,BE,EA.

a, Chứng minh AB CE.

b, Chứng minh tứ giác

MNPQ là hình chữ nhật.

C, Tính diện tích hình chữ

nhật MNPQ biết CE=

và AB=a 2

6

a

8

6

2

a PN

PQ

;

Tóm tắt nội dung chính đã học

một điểm và lần l ợt song song (hoặc trùng) với a và b.

1 Góc giữa hai đ ờng thẳng:

PP tính góc giữa hai đ ờng thẳng:

Tính góc giữa hai véctơ chỉ ph ơng hoặc góc giữa hai véctơ

pháp tuyến bằng cách vận dụng định nghĩa tích vô h ớng

PP1:

PP2: Vận dụng định lý côsin trong tam giác

2.Hai đ ờng thẳng vuông góc:

Hai đ ờng thẳng đ ợc gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa

chúng bằng 90

Ph ơng pháp chứng minh a b:

1.Chứng minh góc giữa hai đ ờng thẳng a và b bằng 90

2.Xác định VTCP của hai đ ờng thẳng Chứng minh tích vô

h ớng của chúng bằng 0

3.Chứng minh đ ờng thẳng a c mà c b