phương pháp dạy học tọa độ trong mặt phẳng không gian

phương pháp dạy học tọa độ trong mặt phẳng không gian

DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

VÀ KHÔNG GIAN

Nội dung của phương pháp tọa độ trong các sách giáo khoa

1 Giới thiệu sơ lược về lịch sử của phương pháp tọa độ

Khi đã nhắc đến hình học thì không thể không lưu tâm đến hình học giải tích , một phân môn mà có thể thấy sự gắn kết giữa hình học và đại số hình học gải tích là bộ môn nghiên cứu các đôi tượng hình học bằng công cụ của đại số dựa trên phương pháp tọa độ Thực chất phương pháp tọa độ trên mặt phẳng là : vị trí của mỗi điểm được xác định bởi giáo điểm của hài điểm ( gọi là hai điểm của tọa độ) thuộc hai đường tọa độ khác nhau Phương pháp tọa độ là một thành tựu của thể kỷ XVII – XVIII nhưng đã có nguồn gốc từ lịch sử cổ đại Tuy nhiên ở giai đoạn này sự phát triển của phương pháp tọa độ đã bị kìm hãm do chưa có kí hiệu bằng chữ và chưa

có một quan điểm tổng quát về số

Các nhà bác học người pháp là fermat và descarter đã cống hiến lớn nhất trong việc xây dựng nên hình học giải tích nhờ dùng kí hiệu bằng chữ do nhà bác học người pháp đề xuất, cả fermat và descarter ( độc lập nhau) đã đồng thời cống hiến cho khoa học một phương pháp mới - phương pháp tọa độ, làm cơ sở cho hình học giải tích do các ông xây dựng nên vào thế kỷ VII

Việc chuyển phương pháp tọa độ vào không gian ba chiều chỉ được thực hiện vào cuối TK XVII, và tiếp tục trong TK XVIII, trong các công trình của một số nhà bác học mà trước hết là Clairot và Euler Và cuối TK XVIII hình học giải tích đa trở thành môn khoa học hoàn chỉnh, được đưa vào giảng dạy ở những năm đầu tiên của bậc đại học

1 Nội dung cơ bản trình bày trong các SGK lớp 10 và 12

Phương pháp tọa độ được chia thành hai phần: phần đầu chúng ta được học về

“Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” được giới thiệu trong chương 3 SGK Hình học 10( chuẩn và nâng cao) sau đó mở rộng ra “Phương pháp tọa độ trong không gian” phần này được giới thiệu trong chương 3 SGK Hình học 12 (chuẩn và nâng cao)

 Sách giáo khoa 10

Trong chương III/ phương pháp tọa độ trong mặt phẳng chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ để tìm hiểu về đường thẳng, đường tròn, đường elip, ba đường conic

Nội dung chính trong SGK lớp 10

Bài 1: phương trình đường thẳng

I/ phương trình tham số của đường thẳng

1/ định nghĩa vectơ chỉ phương

Vectơ ⃗⃗⃗⃗ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu ⃗ ⃗ và giá của vectơ ⃗ song song hoặc trùng với d

2/ phương trình tham số

Định nghĩa: trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d đi qua điểm

và nhận ⃗⃗⃗ làm vectơ chỉ phương Với mỗi bất kì trong mặt phẳng, ta có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ khi đó:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ {

{

Hệ phương trình (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng d, trong dó

t là tham số

II/ Phương trình tổng quát của đường thẳng

1/ định nghĩacủa vectơ pháp tuyến

Vectơ ⃗ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d nếu ⃗ ⃗ và ⃗⃗⃗ vuông góc với vectơ chỉ phương của d

2/ phương trình tổng quát của đường thẳng

Định nghĩa: phương trình với a và b không đồngth ời bằng 0,

được gọi là phương trình tổng quát của dường thẳng

Nếu đường thẳng d có phương trình là thì d có vectơ pháp tuyến

là ⃗ và có vectơ chỉ phương là ⃗

Bài 2: Phương trình đường tròn

1/ phươngtrình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Phương trình (2) là phương trình tiếp Cho M thuộc đường tròn (C) tâm I(a;b) phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có dạng:

Cho elip (E) có tiêu điểm F1(-c;0) và F2(c;0); M(x;y)(E) sao cho F1M+F2M=2a

Phương trình chính tắc của (E) có dạng:x22 y22 1

a b Với b2=a2-c2

Thứ hai, các đường tròn, elip, hypebol, parabol và lập phương trình chính tắc của các đường đó Từ các phương trình này sẽ đi nghiên cứu, xem xét các tính chất của

nó Sách giáo khoa cũng đề cập một số tính chất chung của ba đường elip, hypebol, parabol để đi đến khái niệm về đường conic

 Sách giáo khoa 12

Trong chương III/ phương pháp tọa độ trong mặt phẳng chúng ta sẽ sử dụng phương háp tọa độ để tìm hiểu về hệ tọa độ trong không gian, phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng trong không gian

Nội dung chính trong SGK 12

Bài 1: hệ tọa độ trong không gian

I/ biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

trong không gian Oxyz vectơ ⃗ ,  là góc tạo bởi hai

véctơ đó (k  R)

⃗ ⃗

II/ tích vô hướng

Định lí: trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ ⃗ được xác định bởi công thức:

⃗ III/ Phương trình mặt cầu

Định lí: trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a,b,c) bán kính r có phương trình là:

Bài 2: phương trình mặt phẳng

I/vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Định nghĩa: cho mặt phẳng Nếu vectơ ⃗ khác và có giá vuông góc với mặt phẳng thì ⃗ được gọi là vectơ pháp tuyến của

II/ phương trình tổng quát của mặt phẳng

Định nghĩa: phương trình có dạng , trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng

III/ điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng ( có phương trình

 ( {⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

{

 ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

Bài 3: phương trình đường thẳng trong không gian I/ phương trình tham số của đường thẳng Định nghĩa: phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm và nhận làm vectơ chỉ phương là phương trình có dạng: {

Trong đó t là tham số II/ điều kiện để hai đường thẳng song song cắt nhau, chéo nhau Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d và dcó phương trình tha số lần lượt là: {

 {

  

  

   :

gọi và ⃗⃗⃗    lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d lấy điểm trên d Ta có:  d  { ⃗⃗⃗ 



 d  { ⃗⃗⃗ 

   d và d cắt nhau hệ phương trình {

  

  

   có đúng một nghiệm  d và d chéo nhau hệ phương trình {

  

      vô nghiệm

Tóm lại

Từ cơ sở kiến thức về hệ trục tọa độ Oxy, các phép toán trong không gian Oxy, các phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và phương trình đường tròn ở lớp

10 , thì lên hình học lớp 12 chúng ta sẽ được mở rộng ra hệ tọa độ trong không gian

3 chiều Oxyz , biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ, đồng thời ở chương này chúng ta sẽ biết thêm về phương trình đường thẳng trong không gian và phương

trình mặt cầu Đặc biệt là biểu thức tọa độ của tích vô hướng (Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ = (a 1 , a 2 , a 3 ) và ⃗ = (b 1 , b 2 , b 3 ) được xác định bởi công thức: ⃗⃗ = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 )

2 Đặc điểm của mỗi cách trình bày

 Sách giáo khoa 10

Trong phần phương trình đường thẳng, SGK đã giới thiệu về phương trình tham số trước rồi sau đó mới giời thiệu về phương trình đường thẳng tổng quát Cách trình bày này có vẻ tự nhiên và hợp lí vì nói tới đường thẳng ta nghĩ ngay tới việc xác định nó bằng một điểm và một vectơ chỉ phương Ta có phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M (x0, y0) và có vectơ chỉ phương ⃗ là { , với

Phương trình đường thẳng tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M0 (x0, y0) và có vectơ pháp tuyến ⃗ = (a,b) là với Phương trình đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc k là:

Trong chương 3 sách giáo khoa lớp 10 nâng cao không chỉ đưa vào công thức xét

vị trí tương đối của hai đường thẳng trong đại số mà còn có cả trong hình học Đây

là một công cụ trong đại số đưa vào để giải quyết vấn đề hình học Cách trình bày thứ tự của phương trình đường thẳng có phần ngược lại so với sách cơ bản Phương trình đường thẳng tổng quát trước và phương trình tham số sau

Trong chương này có thiết lập mối quan hệ với đại số bằng cách chỉ ra: phương trình của đường thẳng có thể đưa về dạng ; tan cũng chính là hệ số của đường thẳng Các công thức bằng định thức không hề được đưa vào trong sách

cơ bản mà đưa vào sách hình học nâng cao

Phương pháp tọa độ trên mặt phẳng trong hình học được trình bày dựa trên các

kiến thức về vectơ và các phép toán về vectơ (phương pháp này giúp học sinh “đại

số hóa” các kiến thức đã có về hình học, từ đó có thể giải quyết các bài toán hình học bằng thuần túy tính toán)

Sách giáo khoa hình học 10 chỉ đưa ra khái niệm elip một cách đơn giản qua phép

đo theo một trục, không đưa ra khái niệm hypebol, parabol (xem như các khái niệm này học sinh đã biết trong đại số) nhằm mục tiêu giới thiệu cho học sinh về những hình thường gặp trong thực tiễn, song không tìm hiểu sâu về chúng

Để giảm nhẹ lý thuyết, những chứng minh quá phức tạp sẽ bỏ qua, thay bằng những hoạt động kiểm chứng và những minh họa đơn giản Chẳng hạn, bỏ qua chứng minh phương trình chính tắc của elip, phương trình tổng quát của đường thẳng trong mặt phẳng

 Sách giáo khoa 12

Sách giáo khoa không đưa ra định nghĩa thế nào là phương trình của một đường, kiểu như: “Phương trình F(x, y, z)= 0 gọi là phương trình của đường thẳng d nếu

điểm M thuộc d khi và chỉ khi tọa độ (x, y, z) của M là nghiệm của phương trình đó

II.Những ưu điểm của phương pháp tọa độ

1.Ưu điểm của phương pháp tọa độ trong phục vụ lý thuyết :

Như chúng ta đã biết , sau khi giới thiệu các khái niệm về vectơ và các phép toán của

nó Các tác giả đã đưa khái niệm hệ trục tọa độ trong mặt phẳng vào nội dung tiếp theo trong chương trình toán hình học lớp 10

Nếu như ở cấp II ,các em chỉ mới biết các khái niệm về hệ trục tọa độ một cách đơn giản là có 2 trục : Trục Hoành ( Ox ) và Trục Tung (Oy) và gốc tọa độ O là giao của 2 trục thì ở lớp 10 , các em đã có 1 cái nhìn tổng quát hơn , đó là việc xây dựng khái niệm tọa độ của vectơ trên hệ trục tọa độ , biết thế nào là vectơ đơn vị , hay từ các tọa

độ điểm ban đầu cho trước ,dựa vào công thức mà các em có thể tính khoảng cách giữa các điểm ,…

Vd:

Ở cấp 2 , các em chưa thể nào tính dc khoảng cách giữa 2 điểm trong trục tọa độ Oxy , hay đơn giản là bài toán :” cho hình chữ nhật CDEF , biết tọa độ 3 điểm C,E,F Tìm tọa độ điểm D “ , lúc này nếu là học sinh cấp 2 , các em chỉ có thể tìm được điểm D một cách máy móc là vẽ hình lên trục tọa độ , rồi nhìn hình 1 cách trực quan Vậy nếu chúng ta đặt vấn đề là tọa độ là 1 con số rất lớn thì liệu cách vẽ hình còn sử dụng được hay không ? Các kiến thức về hệ trục tọa độ ở lớp 10 sẽ giúp học sinh giải quyết được vấn đề này 1 cách dễ dàng

Không chỉ như vậy , việc đưa lý thuyết của phương pháp tọa độ còn giúp chuỗi kiến

thức của các em liền mạch , giúp các em có sự tiếp nối giữa toán đại số và hình học

Điều này được thể hiện qua việc ở phần đại số lớp 10 , các em tiếp tục học khảo sát và

vẽ các hàm số đơn giản Lúc này đây , các em chỉ biết dựa vào hàm số cho trước , rồi

rút ra các điểm tùy ý để vẽ đồ thị Vậy giả sử các em thắc mắc , nếu cho trước tọa độ

của 1 vài điểm nào đó chẳng hạn , thì liệu có tìm được phương trình của đồ thị đó hay

Tất nhiên câu trả lời sẽ là có , và nó được thể hiện qua nội dung chương cuối phần

toán hình năm lớp 10 Khi học đến phần này , các em sẽ biết được cách xây dựng

phương trình của 1 số đường quen thuộc như : đường thẳng , đường tròn , elip ,…

Tương tự như vậy , sau khi lên lớp 11 , các em sẽ được học về nội dung hình học

không gian Sau khi đã có kiến thức vững vàng về hình học không gian , tác giả tiếp

tục xây dựng hệ tọa độ trong không gian cho học sinh Và việc xây dựng hệ tọa độ

trong không gian ở năm lớp 12 thì được xây dựng tương tự như năm lớp 10 ( Các

công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm , tính góc giữa 2 vectơ , xây dựng phương

trình mặt phẳng , hình cầu , … Các tính chất song song , vuông góc ,….)

Tiếp theo ta nói đến vấn đề nội dung của lý thuyết phương pháp tọa độ

Như chúng ta đã biết , trong chương trình phổ thông , phương pháp tọa độ được xem

như là 1 công cụ để giải toán , do đó các tác giả đã giảm nhẹ phần lí thuyết , những

chứng minh phức tạp , không có ứng dụng nhiều sẽ được bỏ qua và thay vào đó là

những hoạt động kiểm chứng , đơn giản Các khái niệm cũng được đưa ra 1 cách đơn

giản nhằm giới thiếu cho các em các hình thường gặp trong đời sống thức tiễn

10 8 6 4 2

2 4 6 8 10

y

E F

Việc nắm vững lý thuyết phương pháp tọa đồ , giúp ích rất nhiều cho các em trong việc giải toán

Vd:

Đối với các bài toán tích thể tích các thiết diện trong hình học không gian , một số bài toán để tính được thể tích thì đòi hỏi phải vẽ thêm đoạn thẳng hay chứng minh các tính chất song song , vuông góc của các đoạn thẳng rất phức tạp Tuy nhiên nếu vững

lý thuyết của phương pháp tọa độ , các em có thể lồng ghép , đưa thiết diện vào trong

1 hệ trục tọa độ ,từ đó đưa về tọa độ các điểm và sữ dụng các công thức trong phương pháp tọa độ để tính

Việc đưa phương pháp tọa độ vào trong các bài toán hình học , giúp các em có thể giải quyết 1 số bài toán mà có hình phức tạp , khó vẽ được , giúp các em có 1 công cụ để giải quyết các bài toán nhanh chóng Tuy nhiên việc lạm dụng nội dung này có thể dẫn đến khả năng không hiểu bản chất của bài toán , hạn chế trí tưởng tượng ,…

Cuối cùng là tính thực tế của lý thuyết phương pháp tọa độ Ý nghĩa của việc xây dựng lý thuyết phương pháp tọa độ rât gần gũi với đời sống chúng ta Chẳng hạn như cho 1 bàn cờ vua , làm sao để xác định được vị trí của quân xe và quân mã trên bàn cờ Hay làm thế nào để xác định được ta đang ở vị trí nào trên trái đất … Chính vì những lý do rất thiết thực đó , mà người ta đã xây dựng hệ trục tọa độ , nhằm giải quyết các vấn đề trên Và ngày nay ứng dụng phương pháp tọa độ, người ta đã xây dựng được các thiết bị công nghệ cao , giúp ích rất nhiều trong cuộc sống , điển hình nhất đó là thiết bị định vị

2.ƯU ĐIỂM CỦA PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG GIẢI BÀI TẬP

I Lịch sử về hệ trục tọa độ

Một hệ tọa độ Descartes xác định vị trí của một điểm (point) trên một mặt phẳng (plane) cho trước bằng một cặp số tọa độ (x, y) Trong đó, x và y là 2 giá trị được xác định bởi 2 đường thẳng có hướng vuông góc với nhau (cùng đơn vị đo) 2 đường

thẳng đó gọi là trục tọa độ (coordinate axis) (hoặc đơn giản là trục); trục nằm ngang gọi là trục hoành, trục đứng gọi là trục tung; điểm giao nhau của 2 đường gọi là gốc tọa độ (origin) và nó có giá trị là (0, 0)

Hệ tọa độ này là ý tưởng của nhà toán học và triết học người Pháp René Descartes thể hiện vào năm 1637 trong hai bài viết của ông Trong phần hai của bài Phương pháp luận (Descartes) (tiếng Pháp: Discours de la méthode, tựa Pour bien conduire sa

raison, et chercher la vérité dans les sciences), ông đã giới thiệu ý tưởng mới về việc xác định vị trí của mộtđiểm hay vật thể trên một bề mặt bằng cách dùng hai trục giao nhau để đo Còn trong bài La Géométrie, ông phát triển sâu hơn khái niệm trên

Descartes là người đã có công hợp nhất đại số và hình học Euclide Công trình này của ông có ảnh hưởng đến sự phát triển của ngành hình học giải tích, tích phân,

và khoa học bản đồ

Ngoài ra, ý tưởng về hệ tọa độ có thể được mở rộng ra không gian ba chiều dimensional space) bằng cách sử dụng 3 tọa độ Descartes (nói cách khác là thêm một trục tọa độ vào một hệ tọa độ Descartes) Một cách tổng quát, một hệ tọa độ n-chiều

(three-có thể được xây dựng bằng cách sử dụng n tọa độ Descartes (tương đương với n-trục)

II HỆ TRỤC VUÔNG GÓC OXY

Có những bài toán hình học phẳng khá “hóc búa” gây không ít những khó khăn, trăn trở cho người làm toán Vì thế để tìm hiều một giải pháp khả dĩ khi gặp những bài toán đó là phương pháp ứng dụng tọa độ

Những câu hỏi rất tự nhiên được đặt ra là:

- Dựa vào dấu hiệu nào, đặc điểm gì mà ta vận dụng công cụ tọa độ

- Với mỗi bài toán việc xây dựng hệ trục tọa độ được hình thành qua những công đoạn nào?

- Liệu rằng có thể xác lập được một quy tắc chung với các bước thực hiện có trình tự trong việc vận dụng công cụ tọa độ hay không?

Các nguyên tắc cần lưu ý khi giải bài toán hình học thuần túy bằng công cụ tọa độ

- Chọn hệ trục tọa độ

Gốc tọa độ, trục tọa độ thường gắn liền với điểm và đường đặc biệt của bài toán như : tâm đường tròn, đỉnh góc vuông, , trung điểm đoạn thẳng , chân đường cao

- Chuyển hóa ngôn ngữ hình học “thuần túy” sang ngôn ngữ tọa độ

Chuẩn hóa độ dài các đoạn thẳng và đơn vị trục

Từ đó xác định tọa độ các điểm và phương trình các đường , theo hướng hạn chế phương trình tham số để nhận được những tọa độ đẹp giúp bài toán trở nên dễ dàng hơn

- Khai thác các tính chất, và phép toán liên quan đến tọa độ và vector như sau:

Điều kiện theo tọa độ để hai vector vương góc

Điều kiện theo tọa độ để hai vector cùng phương

Tính khoảng cách dựa theo tọa độ

Tính số đo góc dựa theo tọa độ

Hình thành hệ trục tọa độ trong mặt phẳng như thế nào?

* Bài toán đơn giản hay không phần lớn phụ thuộc vào việc hình thành hệ trục tọa độ

- Tam giác cân

* Trường hợp tam giác ABC cân tại A

Thông thường ta xây dựng hệ tọa độ Descartes vuông góc như sau:

- Hạ đường cao từ đỉnh tam giác cân đến cạnh đối diện

Chọn hệ trục Descartes vuông góc Axy

* Chuẩn hóa độ dài:

Không mất tính tồng quát ta đặt chiều dài chiều rộng cùa hình chữ nhật lần lượt là 2a, 2b ( a>b>0)

Tâm hình chữ nhật là I (a, b) Phương trình trường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật là : ( x-a)2 + (y-b)2 = a2 + b2

BT1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Cho tam giác ABC, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, D là trung điểm cạch AB, E là trọng tâm tam giác ACD Chứng minh rằng: Nếu AB = AC thì IE CD Cách 1: Thuần túy hình học

Gọi H và F lần lượt là trung điểm cạnh BC và AC

- cân tại A nên AH vuông góc với BC, DF là đường trung bình trong ABC nên DF song song với BC Do đó: AH DF (1)

- Gọi N là giao điểm của AH và CD

Cách 2: Phương pháp vector

Xét tích vô hướng ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

Ta có: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

= ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ [ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ [ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ [ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=

= 0

Như vậy EI CD ( đpcm)

Cách 3: Phương pháp tọa độ

Gọi O là trng điểm cạnh BC Đặt

Với cách giải này đòi hỏi người giải phải có nhãn quan hình học nhạy bén, nắm chắc nhiều phương pháp chứng minh Cách giải này tương đối phức tạp

III HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ

Để giải được bài toán trong không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình

1 Dấu hiệu nhận biết và các bước giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

a Những bài toán hình học không gian ở phần giả thiết có những dạng sau thì nên dùng phương pháp tọa độ để giải

Hình đã cho có một đỉnh là tam diện vuông

Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy và đáy là các tam giác vuông, tam giác đều, hình vuông, hình chữ nhật

Khi xác định tọa độ của điểm phải dự vào:

Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm ( khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ)

Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song, cùng phương, thẳng hàng

Dựa vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng

Bước 3; Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải toán

Thể tích khối đa diên

Diện tích thiết diên

Chứng minh các quan hệ vuông góc , song song

Bài toán cực trị , quỹ tích

2.Trình bày một số cách đặt hệ trục tọa độ với một số hình thường gặp

Để giải được một số bài tóa hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ sao cho thích hợp Dưới đây là một số trường hợp thường gặp: