Bài tập Hình học họa hình

• Muốn vẽ các điểm của giao một mặt phẳng với một mặt cong người ta thường làm như sau: Vẽ một mặt phẳng phụ trợ cắt mặt phẳng đã cho theo đường thẳng g và cắt mặt cong theo một đườn

CHƯƠNG 4:

SỰ TƯƠNG GIAO

• Thay mặt phẳng hình chiếu bằng là lấy mặt phẳng P2’ mới

vuông góc với P1 thay mặt phẳng P2 Kết quả của việc thay

mặt phẳng hình chiếu như vậy là ta có một đồ thức mới

mà trục hình chiếu là

x’ = P1 P2’ và hướng đường dóng mới là hướng vuông góc

với x’ Từ hình 4-17 ta thấy rằng đối với một điểm A bất

kỳ, khi thay mặt phẳng hình chiếu bằng vị trí tương đối

của điểm A đối với P1 không có gì thay đổi, do đó:

- Hình chiếu đứng A1 của A không thay đổi.

- Độ xa của điểm A trong hệ thống hình chiếu mới bằng độ

xa của điểm A trong hệ thống hình chiếu cũ, tức là:

A2’AX = A2AX = AA1

- Từ những nhận xét trên việc thay mặt phẳng hình chiếu

bằng cho điểm A bất kỳ được thực hiện bằng cách dễ dàng

Ta xét một vài thí dụ:

• Thí dụ 1: Cho đoạn thẳng AB

(A1B1, A2B2) Thay mặt phẳng hình chiếu bằng sao cho trong hệ thống mới mặt phẳng hình chiếu mới AB

là đường bằng (H 4-19).

• Giải: Điều kiện ắt có và đủ để AB

là đường bằng A1B1 là phải song song với trục hình chiếu Do đó

chọn x’ // A1B1 Hình chiếu bằng mới của đoạn thẳng là A2’B2’

(A2’Ax = A2Ax; B2’BX = B2BX) Dễ dàng nhận thấy độ dài của A2’B2’ chính là độ dài của đoạn thẳng AB

và góc giữa A2’B2’ với x’ cũng là góc giữa AB với mặt phẳng hình chiếu đứng P1

• Thí dụ 2: Cho mặt phẳng ABC Thay

mặt phẳng hình chiếu bằng sao cho trong mặt phẳng hình chiếu mới ABC là mặt phẳng hình chiếu bằng (H 4-20)

• Giải: Mặt phẳng P2’ phải chọn vừa

vuông góc với ABC vừa vuông góc với

P1 nên nó vuông góc với một đường mặt của mặt phẳng ABC Do đó trục hình

chiếu mới x’ phải vuông góc với hình chiếu đứng của đường mặt của ABC

ra cách thay mặt phẳng hình chiếu đứng cho một đường thẳng hay một mặt

phẳng

đường bằng trong hệ thống

cũ.

• Thí dụ 2: Thay mặt phẳng

hình chiếu đứng để mặt phẳng chiếu bằng ABC trở thành

tam giác A1B1C1 bằng tam giác ABC.

c) Thay liên tiếp các mặt phẳng hình chiếu:

• Như đã xét ở trên, bằng cách mặt phẳng hình chiếu

ta có thể đưa bài toán đang xét về dạng đặc biệt để cách giải trở nên đơn giản hơn nhiều Bằng cách

thay liên tiếp các mặt phẳng hình chiếu ta có thể đưa đường thẳng thường trở thành đường thẳng chiếu

hoặc mặt phẳng thường thành mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu Điều này sẽ trợ giúp rất nhiều trong việc giải các bài toán phức tạp, nhất là các bài toán về lượng trong mặt phẳng.

• 4.3.2 PHÉP QUAY HÌNH

PHẲNG QUANH ĐƯỜNG

BẰNG HAY ĐƯỜNG MẶT CỦA NÓ:

• Dưới đây trình bày một phương pháp khác đưa mặt phẳng về vị trí song song với mặt phẳng hình chiếu: phương pháp quay hình phẳng quanh đường bằng hay đường mặt của nó.

• Trước hết ta nhắc lại khái niệm quay một điểm quanh một

α

• Ta xét một vài thí dụ:

• Thí dụ 1: Cho mặt phẳng ABC có AB là

đường bằng Hãy quay mặt phẳng ABC

quanh AB để Abc trở thành song song với mặt phẳng hình chiếu bằng

• Giải: Ta chỉ cần quay C quanh AB về vị trí

C’ sao cho ABC’ song song với P2 Để xác định C’ ta dựa vào các điều kiện 1 và 2 của phép quay một điểm quanh đường thẳng

- Điểm C và điểm C’ nằm trong mặt phẳng vuông góc với AB (điều kiện 1) Vì AB là đường bằng nên mặt phẳng ấy là mặt phẳng chiếu bằng Do đó:

C2C2’ A2B2

• Gọi O2 = C2C2’ A2B2 O2 chính là hình

chiếu bằng của điểm O (O là giao điểm của

AB với mặt phẳng chiếu bằng chứa CC’)

• OC’ = OC (điều kiện 2) Từ điều kiện này

ta dễ dàng xác định được C2’ khi biết độ dài của OC (H 4-26)

⊥

∩

• Thí dụ 2: Vẽ trong mặt phẳng P (V1P, V2P) một tam giác đều ABC Cạnh AB của tam giác cho trước (H 4-27).

• Giải: Để xác định đỉnh C ta gập mặt phẳng P,

chẳng hạn, vào mặt phẳng P2 Việc gập được thực hiện bằng cách quay một điểm N bất kỳ của P (trên đồ thức ta lấy N V1P) quanh V2P đến N’ P2 Cách xác định N’ thấy rõ trên hình

vẽ

(N’N2 V2P; O2N’ = O2N2*) Vết đứng V1P của mặt phẳng gập thành

V1’P PxN’ Điểm N’ còn có thể xác định với chú ý rằng PxN1 = PxN’ Hình gập của AB là A’B’, vẽ được bằng cách gắn nó lên đường thẳng IK

Vì I V1P nên I’ V1P’; K V2P nên K K’

Với A’B’ làm cạnh, ta dựng được tam giác đều A’B’C’ A’B’C’ chính là hình gập của

tam giác ABC cần vẽ Sau đó theo C’ xác định

4.4 SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC

MẶT

4.4.1 GIAO CỦA MẶT PHẲNG VỚI MẶT:

a) Giao của mặt phẳng với đa diện:

• Giao của mặt phẳng với đa diện thường là một hay nhiều đa giác có cạnh là các giao tuyến của các mặt bên của đa diện với mặt phẳng và có các đỉnh là các giao điểm của các cạnh của đa diện với mặt phẳng.

• Để xác định giao của mặt phẳng với đa diện, ta có thể:

- Xác định các đỉnh của giao bằng cách tìm các giao điểm của các cạnh của đa diện với mặt phẳng đã cho.

- Xác định các cạnh của giao bằng cách tìm các giao tuyến

của các mặt bên của đa diện với các mặt phẳng đã cho.

• Thí dụ: Vẽ giao của mặt phẳng P với

mặt chóp cho trên hình vẽ 4-28.

• Giải: Ta chỉ cần vẽ giao tuyến của các

mặt bên của đa diện với mặt phẳng đã cho

• Thí dụ ta vẽ giao tuyến của mặt SAC với mặt đã cho

• Để vẽ giao tuyến của mặt SAC với mặt phẳng P, ta tìm giao điểm K của đường thẳng SA với mặt phẳng P

• Theo hình vẽ ta có ngay giao điểm M của cạnh AC với mặt phẳng cắt (vì biết vết bằng AC của mặt phẳng SAC và biết vết bằng của mặt phẳng cắt) MK như vậy chính là giao tuyến của mặt phẳng SAC với mặt phẳng cắt, từ đó ta

dễ dàng vẽ được đoạn KI là giao tuyến của mặt bên SAC với mặt phẳng cắt Tương tự ta vẽ được đoạn IH là giao tuyến của mặt bên SCB với mặt phẳng đã cho và giao phải tìm là tam giác KIH

• b) Giao của mặt phẳng với mặt cong:

• Nói chung giao của một mặt

phẳng với một mặt cong là một đường cong phẳng và nếu mặt cong là mặt đại số bậc n thì giao của mặt phẳng với mặt đó là

một đường cong đại số bậc n.

• Muốn vẽ các điểm của giao một mặt phẳng với một mặt cong

người ta thường làm như sau:

Vẽ một mặt phẳng phụ trợ cắt mặt phẳng đã cho theo đường thẳng g và cắt mặt cong theo

một đường l Giao của g với l sẽ thuộc giao phải tìm (H.4-29)

Dùng một số mặt phẳng phụ trợ

ta sẽ được một số điểm cần thiết

để vẽ giao phải tìm.

1 Giao của mặt phẳng với mặt cầu:

• Giao của mặt phẳng với mặt cầu là một

đường tròn.Hình chiếu của đường tròn này trên các mặt phẳng hình chiếu sẽ là các elíp Các yếu tố xác định elíp được xác định theo

vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

• Thí dụ: Vẽ giao của mặt phẳng chiếu đứng

vĩ tuyến chính với mặt phẳng cắt cho ta các điểm ranh giới thấy khuất E, G của giao

trên hình chiếu bằng

≡

• 2 Giao của mặt phẳng với mặt nón:

• Giao của mặt phẳng mặt nón có đáy là đường tròn sẽ là:

• Một đường tròn , nếu mặt phẳng đã cho song song với mặt

• phẳng đáy nón.

• Một đường elíp, nếu mọi điểm của giao đều là những điểm hữu hạn, tức là mặt phẳng đã cho phải cắt tất cả các đường sinh của nón.

• Một parabôn nếu giao có một và chỉ một ở vô tận, tức là

mặt phẳng đã cho song song với một và chỉ một đường sinh của nón.

• Một hypecbôn nếu giao có hai điểm ở vô tận, tức là mặt

phẳng đã cho song song với hai đường sinh của nón.

• Hai đường sinh khác nhau nếu mặt phẳng đi qua đỉnh của nón và cắt đáy nón ở hai điểm.

K cắt tất cả các đường sinh của

nón Vậy giao phảI tìm là một

đường elíp Hình chiếu đứng của elíp này là một đoạn thẳng thuộc

K1 Hình chiếu bằng của elíp được

vẽ bằng cách tìm một số điểm của giao tuyến thuộc các đường sinh

và các đường tròn thuộc mặt nón

• 3 Giao của mặt phẳng với mặt trụ:

• Giao của mặt phẳng với mặt trụ đáy tròn sẽ là:

• Một đường tròn nếu mặt phẳng đã cho song song

• Thí dụ: Vẽ giao tuyến của mặt

phẳng K cho bằng vết với mặt trụ

có đường chuẩn tròn cho như

hình 4-32

• Giải: Để tìm các giao điểm của

các đường sinh của trụ với mặt phẳng cắt K ta thay mặt phẳng hình chiếu đứng để mặt phẳng K đã cho trở thành mặt phẳng chiếu đứng Từ hình chiếu đứng mới

V1'K ta biết ngay dạng của giao Theo hình vẽ ta dễ dàng thấy

rằng mặt phẳng K cắt trụ theo

một elíp Hình chiếu đứng mới của elíp này là đoạn thẳng A1'B1' thuộc V1'K.Có hình chiếu đứng mới ta suy ra hình chiếu bằng và hình chiếu đứng của elíp cần tìm

Ta cũng thấy rằng B, A là các

điểm cao nhất, thấp nhất của

giao

4 Giao của mặt phẳng với mặt tròn xoay:

Giao của mặt phẳng với mặt tròn xoay sẽ là:

- Một đường kinh tuyến nếu mặt phẳng cắt đi qua trục.

- Một đường vĩ tuyến nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục.

- Một elíp nếu mặt phẳng cắt xiên góc với trục.

• Thí dụ: Vẽ giao của mặt

phẳng P với mặt elípxôít tròn xoay cho như ở hình 4-33

đường elíp giao bằng

cách tìm giao điểm của các vĩ tuyến và các kinh tuyến của mặt tròn xoay với mặt phẳng đã cho.

4.4.2 GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT:

a) Giao của đường thẳng với đa diện:

Muốn tìm giao của một đường thẳng với một đa

diện, người ta thường dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ Nội dung phương pháp đó như sau:

- Qua đường thẳng đã cho dựng một mặt phẳng gọi là mặt phẳng phụ trợ.

- Tìm giao của mặt phẳng phụ trợ với đa diện đã cho Giao này gọi là giao phụ.

- Tìm tập hợp các giao điểm của đường thẳng đã cho với giao phụ Tập hợp đó chính là giao phải tìm.

• Thí dụ: Vẽ giao của đường

thẳng l với tứ diện ABCD

(H 4-34).

• Giải: Ta thực hiên như sau:

• Dựng qua l mặt phẳng chiếu đứng K.

• Vẽ giao của K với tứ diện,

được giao phụ g là tứ giác

MNPQ.

• Vẽ giao của g với đường

thẳng đã cho Theo hình vẽ giao phải tìm là hai điểm K, H.

• Theo hình vẽ , trên hình chiếu đứng điểm H thấy, điểm K

khuất Trên hình chiếu bằng các điểm K, H đều thấy.

b) Giao của đường thẳng với mặt cong:

• Muốn tìm giao của một đường thẳng l với một mặt cong người ta thường dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ Nội dung phương pháp đó như sau :

- Qua đường thẳng đã cho l dựng một mặt phẳng phụ trợ K.

- Vẽ giao g của K với mặt đã cho, giao g được gọi là giao phụ.

- Tìm các giao điểm của g với l, tập hợp các giao

điểm này chính là giao phải tìm.

• 1 Giao của đường thẳng với mặt cầu:

• Ta đã biết mọi mặt phẳng đều cắt mặt cầu theo một đường tròn Vấn đề là chọn mặt phẳng phụ trợ thế nào để việc vẽ giao của đường thẳng với đường tròn phụ được đơn giản.Người ta thường chọn mặt

phẳng phụ trợ là mặt phẳng chiếu hay mặt phẳng đi qua tâm mặt cầu.

• Trên hình 4-35, để tìm giao của l với mặt cầu ta

chọn mặt phẳng phụ trợ là mặt phẳng chiếu đứng K chứa l Hình chiếu đứng K1 trùng với l1 Để tìm các giao điểm của l với đường tròn phụ v ta dùng

phương pháp thay mặt phẳng hình chiếu bằng Mặt phẳng hình chiếu bằng mới được chọn trùng với mặt phẳng phụ trợ Dựa vào các hình chiếu bằng mới của l và đường tròn v, ta dễ dàng vẽ được các giao điểm H, K của l với v Các giao điểm đó là các giao phải tìm.

• Trên hình chiếu bằng điểm H thấy, điểm K khuất Trên hình chiếu đứng điểm H thấy, điểm K khuất.

2 GIAO CỦA ĐƯỜNG

THẲNG VỚI MẶT NÓN, MẶT TRỤ:

• Trong trường hợp này người ta thường dùng mặt phẳng phụ trợ là mặt phẳng chứa đường thẳng đã cho và đi qua đỉnh nón hay song

song với đường sinh của trụ (để giao phụ là các đường thẳng).

• Thí dụ 1: Vẽ giao của đường thẳng l với mặt nón có đường chuẩn năm trong mặt phẳng chiếu đứng D (H 4-36 ).

• Trên hình chiếu bằng, các điểm K, H đều

thấy Trên hình chiếu đứng điểm H thấy, điểm

K khuất.

• Thí dụ 2: Vẽ giao của đường thẳng l

với mặt trụ (H 4-37 )

• Giải: Mặt phẳng phụ trợ là mặt

phẳng chứa l và song song với các đường sinh của mặt trụ Trên hình vẽ mặt phẳng đó là mặt phẳng K chứa l

và chứa một đường thẳng t song

song với các đường sinh của mặt trụ (t đi qua điểm M trên l)

• Mặt phẳng phụ trợ K cắt đường

chuẩn của trụ ở hai điểm 1, 2 Giao phụ sẽ là hai đường sinh đi qua 1, 2 Các giao điểm K, H của các đường sinh này với l sẽ là giao của l với trụ

• Trên hình chiếu bằng điểm K thấy, điểm H khuất

• Trên hình chiếu đứng điểm H thấy, điểm K khuất