Tài liệu học - tài liệu tham khảo cơ học , động lực học hệ chất điểm và vật điểm
Trang 1Chương III: ĐỘNG LỰC HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM – VẬT RẮN
III.1 Khối tâm
1 Vị trí khối tâm G của hệ 2 chất điểm:2 chất điểm M và M1 2 có khối lượng lần lượt m và m 1 2
được nối với nhau bằng một thanh rắn không khối lượng thì vị trí khối tâm G là điểm khi đặt con
niêm tại đó thanh cân bằng nằm ngang.Khi đó:
0 2 2 1
1M G+m M G =
m
2 Vị trí khối tâm G của hệ nhiều chất điểm:
M 2
m 1
M
m 2
G
1
0
1
=
∑
=
G M
m i
n
G M M
G= 0 i + i 0
Đặt hệ chất điểm vào hệ trục tọa độ Descartes: =>
i i i
rr ∑ =∑ r
G M m M
m G
m i ∑ i i ∑ i i
G M m M m
G
m i0 = i0 i + i i
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
∑
∑
∑
M
z m z
M
y m y
M
x m x
i i G
i i G
i i G
M
r m
Với M=∑m i : Khối lượng hệ chất điểm
Vd: Cho 4 chất điểm m1=1kg, m2=2kg, m3=3kg, m4=4kg
đặt tại 4 đỉnh hình chử nhựt cạnh 2cm, 4cm như hình vẻ
x G (0 0 9 12) 2,1cm
4 3 2
1
+ + +
y G (0 4 6 0) 1cm
10
3 Vị trí khối tâm G của vật rắn:
= ∫
VR
M
rr 1 .r
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
⇒
∫
∫
∫
dm z M z
dm y M y
dm x M x
G G G
1
1
1
Với M: Khối lượng vật rắn
- Mật độ khối lượng dài:λ(kg/m) dm dl
dl
dm
λ
- Mật độ khối lượng mặt:σ(kg/m2) dm dS
dS
dm
σ
- Mật độ khối lượng mặt:ρ(kg/m3) dm dV
dV
dm
ρ
+ Nếu 1 vật rắn có khối lượng phân bố đều thì:
V
m S
m l
+ Nếu vật rắn là sợi dây thẳng trên trục x thì: dl =dx
+ Nếu vật rắn là sợi dây cung tròn, bán kính R thì
ta dùng tọa độ cực (R,ϕ) thì dl =R.dϕ
xG
m 1
x
m
m 4
y
x
y
z
dm
0
rr
xG
M 1
0
M 2
M n
x y
dx
dy
Trang 2Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU
ϕ
dϕ
Tọa độ cực:
x
y arctg
y x r
=
+
= ϕ
2 2
⎩
⎨
⎧
=
= ϕ
ϕ sin
cos
r y
r x
Vớ
+ Nếu vật rắn là mặt phẳng giới hạn bởi 2 đường thẳng:dS =dx.dy
+ Nếu vật rắn là mặt phẳng giới hạn bởi cung tròn: dS =r.dr.dϕ
+ Nếu vật rắn là mặt cầu bán kính R thì: dS =R2sinθ.dθ.dϕ
Tọa độ cầu: M (r,θ,ϕ) với
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
= θ
ϕ θ
ϕ θ cos
sin sin
cos sin
r z
r y
r x
Khi tính biết mặt cầu: = ∫π θ θ2∫π ϕ
0 0
2 sin d d R
S
+ Nếu vật rắn dạng khối lăng trụ hay lập phương: dV =dx.dy.dz
+ Nếu vật rắn là khối cầu: dV =r2dr.sinθ.dθ.dϕ
∫
∫
=
0 0
2 sin
R
dr r
0
2
0 0
2
3
4 2 2 3
sin
r V
R
π π ϕ
θ θ
=
=
ϕ
θ
r
M
y
z
x
Vd1: Cho vật tam giác vuông OBC ( OB=a và BC=b) khối lượng m phân bố đều Tìm G?
∫
=
=
x y
VR
m ab
m
dy dx m
x
2
1
y
ab 0 . .
2
C
B
b
y G
3
1
=
Vd2: Cho vật rắn khối lượng m là ¼ vòng tròn (O,R) Xác định G?
x
dx
0
3 2 1 3 2 1
x
M
x = 1 ∫σ ϕ cosϕ
= ∫R r dr∫ d
M R M
0
2
0 2
2
cos 4
π
ϕ ϕ π
R R R
4 sin
3
0
3
=
π
ϕ π
π
x
y
x
Hình đối xứng => x = y = 0,424R G G
III.2 Chuyển động khối tâm G
∑
M
rr 1 r
∑
=
M
m M
dt
r
ϑ
∑
=
M a m M
dt
d
ar ϑr 1 r 1 r
∑Pri
∑Fri
G
ϑr
G
ar
G
Trang 3III.3 Động lựơng của hệ chất điểm và vật rắn
a/ Định nghĩa: Pr =∑pri =∑ i iϑr = ϑr
∑
=
=
dt
M d dt
P d
G
r r
)
b/ Định lý:
c/ Định luật bảo toàn động lượng:
hs P
F = ⇔ =
- Bảo toàn toàn phương: 0
hs P F
F ≠ ∑ x = ⇒ x =
- Bảo toàn 1 phương:
0 2 2 1
=
∑Fr m gr Nr m gr Nr
Vd1: m m
PrTVC PrSVC
2 2 1 1 2 2 1
1.ϑr m ϑr m ϑr' m ϑr'
Vd2:
PrTB PrSB
(m M)Vr m r' M Vr'
+
=
Vd3:
V M m
P P
r r
r r
+
=
= ϑ 0
2 1
Vd4: Bảo toàn 1 phương:
∑Fr =m gr⇒∑F X =0
(m M)Vr mr' M Vr'
+
≠
P X TVC = P X SVC
=> mϑ=MV'
III.4 Vật rắn chuyển động tịnh tiến
1/ Định nghĩa: Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến thì mọi chất điểm của vật rắn chuyển động cùng quãng đường, cùng vận tốc và cùng gia tốc với khối tâm
A1A2 = B1B2 = =G1G2
ϑA =ϑB = =ϑG
a A =a B = =a G
2/ Động năng của vật rắn chuyển động tịnh tiến:
2
1
2
1
G i
i i
=
∑
3/ Phương trình động lực học của vật rắn chuyển động tịnh tiến:
r
F i M arG
III.5 Vật rắn chuyển động quay quanh 1 trục U
Vr
ϑr
A 1
A 2
1
ϑr ϑr2
g
1
1
Nr
Nr
m
M
Vr
'
ϑr
ϑr
'
Vr
M
V=0
Trang 4Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU
Δ
A 1
A 2
θA
θB
B 1
B 2
1/ Định nghĩa:
θA =θB = =θ v
ωA =ωB = =ω
βA =βB = =β
Khi vật rắn quay quanh 1 trục thì mọi chất điểm có cùng 1
góc quay, cùng vận tốc góc và cùng gia tốc góc
2/ Động năng của vật rắn quay quanh 1 trục U:
2 2
2 2 2
2
1 2
1
2
1
i i i
i i i
i i
Wđ Δ =∑ =∑ ϑ =∑ ω = ω ∑
: khoảng cách từ chất điểm thứ i đến trục U
Với r i
Đặt IΔ = ∑ miri2 : moment quán tính của hệ chất điểm đối với trục U
2
2
1 ω Δ
Δ = I
Wđ q
=>
3/ Moment quán tính của hệ chất điểm đối với trục quayU:
2
i
ir m
IΔ = ∑
4/ Moment quán tính của vật rắn đối với trục quayU:
∫
=
Δ
VR
r dm
Vd1: Cho 1 thanh thẳng khối lượng M, dài L, khối lượng phân bố đều Tính moment đối với trục quayU vuông góc với thanh và đi qua điểm giữa
12 24
24
3
2 3
3
2
2
3 2
2
2
ML L
L L M
x L
M x dx I
L
L
L
L
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
=
= Δ
−
−
∫λ
Δ Δ
Δ
r
Δ
d x
α
+ Nếu chọn gốc O đối với trục U’:
2 0
3
3
1 3
Δ
+ Nếu chọn trục U2 lệch góc α với thanh:
α α
0
2 2
3 3 sin sin
L
M x
dx L
M
+ Nếu chọn trục U3 song song với thanh:
2 2
2
3 dm.d d dm M.d
I
VR
=
=
=
Vd2: Cho 1 vành khối lượng M, bán kính R, U vuông góc vành qua O
R
d Δ
O
2 2
dm I
VR
=
=
=
Vd3: Đĩa đặc phân bố đều
Trang 5r dr
2
4
2 2
0 0
4 2
2
0 0
3 2
2
R M r
R M
d dr r R M
r d dr r I
R R
=
=
=
= Δ
∫
∫
∫
π
π
ϕ π
ϕ π
ϕ σ
Vd4: Đĩa rổng bán kính R1,R2 Δ = − ∫ ∫π ϕ
π
2
0
3 2 1
2 2
2
1
)
M I
R
R
π
π( ) 4 4 .2
4 1
4 2 2 1
2 2
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
R R M
( 2)
1
2 2
=
12
1
ML
IΔ = - Cầu đặc: 2
5
2
MR
IΔ =
R 1
Δ
O
R 2
- Vành, trụ rỗng: IΔ = MR2
2
1
MR
IΔ =
3
2
MR
IΔ =
3.5 Định lý Steiner-Huyghen:
Trục U đi qua G Trục U’//U và cách U 1 đoạn d
2 ' I Md
IΔ = Δ +
Vd: Thanh rắn:
2 2
'
3
1 2
12
1
ML
L M ML
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
Δ
IΔ' = MR2 + MR2 = 2MR2
Lưu y: Moment quán tính có mang tính chất cộng
L/2
Δ
R
Δ
+ Δ
= Δ
I
'
Vd: Hệ 1 niềng M, 6 căm M:
Δ Δ
Δ = IM/ + 6 Im/
I
( ) 2 2
3
1
=
⎠
⎝
Trang 6Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU
+ Nếu khoét đi 1 lỗ sẽ trừ đi:( M:k/l đĩa chưa khoét; M’:k/l đĩa đã khoét; m: k/l lổ khoét)
O 1 • O 2
Moment quán tính là giá trị vô hướng dương, (là giá trị số học)
III.6 Moment lực. Mr
1 Moment lực đối với điểm O Fr
r / 0 = ×
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
2 Moment lực đối với trục U Fr
MF/Δ = hc MF/0 Δ
r
r
3 Moment lực của vật rắn đối với trục U Fr
Tác dụng lên vật rắn 1 lực để vật rắn quay quanh U Fr
Lực được phân thành 3 thành phần: Fr
z n
F
+ +
=
:
z
Fr
làm vật trượt trên U, không làm vật rắn quay =>M rFrz/Δ = 0
:
n
Fr
kéo vật trượt trên U, không làm vật rắn quay => M rFrn/Δ = 0
:
t
Fr
làm vật rắn quay quanh U => M rF t r r F r t
r/Δ = × ( r: khoảng cách từ M đến U )
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
Δ
≠ Δ
=
⇔
=
Δ
//
0 0
/
F F
F
M F
rI r
r r
3.6.4 Moment tổng ngọai lực của vật rắn đối với U:
-Điểm đặt: tại 0
-Phương: đt ⊥với mp tạo bởi ( Frr, ) r
-Chiều: rr ,,Fr Mr tạo thành tam diện thuận
-Độ lớn: M =r Fsinα
R m m
x
m M r
R m
M
G
6
1 2
0 3 1
4
2 2
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
+
=
=
⇒
= π σ
π σ
1 2
dk/ 0 / 0 /
dk/
2 dk/
13
'.
24
Δ
Δ
=
Fr
Δ
O
rr
/
F
M r Δ
uur
/ 0
F
M r
uur
M
Δ
n
F r F r '
z
F r
i
rr
F r
t
F r
/
/
2 /
Σ Δ
Σ Δ
∑
r
r
r
uu
uu
Trang 73.6.5 Phương trình động lực học cơ bản của vật rắn quay quanh U:
/
F
MΣ Δr
uur
β r
. Δ
= I
Lr
III.7 Moment động lượng.
Lr
3.7.1 Moment động lượng đối với O
i O
i r P
L
i
r r r
×
=
Điểm đặt: tại O Phương: vuông góc mặt phẳng tạo bởi
3.7.2 Moment động lượng đối với U:
=
Δ
/
Lr
hình chiếu
Δ
O
Lr/
3.7.3 Moment động lượng của vật rắn đối với U:
Ghi chú: MuurΣ ΔFr/ của vật rắn đối với trục U thì cùng phương, chiều với
βr của vật rắn đối với trục U thì cùng phương, chiều với Δ
/
3.7.4 Định lý moment động lượng:
=
=
r
/
dt
d I dt
L
d
3.7.5 Định luật bảo tòan moment động lượng:
thì Lr/Δ =const
Vd: Ghế Giucopxki (người đi từ mép đĩa đến R/2)
Vd: Viên đạn chạm thanh M, L:
III.8 Vật rắn chuyển động lăn không trượt
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
( )rr ,i Pri
Chiều: rri,Pri,Lr/O
tạo thành U diện thuận
Độ lớn: .sinLri O/ =r p i i α
i i i i
i
L
L rΔ = ∑ r Δ = ∑ r × r = ∑ r × ϑ r
∑
∑ mi[ r ri × ( ri × r ri )] = mi[( r r ri ri ) ri − ( r ri ri ) r ri ]
ω
ω r = Δ r
∑ m i ri2. i I
=
1 2
G M
m ϑr
2
' 2 1 1 2 1 2
1 L (I I )ω (I I )ω
LrΔ = rΔ ⇒ + = +
2
2 2
1 2 2
4 2
1 2
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
hs L
M∑Fr Δ = ⇔ rΔ =
0
SVC
Lr r
=
' ' 3
1 0
.
3
L mL
Trang 8Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU
3.8.1 Định nghĩa1: khi vật rắn lot là vừa chuyển động tịnh tiến theo khối tâm G và vùa chuyển
động quay quanh G
⎩
⎨
⎧
G
G
ar
r
ϑ
⎩
⎨
⎧
β
ω
r r
A
G
B
R dt
d R
G
R
aG = β
⇒
A
• Vectơ vận tốc của chuyển động lot tại G, A, B, C
- Xét chuyển động tịnh tiến: ϑrG =ϑrA =ϑrB =ϑrC
- Xét chuyển động quay quanh G:
ϑGtt=ϑAq=ϑBq=ϑCq ϑGq=0
- Xét chuyển động lot:
Vậy: ϑrAlot =2ϑrGtt; ϑrGlot =ϑrGtt; ϑrBlot = 2.ϑrGtt ; ϑrClot =0;
Định nghĩa 2: Lot là quay quanh tâm quay tức thời ( )
R
G lot
ϑ ω
ϑ = :0 =
3.8.2 Động năng của vật rắn Lot:
2 2
1 2
G G ñqG
ñttG lot
3.8.3 Phương trình cơ bản ĐLH của Lot:
• Chú ý;
*Trong cđ Lot có lực ma sát lăn: là dạng lực ma sát tỉnh: Furmsl
- Điểm đặt: điểm tiếp xúc
- Phương: phương chuyển động tịnh tiến
- Chiều: * đi qua G: F F msl ngược chiều tịnh tiến
* Fur
0 đi qua G: urF msl cùng chiều tịnh tiến
- Độ lớn:Phải tìm và 0 ≤ Fmsl ≤ kN
* Công của lực ma sát lăn bằng không (dl=0)
β
I
Att
ϑ r
Ctt
ϑr
Gtt
ϑr
Btt
ϑ
=
r
Bq
ϑr
Gq
ϑr
Aq
ϑr
Cq
ϑr
Glot
ϑr
Blot
ϑr
Clot
ϑr
A
Alot
ϑr
qG ttG
ϑ r = r + r
C
G
i M a
Fr = .r
∑
F
MΣ r Δ =IΔ β
Fr
G
+
msl
Fr
Nr
g
M r
Hình 1
G
ar
G
+
G
ar
msl
Fr
g
M r
Hình 2
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
∑
= + + +
βr r
r r r r r
G F
G msl
I M
a M F F N g M
Trang 9⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= +
−
= + +
R
a MR R
F R F
Ma F F
G msl
G msl
2
2
1
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
= +
= +
−
R
a MR I
R
F
Ma F F
G G
msl
G msl
2 2
1
3 3
F M
F
3 3
F M
F
III.9.Va chạm
3.9.1 Va chạm đàn hồi:
TVC m1ϑr1,m2ϑr2
SVC m1ϑr1',m2ϑr2'
Trong va chạm hòan tòan đàn hồi thì động lượng của hệ và động năng hệ bảo tòan;
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
= +
=
=
+
= +
→
=
2 ' 2 2 2
' 1 1
2 2 2
2 1 1
' 2 2
' 1 1 2 2 1 1
2
1 2
1 2
1 2
ϑ ϑ
ϑ ϑ
m m
m m
W W
m m
m m
P P
ñSVC ñTVC
SVC TVC
r r
r r
r r
r r
• Nếu va chạm xuyên tâm:
' 2 2
' 1 1 2 2 1
1ϑ m ϑ mϑ m ϑ
2 1
2 1
2 1
2 1 ' 1
ϑ ϑ
m m
m m
m
m m
+
+ +
−
=
⇒
2 2 1
1 2 1 2 1
1 '
2
ϑ
m m
m m m
m
m
+
− + +
=
⇒
Vd:
2
2 2 2
' 2 2
2 2
' 2 ' 2 2
2
2
1 3
1 2
1 2
1 3
1
2
1
3
1 3
1
l ml ML
l ml ML
W
ml ML
l ml ML
L
L
ñSVC ñTVC
SVC TVC
ϑ ω
ϑ ω
ϑ ω
ϑ ω
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇔
=
•
+
= +
⇔
=
( ) ( ) ' (2)
2
1 ' 3
1 2
1 2
1 0 3
1
2
1
2
2 2 2
2 2
2 2 2
l ml ML
l ml
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
× +
×
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3.9.2 Va chạm mềm:
(1)
2
' 1 2
1,ϑ ,ϑ ,ϑ ϑ
, 2 1
2 2 1 1
ϑ
ϑ ϑ
r
r r
m m
m m
+
⎩
⎨
⎧
SVC
TVC
msl
Fr
Nr
g
M r
α
G
ar
⎪⎩
⎪⎧
∑
= +
+
βr r
( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
= +
= +
−
) 2 (
) 1 ( sin
2
R
a MR I
R F
Ma Mg
F
G G
msl
G msl
β
α
G
F
G msl
I M
a M F N
g
M
Vành: a G =1/2 gsinα F = Ma ms G
Đĩa: a G =2/3 gsinα F = 1/2Ma ms G
Cầu rổng: a G =3/5 gsinα F ms G
Cầu đặc: a G =5/7 gsinα F = 2/5Ma ms G
Tròn trượt o ms: a G = gsinα
+
G1
m1
G2
m2
1
G
L
l
Trang 10Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH – CHÂU
Trong va chạm mềm chỉ có động lượng của hệ bảo toàn, động năng của hệ không bảo toàn Động năng trước va chạm trừ đi động năng sau va chạm bằng nhiệt lượng làm vật bị biến dạng
2 1 1
1ϑr mϑr m m ϑr
Nếu va chạm xuyên tâm:
( 1 2) ' 2
1 1
1ϑ mϑ m m ϑ
m + = + (ϑ1,ϑ2,ϑ' là giá trị đại số)
Chú ý chọn chiều (+)
Vd1: Chọn chiều (+) là chiều chuyển động của m1,m2; là chiều quay
ròng rọc (U hướng vào)
βr
r
r r
r
r r
r
:
:
:
2 2 2 2
2
1 1 1
1
1
I M
M
a m T
g
m
m
a m T
g
m
m
O
∑
= +
= +
M m
m
m m g a R
a MR R
T T
a m T g m
a m T g m I
R T
R
T
a m T
g
m
a m T
g
m
2
1
2
1 2
2 2
1
2 2 2
1 1 1
2
1
2 2 2
2
1 1 1
1
+ +
−
=
⇒
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
= +
−
=
−
= +
−
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= +
−
=
−
= +
−
⇒
β
O
+
+ +
1
Tr
1
Tr
2
Tr
2
Tr
g
m r1
g
m r2
1
ar
2
ar
Vd2
M m m
km m g
a
+ +
−
=
2 1
1
O
g
m r1
1
Nr
1
ms
Fr Tr1 Tr1
2
Tr
Vd3:
α α
α α
cos sin
:
cos sin
:
1
2
1
1
2
1
k m
m
m
k m
m
m
−
>
↓
+
>
↑
1
T r
M m
m
m k
m
g
a
m
M m
m
k m
m
g
a
m
2 1
cos sin
:
2 1
cos sin
:
2 1
2 1
1
2 1
1 2 1
+ +
− +
=
↑
+ +
+
−
=
↑
α α
α α
g
m r1
1
N r T r1
2
T r
2
T r
1
ms
F
+
O
r
