giải các bài tập dao động, bài thi môn dao động, cao học kỹ thuật cơ khí. giải các bài tập dao động, bài thi môn dao động, cao học kỹ thuật cơ khígiải các bài tập dao động, bài thi môn dao động, cao học kỹ thuật cơ khígiải các bài tập dao động, bài thi môn dao động, cao học kỹ thuật cơ khígiải các bài tập dao động, bài thi môn dao động, cao học kỹ thuật cơ khígiải các bài tập dao động, bài thi môn dao động, cao học kỹ thuật cơ khí
Trang 1Bài 1: k1 3 , k k2 k3 k m , 1 3 , m m2 m3 m
1 Lập phương trỡnh vi phõn chuyển động
+ Nhận xột: Đõy là hệ dao động ba bậc tự do bỏ qua cản
+ Chọn tọa độ suy rộng: q1 x q1, 2 x q2, 3 x3 là cỏc
chuyển vị tớnh từ vị trớ cõn bằng tĩnh
+ Áp dụng phương trỡnh Lagrange loại II để thiết lập phương
trỡnh chuyển động cho cơ hệ:
0; 1, 2,3
j
+ Tớnh động năng của hệ:
T m x m x m x
+ Tớnh thế năng của hệ:
2
+ Hàm Lagrange:L T
Thay k1 3 , k k2 k3 k m , 1 3 , m m2 m3 m
ta cú:
L mx mx mx kx k x x k x x
Với j 1, q1 x q1, 1 x 1, ta cú:
1
mx kx kx L
kx k x x
q
+ Với j 2, q2 x q2, 2 x 2, ta cú:
2
mx kx kx kx L
k x x k x x
q
+ Với j 3, q3 x q3, 3 x 3, ta cú:
3 2
3
0
mx kx kx L
k x x
q
+ Phương trỡnh chuyển động của hệ:
0
mx kx kx
mx kx kx kx
mx kx kx
hay
Bài 2
1 Lập hệ phơng trình vi phân chuyển động:
Chọn các toạ độ suy rộng: q1 = φ1 và q2 = φ2
Động năng của hệ là:
1 1 2 2
T J J
Thế năng :
Hàm tiêu tán:
phơng trình Lagrăng:
0
Với L = T – П=
2 J 2 J 2 k 2 k 2 k
Ta đợc:
1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1
2 2 2 2 1 3 2 2 2 1 3 2
1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2
2 2 2 1 2 3 2 2 1 2 3 2
Vi
ết đới dạng ma trận ta có:
J
J
2 Tìm tần số riêng và dạng riêng:
cỏc tần số riờng ω1 và ω2 là nghiệm của phơng trình đặc trng:
det [ [ K ] − ω2[ M ] ] = 0
2
2
0
Thay k1= 100Nm/rad, J1= 0.5kgm2 ; c1 = c2 = 30Nms, c3 = 2.5c1
k2= 2k1; k3=1.5k2 và J1=J2=J giải ra ta được:
1 2
16.11 / 28.91 /
rad s rad s
* Tỡm dạng riờng
Từ phương trỡnh [ [ K ] − ω 2 j [ M ] ] ¿ { A 1j ¿ } ¿ {}= { 0 } ¿
- Dạng riờng thứ nhất:
2 2
21
0
A
Thay 1 = 16.11, k1= 100Nm/rad, J1= 0.5kgm2 ta cú dạng riờng thứ nhất 1 1 1
1
os 16.11 0.85
Tương tự thay = 28.91 rad/s ta cú dạng riờng thứ hai
φ1 k1
c1
k2 c2
k3 c3
Trang 2 2 2 2
1
os 28.91 0.59
Bài 3
m2
c1 k1
x2 F2(t)
F1(t)
1 Xây dựng phương trình vi phân chuyển động
Đây là hệ dao động cưỡng bức có cản 2 bậc tự do Chọn tọa độ
suy rộng: q1 x q1, 2 x2 là các dịch chuyển của m
1, m2 tính từ
vị trí cân bằng tĩnh Áp dụng phương trình Lagrange loại II để
thiết lập phương trình chuyển động cho cơ hệ:
a j
Q j
+ Động năng của hệ:
T m x m x
+ Thế năng của hệ: 2 2
2k x 2k x x
+ Hàm hao tán:
R c x c x x
+ Hàm Lagrange:
L T m x m x k x k x x
+ Với j 1, q1 x q1, 1 x 1, ta có:
1
1
L
q
q
+ Với j 2, q2 x q2, 2 x 2
, ta có:
2
1
L
q
R
q
+ Phương trình chuyển động của hệ:
2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2
( )
+ Viết dưới dạng ma trận:
( ) 0
Hay M x C x K x F
Với
2
0 0
m M
m
C
K
2
( ) ( )
F t F
F t
2 Tìm tần số riêng
2
2
0
0 0
Thay số m1 = 8kg; m2 = 2kg ; k1 = 2000N/m ; k2 = 1000N/m
Ta có
(3000 8 )(1000 2 ) 10 0
2
2
695, 2( / ) 26,36( / ) 179,8( / ) 13, 4( / )
3 Tìm dạng riêng
Các dạng riêng có dạng
2
1
j
v
Trong đó A j; j
thỏa mãn phương trình
2 2
2
2
1
j
j j
j
v
v
k
Thay số vào ta có Với
2
1 179,8( rad s / ) v21 1,56
2
2 695, 2( rad s / ) v22 2,56
Ta có các dạng riêng
1
1,56
x C c t
1
2,56
x C c t
1; 2; ;1 2
C C được xác định từ điều kiện đầu
Ma trận dạng riêng:
v
Bài 4
x1
k3 k2
k1
x2
1 Xây dựng phương trình vi phân chuyển động
Đây là hệ dao động tự do có cản 2 bậc tự do Chọn tọa độ suy rộng: q1 x q1, 2 x2 là các dịch chuyển của
m1, m2 tính từ vị trí cân bằng tĩnh Áp dụng phương trình
Trang 3Lagrange loại II để thiết lập phương trình chuyển động cho cơ
hệ:
; 1, 2
a j
+ Động năng của hệ:
1 1 2 2
T m x m x
+ Thế năng của hệ: 1 12 2 2 12 3 22
+ Hàm hao tán:
R c x c x x c x
+ Hàm Lagrange:
L T m x m x k x k x x k x
+ Với j 1, q1 x q1, 1 x 1, ta có:
1
1
q
R
q
+ Với j 2, q2 x q2, 2 x 2, ta có:
2
1
L
q
q
+ Phương trình chuyển động của hệ:
1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2
2 2 2 1 2 3 2 2 1 2 3 2
+ Viết dưới dạng ma trận:
1
m
Hay M x C x K x F
Với
2
0 0
m
M
m
C
K
2 Tìm tần số riêng
2
2
0
0 0
Thay số m1 = m2 = 1kg ; k1 = k2 = k3 = k= 100N/m
Ta có
(200 )(200 ) 10 0 400 3.10 0
2
2
3 Tìm dạng riêng
Các dạng riêng có dạng
2
1
j
v
Trong đó A j; j
thỏa mãn phương trình
2 2
2
2
1
j
j j
j
v
v
k
Thay số vào ta có Với
2
2
Ta có các dạng riêng
1
0,5
x C c t
1
0,5
x C c t
1; ; ;2 1 2
C C được xác định từ điều kiện đầu
Ma trận dạng riêng:
v
Bài 5:
1) Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động + Nhận xét: Đây là hệ xoắn hai bậc tự do bỏ qua cản + Chọn tọa độ suy rộng: q1 1, q2 2 là các chuyển vị góc tính từ vị trí cân bằng tĩnh
+ Áp dụng phương trình Lagrange loại II để thiết lập phương trình chuyển động cho cơ hệ:
0; 1, 2
j
+ Tính động năng của hệ:
T J J
+ Tính thế năng của hệ: 2 2
+ Hàm Lagrange:
L T J J k k
+ Với j 1, q1 1, q 1 1, ta có:
1 1 1 12 1 2 2
1 1 2 2 1 1
L
q
+ Với j 2, q2 2, q 2 2
, ta có:
Trang 42 2 2 2
2 2 2 1 2 2
2
0
L
k
q
+ Phương trình chuyển động của hệ:
1 1 1 2 1 2 2
2 2 2 1 2 2
0
+ Viết dưới dạng ma trận:
(1.9) 2) Tìm các tần số riêng
+ Dùng phương pháp giải phương trình tần số:
0
1. 2 ( 1 2 2 1 2 2) 2 0