Bài giảng dòng điện xoay chiều 3

Toán cực trị và độ lệch pha; Tài liệu tham khảo Đề thi Vật lý khối A

I CỰC TRỊ TRONG MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU

Nguyên tắc chung:

Để tìm cực trị của một biểu thức nào đó thì chúng ta xuất phát từ công thức tổng quát của chúng, thực hiện các phép biến đổi theo quy tắc nếu tử số và mẫu số đều là đại lượng biến thiên thì chỉ để một biểu thức thay đổi (chia cả tử và mẫu cho tử số chẳng hạn )

Bổ đề :

♦ Bất đẳng thức Cauchy : Cho hai số không âm a, b khi đó a b ab a b 2 ab

2

Dấu bằng xảy ra khi a = b

♦ Hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c, với a > 0 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

2 min

1 Mạch RLC có R thay đổi

Bài toán tổng quát 1:

Cho mạch điện xoay chiều RLC trong đó R có thể thay đổi được (R còn được gọi là biến trở) Tìm giá trị của R

để

a) cường độ hiệu dụng I của mạch đạt giá trị cực đại

b) điện áp hiệu dụng hai đầu L hoặc C đạt cực đại

c) công suất tỏa nhiệt trên R là P0 cho trước

d) công suất tỏa nhiệt trên điện trở R đạt cực đại

Hướng dẫn giải:

a) Cường độ hiệu dụng

2

L C

Vậy R = 0 thì Imax và giá trị max

L C

U I

=

−

b) Ta có UL = I.ZL Do L không đổi nên (UL)max khi Imax ⇒ R = 0

L max max L

L C

U.Z

− Tương tự ta cũng có

( ) ( )

C max

C

C max max C

L C

U.Z







c) Theo bài ta có

2

2

L C

U

Thay các giá trị của U, ZL, ZC và P0 vào phương trình trên ta giải được R cần tìm

d) Công suất tỏa nhiệt trên R:

2

L C

−

+

Dấu bằng xảy ra khi ( )2

L C

L C

R

−

2 max

L C

U P

2 Z Z

=

− Vậy mạch RLC có R thay đổi, giá trị của R và Pmax tương ứng là





=



2 max

U P

Chú ý:

Bài giảng 5:

TOÁN CỰC TRỊ VÀ ĐỘ LỆCH PHA

♦ Trong trường hợp Pmax thì hệ số công suất của mạch khi đó là L C

2 2

+

♦ Khi cuộn dây có thêm điện trở hoạt động r ≠ 0 thì ta còn có thêm dạng bài tính công suât tỏa nhiệt trên R, trên cuộn dây và trên toàn mạch

TH1: Công suất tỏa nhiệt trên toàn mạch cực đại

2

2

L C

R r

R r

−

+ +

+

Từ đó ta cũng được giá trị của R và Pmax tương ứng

←→

TH2: Công suất tỏa nhiệt trên R cực đại

Ta có

2

R 2r

R

+

Áp dụng BĐT Cauchy cho mẫu số ta cũng được

P

2r R

R

+

Từ đó ta được giá trị của R và (PR)max tương ứng là

( )





=





2 2

2

2

U P

Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC có u=150 2cos 100π V, L( ) =2 (H), C=4.10−4 (F),

đượ c Tìm R để

a) công suất tỏa nhiệt P = 90 W và viết biểu thức của cường độ dòng điện khi đó

b) hệ số công suất của mạch là cosφ = 1/2

c) công suất tỏa nhiệt trên mạch cực đại P max và tính giá trị P max

Hướng dẫn giải:

Ta có ZL = 200 Ω, ZC = 125 Ω, U = 150 V

a) Ta có

R 225Ω

R 25Ω

=



=

Độ lệch pha của u va i thỏa mãn L C

Biểu thức cường độ dòng điện là i 2 cos 100πt arctan 1 A

3 5

 

0

−

Biểu thức cường độ dòng điện là 6 ( ( ) )

i cos 100πt arctan 3 A

5

b) Từ công thức tính hệ số công suất ta có

2

2

L C

+

c) Ta có Pmax khi

L C 2 max

L C

U P

2 Z Z





=



Thay số ta được R = 75 Ω và

max

L C

2 Z Z 2.75

Ví dụ 2: Cho mạch điện xoay chiều gồm cuộn dây có r = 50 Ω, L = 0,4/π (H) và tụ điện có điện dung C = 10 –4 /π (F) và điện trở thuần R thay đổi được Điện áp hai đầu mạch là u=100 2cos 100πt V Tìm R để ( )

a) hệ số công suất của mạch là 1/2

b) công suất tỏa nhiệt trên toàn mạch đạt cực đại Tính giá trị cực đại đó

c) công suất tỏa nhiệt trên điện trở R cực đại Tính giá trị cực đại của công suất đó

Hướng dẫn giải:

Ta có ZL=40 Ω, ZC =100 Ω, U=100V

a) Hệ số công suất của mạch là

L C

cosφ

Thay số ta được

2

Giải phương trình trên ta được các nghiệm R cần tìm

b) Công suất tiêu thụ trên đoạn mạch đạt giá trị cực đại khiR+ =r ZL−ZC ⇔ +R 50=60→ =R 10Ω

Khi đó, công suất cực đại của mạch

max

L C

−

c) Công suất tỏa nhiệt trên R cực đại khi

( )

2 2

L C

2

2

L C

U P





=





Thay số ta được

( )

2

L C

2

L C

100 20 61







+



Bài toán tổng quát 2:

Cho mạch điện RLC có R thay đổi Điện áp hiệu dụng hai đầu mạch điện là U Khi R = R1 và R = R2 thì mạch tiêu thụ cùng một công suất (hay P1 = P2) Chứng minh rằng

R R = Z −Z

b) φ 1 φ 2 π

2

+ = , với φ1, φ2 lần lượt là độ lệch pha của u và i khi R = R1, R = R2

+

2

U

P P P

R R

Hướng dẫn giải:

a) Theo giả thiết ta có P1 = P2

b) Ta có

L C 1

1

L C 2

2

tan φ

R

tan φ

R

=







−



−

−

Từ đó ta được φ1 φ2 π dpcm.

2 + = →

c) Ta có

2

Vậy mạch RLC có R thay đổi mà R = R1 và R = R2 thì P1 = P2 sẽ thỏa mãn

(((( ))))2

2

π

2 U P











 ==== −−−−































====







++++







Ví dụ 1 : (Đề thi Đại học – 2009)

Đặ t điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi vào hai đầu đoạn mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với

tụ điện Dung kháng của tụ điện là 100 Ω Khi điều chỉnh R thì tại hai giá trị R 1 và R 2 công suất tiêu thụ của

đ oạn mạch như nhau Biết điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R 1 bằng hai lần điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R 2 Các giá trị R 1 và

R 2 là

A R 1 = 50 Ω, R 2 = 100 Ω B R 1 = 40 Ω, R 2 = 250 Ω

C R 1 = 50 Ω, R 2 = 200 Ω D R 1 = 25 Ω, R 2 = 100 Ω

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có P1 = P2

R R +R Z =R R +R Z ⇔R R R −R =Z R −R ⇔R R =Z ⇔R R =100 , (1)

Mặt khác, gọi U1C là điện áp tụ điện khi R = R1 và U2C là điện áp tụ điện khi R = R2

1C 2C 1 C 2 C

2

I

I

Lại có

2

1 2 1 1 2 2

 

  , (2)

Giải (1) và (2) ta được R1 = 50 Ω, R2 = 200 Ω

Vậy chọn đáp án C

Ví dụ 2: Một mạch điện gồm một tụ điện C, một cuộn cảm L thuần cảm kháng và một biến trở R được mắc nối tiếp Đặt vào hai đầu mạch điện một điện áp xoay chiều u=120 2cos 120πt V.( ) Biết rằng ứng với hai giá trị của biến trở R 1 = 18 Ω và R 2 = 32 Ω thì công suất tiêu thụ P trên đoạn mạch là như nhau Công suất P của

đ oạn mạch có thể nhận giá trị nào ?

Hướng dẫn giải:

Theo chứng minh công thức ở trên ta được

1 2

Vậy P = 288 W

Ví dụ 3: Cho mạch điện RLC có điện áp hai đầu mạch là u=30 2cos(100πt)V, R thay đổi được Khi mạch có R

= R 1 = 9 Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ 1 Khi mạch có R = R 2 = 16 Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ 2 biết

π

2

a) Tính công suất ứng với các giá trị của R 1 và R 2

b) Viết biểu thức của cường độ dòng điện ứng với R 1 , R 2

c) Tính L biết

3

10

2π

−

d) Tính công suất cực đại của mạch

Hướng dẫn giải:

a) Theo chứng minh công thức ở trên, khi

1 2

1 2

1 2

R R , R R

π

2









1 2

R R , R R

π

2









♦ Khi R = R1 = 9 Ω thì ta có tổng trở của mạch là 2 ( )2 2

U

Z

Độ lệch pha của u và i thỏa mãn L C

1

Từ đó, biểu thức cường độ dòng điện là i 2 2cos 100πt artan 4 A

3

m

♦ Khi R = R1 = 16 Ω thì ta có tổng trở của mạch là 2 ( )2 2

U

Z

Độ lệch pha của u và i thỏa mãn L C

2

Từ đó, biểu thức cường độ dòng điện là i 1,5 2cos 100πt artan 3 A

4

m

c) Khi

3

C

10

2π

−

L

8

25π

 =



=



d) Công suất cực đại của mạch khi R biến thiên được tính bởi

max

L C

2 Z Z 2.12

−

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1: Cho mạch điện RLC có điện áp hai đầu mạch u=U 2cos( ωt )V , R thay đổi được Khi mạch có R = R 1 = 90 Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ 1 Khi mạch có R = R 2 = 160 Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ 2 Biết rằng

π

2

a) Tìm L biết C = 10 –4 /π (F) và ω = 100π rad/s

b) Tìm ω biết

−

=3,2 =10 4

Bài 2: Cho mạch điện RLC có điện áp hai đầu mạch là u U 2cos( 100πt )V , R thay đổi được Khi mạch có R = R= 1 =

90 Ω và R = R 2 = 160 Ω thì mạch có cùng công suất P

a) Tính C biết L = 2/π (H)

b) Tính U khi P = 40 W

Bài 3: Cho mạch điện RLC, R có thể thay đổi được, Hiệu điện thế hai đầu mạch là u=200 2cos( 100πt )V , L = 2/π (H), C = 10 –4 /π (F) Tìm R để

a) hệ số công suất của mạch là 3

2

b) điện áp hiệu dụng giữa hai đầu điện trở là U R =50 2 V

c) công suất tỏa nhiệt trên R là P = 80 W

Bài 4: Cho mạch điện RLC, R có thể thay đổi được, điện áp hai đầu mạch là

−

u 240 2cos( 100πt )V ,C ( F ).

Khi R = R 1 = 90 Ω và R = R 2 = 160 Ω thì mạch có cùng công suất P

a) Tính L, công suất P của mạch

b) Giả sử chưa biết L, chỉ biết P max = 240 W và với 2 giá trị R 3 và R 4 thì mạch có cùng công suất là P = 230,4 W Tính giá trị R 3 và R 4

2 Mạch RLC có L thay đổi

Bài toán tổng quát:

Cho mạch điện xoay chiều RLC trong đó L có thể thay đổi được Tìm giá trị của L để

a) cường độ hiệu dụng I của mạch đạt giá trị cực đại

b) công suất tỏa nhiệt của mạch đạt cực đại Tính giá trị Pmax

c) điện áp hiệu dụng hai đầu L đạt cực đại

Hướng dẫn giải:

a) Ta có

2

L C

ω

Vậy L 12

C

=

ω thì Imax và giá trị max

U

R

=

b) Công suất tỏa nhiệt trên mạchP=I R2 Do R không đổi nênPmax Imax L 12

C

←→ → =

ω

Từ đó

2 2

max max

U

R

c) Điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm là

1

Với

2 2

C 2

Z R

= + − 

L

1

Do hệ số ( 2 2)

C

a= R +Z >0 ⇒ ymin khi

2 2

L

2 2 C

+ Vậy ( ) ax

C

U

+

Chú ý:

- Khi L = L 1 hoặc L = L 2 mà công suất P (hoặc cường độ hiệu dụng I) không đổi thì ta có +

= L 1 L 2 C

Z

2

- Khi U L cực đại thì ta có ( )2 = 2+ 2+ 2

- Khi U L cực đại thì điện áp hai đầu đoạn mạch RC vuông pha với điện áp u của hai đầu mạch

- Khi L = L 1 hoặc L = L 2 mà U L không đổi, đồng thời khi L = L 0 mà U L đạt cực đại thì ta có hệ thức liên hệ giữa các đại lượng là = +

.

Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC có

4

10

2π

−

đượ c Điện áp giữa hai đầu đoạn mạch là u = 200cos(100πt) V Xác định độ tự cảm của cuộn dây trong các trường hợp sau ?

a) Hệ số công suất của mạch cosφ = 1

b) Hệ số công suất của mạch cosφ 3

2

= c) Điện áp hiệu dụng trên cuộn cảm L là cực đại

Hướng dẫn giải:

Ta có C 1

ωC

π

b) Khi 2 2 2 ( )2 2 ( )2

Thay số ta được L C L

L

3

3

π



=



=



c) Theo chứng minh trên, UL đạt cực đại khi ( )2

2

2 2 C L

C

100 3 200

+ +

Ví dụ 2: Cho mạch điện RLC, L có thể thay đổi được, điện áp hai đầu mạch là u=170 2cos 100πt V.( ) Biết rằng

4

10

2π

−

a) công suất tỏa nhiệt trên R cực đại Tính P max

b) công suất tỏa nhiệt có giá trị P = 80W

c) điện áp hiệu dụng giữa hai đầu L đạt cực đại Tính giá trị cực đại đó

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết ta có R = 80 Ω, ZC = 200 Ω

a) Do 2

2

π

Khi đó

2 max max 2

b)

L 2

2

L L

3,5

Z 350Ω

2π



=



=



=

c) Điện áp hiệu dụng hai đầu L đạt cực đại khi

C L

C

Ví dụ 3: Cho mạch điện RLC có L thay đổi được Điện áp hai đầu mạch điện là u=200 2cos 100πt V.( ) Khi mạch có L L 1 3 3 (H)

π

= = và L L 2 3 (H)

π

= = thì mạch có cùng cường độ dòng điện hiệu dụng nhưng giá trị tức thời lệch pha nhau góc 2π/3 rad

a) Tính giá trị của R và C

b) Viết biểu thức của cường độ dòng điện chạy trong mạch

Hướng dẫn giải:

Ta có

Z =300 3 Ω, Z =100 3 Ω

2

=





Chỉ có một trường hợp thỏa mãn, thay số ta được 1 2

4

C

−

+

Gọi φ1 là độ lệch pha của u và i khi L = L1, φ2 là độ lệch pha của u và i khi L = L2

Ta có

1

2

L C 1

2

Z Z 300 3 200 3 100 3 tan φ

tan φ

−









Do

Z −Z =Z −Z →ϕ = − ϕ

Mặt khác

1 1

2

2

π φ

φ

3



=



>

> → ←→

<

Từ đó ta được tanπ 100 3 3 R 100 Ω

Vậy các giá trị cần tìm là

4 10

R 100 Ω, C (F)

2 3π

−

b) Viết biểu thức của i:

♦ Với

1

200 2

200

Độ lệch pha của u và i : L 1 C

♦ Với

2

200 2

200

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1: Cho mạch điện RLC có

−

=10 4 =

C ( F ), R 120Ω.

0,9π Điện áp hai đầu mạch là u=200 2cos( 100πt )V , L có thể thay đổi được

a) Tính L để U Lmax Tính giá trị U Lmax

b) Tính L để U L =175 2 V

Bài 2: Cho mạch điện RLC có L có thể thay đổi được Điện áp hai đầu mạch là u=100 2cos( 100πt )V Khi

= 1=1

π và L=L 1=3 ( H )

π thì mạch có cùng công suất tỏa nhiệt P = 40 W

a) Tính R và C

b) Viết biểu thức của i ứng với các giá trị L 1 và L 2

Bài 3: Cho mạch điện RLC có

−

=10 4 =

C ( F ), R 80Ω.

2π Điện áp hai đầu mạch là u=170 2cos( 100πt )V ,L có thể thay đổi được Tìm L để

a) công suất tỏa nhiệt cực đại, tính giá trị P max

b) công suất tỏa nhiệt của mạch đạt P = 80 W.

Bài 4: Cho mạch điện RLC có

−

=10 4 =

C ( F ), R 200 3 Ω.

4π Điện áp hai đầu mạch là u=200 2cos( 100πt )V , L có thể thay đổi được

a) Khi L = 2/π (H) hãy tính P và viết biểu thức cường độ dòng điện chạy trong mạch.

b) Tìm L để P max , tính giá trị P max khi đó

c) Tìm L để (U L ) max , tính giá trị (U L ) max

3 Mạch RLC có C thay đổi

Bài toán tổng quát:

Cho mạch điện xoay chiều RLC trong đó C có thể thay đổi được Tìm giá trị của C để

a) cường độ hiệu dụng I của mạch đạt giá trị cực đại

b) công suất tỏa nhiệt của mạch đạt cực đại Tính giá trị Pmax đó

c) điện áp hiệu dụng hai đầu C đạt cực đại

Hướng dẫn giải:

a) Ta có

2

L C

ω

Vậy C 12

L

=

ω thì Imax và giá trị max

U

R

=

b) Công suất tỏa nhiệt trên mạchP=I R2 Do R không đổi nênPmax Imax C 12

L

←→ → =

ω

Từ đó

2 2

max max

U

R

c) Điện áp hiệu dụng hai đầu tụ điện là

1

Với

2 2

L 2

Z R

= + − 

C

1

Do hệ số ( 2 2)

L

a= R +Z >0 ⇒ ymin khi

2 2

C

2 2 L

+ Vậy ( ) ax

L

U

+

Chú ý:

- Khi C = C 1 hoặc C = C 2 mà công suất P (hoặc cường độ hiệu dụng I) không đổi thì ta có +

= C 1 C 2 L

Z

2

- Khi U C cực đại thì ta có ( )2 = 2+ 2 + 2

- Khi U C cực đại thì điện áp hai đầu đoạn mạch RL vuông pha với điện áp u của hai đầu mạch

- Khi C = C 1 hoặc C = C 2 mà U C không đổi, đồng thời khi C = C 0 mà U C đạt cực đại thì ta có hệ thức liên hệ giữa các đại lượng là = 1+ 2

0

2

Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC có R = 100 Ω, L = 1/π (H), C thay đổi Điện áp hai đầu mạch có biểu thức là

u=100 2cos 100πt V Tìm giá trị của điện dung C để

a) mạch tiêu thụ công suất P = 50W

b) Mạch tiêu thụ công suất cực đại Tính P max

c) U Cmax

Hướng dẫn giải:

Ta có R=100 , ZΩ L =100Ω

a)

2

2

C

Nhận nghiệm ZC = 200 Ω ta được

4 10

2π

−

b) Từ P = I2R ta thấy do R không đổi nên

4

10

−

π Khi đó,

2 max max 2

c) (UC)max khi

L C

L

−

Khi đó, ( ) 2 2 2 2

Ví dụ 2: Cho mạch điện RLC có C thay đổi, điện áp hai đầu đoạn mạch là u=200 2cos 100πt V.( ) Khi

4

1

10

4π

−

4 1

10

2π

−

= = thì mạch có cùng công suất P = 200 W

a) Tính R và L

b) Tính hệ số công suất của mạch ứng với các giá trị C 1 , C 2.

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết ta tính được

Z =400 Ω, Z =200 Ω

a) Theo giải thiết ta có

+

Với ZL = 300 Ω, P1 = 200 W ta được

2

L C

R 100

+

Giải phương trình ta được nghiệm duy nhất R = 100 Ω

Vậy R 100 Ω, L 3(H)

π

b) Tính hệ số công suất ứng với các trường hợp của C1 và C2

1

−

1

−

Nhận xét :

Trong hai trường hợp L thay đổi và C thay đổi chúng ta thấy vai trò của L và C là bình đẳng nên hoán đổi vị trí của L

và C ta sẽ được kết quả

( ) ( )

L

C

U

U







+



Ví dụ 3: Cho mạch điện RLC có C thay đổi, điện áp hai đầu đoạn mạch là u = 200cos(100πt) V Điều chỉnh C

đế n các giá trị

4

10 (F)

π

−

hoặc

4

10 (F) 5π

−

thì i 1 và i 2 đều lệch pha với u một góc π/3 rad

a) Tính R, L

b) Viết biểu thức i 1 và i 2

Hướng dẫn giải:

a) Từ giả thiết ta tính được

Z =100 Ω, Z =50 Ω

Gọi φ1 và φ2 tương ứng là các độ lệch pha của u và i ứng với hai trường hợp của C

Do i1 và i2 đều lệch pha với u cùng một góc π/3 nên |φ1| = |φ2| = π/3 và trái dấu nhau (do u cố định)

Do

1 1

2

2

π φ

φ

3



= −



<

> → →

>



Từ đó ta được

1

2

L C

L L

π

25 3

π

3

−



b) Viết biểu thức i1 và i2 tương ứng với các giá trị của C

2

2

3

Độ lệch pha của u và i tương ứng là φ1 π φu φi φi π i1 2 6cos 100πt π A

2

2

3

Độ lệch pha của u và i tương ứng là φ1 π φu φi φi π i1 2 6cos 100πt π A

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1: Cho mạch điện RLC, C thay đổi, điện áp đầu mạch là u=120 2cos( 100πt )V , R=240 Ω, L=3,2 ( H ).

π Tìm giá trị của C để

a) I = I max, P = P max Tính I max , P max Tính U L khi đó

b) (U C ) max Tính giá trị (U C ) max

Bài 2: Cho mạch điện RLC, C thay đổi, điện áp hai đầu đoạn mạch là u = U 0 cos(100πt) V Khi thay đổi C đến các giá trị

−

= 1=10 4

−

= 1=10 4

π thì mạch có cùng công suất, nhưng i 1 và i 2 (ứng với 2 giá trị của C) đều lệch pha với nhau một góc π/3 Tính R và ω biết L=1,5 ( H ).

π

Bài 3: Cho mạch điện RLC có C thay đổi, điện áp hai đầu mạch có biểu thức là u=120 2cos( 100πt )V Khi C = C 0 thì U Cmax = 200 V Khi đó công suất tỏa nhiệt tương ứng là P = 38,4 W Tính R, L, C 0

4 Mạch RLC có ω (hoặc f) thay đổi

Bài toán tổng quát:

Cho mạch điện xoay chiều RLC trong đó tần số góc ω thay đổi được Tìm ω để

a) cường độ hiệu dụng của dòng điện đạt cực đại Tính giá trị cực đại đó

b) công suất tỏa nhiệt trên mạch đạt cực đại Tính giá trị cực đại đó

c) điện áp hiệu dụng hai đầu R, hai đầu L, hai đầu C đạt cực đại

Hướng dẫn giải:

a) Từ

2

L C

1 f

2π LC

T 2π LC



=





Vậy khi ω 1

LC

= thì cường độ hiệu dụng trong mạch đạt giá trị cực đại và giá trị cực đại là Imax U

R

=

b) Công suất tỏa nhiệt trên mạch P = I2R, ta thấy do R không đổi nên Pmax khi Imax Khi đó mạch xảy ra cộng hưởng

L C

1 f

2π LC

T 2π LC

 =



 =



Giá trị cực đại của công suất tỏa nhiệt khi đó là

2 2

max max

U

R

c) Điện áp hiệu dụng giữa các phần tử R, L, C đạt cực đại

♦ U R đạt cực đại

( )

1

LC

Khi đó( )UR max =ImaxR=U

♦ U L đạt cực đại