Khắc phục hiện tượng tự tương quan

2 Kinh tế lượng LỜI MỞ ĐẦU Trong các giả thiết của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển là không có tự tương quan hay tương quan chuỗi các nhiễu Ui trong hàm hồi quy tổng thê

Khái niệm tự tương quan.

1 Khi cấu trúc tự tương quan là đã biết

2 Khi 𝜌 chưa biết

2.1 Phương pháp sai phân cấp 1

2.2 Ước lượng dựa trên thống kê d.Durbin – Watson

2.3 Thủ tục lặp Cochrane – Orcutt để ước lượng

2.4 Thủ tục Cochrane – Orcutt hai bước

2.5 Phương pháp Durbin – Watson hai bước để ước lượng

2.6 Các phương pháp khác để ước lượng

II VẬN DỤNG VÀO BÀI TẬP THỰC TẾ

BÀI LÀM

1 Phát hiện hiện tượng tự tương quan

1.1 Phương pháp đồ thị

1.2 Kiểm định Durbin Watson

1.3 Kiểm định Breusch – Godfrey (BG)

1.4 Kiểm định Correlogram

2 Khắc phục hiện tượng tự tương quan

Khắc phục tự tương quan dựa trên thống kê d

TÀI LIỆU THAM KHẢO

2 Kinh tế lượng

LỜI MỞ ĐẦU

Trong các giả thiết của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển là không có tự tương quan hay tương quan chuỗi các nhiễu Ui trong hàm hồi quy tổng thể Nói một cách khác, mô hình cổ điển giả thiết rằng thành phần nhiễu gắn với một quan sát nào đó không bị ảnh hưởng bởi thành phần nhiễu gắn với một quan sát khác

Tuy nhiên trong thực tế có xảy ra hiện tượng mà thành phần nhiễu của các quan sát lại có thể phụ thuộc lẫn nhau quan sát khác

Việc xảy ra hiện tượng này do cả nguyên nhân chủ quan và khách quan Hiện tượng tự tương quan làm cho phương pháp bình phương nhỏ nhất không áp dụng được nữa Khi đó phương pháp bình phương nhỏ nhất vẫn là ước lượng tuyến tính không chệch nhưng không còn là ước lượng hiệu quả nữa, do đó nó không còn là ươc lượng tuyến tính không chệch tốt nhất nữa Vậy liệu chúng ta có thể tìm được ước lượng không chệch tốt nhất hay không? Làm thế nào để biết rằng hiện tượng tự tương quan xảy ra khi nào và cách khắc phục như thế nào?

Sau đây chúng ta sẽ đi tìm hiểu các biện pháp khắc phục khi gặp phải hiện tượng

tự tương quan

3 Kinh tế lượng

NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC HIỆN TƯỢNG TỰ TƯƠNG QUAN

 Khái niệm tự tương quan

Thuật ngữ tự tương quan có thể hiểu là sự tương quan giữa các thành phần của chuỗi các quan sát được sắp xếp theo thứ tự thời gian (trong các số liệu chuỗi thời gian) hoặc không gian (trong số liệu chéo)

Trong phạm vi hồi quy, mô hình tuyến tính cổ điển giả thiết rằng không có sự tương quan giữa các nhiễu Ui nghĩa là:

Cov(Ui, Uj) = 0 (i≠j) (1.1) Nói một cách khác, mô hình cổ điển giả thiết rằng thành phần nhiễu gắn với một quan sát nào đó không bị ảnh hưởng bởi thành phần nhiễu gắn với một quan sát khác Tuy nhiên trong thực tế có thể xảy ra hiện tượng mà thành phần nhiễu của các quan sát lại có thể phụ thuộc lẫn nhau nghĩa là:

Cov(Ui , Uj) ≠ 0 (i≠j) (1.2)

1 Khi cấu trúc tự tương quan là đã biết:

Vì các nhiễu 𝑈𝑡 không quan sát được nên tính chất của tương quan chuỗi thường

là vấn đề suy đoán hoặc do những đòi hỏi cấp bách của thực tiễn Trong thực hành, người ta thường giả sử rằng 𝑈𝑡 theo mô hình tự hồi quy bậc nhất nghĩa là:

𝑈𝑡 = 𝜌𝑈𝑡−1+ 𝜀𝑡 (1.3) Trong đó |𝜌|< 1 và 𝜀1 thỏa mãn các giả thiết của phương pháp bình phương nhỏ nhất thông thường nghĩa là: Trung bình bằng 0, phương sai không đổi và không tự tương quan Giả sử (1.3) là đúng thì vấn đề tương quan chuỗi có thể được giải quyết thỏa đáng nếu hệ số tự tương quan 𝜌 là đã biết Để làm sáng tỏ vấn đề đó ta quay lại

mô hình 2 biến:

𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑡 + 𝑈𝑡 (1.4) Nếu (1.4) đúng với t thì cũng đúng với t − 1 nên:

𝑌𝑡−1 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑡−1 + 𝑈𝑡−1 (1.5) Nhân 2 vế (1.5) với 𝜌 ta được:

𝜌𝑌𝑡−1 = 𝜌𝛽1 + 𝜌𝛽2𝑋𝑡−1 + 𝜌𝑈𝑡−1 (1.6) Trừ (1.4) cho (1.6) ta được:

𝑌𝑡 − 𝜌𝑌𝑡−1 = 𝛽1(1 − 𝜌) + 𝛽2(𝑋𝑡− 𝜌𝑋𝑡−1) + (𝑈𝑡− 𝜌𝑈𝑡−1)

= 𝛽1(1 − 𝜌) + 𝛽2(𝑋𝑡− 𝜌𝑋𝑡−1) + 𝜀𝑡 (1.7) Đặt 𝛽1∗ = 𝛽1(1 − 𝜌)

𝛽2∗ = 𝛽2

𝑌𝑡∗ = 𝑌𝑡 − 𝜌𝑌𝑡−1

4 Kinh tế lượng

𝑋𝑡∗= 𝑋𝑡− 𝜌𝑋𝑡−1Thì phương trình (1.7) có thể được viết lại dưới dạng:

𝑌𝑡∗ = 𝛽1∗+ 𝛽2∗𝑋𝑡∗+ 𝜀𝑡 (1.8)

Vì 𝜀𝑡 thỏa mãn các giả thiết của phương pháp bình phương nhỏ nhất thông thường đối với các biến 𝑌∗ và 𝑋∗ và các ước lượng tìm được có tất cả các tính chất tối

ưu nghĩa là ước lượng tuyến tính không chệch tốt nhất

Phương trình hồi quy (1.7) được gọi là phương trình sai phân tổng quát

2 Khi 𝝆 chưa biết

2.1 Phương pháp sai phân cấp 1

Như ta đã biết −1 ≤ 𝜌 ≤ 1 nghĩa là 𝜌 nằm giữa [-1,0] hoặc [0,1] cho nên người

ta có thể bắt đầu từ các giá trị ở các đầu mút của các khoảng cách đó Nghĩa là ta có thể giả thiết rằng:

𝜌 = 0 tức là không có tương quan chuỗi

𝜌 = ±1 nghĩa là có tương quan dương hoặc âm hoàn toàn

Trên thực tế khi ước lượng hồi quy người ta thường giả thiết rằng không có tự tương quan rồi sau khi tiến hành kiểm định Durbin – Watson hay các kiểm định khác đển xem giả thiết này có đúng hay không Tuy nhiên nếu 𝜌 = ±1 thì phương trình sai phân tổng quát (1.5) quy về phương trình sai phân cấp 1:

𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−1 = 𝛽2(𝑋𝑡− 𝑋𝑡−1) + (𝑈𝑡 − 𝑈𝑡−1) = 𝛽2(𝑋𝑡− 𝑋𝑡−1) + 𝜀1

Hay ∆𝑌𝑡 = 𝛽2∆𝑋𝑡+ 𝜀1 (1.9) Trong đó ∆ là toán tử sai cấp 1 Để ước lượng hồi quy (1.9) thì cần phải lập các sai phân cấp 1 của biến phụ thuộc và biến giải thích và sử dụng chúng làm những đầu vào trong phân tích hồi quy

Giả sử mô hình ban đầu là:

𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑡+ 𝛽3𝑡 + 𝑈𝑡 (1.10) Trong đó t là biến xu thế còn 𝑈𝑡 theo sơ đồ tự hồi quy bậc nhất

Thực hiện phép biến đổi sai phân cấp 1 đối với (1.10) ta đi đến

∆𝑌𝑡 = 𝛽2∆𝑋𝑡+ 𝛽3+ 𝜀𝑡 (1.11) Trong đó: ∆𝑌𝑡=𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−1và 𝑋𝑡=𝑋𝑡− 𝑋

Nếu 𝜌 = −1 nghĩa là có tương quan chuỗi âm hoàn toàn, phương trình sai phân bây giờ có dạng:

𝑌𝑡+ 𝑌𝑡−1 = 2𝛽1+ 𝛽2(𝑋𝑡+ 𝑋𝑡−1) + 𝜀𝑡Hay 𝑌𝑡+𝑌𝑡−1

5 Kinh tế lượng

2.2 Ước lượng dựa trên thống kê d.Durbin – Watson

Trong phần kiểm định d chúng ta đã thiết lập các công thức:

Nhưng lưu ý rằng quan hệ (1.14) chỉ là quan hệ xấp xỉ và có thể không đúng với các mẫu nhỏ

Khi 𝜌 đã được ước lượng thì có thể biến đổi tập số liệu như đã chỉ ra ở (1.8) và tiến hành ước lượng theo phương pháp bình phương nhỏ nhất thông thường Khi ta sử dụng 1 ước lượng thay cho giá trị đúng thì các hệ số ước lượng thu được từ phương pháp bình phương nhỏ nhất có thuộc tính tối ưu thông thường chỉ tiệm cận có nghĩa là

có thuộc tính đó trong các mẫu lớn Vì vậy trong các mẫu nhỏ ta phải cẩn thận khi giải thích các kết quả ước lượng

Phương pháp này sử dụng các phần dư et đã được ước lượng để thu được thông tin vềchưa biết

Ta xét phương pháp này thông qua mô hình hai biến sau:

t t

Giả sử Ut được sinh ra từ lược đồ AR (1) cụ thể là:

t t

Các bước tiến hành như sau :

Bước 1 : Ước lượng mô hình 2 biến bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất

thông thường và thu được các phần dư et

Bước 2:Sử dụng các phần dư đã ước lượng để ước lượng hồi quy:

t t

Bước 3: Sử dụng ˆ thu được từ (1.17) để ước lượng phương trình sai phân tổng

quát (1.17) cụ thể làp hương trình:

Y t ˆY t1 1( 1 ˆ ) 2(X t ˆX t1)  (U t ˆU t1)

2 1

* 1 1

*

);

ˆ 1 (

Ta ước lượng hồi quy (1.18)

*

*

* 2

* 1

*

t t

Bước 4: Vì chúng ta chưa biết trước rằng ˆ thu được từ (1.17) có phải là ước

lượng tốt nhât của  hay không, ta thế giá trị ˆ ˆ ( 1 ˆ )

 thu được từ (1.18) vào hồi quy gốc ban đầu (1.15) và thu được các phần dư mới chẳng hạn e**

6 Kinh tế lượng

t

eˆ *  ˆ1*ˆ2* (1.19) Các phần dư có thể tính dễ dàng

Ước lượng phương trình hồi quy tương tự với (1.17)



 * 1

* ˆˆ t

ˆˆlà ước lượng vòng 2 của

Thủ tục này tiếp tục cho đến khi các ước lượng kế tiếp nhau củakhác nhau một lượng rất nhỏ chẳng hạn bé hơn 0,01 hoặc 0,005

2.4 Thủ tục Cochrane – Orcutt hai bước:

Đây là một kiểu rút gọn quá trình lặp Trong bước 1 ta ước lượng từ bước lặp đầu tiên nghĩa là từ phép hồi quy (1.15) và trong bước 2 ta sử dụng ước lượng của

để ước lượng phương trình sai phân tổng quát

Để minh hoạ phương pháp này chúng ta viết lại phương trình sai phân tổng quát dưới dạng sau:

t t t

t

Y 1( 1 ) 2 2 1  1 (1.21) Durbin đã đề xuất thủ tục 2 bước để ước lượng:

Bước 1: Coi (1.21) như là một mô hình hồi quy bội, hồi quy Yt theo Xt, Xt-1 và

Yt-1 và coi giá trị ước lượng được của hệ số hồi quy của Yt-1 (=ˆ ) là ước lượng của Mặc dù là ước ượng chệch nhưng ta có ước lượng vững của

Bước 2: Sau khi thu đượcˆ , hãy đổi biến Y t* Y t ˆY t1 và X t*  X t ˆX t1 và ước lượng hồi quy bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất thông thường trên các biến đã biến đổi đó như là ở (1.8)

Như vậy theo phương pháp này thì bước 1 là ước lượng  còn bước 2 là để thu

được các ước lượng tham số

Ngoài các phương pháp để ước lượng  đã trình bày ở trên còn có một số

phương pháp khác nữa Chẳng hạn ta có thể dùng phương pháp hợp lý cực đại để ước lượng trực tiếp các tham số của (1.21) mà không cần dùng đến một số thủ tục lặp đã thảo luận Nhưng phương pháp ước lượng hợp lý cực đại liên quan đến thủ tục ước lượng phi tuyến (đối với các tham số) và thủ tục tìm kiếm của Hildreth – Lu, nhưng thủ tục này tốn nhiều thời gian và không hiệu quả so với phương pháp ước lượng hợp

lý cực đại nên ngày nay không được dùng nhiều

7 Kinh tế lượng

II VẬN DỤNG VÀO BÀI TẬP THỰC TẾ

Cho số liệu về doanh thu bán lẻ hàng hóa và dịch vụ tiêu dùng và mức thu nhập bình quân đầu người trong các doanh nghiệp nhà nước trong 12 năm từ 1995-2006 như sau:

Y: Thu nhập bình quân đầu người (nghìn đồng)

X: Doanh thu bán lẻ hàng hóa và dịch vụ tiêu dùng (tỷ đồng)

8 Kinh tế lượng

BÀI LÀM

Tạo một file mới trong eviews và nhập số liệu vào

Từ menu chính chọn File/New/Workfile

Sẽ xuất hiện Workfile Create

Nhập thời điểm bắt đầu (start date) 1995 và thời điểm kết thúc (End date) 2006 → OK

9 Kinh tế lượng

Từ cửa sổ chính Eview, chọn Quick/Empty Group

Nhấn mũi tên lên của bàn phím () để nhập tên các biến Y, X vào hàng thứ nhất → nhập số liệu tương ứng cho từng biến ta được bảng số liệu sau:

→ Đóng cửa sổ group lại → Yes

10 Kinh tế lượng

1 Phát hiện hiện tượng tự tương quan

Ước lượng mô hình: từ cửa sổ chính của Eviews, chọn Quick/Estimate Equation…

Tại cửa sổ Equation Specification nhập vào Equation Specification Y C X

12 Kinh tế lượng

Ta được: Residual = ei và đồ thị phần dư

Nhìn vào đồ thị phần dư ta thấy có xu thế tuyến tính, tăng hoặc giảm trong các nhiễu Nó ủng hộ cho giả thiết có sự tương quan trong mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển

13 Kinh tế lượng

Lưu lại và vẽ đồ thị phần dư của mô hình theo các bước sau:

Từ cửa sổ Equation, chọn Proc/ Make Residual Series

Cửa sổ Make Residual Series hiện ra, nhập tên cho phần dư là “E”

14 Kinh tế lượng

→ OK → Ta được phần dư e

Từ menu chính chọn Quick/ Graph/ Line Graph

Cửa sổ Series List sẽ xuất hiện, yêu cầu nhập tên biến “E” cần vẽ đồ thị Sau khi nhập tên biến xong, chọn “OK” ta được đồ thị phần dư:

15 Kinh tế lượng

Trong bảng kết quả hồi quy ở dòng Durbin – Watson stat

Ta có kết quả của thống kê d, d = 0,740362

Không kết luận

Bác bỏ Ho

𝜌 < 0 Tương quan âm

0 dL dU 2 4 – dU 4 - dL 4

Ta nhận thấy 0 < d < dL → Xảy ra hiện tượng tự tương quan dương

16 Kinh tế lượng

Từ cửa sổ Equation, chọn View/ Residual Test/ Serial Correlation LM Test…

Ta được:

Nhập 1 vào ô Lags to include (tức p = 1) → OK

17 Kinh tế lượng

Cửa sổ hồi quy mô hình mà B-G đưa ra có dạng:

Nhìn vào phần trên của bảng kết quả ta có: X 2 = 0,015542

Với α = 0,05 > 0,015542 → ta bác bỏ giả thiết cho rằng không có tự tương quan ở bậc

1, hay nói cách khác, ta kết luận tồn tại hiện tượng tự tương quan bậc 1

Từ cửa sổ Equation chọn View/ Residual Tests/ Correlogram-Q-statistics

18 Kinh tế lượng

Ta được cửa sổ Lag Specification, nhập 12 vào ô Lags to include

→ OK → Ta được kiểm định LM về nhận dạng AR (1)

Ta có Q-stat = 2,9151 hay P-value ≈ 0 < α → Bác bỏ Ho hay có AR (1)

2 Khắc phục hiện tượng tự tương quan

Khắc phục tự tương quan dựa trên thống kê d

Trong bảng kết quả hồi quy ở dòng Durbin-Watson stat, ta có kết quả của thống kê d

d = 0,740362 → 𝜌̂ ≈ 1 −𝑑

2 = 1 − 0,740362

2 = 0,629819 Phương trình sai phân tổng quát: 𝑌𝑡1 = 𝑌𝑡 − 0,629819 𝑌𝑡−1

𝑋𝑡1 = 𝑋𝑡− 0,629819 𝑋𝑡−1

19 Kinh tế lượng

Bằng Excel ta tính được 𝑌𝑡1 và 𝑋𝑡1 như sau:

Ước lượng mô hình trên ta có kết quả:

Nhìn vào bảng số liệu ta có: d = 1,255073

Lại có n = 11, α = 0,05, k’ = 1 → dL = 0,927; dU = 1,324

Ta nhận thấy dL < d < dU → Không có kết luận

20 Kinh tế lượng

Kiểm định BG bậc 1 ta được:

Nhìn vào phần trên của bảng kết quả ta có: X 2 = 0,420009

Với α = 0,05 < 0,420009 → ta chấp nhận giả thiết cho rằng không có tự tương quan ở bậc 1, hay nói cách khác ta kết luận không tồn tại hiện tượng tự tương quan bậc 1

Kết luận:

Ta thấy rằng kiểm định Durbin-Watson cho biết mô hình sai phân tổng quát chưa thể kết luận có hiện tượng tự tương quan hay không Kiểm định BG cho biết mô hình sai phân tổng quát không có hiện tượng tự tương quan Nếu chấp nhận mô hình này thì ước lượng của mô hình ban đầu là:

𝑌̂ = 𝛽1(1 − 𝜌) − 𝛽2𝑌 = 102,3135.(1 - 0,629819) – 0,002709Y

= 37,874514 – 0,002709Y

21 Kinh tế lượng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Bài giảng kinh tế lượng (Nguyễn Quang Đông – Trường ĐH KTQD)

2 http://www.gso.gov.vn

3 http://doc.edu.vn

4 http://luanvan.co

22 Kinh tế lượng

KẾT LUẬN

Một trong những giả thiết quan trọng của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển là các nhiễu ngẫu nhiên 𝑈𝑖 trong hàm hồi quy tổng thể không có sự tương quan Nhưng trong thực tế giả thiết này có thể bị vi phạm

Để khắc phục hiên tượng tự tương quan ta có thể sử dụng một trong năm cách khắc phục trên, hoặc một số cách khác Tùy từng mô hình ta có thể sử dung các giả thiết để khắc phục riêng

Trên đây là một ví dụ cụ thể về hiện tượng tự tương quan nhóm chúng tôi cũng

đã đưa ra cách phát hiện và biện pháp khắc phục hiện tượng tự tương quan cụ thể cho trường hợp này