Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị C của hàm số.. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên học sinh : ..... Câu 6 1,0 ñiểm Tính diện tích toàn phần của hình nón và thể tíc
Trang 1
Biên soạn: ðặng Nhật Long
ðỀ CHÍNH THỨC
( ðề thi có 01 trang )
ðỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN ; Khối 12
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát ñề
ðỀ THI HỌC KÌ 1 TOÁN 12 TỈNH CẦN THƠ
Câu 1 (2,0 ñiểm) Cho hàm số 3 2
y = x − x + có ñồ thị là (C)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số
b Tìm các giá trị của tham số m ñể ñường thẳng y = mx + 2 cắt ñồ thị (C) tại ba
ñiểm phân biệt có hoành ñộ x x1, 2, x3 thỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n
x1+ + x2 x3− ( x x1 2 + x x2 3+ x x3 1) = 4
Câu 2 (1,0 ñiểm) Tìm t ọ a ñộ các ñ i ể m M trên ñồ th ị (C): 2 1
1
x y x
−
=
− , bi ế t ti ế p tuy ế n t ạ i M
có h ệ s ố góc b ằ ng -1
Câu 3 (1,0 ñiểm) Tìm giá tr ị l ớ n nh ấ t và giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a hàm s ố y ln x
x
= trên ñ o ạ n
[1; e2]
Câu 4 (1,0 ñiểm)
a Cho log 153 = a , tính log4575 theo a
b Ch ứ ng minh r ằ ng: 2 y − 2 ' y + y '' = 0 , v ớ i y = excos x
Câu 5 (1,5 ñiểm) Gi ả i các ph ươ ng trình sau trên t ậ p s ố th ự c:
a 49x2− +3x 1+ 48.7x2−3x − = 1 0
b log (23 x − + 1) log (83 − = x ) 3
Câu 6 (1,0 ñiểm) M ộ t m ặ t ph ẳ ng qua tr ụ c c ủ a hình nón và c ắ t hình nón theo thi ế t di ệ n là tam giác vuông cân có c ạ nh huy ề n b ằ ng 2a Tính di ệ n tích toàn ph ầ n c ủ a hình nón và th ể tích c ủ a kh ố i nón theo a
Câu 7 (0,5 ñiểm) Cho hình chóp ñề u S.ABC có c ạ nh ñ áy b ằ ng a, góc gi ữ a c ạ nh bên và
m ặ t ñ áy b ằ ng 300 Xác ñị nh tâm và tính bán kính c ủ a m ặ t c ầ u ngo ạ i ti ế p hình chóp S.ABC theo a
Câu 8 (1,0 ñiểm) Cho l ă ng tr ụ ABC.A’B’C’ có ñ áy là m ộ t tam giác ñề u c ạ nh b ằ ng
2a Hình chi ế u vuông góc c ủ a B lên m ặ t ph ẳ ng (A’B’C’) là trung ñ i ể m H c ủ a c ạ nh B’C’,
góc gi ữ a A’B v ớ i m ặ t ph ẳ ng (A’B’C’) b ằ ng 600 Tính th ể tích c ủ a kh ố i l ă ng tr ụ
ABC.A’B’C’ và kho ả ng cách gi ữ a hai ñườ ng th ẳ ng CC’ và A’B theo a
Câu 9 (1,0 ñiểm) Tìm m ñể ñồ th ị hàm s ố 4 2 2
y = x − m + x + m − có ba ñ i ể m c ự c tr ị sao cho có hai ñ i ể m c ự c tr ị n ằ m trên tr ụ c hoành
- HẾT -
Thí sinh KHÔNG ñược sử dụng tài liệu Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên học sinh : Số báo danh : Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2:
Trang 2ðÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu 1
(2,0 ñiểm)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số y = x3− 3 x2+ 2 1,0 ñiểm
* Tập xác ñịnh D = ℝ
' 0
2
x y
x
=
= ⇔
=
0,25
* Bảng biến thiên:
x −∞ 0 2 +∞
y’ + 0 - 0 +
y
2 +∞
−∞ -2
0,25
* Kết luận:
- Hàm số ñồng biến trên các khoảng (−∞;0) và (2;+∞); nghịch biến trên khoảng (0;2)
- Hàm số ñạt cực ñại tại x = 0, yCð = 2; ñạt cực tiểu tại x =2, yCT = - 2
0,25
* ðồ thị:
-3 -2 -1
1 2 3
x
y
0,25
Tìm m ñể ñường thẳng (d):y = mx + 2 cắt ñồ thị (C) …… 1,0 ñiểm
* Phương trình hoành ñộ giao ñiểm:
x − x + = mx +
2
0
3 0 (1)
x
x x m
=
⇔
0,25
(d) cắt (C) tại ba ñiểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt
khác 0
9
4 0
0
m
m
+ > > −
≠
Giả sử x3= 0, khi ñó: x1+ + x2 x3− ( x x1 2+ x x2 3+ x x3 1) = 4 ⇔ + − x1 x2 x x1 2 = 4
0,25
3 m 4
⇔ + =
1
m
Tìm M trên (C): 2 1
1
x y x
−
=
− biết tiếp tuyến tại M có hệ số góc bằng -1.
1,0 ñiểm
Trang 3Câu 2
(1,0 ñiểm)
1
m
m
−
≠
−
0,25
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là
1 '( )
1
k f m
m
−
−
0,25
Theo giả thiết
0 1
1
2 1
m m m
=
− = − ⇔
0,25
Câu 3
(1,0 ñiểm)
Tìm GTLN, GTNN của hàm số ln x
y x
Trên ñoạn [1; e2], ta có 1 ln2
y
x
−
2
2 2
(1) 0, ( ) , ( )
Vậy
1 min (1) 0; max ( )
e
Câu 4
(1,0 ñiểm)
log 75 log (15.5) log 5 log 75
log 45 log (15.3) 1
a a
+
3 45
15 log
2 1 3
log 75
a
a
0,25
b Chứng minh rằng: 2 y − 2 ' y + y '' = 0, với y = cos x ex 0,5 ñiểm
* y ' = − sin x ex + cos x ex = ex( sin − x + cos ) x 0,25
* y '' = ex( sin − x + cos ) x + ex( cos − x − sin ) x = − 2 exsin x
Suy ra 2 y − 2 ' y + y '' = 2 excos x − 2 ( sin ex − x + cos ) x − 2 exsin x = 0 0,25
Câu 5
(1,5 ñiểm)
49.49x − x + 48.7x − x − = 1 0(*), ñặt t = 7x2−3x ( t > 0) 0,25 Phương trình (*) trở thành
2
1 ( )
( ) 49
t t
= −
+ − = ⇔
=
0,25
49
2
x
x x
x
=
− = − ⇔
=
b log (23 x − + 1) log (83 − = x ) 3 (*) 0,75 ñiểm
ðiều kiện: 1
8
2 3
(*) ⇔ log (2 x − 1)(8 − = ⇔ − x ) 3 2 x + 17 x − 35 = 0 0,25
5 7 2
x x
=
⇔
=
(thỏa ñiều kiện)
0,25
Trang 4Câu 6
(1,0 ñiểm)
Tính diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón theo a 1,0 ñiểm
Gọi thiết diện là tam giác SAB vuông cân tại ñỉnh S của hình nón O là trung ñiểm của AB Khi ñó ta có AB = 2a
+ h = SO = a
2
Diện tích toàn phần:
TP
Câu 7
(0,5 ñiểm)
Cho hình chóp ñều S.ABC … Xác ñịnh tâm và tính bán kính mặt cầu 0,5 ñiểm
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi ñó
SG ⊥ (ABC) nên AG là hình chiếu của
AS lên (ABC) Vì vậy góc giữa SA với
(ABC) là góc giữa SA với AG hay
30
SAG =
Trong mặt phẳng (SAG), dựng ñường trung trực của SA, cắt SG tại I
Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
0,25
Bán kính mặt cầu:
2
2
SA
R SI
SG
.t an30
2
9
a
2
3 2.9.
3
R SI
a
0,25
Câu 8
(1,0 ñiểm)
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ ………… Tính thể tích của khối lăng trụ và
Vì SH ⊥ (A’B’C’) nên góc giữa
A’B với (A’B’C’) là góc giữa A’B với A’H
' 60
BA H =
A
S
I
H
G A
B
C S
Trang 5' t an60 3
BH = A H = a
M
C A
H A'
B'
C'
B
K
0,25
2
3 ' ' ' ' ' '
4
ABC A B C A B C
a
Ta có CC’ // (ABB’A’) nên d(CC’,A’B) = d(C’,(ABB’A’))
Dựng HM ⊥ A’B’ Khi ñó A’B’ ⊥ (BMH) suy ra (ABB’A’) ⊥ (BMH) Dựng HK ⊥ BM suy ra HK ⊥ (ABB’A’)
2
3 3
( , ( ' '))
13 3
9 2
a
a
d H ABB A HK
a
+
0,25
( ', ' ) ( ', ( ' ')) 2 ( , ( ' '))
13
a
d CC A B = d C ABB A = d H ABB A = 0,25
Câu 9
(1,0 ñiểm)
Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = x4− 2( m + 1) x2 + 2 m2− 2……… 1,0 ñiểm
* Tập xác ñịnh D = ℝ, y ' = 4 x3− 4( m + 1) x
2
0 ' 0
1
x y
x m
=
= ⇔
= +
0,25
* Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi m + > ⇔ > − 1 0 m 1 0,25 Gọi A (0; 2 m2− 2), ( B m + 1; m2− 2 m − 3), ( C − m + 1; m2− 2 m − 3)là
Theo giải thiết thì B và C phải thuộc Ox
3
m
m
= −
− − = ⇔
=
So với ñiều kiện thì m = 3
0,25
* Mọi cách giải khác ñúng ñều ñược ñiểm tối ña của phần ñó
* ðiểm toàn bài ñược làm tròn theo qui ñịnh
-HẾT -