Định lý Lax-Milgram và ứng dụng

k.kV chuẩn trong không gian Vinf f cận dưới đúng của ánh xạ f sup f cận trên đúng của ánh xạ f min f giá trị nhỏ nhất của ánh xạ f max f giá trị lớn nhất của ánh xạ f ker f hạt nhân, hạc

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Năng Tâm người đã định hướngchọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa luậnnày.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học,các thầy cô giáo trong Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đãgiúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới giađình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi chotôi trong quá trình học tập và hoàn thành khoá luận

Hà Nội, ngày 12 tháng 12 năm 2011

Lê Thu Phương

Dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Năng Tâm luận văn thạc

sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Định lý Lax-Milgram và ứngdụng” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân, khôngtrùng với bất cứ luận văn nào khác

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừanhững thành tựu của các nhà khoa học với lòng trân trọng và biết ơn.Một số kết quả tác giả đã đưa ra dựa trên những thành tựu khoa họcnày

Hà Nội, ngày 12 tháng 12 năm 2011

Lê Thu Phương

Bảng ký hiệu v

Lời mở đầu 6

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 9

1.1 Không gian định chuẩn 9

1.2 Không gian Hilbert 14

1.3 Không gian Sobolev 19

Chương 2 Định lý Lax-Milgram 22

2.1 Bài toán biến phân 22

2.1.1 Bài toán biến phân đối xứng 23

2.1.2 Bài toán biến phân không đối xứng 25

2.2 Định lý Lax-Milgram 26

2.3 Định lý Lax-Milgram mở rộng 29

2.3.1 Định lý Lax-Milgram trên không gian Banach phản xạ 29

2.3.2 Định lý Lax-Milgram trên không gian Banach 34

Chương 3 Một số ứng dụng 37 3.1 Ứng dụng trong phương trình vi phân thường 37 3.2 Ứng dụng trong phương trình đạo hàm riêng 42

iii

3.3 Ứng dụng trong bất đẳng thức biến phân và bài toántối ưu 52Kết luận 54Tài liệu tham khảo 55

k.kV chuẩn trong không gian V

inf f cận dưới đúng của ánh xạ f

sup f cận trên đúng của ánh xạ f

min f giá trị nhỏ nhất của ánh xạ f

max f giá trị lớn nhất của ánh xạ f

ker f hạt nhân, hạch của ánh xạ f

clyếu∗ Ω bao đóng yếu∗ của tập Ω

div F divergence, phân tán của hàm vector F

hx∗, xi ảnh của toán tử x∗ tại điểm x

∂u

∂xi đạo hàm riêng của hàm u theo biến xi(x, y) gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y

Các bài toán biến phân đã xuất hiện từ rất lâu, thu hút được sự quantâm của nhiều nhà toán học nổi tiếng của các thế kỷ XVII – XIX và cóảnh hưởng rất lớn đối với sự phát triển của Giải tích toán học Nhưngphải đến thế kỷ XX bài toán biến phân mới được hình thành với tư cách

là một lý thuyết toán học độc lập, với nhiều hướng nghiên cứu khácnhau Cho tới ngày nay nghiên cứu các bài toán biến phân chủ yếu đượctập trung vào ba vấn đề chính:

- Nghiên cứu định tính (điều kiện cần và đủ để có nghiệm, các định lýđối ngẫu, sự tồn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm, tính ổn định nghiệm,

Một trong những vấn đề quan trọng của bài toán biến phân là nghiêncứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm Đã có rất nhiều các công trình toánhọc nghiên cứu về vấn đề này, trong đó phải kể đến hai nhà toán học Peter

D Lax và Arthur Milgram với định lý Lax-Milgram, cho ta một điều kiện

6

để xác định bài toán biến phân có nghiệm duy nhất (xem [7], [13], [14]).

Từ định lý Lax-Milgram đã đặt ra rất nhiều câu hỏi và hướng mở rộngkhác nhau Trong không gian Hilbert bài toán biến phân có nghiệm duynhất Liệu điều này còn đúng trong không gian Banach? Đã có nhiều nhàkhoa học quan tâm nghiên cứu về câu hỏi này và đã chứng minh đượctính duy nhất nghiệm trong không gian Banach (xem [8], [13], [14]).Khi mở rộng không gian cho định lý Lax-Milgram tính chất tuyếntính của ánh xạ a(·, ·) (xem 2.2) được giữ nguyên E Zeidler đã đi đầutrong việc nghiên cứu mở rộng trong trường hợp a(·, ·) là phi tuyến (xemmục 2.15 trong [19])

Ta thấy, định lý Lax-Milgram cho chúng ta một kết quả rất đẹp trongbài toán biến phân, cũng như trong phương trình toán học Như vậy, mộtcâu hỏi đặt ra rất tự nhiên là:

Liệu có tồn tại những lớp hàm đủ rộng thỏa mãn định lý Lax-Milgramhay không?

Hay có tồn tại những lớp hàm không thỏa mãn điều kiện của định lýLax-Milgram nhưng vẫn có kết luận như thế không (chính là một cách

mở rộng định lý Lax-Milgram theo hướng làm yếu điều kiện của toán tửa(·, ·))?

Người đầu tiên đi theo hướng này là B Ricceri (xem [16]), sau đó

là J Saint Raymond (xem [15]) và Nguyễn Đông Yên, Bùi Trọng Kim(xem [18])

Kết quả đạt được từ định lý Lax-Milgram và các dạng mở rộng cóứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực toán học khác nhau như tối ưu

hóa, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng (xem [5], [6],[7], [8], [10]).

Đề tài “Định lý Lax-Milgram và ứng dụng” nhằm nghiên cứu hướng

mở rộng định lý Lax-Milgram từ không gian Hilbert sang không gianBanach và các ứng dụng của định lý Lax-Milgram trong phương trình

vi phân, phương trình đạo hàm riêng, tối ưu hóa

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này, ta trình bày một số kiến thức cơ bản về: không gian địnhchuẩn, không gian Hilbert, phương trình vi phân, phương trình đạo hàmriêng sẽ được sử dụng trong các phần sau Ngoài ra, trong phần này cònchứng minh một số bất đẳng thức trong không gian Sobolev nhằm giảiquyết các bài toán về ứng dụng của định lý Lax-Milgram

1.1 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1 Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tínhđịnh chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường R cùng với một ánh

xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu là k·k và đọc là chuẩn, thỏa mãn cáctiên đề sau đây:

1) (∀x ∈ X) kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇔ x = θ (ký hiệu phần tử không là θ);2) (∀x ∈ X)(∀α ∈ R) kαxk = |α| kxk;

3) (∀x, y ∈ X) kx + yk ≤ kxk + kyk

Số kxk gọi là chuẩn của vector x Ta ký hiệu không gian định chuẩn

là (X, k·k) Nếu trên X chỉ trang bị một chuẩn ta có thể ký hiệu là X

9

Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn.

Định nghĩa 1.2 Dãy điểm (xn) trong không gian định chuẩn X gọi làdãy cơ bản, nếu

lim

m,n→∞kxn− xmk = 0

Định nghĩa 1.3 Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach,nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ

Định lý 1.1 (Nguyên lý ánh xạ co) Cho không gian Banach V , một ánh

xạ co T đi từ V vào chính nó, nghĩa là tồn tại một hằng số, 0 6 M < 1thỏa mãn

kT v1 − T v2k 6 M kv1 − v2k , ∀v1, v2 ∈ V

Khi đó, tồn tại duy nhất điểm u thuộc V sao cho u = T u

Định nghĩa 1.4 Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường sốthực R Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tínhnếu ánh xạ A thỏa mãn các điều kiện:

kAxk ≤ C kxk , ∀x ∈ X.

Định nghĩa 1.6 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gianđịnh chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Chuẩn của toán tử A, kíkiệu là kAk, được xác định bởi

kAk = infC > 0

kAxk ≤ C kxk , ∀x ∈ X Định lý 1.2 (Tính chuẩn của toán tử) Cho toán tử tuyến tính A từkhông gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Nếu toán tử A

bị chặn thì:

kAk = sup

kxk≤1

kAxkhay

kAxk = sup

kxk=1

kAxk Định lý 1.3 (Tính liên tục của toán tử ngược) Toán tử tuyến tính Aánh xạ không gian định chuẩn X lên không gian định chuẩn Y có toán

tử ngược A−1 liên tục khi và chỉ khi tồn tại hằng số α > 0 sao cho

kAxk ≥ α kxk (∀x ∈ X)

Khi đó A−1 ≤ 1

α.Định nghĩa 1.7 Cho hai không gian định chuẩn X và Y Ký hiệuL(X, Y ) là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian

X vào không gian Y

Ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán: Tổng của hai toán tử A, B thuộcL(X, Y ) là toán tử, ký hiệu A + B, xác định bằng hệ thức:

(A + B)(x) = Ax + Bx, ∀x ∈ X

Tích của vô hướng α ∈ R với toán tử A ∈ L(X, Y ) là toán tử, ký hiệu

Định lý 1.5 (Nguyên lý thác triển Hahn-Banach) Mọi phiếm hàm tuyếntính liên tục f xác định trên không gian tuyến tính con X0 của khônggian định chuẩn X(X0 6= X), đều có thể thác triển lên toàn không gian

X với chuẩn không tăng, nghĩa là có thể xây dựng được phiếm hàm tuyếntính liên tục F xác định trên toàn không gian X sao cho:

Định nghĩa 1.8 (xem [2]) Cho không gian định chuẩn X trên trường

số thực R Ta gọi không gian L(X, R) các phiếm hàm tuyến tính liêntục trên không gian X, là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu)của không gian X và ký hiệu X∗ (thay cho ký hiệu L(X, R))

Định nghĩa 1.9 Không gian định chuẩn X gọi là không gian phản xạ,nếu X = X∗∗

Hệ quả 1.2 Không gian phản xạ là không gian Banach

Định lý 1.6 Không gian con đóng của một không gian phản xạ là khônggian phản xạ

Định nghĩa 1.10 (xem [2]) Cho không gian định chuẩn X, X∗ là khônggian liên hợp của không gian X Với mỗi x ∈ X ta xét họ γx tất cả cáctập con của không gian X có dạng:

Vx = V (x; f1, f2, , fn) =y ∈ X

|fj(y) − fj(x)| < , j = 1, 2, , n ,trong đó n là số nguyên dương tuỳ ý, f1, f2, , fn là n phần tử tuỳ ý củakhông gian X∗,  là số dương tuỳ ý

Dễ dàng kiểm tra họ γx có các tính chất:

1) (∀ ∈ X)γx 6= ∅, ∀Vx ∈ γx =⇒ x ∈ Vx;

2) V1 ∈ γx, V2 ⊃ V1 =⇒ V2 ∈ γx;

3) ∀V1 ∈ γx, ∀V2 ∈ γx =⇒ V1 ∩ V2 ∈ γx;

4) ∀Vx ∈ γx =⇒ ∃Wx ∈ γx sao cho (∀y ∈ Wx)Vx ∈ γy

Do đó, tồn tại một tôpô duy nhất trên không gian X sao cho tại mỗiđiểm x ∈ X họ γx là một cơ sở lân cận của điểm x Tôpô này gọi là tôpôyếu trên không gian X Ký hiệu tôpô đó là τ (X, X∗)

Định nghĩa 1.11 Tương tự, ta có khái niệm của tôpô yếu∗ trên khônggian X∗, kí hiệu là τ∗(X∗, X∗∗).

Định nghĩa 1.12 Cho không gian định chuẩn X Dãy (xn) ⊂ X gọi

là hội tụ yếu tới phần tử x ∈ X, nếu với mọi lân cận yếu U của x, tìmđược số nguyên dương n0 sao cho với mọi n ≥ n0 thì xn ∈ U , ký hiệu:

xn −yếu→ x(n → ∞)

Định lý 1.7 Cho không gian định chuẩn X Dãy điểm (xn) ⊂ X hội

tụ yếu tới điểm x ∈ X khi và chỉ khi f (xn) → f (x) với mọi f ∈ X∗.Định lý 1.8 Cho không gian định chuẩn X Nếu dãy điểm (xn) ⊂ Xhội tụ yếu thì dãy đó bị chặn

Định lý 1.9 Dãy (fn) ⊂ X∗ hội tụ yếu tới f ∈ X∗ khi và chỉ khi

f (xn) → f (x) với mọi f ∈ X∗

Định lý 1.10 (xem [2]) Dãy (fn) ⊂ X∗ hội tụ yếu và X là không gianBanach, thì dãy kfnk bị chặn

1.2 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.13 Cho không gian tuyến tính X trên trường số thực R

Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes

X × X vào R, ký hiệu (·, ·), thoả mãn các tiên đề:

1) (∀x, y ∈ X)(y, x) = (x, y);

2) (∀x, y, z ∈ X)(x + y, z) = (x, z) + (y, z);

3) (∀x, y ∈ X)(∀α ∈ R)(αx, y) = α(x, y);

4) (∀x ∈ X)(x, x) > 0, nếu x 6= θ (θ là ký hiệu phần tử không),(x, x) = 0, nếu x = θ.

Các phần tử x, y, z, gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (x, y)gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y, các tiên đề 1), 2), 3), 4)gọi là hệ tiên đề tích vô hướng

Định lý 1.11 (Bất đẳng thức Schwarz) Đối với mỗi x ∈ X ta đặtkxk = p(x, x)

1) H là không gian tiền Hilbert;

2) H là không gian Banach với chuẩn kxk = p(x, x), x ∈ H

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H

là không gian Hilbert con của không gian H

Định lý 1.13 (F.Riesz) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong khônggian Hilbert đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng

f (x) = (x, a), x ∈ Htrong đó, phần tử a ∈ H được xác định duy nhất bởi phiếm hàm f và

kf k = kak Nhận xét 1.1 Từ định lý Riesz ta có mỗi phiếm hàm tuyến tính liêntục f trên không gian Hilbert H tương ứng một đối một với phần tử

a ∈ H Tương ứng này vừa tuyến tính, vừa đẳng cự Vì vậy, ta có thểđồng nhất mỗi phiếm hàm f ∈ H∗ với phần tử a ∈ H, nghĩa là H∗ = H,nói một cách khác, không gian Hilbert H là tự liên hợp

Định nghĩa 1.16 (xem [7], [15]) Một dạng song tuyến tính a(·, ·) trênmột không gian tuyến tính định chuẩn H là bị chặn hoặc liên tục, nếu

∃C < ∞ sao cho

|a(u, v)| 6 C kukH kvkH , ∀u, v ∈ H,

và bức trên V ⊂ H, nếu

∃α > 0 sao cho a(v, v) > α kvk2H , ∀v ∈ V

Nhận xét 1.2 Hằng số C được gọi là hằng số liên tục, hằng số α đượcgọi là hằng số bức Trong luận văn, khi ta nhắc đến dạng song tuyếntính, liên tục (bị chặn), bức thì ta mặc định hằng số liên tục C và hằng

số bức α

Định lý 1.14 Cho H là không gian Hilbert, và giả sử rằng a(·, ·) là mộtdạng song tuyến tính đối xứng, liên tục trên H và bức trên V ⊂ H Khi

đó, (V, a(·, ·)) là một không gian Hilbert

Chứng minh Vì a(·, ·) là bức nên a(·, ·) xác định trên V

Đặt kvkV = pa(v, v), ∀v ∈ V thì k·kV xác định một chuẩn trên V

Để chứng minh định lý 1.14 ta chỉ cần chứng minh (V, k·kV) đầy Giả sửrằng dãy {vn} là dãy Cauchy trên (V, k·kV)

Theo giả thiết, a bức nên {vn} cũng là dãy Cauchy trên (H, k·kH)

Vì H là không gian đầy nên tồn tại v ∈ H sao cho vn → v trên chuẩnk·kH Mặt khác, V đóng trong H nên v ∈ V

Do a(·, ·) bị chặn nên tồn tại c1 > 0 sao cho

kv − vnkV 6 √c1kv − vnkH

Do đó, vn → v trong chuẩn k·kV và (V, k·kV) là không gian đầy

Định nghĩa 1.17 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ khônggian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Toán tử A∗ ánh xạ không gian

Y vào không gian X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A, nếu

(Ax, y) = (x, A∗y), ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y

Định lý 1.15 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gianHilbert X vào không gian Hilbert Y Khi đó, tồn tại toán tử A∗ liên hợpvới toán tử A ánh xạ không gian Y vào không gian X

Định lý 1.16 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gianHilbert X vào không gian Hilbert Y Khi đó, toán tử liên hợp A∗ với toán

tử A cũng là toán tử tuyến tính bị chặn và kA∗k = kAk

Định nghĩa 1.18 Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gianHilbert H vào chính nó gọi là tự liên hợp, nếu

(Ax, y) = (x, Ay), ∀x, y ∈ H

Toán tử tự liên hợp còn được gọi là toán tử đối xứng

Định lý 1.17 Nếu A là toán tử tự liên hợp ánh xạ không gian Hilbert

H vào chính nó, thì

kAk = sup

kxk=1

|(Ax, x)| Định nghĩa 1.19 Cho không gian Hilbert H Tập K ⊂ H gọi là tậpcompak yếu trong không gian H, nếu mọi dãy vô hạn (xn) ⊂ K đều chứadãy con hội tụ yếu trong không gian H

Định lý 1.18 Nếu tập K bị chặn trong không gian Hilbert H, thì K làtập compak yếu trong không gian H

Định lý 1.19 (Stampacchia, xem [18]) Cho H là không gian Hilbert,

K là tập con, lồi, đóng khác rỗng của H, a(·, ·) : H × H −→ R là mộtdạng song tuyến tính sao cho tồn tại hằng số C > 0 và α > 0 thỏa mãn:

|a(u, v)| 6 C kuk kvk ∀u, v ∈ H,

|a(u, u)| > α kuk2 ∀u ∈ H

Khi đó, với mọi y ∈ H, tồn tại duy nhất vector x ∈ K sao cho

a(x, x0 − x) > (y, x0 − x) ∀x0 ∈ K

1.3 Không gian Sobolev

Định nghĩa 1.20 (Đạo hàm suy rộng, xem [1], [7]) α = (α1, , αn) là

kí hiệu đa chỉ số với αi là các số nguyên không âm, |α| = α1 + + αn.Giả sử ξ = (ξ1, , ξn) ∈ Rn, khi đó ξα = ξα1

1 ξαn

n Đạo hàm (suy rộng)cấp α được kí hiệu là

kukL

p (Ω) =



Z

Định lý 1.20 (Bất đẳng thức H¨older, xem [3]) Giả sử u, v là hai hàmtrong không gian L2(Ω), p và q là hai số thực sao cho p > 1,1

p +1

q = 1.

Khi đó ta nhận được bất đẳng thức tích phân H¨older

Định nghĩa 1.22 (Không gian Sobolev, xem [7]) Không gian Wpm(Ω)với 1 6 p < ∞ là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x) ∈ Lp(Ω),sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp α, |α| 6 m, thuộc Lp(Ω).Trong Wpm(Ω), 1 6 p < ∞ ta trang bị chuẩn

kukWm

p (Ω) =



X

Đặc biệt, với p = 2 thì không gian W2m(Ω) là không gian Hilbert Khi

m = 1 ta ký hiệu lại W21(Ω) = H1(Ω) hay

Định lý 1.21 (Bất đẳng thức Poincaré, xem [1]) Giả sử Ω = {x ∈ Rn :

ai < xi < bi, i = 1, , n} Nếu R

Ω

u(x)dx = 0, thìZ

6



Z

6



Z

= kvkH1 (Ω) (1.6)

Định lý Lax-Milgram

Trong phần đầu của chương này trình bày bài toán biến phân đối xứng

và nghiên cứu về sự duy nhất nghiệm của bài toán biến phân đối xứng.Tuy nhiên, trong thực tế bên cạnh các bài toán biến phân đối xứng thì

có một lượng lớn các bài toán, ứng dụng với điều kiện là không đối xứng.Phần chính trong chương này tập trung nghiên cứu định lý Lax-Milgramcho bài toán biến phân đối xứng, bài toán biến phân không đối xứngtrong không gian Hilbert và một số hướng mở rộng trong không gianBanach

2.1 Bài toán biến phân

Cho (H, (·, ·)) là không gian Hilbert trên trường số thực Ta biết rằng,rất nhiều bài toán trong thực tế cũng như trong lý thuyết sẽ dẫn đếnbài toán quen thuộc: cho A là toán tử tuyến tính từ H vào chính nó, vớimỗi điểm y thuộc H tìm x thuộc H sao cho

22

Về mặt tổng quát, việc giải phương trình (2.1) là không hề đơn giản vàkhông phải lúc nào phương trình cũng có nghiệm Nên ta thường chuyểnphương trình (2.1) về dạng yếu hơn để nghiên cứu, cụ thể, ta nhân vôhướng cả hai vế của phương trình (2.1) với mọi v thuộc H Khi đó, tanhận được bài toán yếu hơn, tìm x thuộc H sao cho

Định nghĩa 2.1 Bài toán tìm x thuộc H thoả mãn (2.2) được gọi làbài toán biến phân

Bằng cách tổng quát hoá, ta định nghĩa bài toán biến phân đối xứng

và bài toán biến phân không đối xứng một cách cụ thể trong mục 2.1.1

và mục 2.1.2

2.1.1 Bài toán biến phân đối xứng

Cho (H, (·, ·)) là không gian Hilbert trên trường số thực, V là không giancon đóng của H, V∗ là không gian đối ngẫu của V và a(·, ·) là dạng songtuyến tính đối xứng, bị chặn, bức trên V Bài toán biến phân đối xứng

dễ thấy, a(·, ·) là dạng song tuyến tính đối xứng, bị chặn và bức trên

V Khi đó, với mọi F ∈ V∗ = R ta tìm u ∈ V = R sao cho a(u, v) =

F (v), ∀v ∈ V = R tương đương với uv = F v, ∀v ∈ R suy ra u = F Vậy

u = F chính là nghiệm của bài toán biến phân đối xứng trên

Ví dụ 2.2 Vẫn với các giả thiết như trong ví dụ 2.1, ta thay V ={(x, 2x)|x ∈ R} ⊂ R2 Khi đó, với mọi F = (f1, f2) ∈ V∗ ta tìm u =(u1, 2u1) ∈ V sao cho a(u, v) = F (v), ∀v = (v1, 2v1) ∈ V tương đươngvới 13u1v1 = v1(f1 + 2f2), ∀v ∈ R suy ra u1 = f1 + 2f2

Nếu Vh là không gian con hữu hạn chiều của V , thì bài toán xấp xỉRitz-Galerkin là bài toán 2.2

Bài toán 2.2 (Bài toán xấp xỉ Ritz-Galerkin) Cho F ∈ V∗, tìm uh ∈ Vhsao cho a(uh, v) = F (v), ∀v ∈ Vh

Định lý 2.1 cho ta kết quả về tính tồn tại và duy nhất nghiệm củabài toán 2.2

Định lý 2.1 Bài toán xấp xỉ Ritz - Galerkin 2.2 có nghiệm duy nhất,

có nghĩa là tồn tại duy nhất uh ∈ Vh sao cho a(uh, v) = F (v), ∀v ∈ Vh

Chứng minh Theo giả thiết, Vh là không gian con hữu hạn chiều của

V nên Vh là không gian con đóng của V Theo chứng minh của định

lý 1.14 ta có (V, a(·, ·)) là không gian Hilbert Áp dụng định lý 1.14, suy

ra (Vh, a(·, ·)) lập thành một không gian Hilbert con của V Theo định lýRiesz thì tồn tại duy nhất uh ∈ Vh sao cho a(uh, v) = F (v), ∀v ∈ Vh.Nhận xét 2.1 Giả sử u, uh lần lượt là nghiệm của bài toán 2.1 và bàitoán 2.2 thì với ∀v ∈ Vh ta có a(u, v) − a(uh, v) = F (v) − F (v) suy raa(u − uh, v) = 0, hay u − uh trực giao với Vh theo a(·, ·)

2.1.2 Bài toán biến phân không đối xứng

Cho (H, (·, ·)) là không gian Hilbert trên trường số thực, V là không giancon đóng của H, V∗ là không gian đối ngẫu của V , Vh là không gian conhữu hạn chiều của V và a(·, ·) là dạng song tuyến tính không đối xứng,

bị chặn, bức trên V Bài toán biến phân không đối xứng là bài toán 2.3Bài toán 2.3 (Bài toán biến phân không đối xứng) Cho F ∈ V∗, tìm

u ∈ V sao cho a(u, v) = F (v), ∀v ∈ V

Khi đó, ta có bài toán xấp xỉ Galerkin tương ứng bài toán biến phânhữu hạn chiều là bài toán 2.4

Bài toán 2.4 (Bài toán xấp xỉ Galerkin) Cho F ∈ V∗, tìm uh ∈ Vh saocho a(uh, v) = F (v), ∀v ∈ Vh

Ta thấy, bài toán xấp xỉ Ritz-Galerkin 2.2 có nghiệm duy nhất Liệuđiều này còn đúng trong bài toán biến phân đối xứng và bài toán biếnphân không đối xứng nữa hay không? Ta sẽ giải quyết vấn đề này trongmục 2.2

2.2 Định lý Lax-Milgram

• Định lý Lax-Milgram cho dạng đối xứng

Định lý 2.2 (xem [5], [13]) Cho không gian Hilbert (V, (·, ·)), a(·, ·) làdạng song tuyến tính đối xứng liên tục, bức trên V và phiếm hàm tuyếntính liên tục F ∈ V∗ Khi đó, tồn tại duy nhất u ∈ V sao cho

Chứng minh Theo định lý 1.14, ta có a(·, ·) là tích vô hướng trên V nên(V, a(·, ·)) lập thành một không gian Hilbert Ta có F là một phiếm hàmtuyến tính liên tục trên không gian Hilbert (V, a(·, ·)) nên áp dụng định lýRiesz suy ra tồn tại duy nhất u ∈ V sao cho a(u, v) = F (v), ∀v ∈ V

Hệ quả 2.1 Bài toán biến phân đối xứng 2.1 có nghiệm duy nhất

• Định lý Lax-Milgram cho dạng không đối xứng

Định lý 2.3 Cho không gian Hilbert (V, (·, ·)), a(·, ·) là dạng song tuyếntính liên tục, bức trên V và phiếm hàm tuyến tính liên tục F ∈ V∗ Khi

đó, tồn tại duy nhất u ∈ V sao cho

Chứng minh Cho tùy ý u ∈ V , ta định nghĩa phiếm hàm Au(v) =a(u, v), ∀v ∈ V

1 Au là tuyến tính

[G(αu + βu0)](v) = A(αu + βu0)(v) = a(αu + βu0, v)

= αa(u, v) + βa(u0, v)

= αAu(v) + βAu0(v)

= αG(u)(v) + βG(u0)(v)

= [αG(u) + βG(u0)] (v)

Suy ra, G(αu + βu0) = αG(u) + βG(u0)

Theo định lý Riesz, với mọi ϕ ∈ V∗, tồn tại duy nhất τ ϕ ∈ V sao choϕ(v) = (τ ϕ, v), ∀v ∈ V , trong đó, τ : V∗ −→ V, ϕ 7→ τ ϕ là ánh xạ 1 − 1.Như thế, ta cần tìm một u duy nhất sao cho Au(v) = F (v), ∀v ∈ V , nóicách khác ta tìm u duy nhất sao cho Au = F trong V∗ hoặc τ Au = τ Ftrong V

Bây giờ ta sẽ sử dụng nguyên lý ánh xạ co

Ta đi tìm ρ 6= 0, sao cho ánh xạ T : V −→ V là ánh xạ co, trong đó

T được định nghĩa

T v := v − ρ(τ Av − τ F ), ∀v ∈ V

Nếu T là ánh xạ co thì theo nguyên lý ánh xạ co, tồn tại duy nhất

u ∈ V sao cho T u = u − ρ(τ Au − τ F ) = u nghĩa là ρ(τ Au − τ F ) = 0hay τ Au = τ F Nên, ta chỉ cần chỉ ra tồn tại ρ 6= 0 để sao cho T là ánh

xạ co

Với ∀v1, v2 ∈ V đặt v = v1 − v2 thì:

kT v1 − T v2k2 = kv1 − v2 − ρ(τ Av1 − τ Av2)k2 = kv − ρ(τ Av)k2

= kvk2 − 2ρ(τ Av, v) + ρ2kτ Avk2

= kvk2 − 2ρAv(v) + ρ2Av(τ Av)(định nghĩa của τ, (τ Av, v) = Av(v))

= kvk2 − 2ρa(v, v) + ρ2a(v, τ Av)(định nghĩa của A)

6 kvk2 − 2ρα kvk2 + ρ2C kvk kτ Avk (tính liên tục, bức của A)

Suy ra, với ρ ∈ (0, 2α

C2) thì T là ánh xạ co Nên theo nguyên lý ánh

xạ co, tồn tại duy nhất u ∈ V sao cho τ Au = τ F , có nghĩa là tồn tạiduy nhất u sao cho Au(v) = F (v), ∀v ∈ V

Hệ quả 2.2 Bài toán biến phân không đối xứng 2.3 và bài toán xấp xỉGalerkin 2.4 có nghiệm duy nhất