các định lý cơ bản về đạo hàm1.. Điểm x0 tại đó hàm fx đạt cực đại cực tiểu gọi là điểm cực trị.. Định lý Fecma: Nếu hàm fx đạt cực trị địa... Các định lý về giá trị trung bình:3.
Trang 1các định lý cơ bản về đạo hàm
1 Cực trị địa phương:
điểm cực đại (cực tiểu) địa phương của y = f(x) trên (a,b) nếu tồn tại δ>0 sao cho: f(x)≤f(x0) ∀ ∈
(a,b) mà | x – x0 | < δ.( f(x)≥ f(x0) ∀ ∈ (a,b) mà |
x - x0 | < δ) Điểm x0 tại đó hàm f(x) đạt cực đại (cực tiểu) gọi là điểm cực trị
2 Định lý (Fecma): Nếu hàm f(x) đạt cực trị địa
Trang 2Chứng minh
Hàm số f(x) đạt cực đại trên tại x0∈ (a,b) => ∀ x ∈ (a,b) ta có f(x) ≤ f(x0)
* Với a < x < x0 ta có
* Với x0 < x < b ta có
0
0 => khi x x 0 , f'(x ) lim 0
+
0
0
0 => khi x x 0 , f'(x ) lim 0 f'(x ) 0.
Trang 33 Định lý (Rôn)
Giả sử hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) và
= 0
Chứng minh: Vì f(x) liên tục trên [a,b] nên theo định lý
Vâyơxtrat f(x) đạt giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất
m trên đoạn [a,b]
Nếu m=M thì f(x)= m = M ∀ x ∈ [a,b], do đó f(x) = 0 ∀ x ∈
(a,b) Khi đó lấy c là bất kỳ điểm x ∈ (a,b).
Nếu m<M thì f(a) # m hoặc f(a) # M giả sử f(a) = f(b) # m
Theo đl Vâyơxtrat tồn tại ít nhất 1 điểm c ∈ [a,b] sao cho f(c)
Trang 44 Định lý Lagrăng
Giả sử hàm f(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên
sao cho để f’(b)-f(a) = f’(x0)(b – a)
Chứng minh: áp dụng định lý Rôn f(x) đạt giá trị lớn nhất
M và giá trị nhỏ nhất m trên đoạn [a,b]
Nếu m=M thì f(x)= m = M ∀ x ∈ [a,b], do đó f(x) = 0 ∀ x ∈
(a,b) Khi đó lấy c là bất kỳ điểm x ∈ (a,b).
Nếu m<M thì f(a) # m hoặc f(a) # M giả sử f(a) = f(b) # m
Theo đl Vâyơxtrat tồn tại ít nhất 1 điểm c ∈ [a,b] sao cho f(c)
= 0 vì c # a và c # b nên c ∈ (a,b), theo đl Phecma f’(c) = 0
Trang 5Chứng minh:
f(x) đạt giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m trên đoạn [a,b]
0 ∀ x∈ (a,b) Khi đó lấy c là bất kỳ điểm x ∈(a,b)
Nếu m<M thì f(a) # m hoặc f(a) # M giả sử f(a) = f(b) # m Theo đl Vâyơxtrat tồn tại ít nhất 1 điểm
(a,b), theo đl Phecma f’(c) = 0
Trang 6Các định lý về giá trị trung bình:
3 Định lý (Rôn): Giả sử hàm f(x) liên tục trên
[a,b], khả vi trên (a,b) và f(a)=f(b) Khi đó tồn
[a,b], khả vi trên (a,b) và f(a)=f(b) Khi đó tồn
f(b) - f(a) = f’(c)(b - a)
Trang 7 §Þnh lý (C«si): Cho hµm f(x) vµ g(x) liªn tôc
) ('
)
(' )
( )
(
) ( )
(
c g
c
f a
g b
g
a f
b
f
=
−
−
Trang 8Quy tắc Lôpitan.
• Định lý : Cho hàm f(x) và g(x) liên tục
trên (a,b)\{ x0}, x0 ∈ [a,b] và g’(x) ≠ 0 ∀ ∈
(a,b) \{ x0} Giả sử rằng:
hoặc
Khi đó nếu giới hạn hữu hạn hoặc vô hạn
thì
0 0
0 )
( lim )
(
lim
x x
x
g x
x
x
f
→
=
→
=
0 0
) ( lim )
(
lim
x x
x
g x
x
x
f
→
∞
=
→
=
0
) ( '
) ( '
x x
A x
g
x
f Lim
→
=
0
) (
) (
x x
A x
g
x
f Lim
→
=