Tổng hợp công thức toán

Bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp Pp Nita chu vi mạch, Độ dài đường trung tuyến, đường cao kẻ tir A 1 Hệ thức lượng trong mọi tam giác... “Trọng tâm: là giao điểm của ba đường

Trang 2

Với a>0 ta có Dbae| re x<-a

2) TINH CHAT CUA HAI Ti SO BANG NHAU

a+

Néu fas >

ad =be,

3) HANG DANG THUC DANG NHO

(a+b) =a’ +2ab +b? a@ -b =(a-b)(a+b)

(a~b)° =a? ~2ab +bỲ

(4+b)` =a` +34°b +3ab? + b` a +b =(a+b\(a? ab +b?)

(a—b)` =a`—3a°b +3ab? — b` đ`~b`=(a=b)(4 +ab+b°)

Các hằng đằng thức mo rong

(a+b)` =a* +4a`b +6a°b? +4ab` +b`

(a+b)` =a`=4a`b+6a°b) =4ab +b`

(atb+c) =a +b? +c? +2ab+2be + 2ea

a’ -1=(a-I(a"' +a"? + 441)

a" —b" =(a—bya" +a" + 4.ab"? +5")

4) CAN BAC HAI

Trang 3

5) TAM THUC BAC HAI

1) Nghiém cia phurong trinh bic hai ax? +bx+¢=0 (a #0)

Đặt A=b` =4ác

«Nếu A <0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu A=0 thí phương trình có nghiệm kép x =- a

3) Dấu của nghiệm

Phương trình bậc hai: øx? +bx +e =0 (a #0) có hai nghiệm phân biệt:

4) Dấu của tam thức bậc hai /(x)=øx)+bx+e (ø#0)

Trang 4

ƒ@)<0,VWx © {isp /#@)<0,VWx © s

5) So sánh nghiệm của phương trình bậc hai

Cho tam thức bậc hai øx” +bx + =0 (a #0) và hai số ơ <

+ Nếu D, 0 hoặc D, #0 thì hệ vô nghiệm

+Nếu D, =0 thì hệ có vô số nghiệm

Trang 6

(ab, + 4;b,)° <(a +a2)(b} +2)

Diu “= xayra = &

bb,

Mở rông: Cho hai bộ số thực (ø,„ø, đ,) và (b,.b,, b,), mỗi bộ gồm ø số

(a, +a,b, + +4,),) <(aj +a; + +a2)(bp +b) + +?)

3) Bat ding thire Trébusep (Chebyshev)

Cho hai day a, >a, > 24, va b, >b, > > 5, thì

n(a,b, + a,b, + +.4,b,) = (a, +4, + +.4, 0b, +B, +.)

Trang 7

9) CAP SO CONG - CAP SO NHAN

(u,) la esc, cong said (u,) la esn, cong boi g

= Cla" + Cla b+ Cha BE + Cab CIB"

12) GIOI HAN CUA HAM SO

Cho f(x) va g(x) là hai hàm số có giới hạn khi x — x„ Khi đó

lim [,/(x) g(x)]= lim f(x) + lim g(x)

sm x ss Iim[/(x)g(9]= lim /(+).lim g(x)

Trang 8

Cho hàm số y= /(x) xác định trên khoảng (ø;b) Hàm số ƒ được gọi là liên tục tại

điểm xạ e(a;b) nếu lim = lim = ƒ(x,) nh lang

Hàm số / được gọi là liên tục trên khoảng (a;ð) nếu nó liên tục tại mọi

khoảng đó

Trang 9

sin nor = 2sin(n —l)at.cosa —sin(n —2)or

cosna = 2cos(n—lar.cosa ~ cos(n—2)ar

Trang 10

«Công thức cộng

sin(x + y) =sinx.cos y-+cosx.sin y

sin(x— y)=sinx.cos y—cosx.sin y

sinx.siny = looses ~y)~eos(x+ J)]

cosx.cosy= Hleoscx ~y)+eos(x + y)]

sinx.cosy = 5 n(x = y) +sin(x + y)]

cosx.siny = : sin(y= y)+sin(x + y)]

tanx.tan y= Janet tay

cot y— cot x

xiy x=

cosx-+c0s y= 2cos~ ~~ cost oxty 2 X 2

cosx—cos y =-2sin> =" sin 7%

sin(x+

soty+eoty=ŠDŒE+2) sinx.sin y

sin(y— x wie wre SHÓ —3), sinxsiny

Beos{ »-£)

- Poo x42) 4 I-sinx = asin

Trang 11

«_ Các cung liên kết: Đối - Bù - Phụ - Hơn kém Z; a

sin(-x)=~sinx (x

Trang 12

Nếu te <1 f@)</@) OP Wx, e (4;6) thì f(x) đồng biển trên (4;) ề

Nếu th hệ: /@)>/0) Vx,.x, €(a;b) thi f(x) nghich biến trên (ø;ð) 7?” `

+ Dinh ly

Cho ham s6 y= f(x) c6 dao ham trén (a:b)

Néu f'(x)>0 Vxe(a;b) thi f(x) đồng biến trên (z;b)

Néu f(x) <0 Vxe(a;b) thi f(x) nghịch biến trên (4;5)

2) Cực trị

Cho ham sé y= f(x) c6 dao ham cap I va cap I tai x =x,

Hàm số đạtcục tỉ taix; © | / 90 ° SX) doidau khixdiquax, (ay

4) Vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

3¡=|Z@)

Trang 13

Là phần đồ thị của (C): ”= /(x) nằm bên phải Oy

Là phần đồ thị ở phân | lay déi ximg qua Oy

Bồ sung lý thuyết

Phân giác góc phần tư thứ I, HI là y =x Phân giác góc phần tư thứ H, IV là

y=—x Phương trình trục Øy :y=0, phương trình true Oy:x=0

Cho hai duing thing d,: y=k,x+, va d,: y=k,x+b,

dị L4, © kị&,=—I

Góc tạo bởi hai đường thẳng d, va d,

Cho đường thẳng d;ay + +c=0 Hai điểm A(x,:y,) và 8@,:y,)

Nam vé hai phia true Ox - y„J„<0

Nam về hai phía true Oy ° XyXy <0

Trang 14

Đối xứng nhau qua d

Đối xứng nhau qua phân giác I, III

Đối xứng nhau qua phân giác II, IV

Đối xứng nhau qua điểm M

(ax,+by, +e)(ax, +by, +e)>0

Trang 15

13) DAO HAM

¢ Dinh nghia dao ham

Cho hàm số y = f(x) xác định trén khoang (a, b), x, €(a,b) Cho xo mét s6 gia

Av Đặt Ay=f(x,+Ar)- f(y) Nếu tổn tại giới hạn

Ge) đi giới hạn này được gọi là đạo hàm của hồm

Trang 16

14) NGUYEN HAM

Cho ham y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) Ta gọi F(x) là một nguyên hàm của

f{x) trên khoảng (a, b) nêu #”'(x)= /(x)_Vx e(4,5)

Kỹ hiệu: | ƒ()dk = Ƒ(+)+C (C là hằng số)

« Tinh chat

Ji dae =k] fade J/otg@lae= J senact [g@)4

Trang 17

log, x" =nlog, x log, += log, x n hue = chee

jog, b= — log,a joe, b=ipg, clog log, b= 108-4

Trang 18

Cho hai số phức z, =a, + bị va z,=4, +byi

2, +2) =(a,+a,)+(b, +b,)i lái =đ;) +(bị —b,)Ï

(aa, + bby) + (ayb, -—ab,)i

Trang 19

Cho hai s6 phite z,= (cosa, +isina,) va z,=r,(cosa,, +isina,)

22, = 475 [c05(cr, +04) +isin(cz, +04] ŠL= 2 [cos(œ, —ø,) + isin(ø, =ø,)]

5 h

° O=o+k2n (ke2) 4-1 feos(-9) +isin(-9)] ar

Céng thite Moa-vro [r(cosœ+isinơ)]'=r"(eosuơ+isinnơ) ne Z*

Căn bậc n của số phức 4z-W/(s»# PIO es T5) với k " "

Các công thức khác

z+

Mở rộng: Căn bậc hai của số phức

Cho số phức z=ø+öi Nêu có số phức œ sao cho z=ø” thì œ được gọi là căn

Nếu ø>0, các căn bậc hai của Zlà a

Nếu ø<0, các căn bậc hai của Zlà a

Trang 20

1) CONG THUC TRONG TAM GIAC

Kí hiệu

a,b,c: DO dai cae canh BC,CA,AB

RF? Bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp

Pp Nita chu vi

mạch, Độ dài đường trung tuyến, đường cao kẻ tir A

1) Hệ thức lượng trong mọi tam giác

Trang 21

“Trọng tâm: là giao điểm của ba đường trung tuyến trong tam giác

Trực tâm: là giao điểm của ba đường cao trong tam giác

“Tâm đường tròn nội tiếp: là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác

‘Tam đường tròn ngoại tiếp: là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác Nếu tam giác vuông thì tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền

Trang 22

Tổng, hiệu hai vecto 4+ = (a, 4b; a, £b,)

Nhân với số thực k ka = (kay; Äa,)

Hai vecto bing nhau az =| 4

@ cing phurong 5 BkeR sao cho a=kb <> ab, =a,b,

Tích vô hướng hai vecto ab = [al i}.cos(a,b) = a4 +b,

Góc giữa hai vecto cos(đ,) = ab

lela

3 !Ủng đụng

Hai vecto vuông góc alBeaB=0

A,B, C thing hang AB cing phuong AC <> AB=kAC

3) Tọa độ của điểm

Cho hai điểm 4(x,;y,) và 8(x„;y;)

Trang 23

4)

Trung điểm I của AB

Tọa độ trong tâm AABC of Set gi 1c]

M chia AB theo tỉ số k MÁ=kMB a ake Jay

Phương trình đường thing

Định nghĩa

'Veeto n(ø;b) ø 0 có giá vuông góc với đường thằng A là vecto pháp tuyến của A

Vecto ø(ø;b) # Ö có giá song song với đường thắng A là vecto chỉ phương của A

Phương trình tông quát đường thẳng A đi qua điểm M(x,:y„) và có VTPT n(a;b)

Aza(x—x,)+b(y—y)=0 Phương trình tổng quát đường thắng

Vị trí tương đối của hai đường thăng,

Cho hai dudng thing A,:a,x+b,y +c, =0 và A, :axthy+e,

Toa dé giao diém ciia A, va A, là nghiệm của hệ phương trình

Trang 24

<> hệcó nghiệm duy nhất

<= hệcó vô nghiệm , Ở ẹ> hệcó vô số nghiệm Đặc biệt: Nếu a,, b,, c, đều khác 0, ta có

ẹ Cho hai diém A/(xẤ:yẤ) M(xy:y,) và đường thẳng A: ax+by+e=0

Hai điểm M, N nằm cùng phắa đối với A khi

(axu +, +Ạ)(aXy + byy +e) >0

Hai điểm M, N nằm khác phắa đối với A khi

(ary, +byy, +c)(ary +byy +6) <0

ẹ Cho hai duéng thing có phương trình

ẹ Phuong trình đường tròn tâm /(x,:y,), bán kắnh #: (x~x,)+(y= yẤ) =

ẹ Phuong trình tông quát của đường tròn: xỢ + yỲ +2ụx+2by+e=0 (4ồ +b? >e)

có tâm /(-a;Ởb), ban kinh #=x[aồ +đồỞe

ẹ Duong thing A là tiếp tuyến của đường tròn tâm I, bán kắnh R: đ(;A)=#

Trang 25

= tl He

Trang 26

M(x;y) la diém bat ki trén hypebol:

„ [MH, x>0, tạ có ME

Phuong trinh parabol: y?=2px (p>0)

"Tọa độ tiêu điểm F: (8 9)

«_ Phương trình tiếp tuyến với parabol tại điểm AZ(x,:y„) e (P) là:

(A): YoY = PA+%)

Duong thing (A): Ax + 8y+€ =0 là tiếp tuyến của parabol (P) œ #”p=24C

Trang 27

3) HINH HQC KHONG GIAN

1) Các định nghĩa

Giao tuyến: Hai mat phẳng cắt nhau theo một đường thẳng thì đường thẳng đó

được gọi là giao tuyên của hai mặt phẳng

Hình chóp đều là hình chóp có đáy đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau

2) Chứng minh ba đường thing a,b,c đồng quy

Tim ba mat phẳng (P), (Ó), (R) sao cho

a=(')a(Ø).b=(Ø)(R), e=(R)(P)

3) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc ø.L 6

+ (Định nghĩa 1r97): Nếu một đường thằng vuông góc với một mặt phẳng thì

nó sẽ vuông góc với mọi đường thăng nằm trong mặt phẳng đó

1 Tim mat phing (P) sao cho bc(P) =alb

a1(P)

« _ Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thằng song song thi

vuông góc với đường thăng còn lại Le

Tim đường thẳng e sao cho | “7° => z.Lb bile

song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại

alla’

Tìm hai đường thăng a' và ð* sao cho 4 b//b' => a.Lb

ab

Đường thắng nào vuông góc với /P) thì cũng vuông góc với ứ Ð)

Tìm mặt phẳng (P) sao cho thị Œ)

«(Định lý 3— 0r100): Cho đường thẳng a

đường thằng ở nằm trong (P) Khi đỏ, điều kiện cần và đủ để » vuông góc với a

là b vuông góc với hình chiếu của ø` của ø trên (7)

Tìm hình chiếu z' của ø xuống (P), nếu a'.Lb = a.Lb

ø góc với mặt phẳng /P) và

4) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng # L(P)

«(Định 1ý 1 tr97): Nêu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau

a và b cùng nằm trong mặt phăng (7) thì đường thẳng đ vuông góc (P)

Trang 28

Tim hai duong thang ac(P) va b =(P) sao cho frig =d1(P)

«_ (Tính chất 3 - tr 98): Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thăng

song song thì cũng vuông góc với đường thăng còn lại

Tìm đường thing d’ sao cho kh {in te adler)

song song thì cũng vuông góc với mặt phăng còn lại

(P)/KQ)

Tim mat phiing (Q) sao cho fie =41(P)

* (Định lý 3 — tr 106): Nếu hai mặt phẳng (P) và (O) vuông góc nhau thì bất cứ

đường thing d nào nằm trong (2), vuông góc với giao tuyên của (P) và (Q) đều

vuông góc với mặt phẳng /P)

dc(Q)

Tim mat phang (Q) sao cho }(Q)L(P) =đ.LŒ)

410)a(0)

* (Hệ quả 2 — tr 107): Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt

phăng thức ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba

(a) LP)

Tìm hai mặt phẳng (ø) và (8) sao cho }(B)L(P) = d L(P)

d=(œ)¬(8)

5) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc (P) L (Ó)

một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau

Tìm đường thing d sao chi ìm đường thang d sao cho {cor ») LO) P) LQ}

6) Khái niệm góc

«_ Góc giữa hai đường thẳng d, va d, là góc giữa hai đường thẳng d," va d,"

cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với d, và đ,

+ _ Cho đường thẳng ¿ không vuông góc (7), góc giữa đường thẳng ¿' và mặt

phẳng (P) là góc giữa đường thăng d va hình chiếu ¿" của ở trên (P)

Chú ý: Khi hai mặt phẳng /P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyén d, dé tính góc

giữa chúng, ta chỉ việc xét mặt phăng /R) vuông góc với d, lần lượt cắt /?) và

(Q) theo các giao tuyến p và g Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa p và

Trang 29

4) PHUONG PHAP TQA DO TRONG KHONG GIAN

1) Hệ tọa độ trong không gian

3) Vectơ trong không gian

«Tính chất

Trang 30

Cho @=(a,3a,;4,) va b= (b3b,3b,)

Độ dài vecto

“Tổng hiệu hai vecto

Nhân một số với một vecto

Hai vectơ bằng nhau

4) Tọa độ của điểm

« Tính chấ

Cho A(x,;y,;Z,) và B(,;y„:Z,)

Toa dé vecto AB=(x,- X39 5-

Độ dài đoạn thẳng 4= {aB| =

atb=(a,th:a, ka= (kay; ka,

Trang 31

M là trung điểm của đoạn thẳng AB M[X Xu hs)

Xp tXptXe Yat Vet Vo 24 tip t

G là trọng tam ciia tam gite ABC: G

Điểm M chia AB theo tis6k <> MA=kMB => M[

5) Phương trình mặt cầu

Dang 1: PTMC (S) có tâm I(a; b; c) va bán kính R:

Œ~@)°+(@~B)°+(z—e)° = RẺ Dạng 2: Phương trinh x? +y? +2? +2ax-+2hy +2cz +d =0 la PTMC tim

I(-a;~b;-c), ban kinh R=Va +h +0 —d (voi a +h? +02 -d >0) 6) Phương trình mặt phẳng

PTMP đi qua điểm A⁄,(x,:7:z,) có VTPT ñ=(4;8;C) là:

A(x=x,)+ B(y~ yạ)+C( —z,)=0

Trang 32

C: Ne(0)=>4, ke.o) =A xin) 0) = Aang)

Nếu đ//(P) Khoảng cách giữa ở và (P) được tính theo một trong hai cách

CŨ: Lay Med = dyn) =duyp,

C2: Lay NE(P)> dy = Ayia)

Trang 33

(P)song song (Q) > _—_n, cling phurong 1, Ắ [m tạ ] =6

Vi tri tương đối của đường thăng và mặt phẳng

x =3, +ất

Cho đường thẳng đ: 4 y= y„ + bí và mặt phẳng (P): 4x+ By+Cz+ÐD=0

Z=Z,+et Xét phuong trinh A(x, + af) + BQy +B/)+CŒ, +e)=0 (7 lẫn) — Œ)

Nếu (*) vô nghiệm 2 d/(P)

d khong cit (S) 2 duy>R

Vi tri tương đối của hai mặt cầu

Định dạng
Số trang	35
Dung lượng	2,29 MB