LTV lan3 2015 montoan www MATHVN com

a Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị C của hàm số đó cho.. S MCD và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng SM và BD.. Hỡnh chiếu vuụng gúc của tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC lờn đường

Trường thpt lương thế vinh

Hà nội

Năm học 2014 - 2015

đề thi thử thpt quốc gia năm 2015

Môn thi: Toán Môn thi: Toán Lần thứ 3 Lần thứ 3 Lần thứ 3

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

- Ngày 16.5.2015 -

Cõu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 3 2

1

x y x

ư

=

ư

a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số đó cho

b) Tỡm cỏc giỏ trị của m để đường thẳng : d y = ư + x m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phõn biệt

Cõu 2 (1,0 điểm)

a) Cho gúc α thỏa món: 3

2

π

π α < < và tan α = 2 Tớnh sin2 sin sin 5 2

= +  +  +  ư 

b) Cho số phức z thỏa món hệ thức: 2

( i 3) z i (2 i z )

i

+ + + = ư Tỡm mụđun của số phức w = ư z i

Cõu 3 (0,5 điểm) Giải bất phương trỡnh: log (2 x ư + 2) log0,5x < 1

Cõu 4 (1,0 điểm) Giải bất phương trỡnh: x ư x ư > 2 x3ư 4 x2+ 5 x ư x3ư 3 x2+ 4

Cõu 5 (1,0 điểm) Tớnh tớch phõn: 2 ( )

0

cos 2

π

= ∫ +

Cõu 6 (1,0 điểm) Cho hỡnh chúp S ABCD cú đỏy là hỡnh thang vuụng tại A và B ; AB = BC = a ;

2

AD = a ; SA ⊥ ( ABCD ) Gúc giữa mặt phẳng ( SCD và mặt phẳng ( ) ABCD bằng ) 45 Gọi M là trung 0 điểm AD Tớnh theo a thể tớch khối chúp S MCD và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng SM và BD

Cõu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giỏc ABC cú phương trỡnh đường phõn giỏc , trong gúc A là d x : + ư = y 3 0 Hỡnh chiếu vuụng gúc của tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC lờn

đường thẳng AC là điểm E (1; 4) Đường thẳng BC cú hệ số gúc õm và tạo với đường thẳng AC gúc

0

45 Đường thẳng AB tiếp xỳc với đường trũn ( )2 2

( ) : C x + 2 + y = 5 Tỡm phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc ABC

Cõu 8 (1,0 điểm) Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 1; 1;0 ư ) và đường thẳng

:

ư Lập phương trỡnh mặt phẳng ( ) P chứa A và d Tỡm tọa độ điểm B thuộc trục Ox

sao cho khoảng cỏch từ điểm B đến mặt phẳng ( ) P bằng 3

Cõu 9 (0,5 điểm) Trong đợt xột tuyển vào lớp 6A của một trường THCS năm 2015 cú 300 học sinh đăng

ký Biết rằng trong 300 học sinh đú cú 50 học sinh đạt yờu cầu vào lớp 6A Tuy nhiờn, để đảm bảo quyền lợi mọi học sinh là như nhau, nhà trường quyết định bốc thăm ngẫu nhiờn 30 học sinh từ 300 học sinh núi trờn Tỡm xỏc suất để trong số 30 học sinh chọn ở trờn cú đỳng 90% số học sinh đạt yờu cầu vào lớp 6A

Cõu 10 (1,0 điểm) Cho cỏc số thực a b dương và thỏa món , ab ≥ 1

Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 32

T

= + ư + + + + + +

www.MATHVN.com

Trường thpt lương thế vinh

Hà nội

Năm học 2014 – 2015

đáp án – thang điểm

đề thi thử thpt quốc gia năm 2015

Môn thi: Toán – Lần thứ 3 Lần thứ 33

- Đỏp ỏn cú 06 trang -

Cõu Đ ỏp ỏn Đ iểm a) (1,0 điểm) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số 3 2 1 x y x ư = ư . Tập xỏc định: D=R\{1} lim 3; lim 3 x y x y →ư∞ = →+∞ = suy ra tiệm cận ngang y = 3 1 1 lim ; lim x x y y + ư → = +∞ → = ư∞ suy ra tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng x =1 Đạo hàm: ( )2 1 ' 0 1 1 y x x ư = < ∀ ≠ ư 0,25 Hàm số luụn nghịch biến trờn khoảng ( ư∞ ;1 ) và ( 1; +∞ ) Hàm số khụng cú cực trị 0,25 Bảng biến thiờn: x ư∞ 1 +∞

y' - -

y 3 +∞

ư∞ 3

0,25

b) (1,0 điểm) Tỡm cỏc giỏ trị của m để d y : = ư + x mcắt đồ thị ( C ) tại hai điểm phõn biệt.

Phương trỡnh tương giao: 3 2

1

x

x ư = ư +

2

0,25

ĐK: (1) cú 2 nghiệm phõn biệt khỏc 1 0

(1) 0

f

∆ >



⇔

≠

2

1

(2,0đ)

6; 2

a) (0,5 điểm) Cho tanα =2 3

2

π

π

α

2

(1,0đ)

(i 3)z i (2 i z)

i

+

www.MATHVN.com

Gọi ( 2 )

z = + a ib a b ∈ R i = − Từ giả thiết ta có:

( 3)( ) 1 2 (2 )( )

1

5

a a

+ + + − = − −

= −



+ =

⇔ + + + − = ⇔  ⇔  ⇒ = − +

+ − = =

0,25

Giải bất phương trình: log (2 x− +2) log0,5 x<1

Điều kiện: x>2

3

(0,5đ)

⇔ − < ⇔ > −

Giải bất phương trình: x − x − > 2 x3− 4 x2+ 5 x − x3− 3 x2+ 4

( x 2) | x 2 | x 1 x  1 x 2 1 

⇔ − + − + >  + − + 

• x=2 : (1) ⇔ > 0 2 2 (loại) x = 0 : (1) ⇔ − > − 2 2 (loại)

0,25

(1)⇔ −(x 2) 1+ x+ >1 x1+ x−2 +1

Chia 2 vế cho x x.( − >2) 0 ta được:

2

1

t

t

(1)

2

x x

⇔ >

−

0,25

2

⇔ − > ⇔ − + > ⇔ > <

4

(1,0đ)

• 0< <x 2 :

(1)⇔ −(x 2) 1− x+ >1 x1+ x−2 +1

Chia 2 vế cho x x.( − <2) 0 ta được:

Xét hàm

2 2

1

+ −

= − + ∈ ⇒ = − = > ∀

+ +

(1)

2

x x

⇔ <

− Trường hợp này vô nghiệm vì

1 0 2

0,25

www.MATHVN.com

Cách 2: ĐK x≥0 (mỗi dấu + ứng với ¼ điểm)

0

x= không là nghiệm Xét x>0 :

5 4

− +

⇔ − + >

− + + − +

+ Xét

( )

g x

+ −

= + + − + + − +

Nếu x≥1 thì g x( )>0

+ Nếu 0< <x 1: x+ >1 1⇒ x+ >1 1 Ta có: 1 1 1

(1) 2

⇒ x3− 4 x2+ 5 x + x3− 3 x2+ > − 4 2 x

(2) 2

x

−

+ f x ( ) > ⇔ − > ⇔ > 0 x 4 0 x 4 Kết hợp ĐK suy ra đáp số: x>4

0

cos 2

π

= ∫ +

2

cos 2

3 2

0 0

1

π

2

0

cos 2

π

2

2 2 0 0

π π

0,25

2

0

π

= −  −  = − − = −

5

(1,0đ)

I = + =A B 3 1

24 2

π −

( SCD ) và ( ABCD ) bằng 450 M là trung điểm AD Tính thể tích S MCD , d SM BD ( , )

6

(1,0đ)

www.MATHVN.com

B

A

C I

D

F

E

J

.

1 3

2

MCD

2

S MCD

6

a

0,25

Gọi N là trung điểm AB ⇒BD//(SMN)

Suy ra:

0,25

2

4

a

11

a

11

a

0,25

Tam giác ABC có phân giác trong góc A là d x: + − =y 3 0 Hình chiếu của tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC lên AC là E(1; 4) BC có hệ số góc âm và tạo với đường thẳng AC góc 450 Đường thẳng AB tiếp xúc với ( )2 2

( ) : C x + 2 + y = 5 Tìm phương trình các cạnh

Gọi F là điểm đối xứng với E qua d ⇒F ( 1; 2) − Nhận xét: ( ) C có tâm I ( 2;0), − bán kính R= 5

và F ∈ ( ) C

Từ đó AB qua F và vuông góc với IF nên có phương trình AB x : + 2 y − = 3 0

0,25 (3;0)

AB ∩ = d A ⇒ AC: 2x+ − =y 6 0

Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC Đường thẳng ∆ qua

1 10

3 3

0,25

7

(1,0đ)

Gọi vtpt của đường thẳng BC là n  = ( ; ), a b a2+ b2 ≠ 0 Ta có:

0

| 2 | cos 45

5.

+

=

+

• a=0 : suy ra b = 0 (loại)

• a≠0 : chọn a=1⇒b=3 (thỏa mãn hệ số góc âm),

1

3

b = − (loại)

Suy ra phương trình BC x: +3y+ =C 0

0,25

A

D

S

M

N P H

www.MATHVN.com

Do J là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC nên d J AC ( , ) = d J BC ( , )

Suy ra

29 10 2

3

C C

3

(loại vì khi

3

Đáp số: AB x: +2y− =3 0; AC: 2x+ − =y 6 0; 29 10 2

3

0,25

(1; 1;0)

:

− Lập ( )P chứa A và d Tìm B ∈ Ox d B Ox : ( , ) = 3

Đường thẳng d qua M ( − 1;1;0 ) và có vtcp u= (2;1; 3) − Ta có MA= (2; 2;0) −

( ) P qua A ( 1; 1;0 − ) và có vtpt n=MA u , =(6;6;6 ) Chọn n=(1;1;1) 0,25 Phương trình tổng quát của ( )P là: 1(x− +1) 1(y+ +1) 1(z− = ⇔ + + =0) 0 x y z 0 0,25

3

b

8

(1,0đ)

| | 3b b 3 B( 3;0;0)

Có 300 học sinh đăng ký Có 50 học sinh đạt yêu cầu vào lớp 6A Bốc thăm ngẫu nhiên 30 học sinh từ

300 học sinh nói trên Tìm xác suất để có đúng 90% số học sinh đạt yêu cầu

Gọi A là biến cố: “Chọn được 90% học sinh đạt yêu cầu”

Chọn ngẫu nhiên 30 học sinh từ 300 học sinh có C30030 cách chọn

Chọn được 90% học sinh đạt yêu cầu, tức là chọn được 27 em Chọn 27 học sinh từ 50 học sinh có C5027

cách

Chọn nốt 3 em từ 250 em còn lại có C2503 cách

0,25

9

(0,5đ)

Số cách chọn học sinh đạt yêu cầu là: C5027.C2503

Xác suất của biến cố A là P A( )= 5027 2503 21

30 300

.

1, 6.10

C

−

T

10

(1,0đ)

1 0

2

+

1 a + 1 b ≥ ab 3

+ + +

0,25

www.MATHVN.com

Ta có: ( 2 2 ) ( ) ( )

a + + a b + = b a + − + + + ≥ b a b ab − + ab + ≥ ab + Suy ra: 2 (1 a + + a ) 2 (1 b + + ≥ b ) 8 4 ab + 12

2 (1a a) 2 (1b b) 8 4 ab 12 2 (1a a) 2 (1b b) 8 2 ab 3 ab 3

T

0,25

f t

M = t + −t t+ t+ > +t t + −t t+ >

Suy ra f t'( )> ∀ ≥0 t 1 ⇒ f t( ) đồng biến ∀ ≥t 1

0,25

Từ đó:

t

Cách 2: Có thể dồn biến về u = + ≥a b 2 ab ≥2 như sau:

1 a +1 b ≥1 a 1 b = u 2

a + +a b + = + +b a b a +b ≥ + +a b a b ≥ + + = +a b u

2 (1 ) 2 (1 ) 8 2 12

2 (1 ) 2 (1 ) 8 2 12

+ + + + ≥ + ⇒ ≤

+ + + + +

( ), 2.

Kết luận:

u

≥ = = − ⇔ = ⇔ = =

- Hết -

www.MATHVN.com