Giáo trình toán chuyên ngành điện

Nếu tồn tại một số ε lân cận của zo nằm hoàn toàn trong E thì zo được gọi là điểm trong của tập E.. Thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua đường tròn đơn vị và phép đối xứng qua trục thực

CHƯƠNG 1: HÀM GIẢI TÍCH

§1 SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TÍNH

1 Dạng đại số của số phức: Ta gọi số phức là một biểu thức dạng (x + jy) trong đó x

và y là các số thực và j là đơn vị ảo Các số x và y là phần thực và phần ảo của số phức Ta thường kí hiệu:

z = x + jy

x = Rez = Re(x + jy)

y = Imz = Im(x + jy)

Tập hợp các số phức được kí hiệu là C Vậy:

)

z

Im( =− , z=z

Số phức -z = -x - jy là số phức đối của z = x + jy

Hai số phức z1 = x1 + jy1 và z2 = x2 + jy2 gọi là bằng nhau nếu x1 = x2 và y1 = y2

là hiệu của hai số phức z1 và z2

c Phép nhân: Cho 2 số phức z1 = x1 + jy1 và z2 = x2 + jy2 Ta gọi số phức

2 2

2 2

1 2 2 1 2

2

2 2

2 1 2 1 2

1

yx

xyxyjy

x

yyxxz

z

z

+

−+

+

+

=

=

được gọi là thương của hai số phức z1 và z2

e Phép nâng lên luỹ thừa: Ta gọi tích của n số phức z là luỹ thừa bậc n của z

và kí hiệu:

zz.z

1=−

j2

72

32

j73j

1

)j1)(

j52(j1

j52

−

++

17

36y

=ε+

j1z

2

1j

z

Ta giải bằng cách dùng phương pháp Cramer và được kết quả:

5

j345

)j21)(

j2(j21

j2

12

j1

1j1

j1

)j21)(

1j(j21

1j

12

j1

j12

j1

−

−

=+

P(z) = a0zn + a1zn-1 + ⋅⋅⋅+ an thì P(z)=P(z)

Thật vậy ta thấy là số phức liên hợp của tổng bằng tổng các số phức liên hợp của từng

số hạng, số phức liên hợp của một tích bằng tích các số phức liên hợp của từng thừa

số Do vậy:

k n k k n

kz a z

Do đó:

)z(Pz

az

az

a)

z

(

0 k

n 0 k

k n k k

n k n

0 k

k n

Ta cũng có thể biểu diễn số phức bằng một vec tơ tự do có toạ độ là (x,y)

4 Mođun và argumen của số phức z: Số phức z có toạ vị là M Ta gọi độ dài r của vec tơ OMlà mođun của z và kí hiệu là z

Góc ϕ xác định sai khác 2kπ được gọi là argumen

của z và kí hiệu là Argz:

r = z = OM

= Ox,OM 2kArgz

đặc biệt, trị số của Argz nằm giữa -π và π gọi là giá

trị chính của Argz và kí hiệu là argz Trường hợp z =

yacrtg

0y,0xkhix

yacrtg

0xkhix

yacrtgz

arg

ππ

z

arg

ππ

Hai số phức bằng nhau có mođun và argumen bằng nhau

z

z =

2zz

z = Argz1 + Argz2 + 2kπ

2 = +

)zz(jj

zzy

2 = − = − −Thay vào phương trình ta có:

0)zz(Cj)zz(Bz

=

=

ψ+

ψ

=

ϕ+

ϕ

=

sinjcos

r

rz

z

z

sinjcos

rrz.z

z

sinjcosr

z

sinjcosr

z

2

1 2 1

2 1 2 1

2 2

1 1

Áp dụng công thức trên để tính tích n thừa số z, tức là zn. ta có:

[r(cosϕ + jsinϕ)]n = rn(cosnϕ + jsinnϕ)

Đặc biệt khi r = 1 ta có công thức Moivre:

Thay ϕ bằng -ϕ ta có:

(cosϕ - jsinϕ)n = (cosnϕ - jsinnϕ)

Ví dụ: Tính các tổng:

s = cosϕ + cos2ϕ + ⋅⋅⋅+ cosnϕ

t = sinϕ + sin2ϕ + ⋅⋅⋅ + sinnϕ

Ta có jt = jsinϕ + jsin2ϕ + ⋅⋅⋅ + jsinnϕ

Đặt z = cosϕ + jsinϕ và theo công thức Moivre ta có:

ϕ

−

−ϕϕ

+

−ϕ

ϕ

−ϕ++

ϕ

−ϕ+

=

ϕ+

−ϕ

ϕ

−ϕ++

ϕ

−ϕ+

=

−ϕ+

ϕ

ϕ

−ϕ

−ϕ++

ϕ+

sinj)1(cos.sin

j)1(cos

]sin)

1n[sin(

jcos)

1ncos(

sinj)1(cos

]sin)

1n[sin(

jcos)

1ncos(

1sinjcos

sinjcos)

1nsin(

j)1ncos(

1z

zz

1z

1zzjt

s

1 n n

Như vậy:

ϕ+

−ϕ

ϕ

−ϕϕ++

ϕ+ϕ+

−ϕ

−ϕϕ+

=+

sin)

1(cos

sinsin

.)1nsin(

cos)

1ncos(

coscos

.)1ncos(

)jt

1ncos)

1ncos(

cos

cos22

1cos)

1ncos(

sin.)1nsin(

cos.)1ncos(

ϕ

−

−ϕ+

ϕ+

−ϕ

=

ϕ

−

−ϕ+ϕ+

−ϕϕ++

ϕϕ+

=

Tương tự ta tính được

t = Im(s+jt)

Khi biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác ta cũng dễ tính được căn bậc n của nó Cho số phức z = r(cosϕ + jsinϕ) ta cần tìm căn bậc n của z, nghĩa là tìm số phức ζ sao cho:

ζn = z

trong đó n là số nguyên dương cho trước

Ta đặt ζ = ρ(cosα + jsinα) thì vấn đề là phải tìm ρ và α sao cho:

ρn(cosnα + jsinnα) = r(cosϕ + jsinϕ) Nghĩa là ρn = r

và nα = ϕ

Kết quả là:

n

k2

;r

=ζ

2cosr

)1n(2cosr

n 1

n

với k là số nguyên và chỉ cần lấy n số nguyên liên tiếp (k = 0, 1, 2, ,n-1) vì nếu k lấy hai số nguyên hơn kém nhau n thì ta có cùng một số phức

7 Toạ vị của số phức tổng, hiệu, tích và thương hai số phức:

a Toạ vị của tổng và hiệu: Toạ vị của tổng hai số

phức là tổng hay hiệu 2 vec tơ biểu diễn số phức đó

b Toạ vị của tích hai số phức: Ta có thể tìm toạ vị

của tích hai số phức bằng phương pháp dựng hình Cho hai

số phức z1 và z2 như hình vẽ Ta dựng trên cạnh Oz1 tam

giác Oz1zđồng dạng với tam giác O1z2 Như vậy Oz là tích

w = Trước hết ta giả thiết | z | < 1(hình a)

Ta tìm w theo các bước sau:

- dựng tại z đường vuông với Oz và cắt đường tròn đơn vị tại s

- vẽ tiếp tuyến với đường tròn tại s và cắt Oz tại t

- do ∆Ozs & ∆Ost đồng dạng nên ta có

|z

|

1

|t

| =

- lấy w đối xứng với t

Trường hợp | z | > 1 ta vẽ như hình b:

- vẽ đường tròn đơn vị và z

- từ z vẽ tiếp tuyến với đường tròn tại s

- dựng tại s đường vuông với Oz cắt Oz tại t

- do Ozs và Ost đồng dạng nên ta có

|z

|

1

|t

| =

- lấy w đối xứng với t

8 Dạng mũ của số phức: Nhờ công thức Euler ej ϕ =cosϕ+jsinϕ ta có thể biểu diễn số phức dưới dạng số mũ:

z = rejϕ = | z |ejArgz

3 je2j1z

1 2

1

) ( j 2 1 2

1

j 2 2

j 1 1

er

rz

z

errz

z

erze

α ϕ

b

a

nổi của điểm z lên mặt cầu S với cực P Phép ánh xạ này lập nên một tương ứng một - một giữa tất cả các điểm của mặt phẳng z và của mặt cầu S thủng tại P Vì các điểm P,

M, và N cùng nằm trên một đường thẳng nên ta có:

1

c1PN

PMy

bx

aON

hay

1

c1y

jbaz

;c1

by

;c1

ax

)c1(

)ba(z

yb

;z1

xa

;z1

zc

+

=+

=+

=

Hình chiếu nổi có tính chất đáng lưu ý sau: mỗi đường tròn của mặt phẳng z(đường thẳng cũng được coi là đường tròn có bán kính ∞) chuyển thành một đường tròn trên mặt cầu và ngược lại Thật vậy để ý

j2

zzy

;2

zz

x = + = + ta thấy mỗi đường tròn của mặt phẳng z thoả mãn một phương trình dạng:

0D)zz(C2

j)zz(B2

1z

1 Khái niệm về miền và biên của miền: 

a Điểm trong của một tập: Giả sử E là tập hợp điểm trong mặt phẳng phức z

và zo là một điểm thuộc E Nếu tồn tại một số ε lân cận của zo nằm hoàn toàn trong E thì zo được gọi là điểm trong của tập E

b Biên của một tập: Điểm ζ thuộc E hay không thuộc E được gọi là điểm biên

của tập E nếu mọi hình tròn tâm ζ đều chứa cả những điểm thuộc E và không thuộc E Tập hợp các điểm biên của tập E được gọi là biên của tập E Nếu điểm η không thuộc

E và tồn tại hình tròn tâm η không chứa điểm nào của E thì η được gọi là điểm ngoài của tập E

Ví dụ: Xét tập E là hình tròn | z | < 1 Mọi điểm của E đều là điểm trong Biên của E

là đường tròn | z | = 1 Mọi điểm | η | > 1 là điểm ngoài của E

c Miền: Ta gọi miền trên mặt phẳng phức là tập hợp G có các tính chất sau:

- G là tập mở, nghĩa là chỉ có các điểm trong

- G là tập liên thông, nghĩa là qua hai điểm tuỳ ý thuộc G, bao giờ cũng có thể nói chúng bằng một đường cong liên tục nằm gọn trong G

Tập G, thêm những điểm biên gọi là tập kín và kí hiệu là G Miền G gọi là bị chặn nếu tồn tại một hình trong bán kính R chứa G ở bên trong

Trên hình a là miền đơn liên, hình b là miền nhị liên và hình c là miền tam liên Hướng dương trên biên L của miền là hướng mà khi đi trên L theo hướng đó thì phần của miền G kề với người đó luôn nằm bên trái

Ví dụ 1: Vẽ miền

3zarg6

6

π

và 3

π đều ỏ trong góc u1Ou2

Vậy miền

3zarg6

2 Định nghĩa hàm biến phức:

a Định nghĩa: Giả sử E là một tập hợp điểm trên mặt phẳng phức Nếu có một

quy luật cho ứng với mỗi số phức z∈E một số phức xác định w thì ta nói rằng w là một hàm số đơn trị của biến phức z xác định trên E và ký hiệu:

Hàm w =

1z

z

2 + xác định trong toàn bộ mặt phẳng phức trừ điểm z = ±j vì z

2+1

= 0 khi z = ±j

Hàm w =z+ z+1 xác định trong toàn bộ mặt phẳng phức Đây là một hàm

đa trị Chẳng hạn, với z = 0 ta có w = 1 Vì 1 = cos0 + j sin0 nên w có hai giá trị:

12

0sinj2

0cos

1sin

jcos2

20sinj2

20cos

w2 = + π+ + π = π+ π=−

nên ứng với z = 0 ta có hai giá trị w1 = 1 và w1 = -1

b Phần thực và phần ảo của hàm phức: Cho hàm w = f(z) nghĩa là cho phần

thực u và phần ảo v của nó Nói khác đi u và v cũng là hai hàm của z Nếu z= x+jy thì

có thể thấy u và v là hai hàm thực của các biến thực độc lập x và y Tóm lại cho hàm phức w = f(z) tương đương với việc cho hai hàm biến thưc u = u(x, y) và v = v(x, y)

jyy

x

xy

x

jyx)jyx)(

jyx(

jyxjy

x

1z

1

w

+

−+

=+

−

=

−+

−

=+

=

=

Vậy:

2 2 2

yv

yx

xu

+

−

=+

Ví dụ 2: Tách phần thực và phần ảo của hàm w = z3

Ta có: w =z3 =(x+ jy)3 =x3 +3jx2y+3j2xy2 + j3y3 =(x3 −3xy2)+ j(3x2y−y3)Vậy:u =x3−3xy2 v =3x2y−y3

Ví dụ 3: Cho hàm w =x2 −y+ j(x+y2) Hãy biểu diễn w theo z = x + jy và z= x -

jy

Vì

2

zz

= và

j2

zz

++

2

zz2

zzjzz2

j2

zzw

Rút gọn ta có:

jzz)j1(2

1)zz)(

j1(4

zz2

zzj22

zzj2

zzw

2 2

2

2 2

z2

zz2

zz2

zz2

zz22

zz2

zz

Cho hàm biến phức w = f(z), z∈E Lấy hai mặt phẳng phức xOy (mặt phẳng z)

và uOv (mặt phẳng w) Ví mỗi điểm z0∈E ta có một điểm w0 = f(z0) trong mặt phẳng

w Cho nên về mặt hình học, hàm w = f(z0 xác định một phép biến hình từ mặt phẳng

z sang mặt phẳng w Điểm w0 được gọi là ảnh của z0 và z0 là nghịch ảnh của w0

Cho đường cong L có phương trình tham số x = x(t), y = y(t) Ảnh của L qua phép biến hình w = f(z) = u(x, y) + jv(x, y) là tập hợp các điểm trong mặt phẳng w có toạ độ:

v = v[x(t), y(t)]

Thông thường thì ảnh của đường cong L là đường cong Γ có phương trình tham số (3) Muốn được phương trình quan hệ trực tiếp giữa u và v ta khử t trong (3) Muốn tìm ảnh của một miền G ta coi nó được quét bởi họ đường cong L.Ta tìm ảnh Γ của L Khi L quét nên miền G thì Γ quét nên miền ∆ là ảnh của G

4 Các hàm biến phức thường gặp:

a Ví dụ 1: Hàm w = kz (k > 0)

Đặt z = rejϕ , w = ρejθ= krejϕ Ta có ρ = kr, θ = ϕ + 2kπ Vậy đây là một phép co dãn hay phép đồng dạng với hệ số k

Vậy đây là một phép tịnh tiến

d Ví dụ 4: w = az + b với a = kejα là phép biến hình tuyến tính nguyên Nó là hợp của ba phép biến hình:

- phép co dãn s = kz

- phép quay t = sjα

- phép tịnh tiến w = t + b

e Ví dụ 5: w = z2

Đặt z = rejϕ , w = ρejθ ta có: ρ = r2 ; θ = 2ϕ + 2kπ Mỗi tia z = ϕo biến thành tia argw

= 2ϕo, mỗi đường tròn | z | = ro biến thành đường tròn | w | = 2

o

r Nếu D = {z: 0 < ϕ < 2π } thì f(D) = {-w: 0 < θ < 2π } nghĩa là nửa mặt phẳng phức có Imz > 0 biến thành toàn bộ mặt phẳng phức w

1

z x

y

k

w

u v

r

z x

y

r

w

u v

f Ví dụ 6: w = | z | z

Đặt z = rejϕ , w = ρejθ ta có: ρ = r2 ; θ = ϕ + 2kπ Miền D = {z: 0 < ϕ < π } được biến đơn diệp lên chính nó, nghĩa là nửa mặt phẳng phức Imz > 0 được biến thnàh nửa mặt phẳng phức Imw > 0

:w

2:w

|f(z)-A| < ε

Ta kí hiệu: lim (z) A

o z

y xox o

z

z

Trong mặt phẳng phức, khi z dần tới z o nó có thể tiến theo nhiều đường khác nhau Điều đó khác với trong hàm biến thực, khi x dần tới x o , nó tiến theo trục Ox

b Định nghĩa 2: Ta nói số phức A là giới hạn của hàm w = f(z) khi z dần ra vô

cùng, nếu khi | z | → +∞ thì | f(z) - A | → 0 Nói khác đi, với mọi ε > 0 cho trước, luôn luôn tồn tại R > 0 để khi | z | > R thì | f(z) - A | < ε

Ta kí hiệu: lim (z) A

∞

c Định nghĩa 3: Ta nói hàm w = f(z) dần ra vô cùng khi z dần tới zo, nếu khi |

z - zo | → 0 thì | f(z) | → +∞ Nói khác đi, với mọi M > 0 cho trước lớn tuỳ ý, luôn luôn tồn tại δ > 0 để khi | z - zo | < δ thì | f(z) | > M

Ta kí hiệu: =∞

→ (z)

limo z

d Định nghĩa 4: Ta nói hàm w = f(z) dần ra vô cùng khi z dần ra vô cùng, nếu

khi | z | → +∞ thì | f(z) | → +∞ Nói khác đi, với mọi M > 0 cho trước lớn tuỳ ý, luôn luôn tồn tại R > 0 để khi | z | > R thì | f(z) | > M

2 Hàm liên tục: Ta định nghĩa hàm liên tục như sau:

Định nghĩa: Giả sử w = f(z) là một hàm số xác định trong một miền chứa điểm

zo Hàm được gọi là liên tục tại zo nếu lim (z) (zo)

o z

→

Dễ thấy rằng nếu f(z ) = u(x, y) + jv(x, y) liên tục tại zo = xo + jyo thì u(x, y) và v(x, y) là những hàm thực hai biến, liên tục tại (xo, yo) và ngược lại Hàm w = f(z) liên tục tại mọi điểm trong miền G thì được gọi là liên tục trong miền G

Ví dụ: Hàm w = z2 liên tục trong toàn bộ mặt phẳng phức vì phần thực u = x2 - y2 và phần ảo v = 2xy luôn luôn liên tục

3 Định nghĩa đạo hàm: Cho hàm w = f(z) xác định trong một miền chứa điểm

z = x + jy Cho z một số gia ∆z = ∆x + j∆y Gọi ∆w là số gia tương ứng của hàm:

∆ dần tới một giới hạn xác định thì giới hạn đó được gọi là

đạo hàm của hàm w tại z và kí hiệu là f’(z) hay w’( z ) hay

dz

dw Ta có:

z

)z(f)zz(flimz

wlim)

−

∆+

∆ phải có cùng giới hạn khi ∆z → 0 theo mọi cách

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của w = z2 tại z

∆ → 2z Do vậy đạo hàm của hàm là 2z

Ví dụ 2: Hàm w=z =x−jycó đạo hàm tại z không

Cho z một số gia ∆z = ∆x + j∆y Số gia tương ứng của w là:

yjxzzzzzzz

wz

3 Điều kiện khả vi: Như thế ta phải tìm điều kiện để hàm có đạo hàm tại z Ta có định lí sau:

CHƯƠNG 2: PHÉP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC

VÀ CÁC HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN

§1.  KHÁI NIỆM VỀ BIẾN HÌNH BẢO GIÁC

1 Phép biến hình bảo giác:

a Định nghĩa: Một phép biến hình được gọi là bảo giác tại z nếu nó có các tính

chất:

- Bảo toàn góc giữa hai đường cong bất kì đi qua điểm z (kể cả độ lớn và hướng)

- Có hệ số co dãn không đổi tại điểm đó, nghĩa là mọi đường cong đi qua z đều

có hệ số co dãn như nhau qua phép biến hình

Nếu phép biến hình là bảo giác tại mọi điểm của miền G thì nó được gọi là bảo giác trong miền G

b Phép biến hình thực hiện bởi hàm giải tích: Cho hàm w = f(z) đơn diệp,

giải tích trong miền G Do ý nghĩa hình học của f’(z) ta thấy rằng phép biến hình được thực hiện bởi hàm w = f(z) là bảo giác tại mọi điểm mà f’(z) ≠ 0

Nếu chỉ xét trong một lân cận nhỏ của điểm z, thì phép biến hình bảo giác là một phép đồng dạng do tính chất bảo toàn góc Các góc tương ứng trong hai hình là bằng nhau Mặt khác nếu xem hệ số co dãn là không đổi thì tỉ số giữa hai cạnh tương ứng là không đổi

Ngược lại người ta chứng minh được rằng phép biến hình w = f(z) đơn diệp là bảo giác trong miền G thì hàm w = f(z) giải tích trong G và có đạo hàm f’(z) ≠ 0

2 Bổ đề Schwarz: Giả sử hàm f(z) giải tích trong hình tròn | z | < R và f(0) = 0 Nếu

| z) | ≤ M với mọi z mà | z | < R thì ta có:

R

|z

|,zR

M)

Giả sử f1(z) giải tích trong D1 và f2(z) giải tích trong D2 Nếu f1(z) = f2(z) trên L thì ta gọi f2(z) là thác triển giải tích của f1(z) qua L sang miền D2 Theo tính duy nhất của hàm giải tích nếu f3(z) cũng là thác triển giải tích của f1(z) qua L sang miền D2 thì ta phải có f3(z) = f2(z) trong D2 Cách nhanh nhất để tìm thác triển giải tích của một hàm cho trước là áp dụng nguyên lí đối xứng sau đây:

Giả sử biên của miền D1 chứa một đoạn thẳng L và f1(z) biến bảo giác D1 lên B1trong đó L chuyển thành đoạn thẳng T thuộc biên của B1 Khi đó tồn tại thác triển giải tích f2(z) của f1(z) qua L sang miền D2 nằm đối xứng với D1 đối với L Hàm f2(z) biến bảo giác D2 lên B2nằm đối xứng với B1 đối với T và hàm:

2 1

1 1

Dtrong)

z(f

L)z(f)z(f

Dtrong)

z(f)

z

(

f

biến bảo giác D thành B

Nguyên lí đối xứng thường dùng để tìm phép biến hình bảo giác hai miền đối xứng cho trước

§2.  CÁC PHÉP BIẾN HÌNH QUA CÁC HÀM SƠ CẤP

1 Phép biến hình tuyến tính: Xét hàm tuyến tính w = az + b trong đó a, b là các hằng số phức Giả thiết a ≠ 0 Nếu a = | a |ejα thì w = | a |ejαz + b Phép biến hình tuyến tính là bảo giác trong toàn mặt phẳng phức vì f’(z) = a ≠ 0 ∀z ∈ C Hàm tuyến tính có thể coi là hợp của 3 hàm sau:

- ζ = kz (k = | a | > 0)

- ω = ejα.ζ (α = Arga)

- w = ω + b

Nếu biểu diễn các điểm ζ, ω, w trong cùng một mặt

phẳng thì dựa vào ý nghĩa hình học của phép nhân và

- điểm w nhận được từ điểm ω bằng phép tịnh

tiến xác định bởi vec tơ biểu diễn số phức b

Như vậy muốn được ảnh w của z ta phải thực hiện liên tiếp một phép co dãn, một phép quay và một phép tịnh tiến Tích của 3 phép biến hình trên là một phép đồng dạng Vậy phép biến hình tuyến tính là một phép đồng dạng Nó biến một hình bất kì thành một hình đồng dạng với hình ấy Đặc biệt, ảnh của một đường tròn là một đường tròn, ảnh của một đường thẳng là một đường thẳng

Ví dụ: Tìm hàm w = f(z) biến hình tam giác vuông cân A(3+ 2j), B(7 + 2j), C(5 + 4j) thành tam giác vuông cân có đỉnh tại O1, B1(-2j) và C1(1 - j)

O

α

ζ z

y

x

ω

w

Vì các tam giác ABC và O1B1C1 đồng dạng nên phép biến hình được thực hiện bằng một hàm bậc nhất w = az + b Phép biến hình này có thể phân tích thành các phép biến hình liên tiếp sau đây:

* phép tịnh tiến từ A về gốc, xác định bằng vec tơ (-3 - 2j) Phép tịnh tiến này được xác định bởi hàm ζ = z - (3 + 2j)

=ω

* phép co dãn tâm O, hệ số

2

14

2AB

BO

k = 1 1 = = , được thực hiên bằng hàm ω

j)j23z(e2

1

w = −j2π − − =− − − =− + −

2 Phép nghịch đảo:

a Định nghĩa: Hai điểm A và B được gọi là đối xứng đối với đường tròn C’

tâm O, bán kính R nếu chúng cùng nằm trên một nửa đường thẳng xuất phát từ O và thoả mãn đẳng thức:

OA.OB = R2

OA

ROA

ROB

R

thì OB > R Ngược lại nếu OA > R thì OB < R Nghĩa là trong hai điểm A và B thì một điểm nằm trong và một điểm nằm ngoài đường tròn

Nếu A nằm trong đường tròn thì muốn được B kẻ đường AH ⊥ OA và sau đó vẽ tiếp tuyến HB

Nếu A nằm ngoài đường tròn thì muốn được điểm B ta vẽ tiếp tuyến AH, sau đó kẻ

HB ⊥ OA

b Định lí 1: Nếu A và B đối xứng với đường tròn C’ và C” là đường tròn bất kì

đi qua A và B thì C’ và C” trực giao với nhau

Chứng minh: Gọi I là tâm và r là bán kính của C” Kí hiệu PC”O là phương tích của điểm O đối với đường tròn C”

Theo giả thiết vì A và B đối xứng qua C’ nên

OA.OB = R2 Mặt khác theo cách tính phương

c Định lí 2: Giả sử hai đường tròn C’ và C” cùng trực giao với đường tròn C

Nếu C’ và C” cắt nhau tại A và B thì hai điểm A và B đối xứng qua C

Chứng minh: Gọi I1 và I2 lần lượt là tâm của

2 1

2

1 r

OI − = R2

2 2

phức có bổ sung thêm điểm z = ∞) lên mặt phẳng phức

mở rộng w Ảnh của điểm z = 0 là điểm w = ∞ Ngược lại

ảnh của điểm z = ∞ là điểm w = 0 Vì w’ = 2

z

1

− nên phép biến hình bảo giác tại z ≠ 0 và z ≠ ∞

A B

O C

C”C’

I C’

Ta sẽ nêu ra cách tìm ảnh của một điểm z bất kì Chú ý là hai điểm z và w

w = là tích của hai phép đối xứng:

Trong đó E = B - jC

Nếu A ≠ 0, D = 0 thì C’ là đường tròn đi qua gốc toạ độ Nếu A = 0 thì C’ là đường thẳng Nếu A = D = 0 thì C’ là đường thẳng đi qua gốc toạ độ Ảnh của C’ qua phép biến hình

z

1

w = là đường cong L có phương trình:

0Dw

Ew

Ew

1

w

1

Nếu D = 0 thì L là đường thẳng Nếu D = A = 0 thì L là đường thẳng đi qua gốc toạ

độ Nếu A = 0 thì L là đường tròn đi qua gốc toạ độ

) Giả sử z1 và z2 là hai điểm đối xứng với nhau qua đường tròn C’ Khi đó nếu gọi w1 và w2 và L là ảnh của z1, z2 và C’ qua phép biến hình

w = bảo toàn tính đối xứng qua một

Chứng minh: Lấy 2 đường tròn bất kì P và Q qua z1 và z2.Theo định lí 1 thì P và Q cùng trực giao với C’ Qua phép biến hình, P và Q sẽ biến thành hai đường tròn L1 và

L2 cắt nhau tại w1 và w2 Vì phép biến hình bảo giác nên L1 và L2 trực giao với C’ Theo định lí 2 thì w1 và w2 sẽ đối xứng với nhau qua L

Ví dụ 1: Tìm ảnh của hình tròn | z | < 1 qua phép biến hình

1 giảm từ +∞ đến 1 Trong khi đường tròn |

z | = a quét nên hình tròn | z | < 1 thì ảnh của nó quét nên miền | w | > 1

Tóm lại ảnh của miền | z | < 1 là miềm | w | > 1 Ảnh của đường tròn | z | = 1 là đường tròn | w | + 1

Ví dụ 2: Tìm ảnh của bán kinh OB: argz = π/6; | z | < 1 qua phép biến hình w = 1/z

Lấy M bất kì trên OB Thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua đường tròn đơn vị và phép đối xứng qua trục thực ta được ảnh N của nó nằm trên nửa đường thẳng sao cho:

OM.ON = 1

Khi M chạy từ O đến B, N chạy từ ∞ đến B’

3 Phép biến hình phân tuyến tính

d cz

b az w

+

+

= : Phép biến hình chỉ có ý nghĩa khi c

và d không đồng thời triệt tiêu Ta không xét trường hợp ad = bc vì đây là trường hợp tầm thường Thật vậy nếu ad = bc thì ta có thể viết:

d

bd

b.dbcbz

bdadzd

cz

baz

+

+

=+

d

bzd

a

w = +

cho nên ta giả thiết c ≠ 0 Phép biến hình

dcz

bazw

B’ N

phẳng mở rộng z lên mặt phẳng mở rộng w Mỗi điểm z

bdwz

bdwz

bcadw

1.c

adbcc

a

)dcz(c

adbc)dcz(a)

dcz(c

adbcadacz)

dcz(c

bcaczd

cz

baz

w

+

−+

=

+

−++

=+

−++

=+

+

=+

adbc

Vì mỗi phép biến hình thành phần đều biến một đường tròn thành một đường tròn và bảo toàn tính đối xứng của 2 điểm đối với đường tròn nên phép biến hình phân tuyến tính cũng có các tính chất ấy

Phép biến hình phân tuyến tính tổng quát chứa 4 tham số a, b, c, d nhưng thực chất chỉ có 3 tham số là độc lập Thật vậy, với giả thiết c ≠ 0, ta có:

c

dzc

bzc

bza

=+

+

=+

+

3 1

1 3

1

2 1

1 2

1

1 1

1 1

1

wd

z

bz

a

wd

z

bz

a

wd

z

bz

a

Giải hệ này ta tính được a1, b1 và d1 rồi thay vào

1

1 1dz

bzaw

3 1 3

2 2

1

3 1 3

2

zz

zz.zz

zzww

ww.w

Ví dụ 1: Tìm phép biến hình bảo giác biến nửa mặt phẳng trên lên hình tròn đơn vị

sao cho z = a với Ima > 0 thành w = 0

Theo tính bảo toàn vị trí điểm đối xứng thì điểm z= phải chuyển thành điểm aw=∞ Vậy phép biến hình phải tìm có dạng:

az

azk

aze

−

−

= α

Ví dụ 2: Biến hình tròn đơn vị thành chính nó sao cho z = a với | a | < 1 thành w = 0

Theo tính bảo toàn vị trí đối xứng thì điểm

a

1

b= nằm đối xứng với a qua đường tròn

| z | = 1phải chuyển thành điểm w = ∞ Phép biến hình cần tìm có dạng:

z1

azKbz

azk

|a1

a1

aze

−

−

= α

Ví dụ 3: Biến nửa mặt phẳng trên thành chính nó

Phép biến hình này được thực hiện bằng hàm phân tuyến tính biến 3 điểm z1, z2 và z3

trên trục thực theo chiều dương của mặt phẳng z thành 3 điểm w1, w2, w3 trên trục thực theo chiều dương của mặt phẳng w

4 Phép biến hình Giucovski: Ta gọi hàm phức ⎟

1

w là hàm Giucovski hàm này có rất nhiều ứng dụng trong kĩ thuật Nó có một điểm bất thường hữu hạn là

1

w , w’ = 0 tại các điểm z = ±1 Vậy phép biến hình Giucovski bảo giác tại mọi điểm z hữu hạn khác với điểm O và ±1 Ta hãy tìm miền đơn diệp của hàm Giả sử z1 ≠ z2 nhưng:

zz

11zzhayz

1z2

1z

1z

2

1

2 1 2

1 2

2 1

Ví dụ 1: Tìm ảnh của phép biến hình Giucovski của:

* đường tròn | z | = h 0 < h < 1

* đoạn thẳng Argz = α, | z | < 1

* hình tròn đơn vị | z | < 1

* nửa mặt phẳng trên, nằm ngoài hình tròn đơn vị tâm O

• Ta đặt z = rejϕ Hàm Giucovski được viết thành:

r

1)sinj(cosr2

1re

1re

2

1jvu

12

1sin

h

1h2

1v

cosh

1h2

1u

Trong đó ϕ là tham số Đó là một elip (γ), có tâm O và các bán trục ⎟

1h

1h4

12bac2

2 2

Vì khi 0 < ϕ < π thì v < 0 và khi π <ϕ < 2π thì v > 0 nên ảnh của nửa đường tròn trên là nửa elip dưới, ảnh của nửa đường tròn dưới là elip trên

Chú ý là khi h → 0 thì các bán trục a, b của elip dần ra ∞, nghĩa là nếu đường tròn | z | = h càng nhỏ thì ảnh của nó có các bán trục càng lớn Khi h → 1thì a → 1 và

b → 0, nghĩa là nếu đường tròn | z | = h càng dần vào đường tròn đơn vị thì elip ảnh dẹt dần và tiến tới đoạn kép F1F2 (sở dĩ gọi là đoạn kép vì F1F2 đồng thời là ảnh của nửa cung tròn đơn vị trên và nửa cung tròn đơn vị dưới) Ta quy ước bờ trên của đoạn

là ảnh của nửa cung tròn đơn vị nằm trong nửa mặt phẳng dưới; bờ dưới của đoạn thẳng là ảnh của nửa cung tròn đơn vị nằm trong nửa mặt phẳng trên

• Nếu gọi L là ảnh của đoạn thẳng:

12

1v

cosr

1r2

1u

Khử r trong các phương trình này ta có:

1sin

vcos

u

2

2 2

2

=α

• Khi cho h biến thiên từ 0 đến 1 thì đường tròn | z | = h sẽ quét nên hình tròn | z | < 1 Ảnh (γ) của L trong mặt phẳng w sẽ quét nên mặt phẳng w, bỏ đi lát cắt dọc đoạn

F1F2 Bờ dưới của lát cắt là ảnh của cung tròn đơn vị trên Bờ trên của lát cắt là ảnh của cung tròn đơn vị dưới Nửa hình tròn đơn vị trên có ảnh là nửa mặt phẳng dưới Ngược lại nửa hình tròn đơn vị dưới có ảnh là nửa mặt phẳng trên

• Tương tự như ở câu đầu tiên ảnh của nửa đường tròn trên:

1h2

1v

cosh

1h2

1u

Đây là một cung ellip nằm trong nửa mặt phẳng trên , có các bán trục là ⎟

1a

Ví dụ 2: Tìm phép biến hình biến nửa hình đơn vị | z | = 1, Imz > 0 thành nửa mặt

1

w

zez

5 Hàm luỹ thừa w = z n: Ta xét hàm w = zn với n nguyên dương, lớn hơn hay bằng 2 Nếu z = r(cosα + jsinα) thì w = rn(cosnα + jsinnα) Vậy ảnh của tia Argz = α là tia Argw = nα nhận được bằng cách quay tia Argz = α quanh gốc toạ độ góc (n - 1)α ảnh của đường tròn | z | = R là đường tròn | w | = Rn Ảnh của mặt phẳng z là mặt phẳng w

Tuy nhiên phép biến hình từ mặt phẳng z lên mặt phẳng w không đơn diệp vì nếu hai

số phức z1 và z2 có cùng môđun và có argumen sai khác nhau một số nguyên lần

n

2πthì zn = zn

Muốn hàm w = zn đơn diệp trong một miền G nào đó thì miền G này phải không chứa bất kì cặp điểm nào có cùng môđun và có argumen sai khác nhau góc

0< < π là một miền đơn diệp của hàm w = zn Ảnh của miền quạt này, qua phép biến hình, là mặt phẳng w, bỏ đi một lát cắt dọc theo nửa trục thực 0

u > Bờ trên của lát cắt là ảnh của tia argz = 0 và bờ dưới của lát cắt là ảnh của tia

Hàm w = zn giải tích trong toàn mặt phẳng, vì ta có:

Cznzdz

dw n 1

∈

∀

Phép biến hình w = zn bảo giác tại mọi điểm z ≠ 0

6 Hàm w =n z: Đây là hàm ngược của hàm w = zn Nó là một hàm đa trị vì với mỗi

số phức z = r(cosϕ + jsinϕ) ≠ 0 có n căn bậc n cho bởi:

1n,,1,0kn

k2sinjn

k2cosr

Toạ vị của n số phức này là các đỉnh của một đa giác đều n cạnh tâm O Giả zử điểm

z vạch thành một đường cong kín L không bao quanh gốc toạ độ O, xuất phát từ zo

Khi đó điểm w =n z trong đó n z là một giá trị nào đó của căn thức mà ta chọn trước

o

o z

một vòng trên C thì Argz biến thiên từ giá trị ban đầu Argzo rồi quay về đúng giá trị

ấy Các giá trị căn thức khác với giá trị đã chọn sẽ vạch nên đường cong kín Γk, được suy ra từ Γ bằng cách quay các góc 2π/n quanh gốc toạ độ

Bây giờ ta giả thiết điểm z vạch nên đường cong kín C bao quanh gốc toạ độ một vòng theo hướng dương, xuất phát từ điểm zo Trong trường hợp này, khi z chạy một vòng thì arumen của z tăng thêm 2π Do vậy argumen của w tăng thêm 2π/n

2cos

w

khác của căn thức Do đó điểm w chỉ trở về vị trí xuất phát sau khi z chạy n vòng trên

C Điều đó chứng tỏ rằng muốn tách được một hàm đơn trị liên tục từ hàm đa trị

n z

cong kín nào bao quanh gốc O Muốn vậy ta có thể lấy E là mặt phẳng phức z cắt di một lát cắt γ từ gốc toạ độ ra ∞ Chẳng hạn, có thể chọn γ là nửa trục Ox dương Khi

đó các hàm đơn trị tách ra từ hàm đa trị w =n z, mà ta thường gọi là các nhánh đơn trị cuả hàm w =n z là những hàm biến phức biến E(mặt phẳng phức với lát cắt dọc theo nửa trục Ox dương) lên mỗi hình quạt:

L

L

n

4zargn

2

n

2zarg

1 n 1 1

n n

n

1nw

1)

w(

1)

nên nó là hàm giải tích trong E

Nếu ta không dùng lát cắt γ thì không thể tách được các nhánh đơn trị vì khi điểm z vạch nên đường cong kín thì điểm w sẽ chuyển từ nhánh nọ sang nhánh kia Vì vậy O còn được gọi là điểm rẽ nhánh của hàm đa trị w =n z

ϕ

=

=

3sinj3cosr)sinj(cosrz

Điều đó chứng tỏ nửa trục Ox là đường gián đoạn của nhánh này

b Các phép tính về hàm mũ:

2 z 1 z 2

z

1

z

ee

nz n

ez1 = x1 1 + 1 và ez2 =e 2(cosy2 +jsiny2)

Vậy: ez1.ez2 =e 1(cosy1+ jsiny1)e 2(cosy2 + jsiny2)

Hay: ez1.ez2 =ex1+ x2[cos(y1+y2)+ jsin(y1+y2)]

Theo định nghĩa hàm mũ phức ta có:

2 z 1 z ) 2 1 ( j ) 2 1 ( 2

z

1

c Chu kỳ của hàm mũ: Theo đinh nghĩa, ta có:

e2jkπ = cos2kπ + jsin2kπ = 1 ( k nguyên)

Theo (3) thì:

Công thức này cho thấy rằng hàm w = ez là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2jπ Vậy hai điểm nằm trên một đường song song với trục ảo và các nhau một khoảng bằng bội số của 2jπ thì có cùng ảnh

Thay y bằng -y ta có:

ysinjycos

π

=

π+

π

4 je24

sinj4cos2j1

3

4 jarctge53

4arctgsin

j3

4arctgcos

5j4

e2+3j = e2(cos3 + jsin3)

e-2j = cos2 - jsin2

f Tính giải tích của hàm w = e z: Hàm w = ez giải tích trong toàn bộ mặt phẳng

vì ∀z, điều kiện C - R được thoả mãn:

xjycosex)

z

(

w

ysinexy

cose

y

ysineyycose

x

x x

x x

x x

∂

∂+

Phép biến hình từ băng G lên miền ∆ là một phép biến hình đơn diệp Tương

tự, phép biến hình w = ez cũng biến mọi băng 2kπ < y < 2(k+1)π( k nguyên), có chiều rộng k, lên miền ∆ nói trên

Phép biến hình w = ez biến cả mặt phẳng z lên mặt phẳng w, nhưng không đơn diệp

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN HÀM PHỨC

§1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CỦA HÀM BIẾN PHỨC

1 Định nghĩa: Cho đường cong C định hướng, trơn từng khúc và trên C cho một

hàm phức f(z) Tích phân của f(z) dọc theo C được định nghĩa và kí hiệu là:

ta có: f(t (z z ) (u x v y ) j n (u xk vk yk)

1

k k k n

1

1 k k n

1

∆+

∆+

∫

∫

C C

C

)vdxudy

(j)vdyudx

()

z

(

Nếu đường cong L có phương trình tham số là x = x(t), y = y(t) và α≤ t ≤ β thì

ta có thể viết dưới dạng hàm biến thực:

z = x(t) + jy(t) = z(t) α≤ t ≤ β

với z(a) = α; z(b) = β Khi đó ta có công thức tiện dụng:

[z(t)].z(t)dtf

dz)

t

(

y

t)

Điểm O ứng với t = 0 và điểm B ứng với t = 1 Theo (4):

2

j1tdt)j1(tdt)j1(dt)t(z.t)j1Re(

=+

=

′+

Ví dụ 2:Tính =∫

L z

dz

I , L là nửa cung tròn nằm trong nửa mặt phẳng trên, nối điểm -a

và a, chiều lấy tích phân từ -a đến a

Phương trình tham số của đường cong L là:

tcosax

Vậy z(t) = a(cost + jsint) = aejt, z’(t) = jaejt

Điểm -a ứng với t = π, điểm a ứng với t = 0 Theo (4):

jdtjae

dtjaez

dz

I

0 0

jt jt

dy)x21(dx)y21(jdy)y21(dx)x21(

0

2 C

−

=+

−

−

=+

−

−

=+

I=− +

Ví dụ 4: Tính = ∫

AB

2dzz

I , AB là đoạn thẳng nối điểm A là toạ vị của số phức 2 và điểm B là toạ vị của số phức j

f(z) = z2 = (x + jy)2 = (x2 - y2 + 2jxy) nên u = x2 - y2 và v = 2xy Theo (3) ta có:

2

2 y )dx 2xydy j (x y )dy 2xydxx

(I

Vì AB có phương trình x = 2 - 2y, dx = -2dy (chọn y làm tham số) nên:

3

8ydy)y22(2)dy2)(

yy8y44(xydy2dx)yx

(

1

0

2 2

∫

Thay vào ta có:

3

j8

Áp dụng (4) với C1 ta có z = (1 + j)t, t đi từ 0 đến 1 nên:

3

2dt)j1(t)j1(dzzI

1 o

2 2 1

1 o

2 1

o

2 2

- Tích phân không phụ thuộc tên gọi biến số tích phân

∫

AB AB

d)(fdz)z

(

f

- ∫ [ + ] =∫ +∫

AB AB

AB

dz)z(gdz)z(fdz)z(g)z(

f

- Nếu a là hằng số phức thì:

zd)z(fadz)z

(

f

BC AB

4 Các công thức ước lượng tích phân: Nếu M là giá trị lớn nhất của | f(z) | trên đường cong L (nghĩa là | f(z) | ≤ M ∀z ∈ L) thì ta có:

Mldz

dz)z(fdz

)z

(

f

L L

)(

1 k

n

1

zM

zMz

)(

z)(

f

Chú ý là ∑

=

∆n

z dần tới độ dài l của đường cong L Chuyển qua giới hạn trong (6) ta có:

Mldz

)z

§2 ĐỊNH LÍ CAUCHY CHO MIỀN ĐƠN LIÊN

1 Định lí: Nếu f(z) giải tích trong miền đơn liên D và C là một đường cong kín nằm trong D thì:

L

0dz)

jvdyudx

dz)

y

Px

giả thiết f(z) giải tích nên các điều kiện C - R được thoả mãn, vậy

x

Qx

)v(y

L

0dz)z(f

Ví dụ 1: Nếu L là đường cong kín bất kì giới hạn một

Ví dụ 2: Tính =∫ +

L

1z

zsin

Hàm

1z

zsin)

tcosaxx

o o

Vậy z(t) = x(t) + jy(t) = zo + aejt; z’(t) = jaejt

Theo (4) ta có:

j2dtae

jaeI

1)

z(f

Ta có thể viết: I ze dz ze je dz jej (ej 1) 1 (j 1)(cos1 jsin1)

o

z j o z j

102

j102

1101

j102

j101

t102

tdt)tt(dt)1t(t

I

101 102

j 0

101 102

j o

100 101 j

=+

=+

§3 ĐỊNH LÍ CAUCHY CHO MIỀN ĐA LIÊN

1 Định lí: Giả sử miền G là đa liên mà biên L gồm đường cong bên ngoài Lo, và các đường cong bên trong L1, L2, , Ln.(hình a)

Nếu f(z) là một hàm giải tích trong G thì:

Ln 2

L 1

L o

L

dz)z(fdz

)z(fdz)z(fdz)

z

(

Các tích phân đều lấy theo hướng dương, nghĩa là ngược chiều kim đồng hồ

Chứng minh: Ta sẽ chứng minh

∫

1 L o

L

dz)z(fdz)

0dz)z(fdz)z(fdz)z(fdz)

z

(

f

BA 1

L AB

o

L

=+

f chỉ tích phân theo hướng thuận chiều kim đồng hồ

Theo tính chất của tích phân ta có:

∫

1 L 1

L

dz)z(fdz

dz)z(fdz

)z

(

f

Thay vào trên ta có:

0dz)z(fdz)

z

(

f

1 L o

L

=

−∫

∫

Đây là điều cần chứng minh

Ghi chú: Công thức (7) có thể viết thành:

0dz)z(fdz

)z(fdz)z(fdz)

z

(

f

Ln 2

L 1

L o

L 1

L o

L

=+

++

hay gọn hơn:

0dz)z(fn L 1

+ L

Gọi L là biên có hướng dương của miền G thì đẳng thức trên được viết là:

0dz)

Hệ quả: Giả sử f(z) giải tích trong miền D có biên C và liên tục trong D thì với mọi ro

∈ D thì:

)z(jf2z

z

)z

n ozz

1)

z(f

n

dzz

z

dzI

ea

je

a

dtjaez

z

dz

0 t ) n 1 ( j 2

t ) n 1 ( j 1 n 2

0 n jnt

jt L

n o

2 Tích phân không phụ thuộc đường đi:

Định lí: Giả sử f(z) là một hàm giải tích trên miền đơn liên G và zo là một điểm

cố định thuộc G Khi đó tích phân của hàm f(z) dọc theo một đường cong kín nằm trọn trong G, đi từ điểm zo đến điểm z ∫z

o zdz)z(

f không phụ thuộc vào đường lấy tích

phân

zo

G zo

Nếu cận trên z thay đổi thì tích phân đó là một

hàm giải tích của z trong G và có đạo hàm được xác

định bởi công thức:

)z(fdz)z(fdz

Chứng minh: Lấy hai đường cong bất lì L1 và L2 nằm

trong G và đi từ zo đến z Do f(z) giải tích nên áp

dụng định lí Cauchy cho đường cong kín MomMnMo:

0dz)z(fdz

)z(

f

o MnM mM

o

M

=+ ∫

∫

hay: 0f(z)dz f(z)dz

nM o M mM

L

dz)z(fdz)

tích phân không phụ thuộc đường đi nên ứng với mỗi z tích phân có một giá trị hoàn toàn xác định Vậy F(z) là một hàm đơn trị Ta có:

=

z

o z z

z o z

z z o z

d)(fd

)(fd

)(fd)(f)z(F)zz(FF

Vì f(ζ) giải tích, nên nó liên tục tại z Do đó có thể viết f(ζ) = f(z) + α(ζ) với α(ζ) là hàm giải tích, dần tới 0 khi ζ→0 Vậy:

z z z

z z z

z z z

d)(d

)z(fd)(d

)z(fd

)()z(fF

= ∆ +z∫∆αz ζ ζ

zd)(z

)z(f

hay

z

d)()

z(fz

F

z z

z

∆

ζζ

α+

Vậy: max ( )

z

d)(

∫∆

Cho ∆z→0 thì max | α(ζ) | → 0 Do đó 0

z

d)(

z z

∆

ζζα

ujy

vx

vjx

u)

vy

u

;0y

vx

z

1

Czcosdzzsin

C1n

zdz

z

Cedz

e

1 n n

z z

§5 CÔNG THỨC NEWTON - LEIBNITZ

Định lí: Giả sử f(z) là một hàm giải tích trong miền đơn liên G và có nguyên

hàm F(z) Khi đó:

)z(F)z(Fd)

Chứng minh: Ta đã biết là ∫ ζ ζ

z o zd)(

f cũng là một nguyên hàm f(z) Vậy:

C)z(Fd)

∫

Khi z = z1:

1 z o z o

Ví dụ 1: Tính =∫j

2

2dzzI

3

8j3

zdzz

I

j 2

3 j

dz

I

a a

a a L

Ví dụ 3: Tính =∫j

0

zdzzeI

j301.0381.0e

zedzeze

dzze

0 z j 0 z j

0

z j 0 z j

Định lí: Giả sử G là một miền đơn liên hoặc đa liên giới hạn bởi biên L và z là

một điểm bên trong G Nếu f(z) giải tích trong G thì ta có công thức:

Ý nghĩa: Công thức này cho phép ta tính được giá trị của hàm giải tích ở bên

trong miền G khi biết giá trị của nó trên biên

Nói khác đi, giá trị của hàm giải tích trong miền, hoàn toàn

được xác định bởi giá trị của nó trên biên

Chứng minh: Lấy zo bất kì trong miền G, ta sẽ chứng minh

1)

)z(f)

z

(

−

=

ϕ Loại khỏi miền G một hình tròn

bán kính r bất kì đủ nhỏ có tâm tại zo thì ϕ(z) sẽ giải tích trong miền đa liên còn lại

Áp dụng định lí Cauchy cho miền đa liên ta có:

∫

∫

γ ζ −

ζζ

=

−

ζ

ζζ

o

d)(fz

d)

=

−

ζ

ζζ

o 0

r

d)(flimz

d)

γ γ

ζ

−ζ+

ζ

−ζ

−ζ

=ζ

−ζ

+

−ζ

)z(f)(fd

z

)z(f)z(f)(fz

d)

(

f

o

o o

o o

o o

o

d 2j f(z )

z

)z(f)(f

o o

−ζ

−ζ

)z(f)

−ζ

Áp dụng công thức ước lượng tích phân ta có:

πε

=π

ε

≤

−ζ

−ζ

∫

γ

2r2rz

)z(f)(

f

o o

Vì ε bé tuỳ ý nên:

z o

L

γ