Bài giảng toán cao cấp 4

Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4Bài giảng toán cao cấp 4

KHOA TOÁN

——————— ? ———————

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP 4

Trần Văn Bằng

Hà Nội, 15-10-2013

Mục lục

Chương 1 Tích phân phụ thuộc tham số 5

1.1 Tích phân xác định phụ thuộc tham số 5

1.1.1 Khái niệm 5

1.1.2 Tính liên tục, khả vi và tính khả tích 6

1.2 Tích phân xác định phụ thuộc tham số với cận tích phân thay đổi 9

1.2.1 Khái niệm 9

1.2.2 Tính liên tục, khả vi và tính khả tích 10

1.3 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 11

1.3.1 Sự hội tụ đều của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 12

1.3.2 Tính liên tục, tính khả vi và tính khả tích 16

1.3.3 Một số hàm đặc biệt 19

Chương 2 Tích phân đường 21

2.1 Đường cong và biểu diễn tham số của đường cong 21

2.1.1 Khái niệm đường cong trong R3 21

1

2.1.2 Khái niệm đường cong trong Rn 24

2.2 Tích phân đường loại I 26

2.2.1 Tích phân đường loại I trên đường cong trong R3 26

2.2.2 Điều kiện khả tích và cách tính 27

2.2.3 Tính chất 29

2.2.4 Ứng dụng của tích phân đường loại I 30

2.2.5 Tích phân đường loại I trên đường cong trong Rn 31

2.3 Tích phân đường loại II 31

2.3.1 Định hướng đường cong 31

2.3.2 Tích phân đường loại II trên đường cong trong R3 33

2.3.3 Điều kiện khả tích và cách tính 34

2.3.4 Tính chất 36

2.3.5 Tích phân đường loại II trên đường cong trong Rn 37

Chương 3 Tích phân mặt 39

3.1 Mặt cong và biểu diễn tham số của mặt cong 39

3.1.1 Khái niệm mặt cong trong R3 39

3.1.2 Khái niệm mặt cong trong Rn 44

3.2 Tích phân mặt loại I 46

3.2.1 Tích phân mặt loại I trên mặt cong trong R3 46

3.2.2 Điều kiện khả tích và cách tính 47

3.2.3 Tính chất 49

3.2.4 Ứng dụng của tích phân mặt loại I 50

3.2.5 Tích phân mặt loại I trên mặt cong trong Rn 50

MỤC LỤC 3

3.3 Tích phân mặt loại II 51

3.3.1 Mặt cong một phía và mặt cong hai phía 51

3.3.2 Định hướng mặt cong 53

3.3.3 Khái niệm tích phân mặt loại II 55

3.3.4 Tính chất 57

3.3.5 Ý nghĩa Vật lý của tích phân mặt loại II 58

3.3.6 Tích phân mặt loại II trong Rn 59

3.4 Liên hệ giữa tích phân đường, tích phân mặt và tích phân bội 59 3.4.1 Công thức Green 59

3.4.2 Công thức Stokes 63

3.4.3 Công thức Ostrogradski 65

3.5 Đại cương về lý thuyết trường 66

3.5.1 Trường vô hướng 66

3.5.2 Trường véc tơ 68

3.5.3 Các toán tử vi phân tác động trên trường 69

3.5.4 Bài tập 72

Chương 1

Tích phân phụ thuộc tham

số

Chương này nhằm giới thiệu cho người học về một cách cho hàm

số mới, có thể không phải là hàm sơ cấp, đó là hàm số cho dưới dạngmột tích phân phụ thuộc tham số Đồng thời trình bày một số kếtquả là các điều kiện đủ về tính liên tục, tính khả vi, tính khả tích củachúng

1.1 Tích phân xác định phụ thuộc tham số

1.1.1 Khái niệm

Cho Y ⊂ R Giả sử f (x, y) là một hàm số xác định trên [a, b] × Ysao cho với mỗi y ∈ Y cố định, hàm f (x, y) khả tích theo biến x trên

5

Nhận xét 1.1 Trên đây là một tích phân phụ thuộc tham số, trong

đó chúng ta tính được một cách tường minh tích phân theo x Nóicách khác, chúng ta biểu diễn được I(y) thông qua các hàm sơ cấp cơbản nhờ một số hữu hạn phép toán sơ cấp trên các hàm Từ dạng cụthể đó, chúng có thể dễ dàng khảo sát tính liên tục, khả vi và khả tíchcủa I(y) Tuy nhiên, nói chung thì chúng ta không phải lúc nào cũngthực hiện được như vậy Khi đó muốn khảo sát các tính chất liên tục,khả vi, khả tích của I(y) thì làm thế nào? Dưới đây chúng ta sẽ bàn

Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 2 7

xác định bởi (1.1) là hàm liên tục trên [c, d]

Chứng minh Xem [4], Định lý 14.VIII, trang 41

Ví dụ 1.2 Xét tính liên tục của tích phân phụ thuộc tham số sautrên đoạn [−1, 2]

Áp dụng tính giới hạn limy→0I(y) =?

Ta thấy hàm f (x, y) = sin(x2y3) liên tục trên hình chữ nhật [1, 2] ×[−1, 2] nên I(y) liên tục trên [−1, 2] Từ đây ta có

Chứng minh Xem [4], Định lý 15.VIII, trang 42

Ví dụ 1.3 Xét tính khả vi của tích phân phụ thuộc tham số chotrong Ví dụ 1.2 Nêu công thức tính đạo hàm (nếu khả vi)

Dễ dàng kiểm tra được rằng, hàm f (x, y) = sin(x2y3) xác địnhtrên hình chữ nhật [1, 2] × [−1, 2], liên tục theo x ∈ [1, 2] với mỗi

Chứng minh Xem [4], Định lý 16.VIII, trang 44

Ví dụ 1.4 Cho 0 < a < b tính tích phân sau đây:

Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 2 9

1.2 Tích phân xác định phụ thuộc tham số với cận

tích phân thay đổi

1.2.1 Khái niệm

Cho D := [a, b] × [c, d] và hai đường cong C1, C2 nằm trong hìnhchữ nhật D, có phương trình tướng ứng:

x = a(y), x = b(y), y ∈ [c, d]

Giả sử f (x, y) là một hàm số xác định trên D, khả tích theo biến

x trên đoạn [a, b] với mỗi y ∈ [c, d] cố định Đặt

Cũng như mục trước, chúng ta cần khảo sát tính liên tục, tính khả

vi và tính khả tích của hàm số I(y) xác định bởi (1.2)

1.2.2 Tính liên tục, khả vi và tính khả tích

Định lý 1.4 (Tính liên tục) Nếu hàm f (x, y) xác định và liên tụctrong hình chữ nhật D, các hàm a(y), b(y) liên tục trên đoạn [c, d] thìtích phân phụ thuộc tham số I(y) xác định bởi (1.2) là hàm liên tụctrên [c, d]

Chứng minh Xem [4], Định lý 17.VIII, trang 47

Ví dụ 1.5 Xét tính liên tục của tích phân phụ thuộc tham số sautrên đoạn [−1, 2]

Áp dụng tính giới hạn limy→2I(y) =?

Ta thấy hàm f (x, y) = sin(x2y) liên tục trên hình chữ nhật [1, 2] ×[−1, 2], các hàm a(y) = y, b(y) = y2 liên tục trên [−1, 2] nên I(y) liêntục trên [−1, 2] Từ đây ta có

∂y liên tục trong hình chữ nhật[a, b] × [c, d]; các hàm a(y), b(y) khả vi trên [c, d] thì tích phân phụthuộc tham số I(y) xác định bởi (1.2) là hàm khả vi trên [c, d] Hơn

Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 2 11

0(y)f (b(y), y) − a0(y)f (a(y), y), y ∈ [c, d]

Chứng minh Xem [4], Định lý 18.VIII, trang 49

Ví dụ 1.6 Xét tính khả vi của tích phân phụ thuộc tham số chotrong Ví dụ 1.5 Nêu công thức tính đạo hàm (nếu khả vi)

Dễ dàng kiểm tra được rằng, hàm f (x, y) = sin(x2y) xác định trênhình chữ nhật [1, 2]×[−1, 2], liên tục theo x ∈ [1, 2] với mỗi y ∈ [−1, 2]

x2cos(x2y)dx + 2y sin y5 − sin y3, y ∈ [−1, 2]

1.3 Tích phân suy rộng với cận vô hạn phụ thuộc

Chúng ta biết rằng, khái niệm tích phân chính là "tổng liên tục"nên sau đây ta sẽ thấy rằng tổng liên tục này cũng có nhiều tính chấtgiống như tổng rời rạc vô hạn, đó là tổng chuỗi hàm Để có điều kiện

đủ cho tính liên tục, tính khả vi, tính khả tích của tổng chuỗi hàm,chúng ta cần tới tính hội tụ đều, vì thế để có các tính chất đó của tíchphân phụ thuộc tham số, chúng ta cũng cần tới sự hội tụ đều

1.3.1 Sự hội tụ đều của tích phân suy rộng phụ thuộc tham

=

< ε

Nếu hằng số A0 có thể chọn chỉ phụ thuộc vào ε thì sự hội tụ củatích phân (1.3) là đều với mọi y ∈ Y Cụ thể ta có định nghĩa sau:Định nghĩa 1.1 Ta nói tích phân suy rộng

Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 2 13

hội tụ đều trên Y nếu với mọi ε > 0, tồn tại A0 = A0(ε) > a sao chovới mọi A > A0, với mọi y ∈ Y ta có