Đáp án toán cao học (ĐHBK TPHCM)

Nghiệm của phương trình y=x3+Ce−x3.. Thay vào phương trình 2, ñồng nhất, ta ñược A=1... Không thể kết luận ñược.. Không thể kết luận ñược.. Phương trình vi phân ñã cho là phương trình vi

Trang 1

ð áp án ñề thi 2000

Câu 1 a/ y'+3x y2 =3x2+3x5 Nghiệm tổng quát y=e−∫pdx(∫q x e( )⋅ ∫pdx dx C+ )

Nghiệm của phương trình y=x3+Ce−x3

b/ Phương trình ñặc trưng: k2+3k+ = ⇔ = − ∨2 0 k1 1 k2 = −2

Nghiệm của phương trình thuần nhất: y0 =C e1 −x +C e2 −2x

Tìm nghiệm riêng: f x( )=(2x+ +3) ( )6e x = f x1( )+ f x2( ),

r r r

y = y +y

Tìm

1

r

y là nghiệm riêng của phương trình y''+3y'+2y=2x+3 (1)

1

r

y =x e Ax+B =x e Ax+B , s=0 vì α =0 không là nghiệm của phương trình ñặc trưng Thay vào phương trình (1), ñồng nhất, ta ñược A=1,B=0

Tìm

2

r

y là nghiệm riêng của phương trình y''+3y'+2y=6e x (2)

2

0

r

y =x e A= Ax e , s=0 vì α =1 không là nghiệm của phương trình ñặc trưng

Thay vào phương trình (2), ñồng nhất, ta ñược A=1

x

r

y = +x e Nghiệm tổng quát của phương trình ban ñầu: y tq =y0+y r =C e1 −x+C e2 −2x+ +x e x

Câu 2 a/

1 1

1

1 3

n

+ +

+

n n

n

+

=  +  = <

a

∞

∑ hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alembert

b/ ðặt ( )2

X = +x ≥ Xét chuỗi

1

4

n n n

n

X n

∞

=

+

∑  + 

Bán kính hội tụ: R 1

ρ

2

n n

→∞

Xét tại X =2 Có chuỗi số:

1

n

n n

∞

=

+

∑  + 

n n

n

→∞

+

Vậy chuỗi phân kỳ theo ñịnh lý ñiều kiện cần

Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi ñã cho: ( )2 2

x+ < ⇔x + x+ < ⇔ − − < < − +x

0

C

b/ C là nửa trên ñường tròn x2+y2 =x

( xsin ) ( xcos 1)

+

0

8

D

Câu 4 Chia miền D bởi ñường thẳng y=x làm hai miền D và 1 D (2 D là phần ứng với y1 ≥x)

I =∫∫ x−y dxdy= ∫∫ x−y dxdy+ ∫∫ x−y dxdy= ∫∫ y−x dxdy+ ∫∫ x−y dxdy

Trang 2

( ) ( )

Câu 5a 1/ ðiểm dừng:

x y





 , có 2 ñiểm dừng P1(0, 0);P2(0, 2 / 3)

ðạo hàm riêng cấp hai: z xx'' =12x2−4y; z''xy = −4 ;x z''yy = −2 6y

Xét tại ñiểm dừng P1(0, 0) :A=z''xx( )P1 =0,B=z''xy( )P1 =0,C=z''yy( )P1 =2⇒∆ =0

Không thể kết luận ñược Dùng ñịnh nghĩa ñể khảo sát

∆

Xét dãy ñiểm ( ) 1

x y

n

→+∞

=  = >

Xét dãy ñiểm ( ' ' )

2

1 1

x y

n n

→+∞

=  = − <

Trong mọi lân cận của (0,0), ñều tồn tại những ñiểm mà ∆z>0 và những ñiểm mà ∆z<0 Suy ra hàm không có cực trị tại P1(0, 0)

2

0

A

∆ = − >



<

Hàm ñạt cực ñại tại P , 2 z cd =z(0, 2 / 3)=4 / 27

Câu 5b a/ Ta có 0 sin 1 | |

| |

x

≤ ≤ Sử dụng ñịnh lý kẹp ñể tính giới hạn, ta có:

1

| |

x

Hàm liên tục tại x=0, nếu

0

lim ( ) (0)

x f x f

→ = ⇔ =a 0

5

x

2

x

10

x

Vậy

2

( )

cos 2

o x

+

Câu 1 a/ y' 2y x e2 x

x

− = Nghiệm tổng quát y=e−∫pdx(∫q x e( )⋅ ∫pdx dx C+ )

Nghiệm của phương trình 2( x )

b/ Phương trình ñặc trưng: k2−4k+ = ⇔ = ∨3 0 k1 1 k2 =3

Nghiệm của phương trình thuần nhất: y0 =C e1 x+C e2 3x

Tìm nghiệm riêng: y r =x e s 2x(Ax+B), s = 0 vì α =2 không là nghiệm của PTðT

r

y = Ax+B e Thay vào phương trình ñã cho, ñồng nhất hai vế, ta ñược: A= −4,B=0

Trang 3

Nghiệm tổng quát của phương trình ban ñầu: y tq =y0+y r =C e1 x +C e2 3x−4xe2x

Câu 2 a/ 1 4.7.10 (3 1)(3 4) 2.6.10 (4 2) 3 4

2.6.10 (4 2)(4 2) 4.7.10 (3 1) 4 2

n

+

a

∞

b/ ðặt X = +x 1 Xét chuỗi

n n n

X

∞

=

∑

⋅ + Bán kính hội tụ:

1

R

ρ

2

n n

→∞

1

∞

=

∑

+ , chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh

Xét tại X = −2 Có chuỗi số:

1

( 1)

n

∞

=

−

∑

+ , chuỗi hội tụ tuyệt ñối

Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi ñã cho: 2− ≤ + ≤ ⇔ − ≤ ≤x 1 2 3 x 1

Câu 3 1/ ðổi biến: cos 0 2

⇒

r

I = ∫πdϕ∫e rdr= π∫dr=π e−

2/

2 4

0

x

∆

4

x

−

Câu 4 a/

I

0

2

x

x I

→

b/

x y





 , có 2 ñiểm dừng P1(0, 0);P2(0, 2 / 3)

ðạo hàm riêng cấp hai: z xx'' =12x2−4y; z''xy = −4 ;x z''yy = −2 6y

Xét tại ñiểm dừng P1(0, 0) :A=z''xx( )P1 =0,B=z''xy( )P1 =0,C=z''yy( )P1 =2⇒∆ =0

Không thể kết luận ñược Dùng ñịnh nghĩa ñể khảo sát

∆

Xét dãy ñiểm ( ) 1

n n

x y

n

→+∞

n n

=  = >

Xét dãy ñiểm ( ' ' )

2

1 1

n n

x y

n n

→+∞

n n

=  = − <

Trong mọi lân cận của (0,0), ñều tồn tại những ñiểm mà ∆z>0 và những ñiểm mà ∆z<0 Suy ra hàm không có cực trị tại P1(0, 0)

2

0

A

∆ = − >



<

Hàm ñạt cực ñại tại P , 2 z cd =z(0, 2 / 3)=4 / 27

Trang 4

Câu 5b 1/ Miền xác ñịnh R y liên tục trên [ ]0,3

'

2 1/ 3

4( 1)

0

x

y

−

− ⇔ =x 1 Không tồn tại ñạo hàm khi x=2 và x=0

Có một ñiểm dừng x=1 và một ñiểm tới hạn x=2 trong khoảng (0,3)

3

Kết luận: Giá trị lớn nhất là 39 tại x=3; giá trị nhỏ nhất là 0 tại x= ∨ =0 x 2

Câu 1 1/ P x y( , )= +1 e y x +xe y x ⇒P y' = +e x xe x,Q x y( , )=xe x+2⇒Q x' = +e x xe x

' '

x y

⇒ = Phương trình vi phân ñã cho là phương trình vi phân toàn phần

Nghiệm của phương trình: ( , )u x y =C

0

Kết luận: nghiệm của phương trình xye x +2y+ =x C

2/ Phương trình ñặc trưng: k2−5k+ = ⇔ = ∨6 0 k1 2 k2 =3

Nghiệm của phương trình thuần nhất: y0 =C e1 2x+C e2 3x

Tìm nghiệm riêng: y r =x e0 0x( cos 2A x+Bsin 2 )x vì α β+i =2i không là nghiệm của PTðT nên s=0 Thay vào phương trình ñã cho, ñồng nhất hai vế, ta ñược: 5 , 25

Nghiệm tổng quát của phương trình ban ñầu: 0 1 2 2 3 5 cos 2 25sin 2

Câu 2 1/

1

(2 2)! 5 ( 2)! (2 1)(2 2)

n n

+

2 1 (2 2)

n

+

a

∞

2/ ðặt X = −x 5 Xét chuỗi

1 1

0

( 1) 2 ( 1) ln( 1)

n n n

n

X

+ +

∞

=

−

∑

+ + Bán kính hội tụ:

1

R

ρ

= , với

n

ρ

→∞

= = ⇒R=1/ 2

Xét tại X =1/ 2 Có chuỗi số:

1

0

( 1) 2 ( 1) ln( 1)

n

+

∞

=

−

∑

+ + , chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz

Xét tại X = −1/ 2 Có chuỗi số:

1

( 1) ln( 1) ( 1) ln( 1)

+

Chuỗi

0

2 ( 1) ln( 1)

∞

=

∑

+ + phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh với chuỗi

2

1

ln

∞

α β

∑ hội tụ trong hai trường hợp: α >1 hoặc 1

1

α =





β >

Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi ñã cho: 1/ 2 5 1/ 2 9 11

− < − ≤ ⇔ − < ≤

Câu 3 1/ ðổi biến: cos 0 2

⇒

Trang 5

Khi ñó 2 / 3 2 / 3 2 ( )

3 1

2

π

2/ ðặt u x y( , )=x2−y2 ðiều kiện: ( ) ( )' ' ( ( ) )' ( ( ) )'

2xh x( xy ) h x(3 y ) 2yh.( x y y ) h( x 3y )

2

− ∫

2

1

2 2

4

4 5

( ) 6

x

o x

4

( )

5

6

o x K

' '

x y





= − + + =

ðạo hàm riêng cấp hai: f xx'' =2, f xy'' = −2, f yy'' =4

Xét tại ñiểm dừng

2

0

A

∆ = − = >



>

Hàm ñạt cực tiểu tại P , 1 f ct = f(1, 0)=3

2/

1 2

Xét I 1

1

1/ 3

( )

x

f x

x

→ +

−

Xét I 2

3

1/ 3

( )

2 2 3

x

f x

x

→ −

−

Vậy tích phân ñã cho hội tụ

Câu 5b 1/ Miền xác ñịnh R y liên tục trên [ ]−1,1

'

x

+

( )= − ; (− = −) ; (− / )= −

Kết luận: Giá trị lớn nhất là 2

2

− tại x=1; giá trị nhỏ nhất là − 5 tại x= −1/ 2

Trang 6

2/ Ta cĩ tích phân

0

x

+∞

∫ phân kỳ Dùng qui tắc Lơpital ta được

0

2

x

t

e dt

I

∫

ð áp án đề thi 2003

Câu 1 1/ y' 1 y xsinx

x

y π = π ⇔ π = π −C π ⇔ =C ⇒ Nghiệm của phương trình y=x(1 cos− x)

2/ Phương trình đặc trưng: k2−7k+ = ⇔ = ∨6 0 k1 1 k2 =6

Tìm nghiệm riêng: y r =x e s 0x(Ax2+Bx C+ ), s = 0 vì α =0 khơng là nghiệm của PTðT

2

r

y = Ax +Bx C+ Thay vào phương trình đã cho, đồng nhất hai vế, ta được: A=1,B= −1,C= −1

Nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu: y tq =y0+y r =C e1 x +C e2 6x +x2− −x 1

8

n

a

n n

a

∞

⇒ ∑ hội tụ theo Cơsi

3

0

( 1)

n n

X

∞ +

=

−

∑

⋅ + + Bán kính hội tụ:

1

R

ρ

3

n n

ρ

→∞

Xét tại X =3 Cĩ chuỗi số:

3 4 2 0

( 1)

n

∞

=

−

∑

⋅ + + , chuỗi hội tụ tuyệt đối

Xét tại X = −3 Cĩ chuỗi số:

3 4 2 0

1

∞

=

∑

⋅ + + , chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh

Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi đã cho: 3− ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤x 2 3 1 x 5

Câu 3 1/ ðổi biến: cos 0 / 4

⇒

6 cos 2

6 cos

2

16 cos 2

r

ϕ ϕ

0

2/ Vì tích phân trên đường trịn x2+y2 =1, nên ta cĩ thể thay e−(x2+y2)=e−1 Ta cĩ

1

x y

e

+ ≤

1

+ ≤

π

= ∫∫ = ⋅ hình tròn=

x y

Chú ý: 1/ Nếu để nguyên tích phân mà sử dụng cơng thức Green thì việc tính tốn rất khĩ khăn

2/ Cĩ thể viết phương trình tham số của C: cos , 1 0, 2 2

sin

=





=

2 cos cos (1 4 sin )( sin ) 2 cos 4 sin sin

Trang 7

Câu 4 1/ z'x =3x2−2y2;z'y = −4xy+9y2;z''xx =6 ;x z''xy = −4 ;y z''yy = − +4x 18y

2/ Miền xác ñịnh: x≤ − 3∨ ≥x 3 Vậy không có tiệm cận ñứng

Có hai tiệm cận ngang: y=1 và y=3

x y





 , có 2 ñiểm dừng P1(0, 0);P2(1,1)

ðạo hàm riêng cấp hai: z xx'' =20x3; z''xy = −5;z''yy =20y3

Xét tại ñiểm dừng P1(0, 0) :A=z''xx( )P1 =0,B=z''xy( )P1 = −5,C =z''yy( )P1 =0⇒∆ = AC−B2= − <25 0 Vậy hàm không ñạt cực trị tại P 1

2

0

A

∆ = − >



>

 Hàm ñạt cực tiểu tại P 2

x

e

f x

= > Vì tích phân

1

dx x

+∞

∫ phân kỳ nên tích phân

1

x

e dx x

+∞

∫ phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh 1

Lopital, /

x

dt

J

x

∞ ∞

∫

Câu 5b 1/ Miền xác ñịnh R y liên tục trên [−1/ 3, 2]

y = x − x e − = ⇔ = ∨ =x 0 x 1

Kết luận: Giá trị lớn nhất là e4 tại x=2; giá trị nhỏ nhất là e−1 tại x=1

2/

ln(1 )

/ 2 ( )

x

x o x

I

− +

/ 2 ( )

2

x o x

− +

Câu 1 1/ Chia hai vế cho xdx : dy 1 y 3 sinx x y' 1 y 3 sinx x

Nghiệm tổng quát y=e−∫pdx(∫q x e( )⋅ ∫pdx dx C+ )

2/ Phương trình ñặc trưng: k2−4k+ = ⇔ = ±5 0 k1 2 i

0 x 1cos 2sin

Tìm nghiệm riêng: y r =x e s 0x( sinA x+Bcos )x , s = 0 vì α β+i =i không là nghiệm của PTðT

Trang 8

0 0

( sin cos )

x

r

y =x e A x+B x Thay vào phương trình ñã cho, ñồng nhất hai vế, ta ñược: A= −1,B=3

Câu 2 1a/

2 2

1 2 /

n n

n

+

n n

u v

∞

⇒ ∑ hội tụ theo Côsi

2/ ðặt X =x2 ≥0 Xét chuỗi

1 0

( 1)

4 (3 1)

n n

X n

−

∞

=

−

∑

− Bán kính hội tụ:

1

R

ρ

4

n n

ρ

→∞

1

0

( 1)

n

n n

−

∞

=

−

∑

− , chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz

Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi ñã cho: x2 ≤ ⇔ − ≤ ≤4 2 x 2

Câu 3 1/ Hàm xác ñịnh với mọi x>1

'

y

Xét g x( )=2x4−3x2+2⇒g x'( )=8x3−6x=x x(8 2− > ∀ >6) 0, x 1

Hàm ( )g x ñồng biến,∀ >x 1 Suy ra ( )g x >g(1) 1= '

0

⇒ = > Vậy hàm ñã cho ñồng biến với ∀ >x 1 Tiệm cận ñứng không có, vì xét x>1

2 2

2

a

−

1

2

, nhân liên hiệp của tử

Có một tiệm cận xiên:

2

x

2/

0, 0 0 0 ; xx 0, 0 1

Câu 4 1/ ðổi biến: cos / 3 / 2

⇒

4 cos / 2 / 3 0

ϕ π

3π −

2/ ðiều kiện:

' '

y x

1

2

Tích phân không phụ thuộc ñường ñi Tuy nhiên không thể tính theo cung AO và OB, vì ( , )P x y và ( , ) Q x y

không xác ñịnh tại gốc toạ ñộ

C AC CB

I = ∫ = ∫ + ∫ , với 2,1

2

 

4

π

Chú ý: Có thể tính tích phân bằng cách viết phương trình tham số của cung C, sử dụng toạ ñộ cực mở rộng

Trang 9

ðổi biển 2 2

cos 1

sin

2 / 2

x

y



=







cos

2 sin 2

=







=





π

/ 2

0

/ 2

0

2 2

'

y x x

y x y

−





ðạo hàm riêng cấp hai: z xx'' = −2e y x− 2(1 6− x−2y−2x2+4x3+4x y2 );

z = e − x+ x + xy− z = −e − + x+ y

Xét tại điểm dừng

2 1/ 2

0

A

−

<

Hàm cĩ cực đại tại P 1

2

( )

1

x

f x

x

x x

→+∞

=

+ Tích phân hội tụ vì α = >2 1 Tính

2 2

xdx I

+∞

= ∫

+ ðặt

2

ln

1

t

+∞

= ∫ − = ∫  − − +  = + =

Câu 5b 1/ Miền xác định R y liên tục trên [−1, 3]

2 2

0

'

,





=



 không tồn tại,

x x

x

' = ⇔ = ∨ = ∨ =

Chú ý: cĩ một điểm dừng x=2 và một điểm tới hạn x=0 thuộc khoảng (−1 3, )

Kết luận: Giá trị lớn nhất là 25e tại x= −1; giá trị nhỏ nhất là 16 tại x=0

x

2

o x

2

1 cos

4

x

−

Trang 10

2 2 2 2

3

I

Câu 1 1/ a/ y' 1 y 3xe x

x

b/,Q x' =3y2=P y' Phương trình vi phân ñã cho là phương trình vi phân toàn phần

Nghiệm của phương trình: ( , )u x y =C,

0

u x y =x +xy + x Kết luận: Nghiệm của phương trình: x3+xy3+2x2 =C

2/ Phương trình ñặc trưng: k2−4k+ = ⇔ = ∨3 0 k1 1 k2 =3

Tìm nghiệm riêng: y r =x e A s x =x e A1 x , s = 1 vì α =1 là nghiệm ñơn của PTðT

Thay vào phương trình ñã cho, ñồng nhất hai vế, ta ñược: A= −3

Nghiệm tổng quát của phương trình ban ñầu: y tq =y0+y r =C e1 x +C e2 3x−3xe x

Câu 2 1a/

3

n

n n n

n

−

=  −   = <

1 n

a

∞

1b/

n

+

a

∞

∑ phân kỳ theo tiêu chuẩn D’Alembert

n

X n

∞

=

∑

+ Bán kính hội tụ:

1

R

ρ

n

ρ

→∞

= = ⇒R=1

0

1

∞

=

∑

+ , chuỗi phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh

Xét tại X = −1 Có chuỗi số:

0

( 1)

n

∞

=

−

∑

+ , chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz

Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi ñã cho: 1− ≤ − < ⇔ ≤ <x 3 1 2 x 4

Câu 3 1/ Miền xác ñịnh R

2 '

2

3

0

−

( vì xét x>0)

x 0 2/3 +∞

'

y - 0 +

y

Hàm ñạt cực tiểu tại x=2 / 3, giá trị cực ñại

34 (2 / 3)

3

Trang 11

Tiệm cận ñứng không có

a

→+∞ →+∞

−

3

1

3

x

Có một tiệm cận xiên: y= −x 1/ 3

Câu 4 1/ ðổi biến: cos / 4 3 / 4

ϕ

⇒

3 / 4 3

2 / 3 0

9

= ∫ ∫ − ⋅ = 9 / 2π

2e xy 2xye xy eαxsiny 2e xy 2xye xy aeαxsiny

2

Green

+ ≤

Vì P y' =Q'x, nên ta có:

2 2

2 cos / 2

/ 2 0 2

ϕ π

−

4

π

'

2

'

2

3 0 9 0

x

y

x

y







, có 1 ñiểm dừng P1(1, 3)

ðạo hàm riêng cấp hai: '' '' ''

Xét tại ñiểm dừng

2

0

A

∆ = − = >



>

 Hàm có cực tiểu tại P 1 2/

2

+∞

hội tụ của hai tích phân I và I2 là như nhau Xét tích phân hàm không âm

2

3

x

= ∫

( )

x

f x

→+∞

−

+ + Tích phân hội tụ vì α = >2 1

Tính

2 2 1

3

x

= ∫

2

3

1

+

Qui ñồng, ñồng nhất hai vế (hoặc dùng khai triển Heaviside): A= −3,B=1,C=2,D=2

3ln | | ln | 1| ln( 1) 2 arctan

Trang 12

( 2 )

3

1

| 1 ( 1) |

x

+∞

ln 4 2

π

= −

Câu 5b 1/ Miền xác ñịnh R y liên tục trên [−1/ 2,3]

2 '

2 / 3 2

0 2

y

x x

Có một ñiểm dừng x=4 / 3 và một ñiểm tới hạn x=0, vì không tồn tại ñạo hàm tại x=0

3

(0) 0; (4 / 3) ; (3) 9; ( 1/ 2)

Kết luận: Giá trị lớn nhất là 234

3 tại x=4 / 3; giá trị nhỏ nhất là −39 tại x=3

0

1

lim ln(1 4 ) x ln

x

x e x

8

−

Câu 1 1/ a/ Nghiệm tổng quát y=e−∫pdx(∫q x e( )⋅ ∫pdx dx C+ )

4

b/ P y' =e y =Q x' Phương trình vi phân ñã cho là phương trình vi phân toàn phần

Nghiệm của phương trình: ( , )u x y =C

0

y

Kết luận: Nghiệm của phtrình: xe y −cosx+siny=C1

2/ Phương trình ñặc trưng: k2−4k+ = ⇔ =4 0 k1 k2=2

Nghiệm của phương trình thuần nhất: y0 =C e1 2x+C xe2 2x

Tìm nghiệm riêng: f x( )=8e2x,α =2,P x n( ) bậc 0

r

y x e A Ax e

⇒ = = vì α =2 là nghiệm kép của PTðT, nên s = 2

Thay vào phương trình ñã cho, ñồng nhất hai vế, ta ñược: A=4

Nghiệm tổng quát của phương trình ban ñầu: y tq =y0+y r =C e1 2x+C xe2 2x +4x e2 2x

Câu 2 1a/

3 ( 2) ( 2) 2

3

2

n

n n n

n

− +

− + +

−

+

1 n

v

∞

1b/ 1 1.3.5 (2 1)(2 1)3 2 2.4.6 (2 ) 11 6 3

2.4.6 (2 )(2 2) 1.3.5 (2 1)3 2 2

n n

+ +

+

n

+

v

∞

∑ phân kỳ theo tiêu chuẩn D’Alembert

1

2 3 0

( 1) 3

n n n n

n

X n

+

∞ +

=

−

∑

+ Bán kính hội tụ:

1

R

ρ

4

n n

ρ

→∞

3

R

⇒ =

Trang 13

Xét tại 4

3

X = Có chuỗi số:

3 0

( 1) 3

n

∞

=

−

∑

+ Hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz

3

X = − Có chuỗi số:

3 0

3

∞

=

∑

+ Phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh

Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi ñã cho: 4 1 4 1 7

− < − ≤ ⇔ − < ≤

Câu 3 1/ Miền xác ñịnh x≠0 y' 42 1 22 0 x 2

=  + = ⇔ = −

x −∞ 2− 0 +∞

'

y + 0 - +

y

Hàm ñạt cực ñại tại x= −2, giá trị cực ñại y= − =f( 2) 4

2 2

lim lim

y

x

2 2

y

x

2/ z x' =6xy e3 x y2 3;z'y =9x y e2 2 x y2 3;z xy'' =18xy e2 x y2 3 +18x y e3 5 x y2 3

dz = edx+ edy ; z xy'' (1,1)=36e

Câu 4 1/ ðổi biến: cos / 4 / 3

ϕ ϕ

≤ ≤



=

Vậy

/ 3 33

2

r

π

π ϕ

2 3

2/ ðiều kiện:

y x

3 cos 3x y 3 sin 3y y mxcos 3y mysin 3y m 3

x

∆

OAB

∆

'

x y





 , có 3 ñiểm dừng P1(0, 0),P2(1,1),P3( 1, 1)− − ðạo hàm riêng cấp hai: z xx'' =4,z xy'' = −4,z''yy =12y2

Xét từng ñiểm dừng

P A=z P = B=z P = − C=z P = ⇒∆ = AC−B = − < Không có cực trị tại P 1

Tại P2(1,1)

2

32 0

0

A

∆ = − = >



>

Hàm ñạt cực tiểu tại P 2

Tương tự hoàn toàn, hàm ñạt cực tiểu tại P3( 1, 1)− −

2/ Chú ý: phải tách ra làm 2 tích phân:

1

1 2

+∞

Vì I là tích phân xác ñịnh thông thường nên tính chất hội tụ của I và của 1 I tương ñương nhau 2

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	302,99 KB