hoctoancapba.com Tiep tuyen cua do thi ham so

B1 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ của :.. Phương trình tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ là: .Điều kiện đi qua tương đương với hoctoancapba.com - Kho đề th

Trang 1

⇔ §1 Tiếp tuyến tại một điểm

và tiếp tuyến qua một điểm

A Tóm tắt lý thuyết

Tiếp tuyến với tại là đường thẳng

Ta cũng nói rằng tiếp xúc với hay tiếp xúc ,

hoặc và tiếp xúc nhau

Chú ý Khi nói đến tiếp tuyến của tại , ta phải hiểu rằng thuộc và là nơi xảy

ra sự tiếp xúc

Tiếp tuyến qua của là tiếp tuyến với tại một điểm nào đó Điểm có thểthuộc hoặc không, trong trường hợp thuộc thì lại có thể là tiếp điểm hoặc không(xem các hình vẽ ở dưới)

Trang 2

Phương pháp giải B1 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ của :

B Các ví dụ

bằng

Giải Ta có Lần lượt thay vào các biểu thức của và , ta được

và Suy ra phương trình tiếp tuyến với tại là:

Chú ý Ta có thể dùng ký hiệu và thay cho và trong trường hợp bài toán chỉ đề cậpđến một hàm số

điểm của với trục hoành

Giải Từ phương trình của , cho ta được:

Trang 3

Suy ra có hai giao điểm với trục hoành là và

Từ suy ra , Do đó phương trình tiếp tuyến với tạicác điểm , lần lượt là:

,

của

Giải Phương trình tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ là:

.Điều kiện đi qua tương đương với

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

Trang 4

1) là đồ thị hàm số và hoành độ tiếp điểm bằng ;

2) là đồ thị hàm số và tung độ tiếp điểm bằng ;

3) là đồ thị hàm số và tiếp điểm là giao điểm của với trục tung;

4) là đồ thị hàm số và tiếp tuyến đi qua ;

5) là đồ thị hàm số và tiếp tuyến đi qua

gốc tọa độ

D Hướng dẫn và đáp số

Trang 5

§2 Điều kiện tồn tại tiếp tuyến

Xét bài toán sau đây

thỏa mãn một điều kiện nào đó

Phương pháp giải B1 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ của :

.

B2 Áp điều kiện của bài toán lên đường thẳng để nhận được một phương trình ẩn Tiếp

tuyến tồn lại khi và chỉ khi phương trình này có nghiệm

Giải Phương trình tiếp tuyến với tại điểm có hoành độ là:

Trang 6

có tiếp tuyến đi qua khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm đối với :

Giải Phương trình tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ ( ) là:

.Điểm nằm trên đường thẳng tọa độ có dạng

Qua có tiếp tuyến tới khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm đối với :

Ta thấy

Trang 7

Trường hợp 1 Khi đó trở thành

Trong trường hợp này có nghiệm có nghiệm

Trường hợp 2 Khi đó là phương trình bậc hai có Do đó,trong trường hợp này có nghiệm khi và chỉ khi có nghiệm, tức là

.Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là

.tiếp xúc với khi và chỉ khi tồn tại sao cho hai đường thẳng và trùng nhau Tức làhệ sau đây có nghiệm đối với

Ta có

Trang 8

• : Thay vào vế trái của ta có

là một nghiệm của có nghiệm Vậytiếp xúc với khi và chỉ khi

Với mỗi tìm được, hãy chỉ ra hoành độ tiếp điểm của và

Giải Phương trình tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ là:

tiếp xúc với khi và chỉ khi tồn tại sao cho và trùng nhau, điều đó có nghĩa là hệsau đây có nghiệm đối với

Thay vào ta có Vậy tiếp xúc với khi và chỉ khi Khi đó hoành độ tiếp điểm là

Trang 9

1) Tìm trên trục tung những điểm mà qua đó có thể kẻ được tiếp tuyến tới ;

2) Tìm những điểm trên đường thẳng mà qua đó có thể kẻ được tiếp tuyến tới

Bài 2. Bài 3 1 Những điểm cần tìm có dạng với ; 2 Những điểm cần

§3 Hệ số góc của tiếp tuyến

Trang 10

Ví dụ 2 Cho Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của.

Giải Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ của là:

.Dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi Do đó nhỏ nhất bằng , đạt được khi và chỉ khi Ta có , suy ra tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của là:

Chú ý (Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng có phương trình dạng hệ số góc)

Trang 11

• Cho , ta có: tạo với góc ;

Đặc biệt, nếu thì: tạo với góc

Tìm để tiếp tuyến tại của song song với đường thẳng

Giải Phương trình tiếp tuyến tại của là

Vậy tiếp tuyến tại của song song với đường thẳng

bằng và của Tìm để các tiếp tuyến của tại và vuông góc với nhau

Giải Ta có hệ số góc các tiếp tuyến của tại và lần

lượt là và Do đó các tiếp tuyến của tại và vuông góc với nhau khi và chỉ khi

Trang 12

C Bài tập

1) là đồ thị hàm số , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

2) là đồ thị hàm số , tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất

nhất của đồ thị là Viết phương trình các tiếp tuyến đó

1) [ĐHB06] là đồ thị hàm số và tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

2) là đồ thị hàm số và tiếp tuyến song song với đường thẳng

3) là đồ thị hàm số và tiếp tuyến tạo với đường thẳng

góc

vuông góc với đường thẳng

tuyến vuông góc với đường thẳng

thì tiếp tuyến là Bài 3 1 , ; 2

Trang 13

3 , , , Bài 4 và Bài 5 hoặc hoctoancapba.com

Trang 14

§4 Một số tính chất hình học của tiếp tuyến

Phần này sử dụng một số kiến thức sau:

Cho điểm và đường thẳng Ta có công thức tính khoảng cách từ đến :

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ gồm các phương trình đường thẳng

Trang 15

•

Các tiếp tuyến tạo với góc của là: , , ,

một khoảng bằng

Do đó:

Trang 17

Vậy phương trình các tiếp tuyến cách đều và của là ,

tiếp tuyến của tại đạt giá trị lớn nhất

Giải Giả sử là hoành độ của tiếp tuyến tại của có phương trình:

Trang 18

Theo bất đẳng thức Cô-si: , suy ra Đẳng thức xảy rakhi và chỉ khi

.Vậy khoảng cách lớn nhất bằng , đạt được khi và chỉ khi

hoặc

tại cắt hai trục , tại , sao cho tam giác có diện tích bằng

Giải Ta có Xét điểm , có hoành độ Ta có phương trình tiếp tuyếnvới tại : hoctoancapba.com

Trang 19

C Bài tập

hoành độ bằng và tạo với nhau một góc có cô-sin bằng

một khoảng bằng

tới tiếp tuyến đạt giá trị lớn nhất

các trục tọa độ tại các điểm , sao cho tam giác cân tại

tọa độ tại các điểm , sao cho trung trực của đoạn thẳng đi qua gốc tọa độ

trục tọa độ , lần lượt tại hai điểm , phân biệt sao cho

Trang 20

Bài 1. hoặc Bài 2 Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

, , , Bài 3 Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu

cầu bài toán là: , Bài 4 Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài

toán là Bài 5 Các tiếp tuyến thõa mãn yêu cầu bài toán là ,

Bài 6 Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là

Trang 21

§5 Điều kiện tiếp xúc

• là một điểm chung của và ;

• Tiếp tuyến của hai đường cong tại trùng nhau

Điểm được gọi gọi là tiếp điểm của hai đường cong đã cho

, ta xét hệ:

Ta có:

• và tiếp xúc nhau hệ có nghiệm đối với ;

• Nghiệm của chính là hoành độ tiếp điểm;

• là hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến chung của và tại điểm có hoành độ

Hệ quả Đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi

hệ có nghiệm đối với

B Một số ví dụ

Trang 22

Ví dụ 1 [SGKNC] Cho và Chứng minh và tiếp xúc nhau và viết phương trình tiếp tuyến chung.

Giải Ký hiệu và Xét hệ:

Vậy và tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ bằng

phương trình tiếp tuyến chung là: hay

( ) khi và chỉ khi phương trình có nghiệm kép

Giải Ta có

Đường thẳng và parabol đã cho tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm đối với

Trang 23

Ta có

có nghiệm là nghiệm của

có nghiệm kép (ĐPCM) hoctoancapba.com

Giải Phương trình đường thẳng qua có hệ số góc có dạng

tiếp xúc với parabol đã cho có nghiệm kép

Vậy qua điểm có hai đường thẳng tiếp xúc với parabol là: và

của

Giải Đường thẳng qua , hệ số góc có phương trình dạng

là tiếp tuyến của khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm

Trang 24

.Thế vào ta có:

Do đó: có nghiệm là nghiệm của hoặc là nghiệm của

Vậy phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm của là ,

Giải tiếp xúc với khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm đối với

Ta có

Do đó có nghiệm khi và chỉ khi

Trang 25

.Vậy tiếp xúc với .

chúng vuông góc với nhau

Trang 26

Đường thẳng qua có hệ số góc Ta chứngminh tồn tại hai giá trị của có tích bằng sao cho phương trình có

nghiệm kép Bài 3 1 , , ; 2 , Bài 4

Chứng minh tồn tại hai giá trị của có tích bằng sao cho hệ

có nghiệm Bài 5

Định dạng
Số trang	26
Dung lượng	1,56 MB