CHUYÊN ĐỀ ÔN LUYỆN VẬT LÝ 12: DAO ĐỘNG CƠ HỌC

Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều: Xét một chất điểm M chuyển động tròn đều trên một đường b Ngược lại, một dao động điều hoà bất kì, có thể coi như hình chiếu

CHUYÊN ĐỀ GIẢNG DẠY VẬT LÝ 12

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG CƠ HỌC

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

I ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG

1 Dao động: Là những chuyển động qua lại quanh một vị trí cân bằng (Vị trí cân bằng là

vị trí tự nhiên của vật khi chưa dao động, ở đó hợp các lực tác dụng lên vật bằng 0)

2 Dao động tuần hoàn: Là dao động mà trạng thái chuyển động của vật lặp lại như cũ sau những khoảng thời gian bằng nhau (Trạng thái chuyển động bao gồm tọa độ, vận tốc v gia tốc…

cả về hướng và độ lớn)

3 Dao động điều hòa: là dao động được mô tả theo định luật hình sin (hoặc cosin) theo thời gian, phương trình có dạng: x = Acos(t + ) Trong đó:

x: là li độ (độ lệch của vật so với vị trí cân bằng)

A: Biên độ dao động, là li độ cực đại, luôn là hằng số dương

: Tần số góc (đo bằng rad/s), luôn là hằng số dương

(t + ): Pha dao động (đo bằng rad), cho phép ta xác định trạng thái dao động của vật tại thời điểm t; : Pha ban đầu, là hằng số dương hoặc âm phụ thuộc vào cách ta chọn mốc thời gian (t = t0)

* Tần số ƒ (đo bằng héc: Hz) là số chu kì (hay số dao động) vật thực hiện trong một đơn

5 Vận tốc và gia tốc trong dao động điều hòa: Xét một vật dao động điều hoà có phương trình: x = Acos(t +)

a Vận tốc: v = x’ = -Asin(t +)  v = Acos(t +  +

2 )  vmax = A, khi vật qua VTCB

b Gia tốc: a = v’ = x’’ = -2Acos(t + ) = - 2x  a = -2x =2Acos(t+ +)

 amax = A2, khi vật ở vị trí biên

* Cho amax và vmax Tìm chu kì T, tần số ƒ , biên độ A

a v

c Hợp lực F tác dụng lên vật dao động điều hòa, còn gọi là lực hồi phục hay lực kéo về là lực gây ra dao động điều hòa, có biểu thức: F = ma = -m2x = m.2Acos(t +  + ) lực này cũng biến thiên điều hòa với tần số ƒ , có chiều luôn hướng về vị trí cân bằng, trái dấu (-), tỷ lệ (2) và ngược pha với li độ x (như gia tốc a)

Ta nhận thấy:

* Vận tốc và gia tốc cũng biến thiên điều hoà cùng tần số với li độ

* Vận tốc sớm pha /2 so với li độ, gia tốc ngược pha với li độ

* Gia tốc a = - 2x tỷ lệ và trái dấu với li độ (hệ số tỉ lệ là -2) và luôn hướng về vị trí cân bằng

6 Đồ thị của dao động điều hòa :

- Giả sử vật dao động điều hòa có phương trình là:

x = Acos(ωt + φ)

- Để đơn giản, ta chọn φ = 0, ta được: x = Acosωt

Suy ra: v = x ' = - Aωsinωt = Aωcos(ωt + π/2)

Đồ thị của dao động điều hòa là một đường hình sin

▪ Đồ thị cũng cho thấy sau mỗi chu kì dao động thì tọa độ x, vận tốc v và gia tốc a lập lại giá trị cũ

 CHÚ Ý:

 Đồ thị của v theo x: → Đồ thị có dạng elip (E)

 Đồ thị của a theo x: → Đồ thị có dạng là đoạn thẳng

 Đồ thị của a theo v: → Đồ thị có dạng elip (E)

7 Công thức độc lập với thời gian

a) Giữa tọa độ và vận tốc (v sớm pha hơn x góc π/2)

1A

vA

x

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

xA

|v

|

xAv

vxA

vAx

b) Giữa gia tốc và vận tốc:

1A

av

2 4 2 2

2

2 v aA

  a

2

= ω4A2 - ω2v2

8 Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều:

Xét một chất điểm M chuyển động tròn đều trên một đường

b) Ngược lại, một dao động điều hoà bất kì, có thể coi như hình chiếu của một chuyển động tròn đều xuống một đường thẳng nằm trong mặt phẳng quỹ đạo, đường

tròn bán kính bằng biên độ A, tốc độ góc ω bằng tần số góc của dao động

điều hoà

c) Biểu diễn dao động điều hoà bằng véctơ quay: Có thể biểu diễn một

dao động điều hoà có phương trình: x = A.cos(ωt + φ) bằng một vectơ

quay A

9 Độ lệch pha trong dao động điều hòa:

 Khái niệm: là hiệu số giữa các pha dao động

Kí hiệu: Δφ = φ2 - φ1 (rad)

- Δφ =φ2 - φ1 > 0 Ta nói: đại lượng 2 nhanh ph a(hay sớm pha) hơn đại lượng 1 hoặc đại lượng 1 chậm pha (hay trễ pha) so với đại lượng 2

- Δφ =φ2 - φ1 < 0 Ta nói: đại lượng 2 chậm pha (hay trễ pha) hơn đại lượng 1 hoặc ngược lại

- Δφ = 2kπ Ta nói: 2 đại lượng cùng pha

- Δφ =(2k + 1)π Ta nói: 2 đại lượng ngược pha

và ngược lại Ứng dụng trong các hệ thống giảm xóc của ôtô, xe máy, chống rung, cách âm…

b Dao động tự do: Là dao động có tần số (hay chu kì) chỉ phụ vào các đặc tính cấu tạo (k,m) của hệ mà không phụ thuộc vào các yếu tố ngoài (ngoại lực) Dao động tự do sẽ tắt dần do

ma sát

c Dao động duy trì: Là dao động tự do mà người ta đã bổ sung năng lượng cho vật sau mỗi chu kì dao động, năng lượng bổ sung đúng bằng năng lượng mất đi Quá trình bổ sung năng lượng là để duy trì dao động chứ không làm thay đổi đặc tính cấu tạo, không làm thay đổi bin độ

và chu kì hay tần số dao động của hệ

d Dao động cưỡng bức: Là dao động chịu tác dụng của ngoại lực biến thiên tuần hoàn theo thời gian F = F0cos(t + ) với F0 là biên độ của ngoại lực

+ Ban đầu dao động của hê là một dao động phức tạp do sự tổng hợp của dao động riêng

và dao động cưỡng bức sau đó dao động riêng tắt dần vật sẽ dao động ổn định với tần số của ngoại lực

+ Biên độ của dao động cưỡng bức tăng nếu biên độ ngoại lực (cường độ lực) tăng và ngược lại

+ Biên độ của dao động cưỡng bức giảm nếu lực cản môi trường tăng và ngược lại + Biên độ của dao động cưỡng bức tăng nếu độ chênh lệch giữa tần số của ngoại lực và tần số dao động riêng giảm

VD: Một vật m có tần số dao động riêng là 0, vật chịu tác dụng của ngoại lực cưỡng bức

có biểu thức F = F0cos(ωt + ) và vật dao động với biên độ A thì khi đó tốc độ cực đại của vật là

vmax = A.; gia tốc cực đại là amax = A.2 và F= m.2.x  F0 = m.A.2

e Hiện tượng cộng hưởng: Là hiện tượng biên độ dao động cưỡng bức tăng một cách đột ngột khi tần số dao động cưỡng bức xấp xỉ bằng tần số dao động riêng của hệ Khi đó:  = 0 hay

 = 0 hay T = T0 Với , , T và 0, 0, T0 là tần số, tần số góc, chu kỳ của lực cưỡng bức và của hệ dao động Biên độ của cộng hưởng phụ thuộc vào lực ma sát, biên độ của cộng hưởng lớn khi lực ma sát nhỏ và ngược lại

+ Gọi 0 là tần số dao động riêng,  là tần số ngoại lực cưỡng bức, biên độ dao động cưỡng bức sẽ tăng dần khi  càng gần với 0 Với cùng cường độ ngoại lực nếu 2 > 1 > 0 thì

A2 < A1 vì 1 gần 0 hơn

+ Một vật có chu kì dao động riêng là T được treo vào trần xe ôtô, hay tàu hỏa, hay gánh trên vai người… đang chuyển động trên đường thì điều kiện để vật đó có biên độ dao động lớn nhất (cộng hưởng) khi vận tốc chuyển động của ôtô hay tàu hỏa, hay người gánh là v = d

T với d là

khoảng cách 2 bước chân của người gánh, hay 2 đầu nối thanh ray của tàu hỏa hay khoảng cách

2 “ổ gà” hay 2 gờ giảm tốc trên đường của ôtô…

) So sánh dao động tuần hoàn và dao động điều hòa:

* Giống nhau: Đều có trạng thái dao động lặp lại như cũ sau mỗi chu kì Đều phải có điều kiện là không có lực cản của môi trường Một vật dao động điều hòa thì sẽ dao động tuần hoàn

* Khác nhau: Trong dao động điều hòa quỹ đạo dao động phải là đường thẳng, gốc tọa độ

O phải trùng vị trí cân bằng còn dao động tuần hoàn thì không cần điều đó Một vật dao động tuần hồn chưa chắc đã dao động điều hòa Chẳng hạn con lắc đơn dao động với biên độ góc lớn (lớn hơn 100) không có ma sát sẽ dao động tuần hoàn và không dao động điều hòa vì khi đó quỹ đạo dao động của con lắc không phải là đường thẳng

II CON LẮC LÒ XO

1 Cấu tạo: Con lắc lò xo gồm một lò xo có độ cứng k, khối lượng không đáng kể, một đầu gắn cố định, đầu kia gắn với vật nặng khối lượng m được đặt theo phương ngang hoặc treo thẳng đứng

+ Con lắc lò xo là một hệ dao động điều hòa

2 Lực kéo về: Lực gây ra dao động điều hòa luôn luôn hướng về vị trí cân bằng và được gọi là lực kéo về hay lực hồi phục Lực kéo về có độ lớn tỉ lệ với li độ và là lực gây ra gia tốc cho vật dao động điều hòa

Biểu thức đại số của lực kéo về: Fkéo về = ma = -mω2x = -kx

- Lực kéo về của con lắc lò xo không phụ thuộc vào khối lưng vật

3 Phương trình dao động : x = A.cos(ωt + φ) Với: ω =

mk

 Chu kì và tần số dao động của con lắc lò xo: T =

1 

và sin2α=

2

2cos

- Cơ năng của con lắc tỉ lệ với bình phương biên độ dao động

- Cơ năng của con lắc lò xo không phụ thuộc vào khối lượng vật

- Cơ năng của con lắc được bảo toàn nếu bỏ qua mọi ma sát

- Động năng của vật đạt cực đại khi vật qua VTCB và cực tiểu tại vị trí biên

- Thế năng của vật đạt cực đại tại vị trí biên và cực tiểu khi vật qua VTCB

III CON LẮC ĐƠN

Mô tả: Con lắc đơn gồm một vật nặng treo vào sợi dây không giãn, vật nặng kích thước

không đáng kể so với chiều dài sợi dây, sợi dây khối lượng không đáng kể so với khối lượng của vật nặng



Nhận xét: Chu kì của con lắc đơn

+ tỉ lệ thuận căn bậc 2 của l; tỉ lệ nghịch căn bậc 2 của g

+ chỉ phụ thuộc vào l và g; không phụ thuộc biên độ A và m

+ ứng dụng đo gia tốc rơi tự do (gia tốc trọng trường g)

2 Phương trình dao động: Điều kiện dao động điều hoà: Bỏ

qua ma sát, lực cản và α0 << 1 rad hay S0 << l

s = S0cos(ωt+ φ) hoặc α = α0cos(ωt + φ) Với s = αl, S0 = α0l

2 0

vs

2 0

l

vl

+ Với con lắc đơn lực hồi phục tỉ lệ thuận với khối lượng

+ Với con lắc lò xo lực hồi phục không phụ thuộc vào khối lượng

)cos(

2 2

2

1 1

x

t A

x

,  = 2 - 1

- Nếu  > 0  1 > 2ta nói dao động x1 sớm pha hơn dao động x2

- Nếu  < 0  1 < 2ta nói dao động x1 trễ pha hơn dao động x2

- Nếu  = k.2 (k  Z) ta nói x1 cùng pha x2

- Nếu  = (2k+1) (k  Z) ta nói x1 ngược pha x2

- Nếu  = (2k+1)

2 (k  Z) ta nói x1 vuôngpha x2

2 Tổng hợp của 2 dao động điều hòa cùng tần số là

một dao động điều hòa cùng phương cùng tần số:

- Giả sử cần tổng hợp hai dao động:

)cos(

2 2

2

1 1

x

t A

x

 x = x1 + x2 = Acos(t + )

Với A A12 A22 2A1A2cos(2 1)  A1A2 AA1A2

2 2 1 1

2 2 1 1

cosAcosA

sinAsinAtan

B KIẾN THỨC NÂNG CAO

I ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG

1) Tính nhanh chậm và chiều của chuyển động trong dao động điều hòa:

- Nếu v > 0 vật chuyển động cùng chiều dương; nếu v < 0 vật chuyển động theo chiều m

- Nếu a.v > 0 vật chuyển động nhanh dần; nếu a.v < 0 vật chuyển động chậm dần

Chú ý: Dao động là loại chuyển động có gia tốc a biến thiên điều hòa nên ta không thể nói dao động nhanh dần đều hay chậm dần đều vì chuyển động nhanh dần đều hay chậm dần đều

phải có gia tốc a là hằng số, bởi vậy ta chỉ có thể nói dao động nhanh dần (từ biên về cân bằng) hay chậm dần (từ cân bằng ra biên)

2) Quãng đường đi được và tốc độ trung bình trong 1 chu kì:

* Quãng đường đi trong 1 chu kỳ luôn là 4A; trong 1/2 chu kỳ luôn là 2A

* Quãng đường đi trong l/4 chu kỳ là A nếu vật xuất phát từ VTCB hoặc vị trí biên (tức là

1 2

t t

x x





=x

t  vận tốc trung bình trong một chu kì bằng 0 (không nên nhầm khái niệm tốc độ trung bình và vận tốc trung bình!)

* Tốc độ tức thời là độ lớn của vận tốc tức thời tại một thời điểm

* Thời gian vật đi từ VTCB ra biên hoặc từ biên về VTCB luôn là T/4

3) Trường hợp dao động có phương trình đặc biệt:

* Nếu phương trình dao động có dạng: x = Acos(t + ) + c với c = const thì:

- x là toạ độ, x0 = Acos(t + ) là li độ  li độ cực đại x0max = A là biên độ

- Biên độ là A, tần số góc là , pha ban đầu 

- Toạ độ vị trí cân bằng x = c, toạ độ vị trí biên x =  A + c

- Vận tốc v = x’ = x0’, gia tốc a = v’ = x” = x0”  vmax = A.ω và amax = A.ω2

- Hệ thức độc lập: a = -2x0;

2 2

0 2

* Nếu phương trình dao động có dạng: x = Acos2(t + ) + c  x = c + A

2 +

A

2cos(2ωt + 2)

 Biên độ A/2, tần số góc 2, pha ban đầu 2, tọa độ vị trí cân bằng x = c + A/2; tọa độ biên x = c + A và x = c

* Nếu phương trình dao động có dạng: x = Asin2(t + ) + c

* Nếu phương trình dao động có dạng: x = a.cos(t + ) + b.sin(t + )

Đặt cosα =

2 2

b a

a



 sinα =

2 2

b a

b



A (2) Bình phương 2 vế (1) và (2) và cộng lại: 1

2 2

x

Vậy tương tự ta có các hệ thức độc lập với thời gian:

 v =   A 2 x2

  =

2 2

x A

v



2 2



v

2 4 2





v a



2 max

x

2 max 2

a

2 max 2

F

* Tìm biên độ A và tần số góc  khi biết (x1, v1); (x2, v2):

2 2 1

2 1 2 2

x x

v v





2 2 1

2 1 2 2 2 2 2

1

v v

x v x v





* a = -2x; F = ma = -m2x

Từ biểu thức độc lập ta suy ra đồ thị phụ thuộc giữa các đại lượng:

* x, v, a, F đều phụ thuộc thời gian theo đồ thị hình sin

* Các cặp giá trị {x và v}; {a và v}; {F và v} vuông pha nhau nên phụ thuộc nhau theo

- Cơ năng của con lắc tỉ lệ với bình phương biên độ dao động

- Cơ năng của con lắc lò xo không phụ thuộc vào khối lượng vật

- Cơ năng của con lắc được bảo toàn nếu bỏ qua mọi ma sát

- Động năng của vật đạt cực đại khi vật qua VTCB và cực tiểu tại vị trí biên

- Thế năng của vật đạt cực đại tại vị trí biên và cực tiểu khi vật qua VTCB

b Lực đàn hồi cực đại và cực tiểu Fđhmax; Fđhmin

 Lực đàn hồi cực đại Fđhmax = K(Δl + A) A)

* Lực đàn hồi cực đại khi vật ở vị trí thấp nhất của

quỹ đạo(Biên dưới)

gm

K





 T =

g

2k

m2

- Lực tác dụng lên điểm treo cũng chính là lực đàn hồi

3 Chiều dài của lò xo khi vật ở vị trí có li độ x

lx = ℓ0 + Δl0 ± x

- Dấu ( + ) khi chiều dương của trục tọa độ hướng xuống dưới

- Dấu ( -) khi chiều dương của trục tọa độ hướng lên trên

- Chiều dài cực đại: lmax = l0 + Δl0 + A

- Chiều dài cực tiểu: lmin = l0 + Δl0 - A  A =

2

MN2

All0 max

0 max

III CON LẮC ĐƠN

2

0

vs

2

0

l

vl

+ Với con lắc đơn lực hồi phục tỉ lệ thuận với khối lượng

+ Với con lắc lò xo lực hồi phục không phụ thuộc vào khối lượng

3 Chu kì và sự thay đổi chiều dài: Tại cùng một nơi con lắc đơn chiều dài l1 có chu kỳ T1, con lắc đơn chiều dài l2 có chu kỳ T2, con lắc đơn chiều dài l1 + l2 có chu kỳ T3, con lắc đơn chiều dài l1 - l2 (l1>l2) có chu kỳ T4 Ta có:

2 2 2 1 2

3 T T

T   và T42T12T22

4 Tỉ số số dao động, chu kì tần số và chiều dài: Trong cùng thời gian con lắc có chiều dài l1

thực hiện được n1 dao động, con lắc l2 thực hiện được n2 dao động

Ta có: n1T1 = n2T2 hay

1 2 2 1 1 2 2

1

l

lf

fT

Tn

I Bài toán liên quan chu kì dao động:

- Chu kì dao động của con lắc lò xo: T = t

Với k là độ cứng của lị xo (N/m); m: khối lượng vật nặng (kg); Δℓ: độ biến dạng của lị xo (m)  T = 1

* Trong mọi hệ quy chiếu chu kì dao động của một con lắc lị xo đều khơng thay đổi.Tức là cĩ mang con lắc lị xo vào thang máy, lên mặt trăng, trong điện-từ trường hay ngồi khơng gian khơng cĩ trọng lượng thì con lắc lị xo đều cĩ chu kì khơng thay đổi, đây cũng là nguyên lý ‘cân” phi hành gia

Bài tốn 1: Cho con lắc lị xo cĩ độ cứng k Khi gắn vật m1 con lắc dao động với chu kì T1, khi gắn vật m2 nĩ dao động với chu kì T2 Tính chu kì dao động của con lắc khi gắn cả hai vật

Bài làm Khi gắn vật m1 ta cĩ: T1 = 2

F l k

F l k

F k

F k

Từ (1) 

n

k k

k k

1

111

2 1

4 Cắt lị xo: Cắt lị xo cĩ chiều dài tự nhiên ℓ0 (độ cứng

k0) thành hai lị xo cĩ chiều dài lần lượt ℓ1 (độ cứng k1) và ℓ2 (độ cứng k2) Với: k0 =

0

l ES

Trong đĩ: E: suất Young (N/m2); S: tiết diện ngang (m2)

 E.S = k0.l0 = k1.l1 = k2.l2 =… = kn.ln

Bài tốn 2: Hai lị xo cĩ độ cứng lần lượt là k1, k2 Treo cùng một vật nặng lần lượt vào lị xo thì chu kì dao động tự do là T1 và T2

a) Nối hai lò xo với nhau thành một lò xo có độ dài bằng tổng độ dài của hai lò xo (ghép nối tiếp) Tính chu kì dao động khi treo vật vào lò xo ghép này Biết rằng độ cứng k của lò xo ghép được tính bởi: k =

2 1

2 1

k k

k k

 b) Ghép song song hai lò xo Tính chu kì dao động khi treo vật vào lò xo ghép này Biết rằng

độ cứng K của hệ lò xo ghép được tính bởi: k = k1 + k2

Bài làm

Ta có: T = 2 m

kk =

 2

22

22

22

2 1

k k

k k

 2

22

2 2

1 2

2 2

2 2

1 2

22

2.2

T

m T

m T

m T

 Tương tự nếu có n lò xo ghép nối tiếp thì T = T12T22T32  T n2

b) Khi 2 lò xo ghép song song: k = k1 + k2   

2

22

T

m



= 2 1

22

T

m



+ 2 2

22

111

T T

 Tương tự với trường hợp n lò xo ghép song song:

2 2

2 2 1 2

1

111

n

T T

T

III Con lắc lò xo trên mặt phẳng nghiêng:

1 Độ biến dạng của lò xo tại vị trí cân bằng

tNVIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG: x = Acos(.t + )

1 Tìm :  =2

N l

g m

k v

a

2max



v

2 4 2





v a

v v





- Chiều dài quỹ đạo L A =

22

min max l l

- Đơn vị: k (N/m); A (m)

max

22

ph

F

E k

3 Tìm : Dựa vào điều kiện ban đầu (t = 0) Xét vật dao động điều hòa với pt: x = Acos(.t +

) thì:

* t = 0 vật qua VTCB theo chiều dương ta có  = -/2

* t = 0 vật qua VTCB theo chiều âm ta có  = /2

* t = 0 vật có li độ x = A ta có  = 0

* t = 0 vật có li độ x = -A ta có  = 

Chú ý: Với phương trình dao động: x = Acos(.t +), khi tìm  ta thường giải ra 2 đáp án  <

0 hoặc  > 0 Nếu bài cho v > 0 thì chọn  < 0, nếu bài cho v < 0 thì chọn  > 0

CHIỀU DÀI LÒ XO - LỰC ĐÀN HỒI - ĐIỀU KIỆN VẬT KHÔNG RỜI NHAU

I Trường hợp con lắc lò xo treo thẳng đứng (hình vẽ):

1 Chiều dài lò xo

* Fđh min = 0 nếu A ≥ Δℓ khi x = -Δℓ và Fnén max = k.(A - Δℓ)

* Fđh min = k.(Δℓ - A) nếu A ≤ Δℓ lò xo luôn bị giãn trong suốt

+) Lực mà lò xo tác dụng lên điểm treo và lực mà lò xo tác dụng vào vật có độ lớn = lực đàn hồi

Chú ý: Khi con lắc lò xo treo thẳng đứng như hình vẽ nhưng trục Ox có chiều dương hướng lên thì: Fđh = k|Δℓ - x|, độ dài: ℓ= ℓ0 + Δℓ– x

3 Lực phục hồi là hợp lực tác dụng vào vật hay lực kéo về, có xu hướng đưa vật về VTCB và là lực gây ra dao động cho vật, lực này biến thiên điều hòa cùng tần số với dao động của vật và tỷ

lệ nhưng trái dấu với li độ

Fph = - k.x = ma = -mω2.x có độ lớn Fph = k|x|

 Fph max = k.A = Fmax-Fmin

2 (khi vật ở vị trí biên) và Fph min = 0 (khi vật qua VTCB)  Khi nâng hay kéo vật đến vị trí cách vị trí cân bằng đoạn A rồi thả nhẹ thì lực nâng hay kéo ban đầu đó chính bằng Fph max = k.A

* Một vật chịu tác dụng của hợp lực có biểu thức F = -kx thì vật đó luôn dao động điều hòa

II Trường hợp con lắc lò xo nằm ngang (Δℓ = 0):

1 Chiều dài lò xo

Vị trí có li độ x bất kì: ℓ = ℓ0 + x; ℓmax = ℓ0 + A; ℓmin = ℓ0 - A

2 Lực đàn hồi bằng lực phục hồi:

Fph = Fđh = k.|x| Fph max = Fđh max = k.A và Fph min = Fđh min = 0

III Điều kiện vật không rời hoặc trượt trên nhau:

1 Vật m1 được đặt trên vật m2 dao động điều hoà theo phương thẳng

đứng m1 (Hình 1) Để m1 luôn nằm yên trên m2 trong quá trình dao

động thì:

2 1

2 1 2 max 2

g

Ak m k

g m m g A

k

g m m



2 Vật m1 và m2 được gắn vào hai đầu lò xo đặt thẳng đứng, m1 dao

động điều m2 hoà (Hình 2) Để m2 nằm yên trên mặt sàn trong quá

trình m1 dao động thì:

k

g m m A

k

g m m

max 2

3 Vật m1 đặt trên vật m2 dao động điều hoà theo phương ngang Hệ

số ma sát giữa m1 và m2 là µ, bỏ qua ma sát giữa m2 và mặt sàn (Hình 3) Để m1 không trượt trên m2 trong quá trình dao động thì:

k

g m m g

NĂNG LƯỢNG TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CỦA CON LẮC LÒ XO

1 Năng lượng trong dao động điều hòa: Xét 1 con lắc lò xo gồm vật treo nhỏ có khối lượng m

và độ cứng lò xo là k Phương trình dao động x = Acos(t + ) và biểu thức vận tốc là v =

-Asin(t + ) Khi đó năng lượng dao động của con lắc lò xo gồm thế năng đàn hồi (bỏ qua thế năng hấp dẫn) và động năng chuyển động Chọn mốc thế năng đàn hồi ở vị trí cân bằng của vật

ta có:

a Thế năng đàn hồi: Et = cos ( )

2

12

12

kA

44)22cos(

14

2 2 2

2 2 2

2 2



t kA

44)22cos(

2; f’ = 2f, ’ = 2    Eđ ngược pha với Et

c Cơ năng E: Là năng lượng cơ học của vật nó bao gồm tổng của động năng và thế năng

2)(

cos2

2 2 2

Từ các ý trên ta có thể kết luận sau:

* Trong quá trình dao của con lắc luôn có sự biến đổi năng lượng qua lại giữa động năng và thế năng nhưng tổng của chúng tức cơ năng luôn bảo toàn v tỉ lệ với A2

(Đơn vị k là N/m, m là kg, của A, x là mét, của vận tốc là m/s thì đơn vị E là jun)

* Thời gian liên tiếp để động năng (hoặc thế năng) đạt cực đại là T/2

Bài toán 1: Vật dao động điều hòa với phương trình x = Acos(t + ) với A,  là những hằng số

đã biết Tìm vị trí của vật mà tại đó động năng bằng n lần thế năng (với n > 0 )



n v

Bài toán 2 (Bài toán kích thích dao động bằng va chạm): Vật m gắn

vào lò xo có phương ngang và m đang đứng yên, ta cho vật m0 có

vận tốc v0 va chạm với m theo phương của lò xo thì:

a Nếu m đang đứng yên ở vị trí cân bằng thì vận tốc của m

ngay sau va chạm là vật tốc dao động cực đại vmax của m:

* Nếu va chạm đàn hồi: vm = vmax =

0

0 02

m m

v m

 ; vật m0 có vận tốc sau va chạm 0 0

0 ,

m m

m m v

* Nếu va chạm mềm và 2 vật dính liền sau va chạm thì vận tốc hệ (m + m0): v = vmax =

m m

v m

0

0 0

 biên độ dao động của hệ (m + m0) sau va chạm là: A =

m m

v m

 ; vật m0 có vận tốc sau va chạm 0 0

0 ,

m m

m m v

* Nếu va chạm mềm và 2 vật dính liền sau va chạm thì vận tốc hệ (m + m0): v = vmax =

m m

v m

0

0 0

 biên độ dao động của hệ (m + m0) sau va chạm là: A’ = 2

2 2

k



Bài toán 3: Gắn một vật có khối lượng m = 200g vào 1 lò xo có độ cứng k = 80 N/m Một đầu của lò xo được cố định, kéo m khỏi vị trí O (vị trí lò xo có độ dài

bằng độ dài tự nhiên) đoạn 10cm dọc theo trục lò xo rồi thả nhẹ cho

vật dao động Biết hệ số ma sát giữa m và mặt phẳng ngang là  =

0,1 (g = 10m/s2)

a Tìm chiều dài quãng đường mà vật đi được cho tới lúc dùng

b Chứng minh độ giảm biên độ dao động sau mỗi chu kì là không đổi

c Tìm số dao động vật thực hiện được đến lúc dừng lại

d Tính thời gian dao động của vật

e Vật dừng lại tại vị trí cách vị trí O đoạn xa nhất ℓmax bằng bao nhiêu?

f Tìm tốc độ lớn nhất mà vật đạt được trong quá trình dao động?

1,0.802

2 2

2 2

A = 10 chu kỳ

d Thời gian dao động là: t = N.T = 3,14 (s)

e Vật dừng lại tại vị trí cách vị trí cân bằng O đoạn xa nhất Δℓmax bằng:

Vật dừng lại khi Fđàn hồi  Fma sát  k.Δℓ  .mg  Δℓ mg

Vị trí đó có tọa độ x = Δℓmax thỏa: Fđàn hồi = Fma sát k.Δℓmax = .mg  Δℓmax= mg

k = 2,5 mm

22

2

2 2

max 2

max mv kA mg A l l

Vậy từ bài toán trên ta có kết luận:

* Một con lắc lò xo dao động tắt dần với biên độ A, hệ số ma sát khô µ Quãng đường vật đi được đến lúc dừng lại là: S =

g

A F

kA mg



 (Nếu bài toán cho lực cản thì Fcản = µ.m.g)

* Một vật dao động tắt dần thì độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ là: ΔA = 4.mg

Ak mg

Ak A

AkT mg

2 max 2

2

max kA k l mg A l

XÁC ĐỊNH THỜI GIAN - QUÃNG ĐƯỜNG TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

1 Chuyển động tròn và dao động điều hòa

- Xét vật M chuyển động tròn đều trên đường tròn tâm O bán kính R

=A Thời điểm ban đầu 0M tạo với phương ngang 1 góc  Sau thời gian

t vật tạo với phương ngang 1 góc (t +, với  là vận tốc góc

- Hình chiếu của M trên trục Ox là M’, vị trí M’ trên Ox được xác định

bởi công thức: x =Acos(t+) là một dao động điều hòa

- Vậy dao động điều hòa là hình chiếu của chuyển động tròn đều lên

một trục thuộc mặt phẳng chứa đường tròn đó

* Bảng tương quan giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn

đều:

Dao động điều hòa x = Acos(t+) Chuyển động tròn đều (O, R = A)

vmax = A là tốc độ cực đại v = R. = A. là tốc độ dài

amax = A2 là gia tốc cực đại aht = A2 = R2 là gia tốc hướng tâm

Fphmax = mA2 là hợp lực cực đại tác dụng lên

t Trong đó S là quãng đường vật đi được trong thời gian t

* Vận tốc trung bình v bằng độ biến thiên li độ trong 1 đơn vị thời gian: v

1 2

1 2

t t

x x





t

* Quãng đường đi trong 1 chu kỳ luôn là 4A; trong 1/2 chu kỳ luôn là 2A

* Quãng đường đi trong l/4 chu kỳ là A nếu vật xuất phát từ VTCB hoặc vị trí biên (tức là  = 0;  /2; )

* Thời gian vật đi từ VTCB ra biên hoặc từ biên về VTCB luôn là T/4

* Đường tròn lượng giác - Thời gian chuyển động và quãng đường tương ứng:

2 Một số bài toán liên quan:

Bài toán 1: Tìm quãng đường dài nhất S vật đi được trong thời gian t với 0 < t < T/2 (hoặc thời gian ngắn nhất t để vật đi được S với 0 < S < 2A hoặc tốc độ trung bình lớn nhất v của vật trong thời gian t)

Bài làm

Ta dựa vào tính chất của dao động là vật chuyển động càng nhanh

khi càng gần vị trí cân bằng cho nên quãng đường dài nhất S vật đi

được trong thời gian t với 0 < t < T/2 phải đối xứng qua vị trí cân

bằng (hình vẽ)

Tính  = T  tính  = 2A.sin 

2 tốc độ trung bình v = S

t  Trong trường hợp này vận tốc trung bình có độ lớn bằng tốc độ

Bài toán 2: Tìm quãng đường ngắn nhất S vật đi được trong thời gian t với 0 < t < T/2 (hoặc thời gian dài nhất t để vật đi được S với 0 < S < 2A hoặc tốc độ trung bình nhỏ nhất v của vật trong thời gian t)

Bài làm

Ta dựa vào tính chất của dao động là vật chuyển động càng chậm

khi càng gần vị trí biên cho nên quãng đường ngắn nhất S vật đi

được trong thời giant với 0 < t < T/2 phải đối xứng qua vị trí biên

(hình vẽ)

Tính  = .t tính S = 2A.(1 - cos

2 )  tốc độ trung bình v =S

t  Trong trường hợp này vận tốc trung bình v = 0

Bài toán 3: Tìm quãng đường dài nhất S vật đi được trong thời gian t với t > T/2 (hoặc thời gian ngắn nhất t để vật đi được S với S > 2A hoặc tốc độ trung bình lớn nhất v của vật trong thời gian t)

t Bài toán 4: Tìm quãng đường ngắn nhất S vật đi được trong thời gian t với t > T/2 (hoặc thời gian dài nhất t để vật đi được S với S > 2A hoặc tốc độ trung bình nhỏ nhất v của vật trong thời gian t)

Bài làm

Tính β = .t  phân tích β = n. +  (với 0 <  < )

 tính S = 2A.(1 - cos 

2 ) S = n.2A + S  tốc độ trung bình v = S

t  Trong trường hợp này vận tốc trung bình v = 0

Bài toán 5: Vật m dao động điều hòa có phương trình x = Acos(t

+ ) với chu kì dao động là T Gọi gia tốc a0 có giá trị nào đó (với

Bài toán 6: Tìm thời gian vật đên vị trí x0 lần thứ n kể từ thời điểm ban đầu:

a Tìm thời gian tn vật đến vị trí x0 lần thứ n kể từ thời điểm ban đầu (không xét chiều chuyển động):

* Nếu n là số lẻ thì n T t1

2

1n

t    trong đó t1 là thời gian vật đi từ thời điểm đầu đến vị trí x0

lần thứ 1; * Nếu n là số chẵn thì n T t2

2

2n

t    trong đó t2 là thời gian vật đi từ thời điểm đầu đến vị trí x0 lần thứ 2

b Tìm thời gian tn vật đến vị trí x0 lần thứ n theo chiều dương (hoặc chiều âm) kể từ thời điểm ban đầu: thì tn = (n-1)T + t1 Trong đó t1 là thời gian vật đi từ thời điểm đầu đến vị trí x0 lần thứ

Ví dụ: với n = 2014 thì có k = 503 và m =2 hoặc n = 2016 thì có k = 503 và m = 4

Khi đó thời gian tn vật cách vị trí cân bằng một đoạn |x| lần thứ n kể từ thời điểm ban đầu và tn

= k.T + tm; trong đó tm là thời gian vật cách vị trí cân bằng đoạn |x| lần thứ m với m = {1, 2, 3, 4}

Vậy: Sẽ làm tương tự nếu bài toán yêu cầu tìm thời gian tn để vật dao động có {v, a, F} đạt giá trị {vi, ai, Fi} nào đó lần thứ n

CHU KÌ DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC ĐƠN

* T tăng con lắc dao động chậm lại, T giảm con lắc dao động nhanh hơn

* Chu kì dao động của con lắc đơn chỉ phụ thuộc vào vị trí địa lí và độ dài dây treo mà không phụ thuộc vào khối lượng vật nặng, biên độ góc dao động của con lắc và cách kích thích dao động

2 Nguyên nhân làm thay đổi chu kì:

- Do ℓ biến thiên (tăng hoặc giảm chiều dài) Do g biến thiên (thay đổi vị trí đặt con lắc)

3 Các trường hợp riêng:

- Nếu g không đổi:

2 1 2

1

l

l T

T

1 2 2

1

g

g T

2

2     2 2 1 2 2 1 2 12 22

)2()

2

g

l g

l g

l l

5 Bài toán trùng phùng: Hai con lắc đơn ℓ1, ℓ2 đặt gần nhau dao động bé với chu kì lần lượt là

T1 và T2 trên hai mặt phẳng song song Thời điểm ban đầu cả 2 con lắc đi qua vị trí cân bằng theo cùng 1 chiều Tìm thời điểm cả hai đi qua vị trí cân bằng theo cùng chiều lần thứ n (không

kể thời điểm ban đầu)

Gọi t là thời gian xảy ra hiện tượng trùng, trong thời gian t con lắc ℓ1 thực hiện được N1 dao động, con lắc ℓ2 thực hiện được N2 dao động: t = N1.T1 = N2.T2

Lập tỉ lệ:

n.b

n.ab

al

lT

TN

N

2 1 2 1 1

b

N

n

2 1TT

TT



CHU KÌ DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC TRONG HỆ QUY CHIẾU KHÔNG QUÁN TÍNH

HOẶC CON LẮC ĐƠN TÍCH ĐIỆN ĐẶT TRONG ĐIỆN TRƯỜNG

1 Con lắc đơn trong hệ quy chiếu không quán tính:

Hệ quy chiếu không quán tính là hệ quy chiếu chuyển động có gia tốc a

Vật có khối lượng m đặt trong hệ quy chiếu không quán tính sẽ chịu tác dụng của lực quán tính Fqt m a



 lực này tỉ

lệ và ngược chiều với a

a Con lắc đơn trong thang máy

- Trường hợp con lắc treo trong thang máy chuyển động đi lên chậm dần đều hoặc đi xuống nhanh dần đều với gia tốc a thì: g’= |g – a|  T’ =

a g

l



2

VD: Gọi T là chu kì con lắc khi thang máy đứng yên, T1, T2, lần lượt là chu kì con lắc khi thang máy đi lên nhanh dần và xuống chậm dần với cùng gia tốc a thì ta có 2

2 2 1

2 2 2 1

2 2

T T

T T T





b Con lắc đơn trong xe chuyển động có gia tốc theo phương ngang

* Trường hợp con treo trong xe ôtô chuyển động biến đổi đều (nhanh dần

hoặc chậm dần đều) với gia tốc a thì: g ' = g 2 a2  T’=

2 2

2

a g

F E q







,0

,0

(E:

vecto cường độ điện trường (V/m; q: điện tích (C))

b Trường hợp tụ điện phẳng: E = U

d với: U là hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện

d là khoảng cách giữa hai bản

c Trọng lực hiệu dụng Gia tốc hiệu dụng

- Gọi trọng lực hiệu dụng là P’, và có gia tốc hiệu dụng g’ khi

đó:

a g m

F P g g m

2 2

a

'2

g

l g

l

+ Vị trí cân bằng mới của con lắc là O’, lệch phương so với phương thẳng đứng một góc : tan = F

F E q







,0

,0

(E:

vecto cường độ điện trường (V/m; q: điện tích (C))

- Gọi trọng lực hiệu dụng là P’, và có gia tốc hiệu dụng g’ khi đó:

a g m

F P g g m

2 2 2 1

2 2

T T

T T T





4 Con lắc đơn dao động trong lưu chất

Gọi D0 là khối lượng riêng của lưu chất (chất lỏng hay chất khí), D là khối lượng riêng của vật

đó khi chu kì dao động của vật trong lưu chất là T =

Bài giải Chu kì của con lắc ở mặt đất là: T =

Chu kì của con lắc ở độ cao h là T’: T’ =

M G



Lập tỷ lệ: '    1 1

R

h R

h R g

g T

h T

T R

h T

T T R

h T

T R

h T

T

'1

'1

- Số dao động mà con lắc đồng hồ chạy sai trong thời gian t là N: N = t

T’

- Thời gian mà đồng hồ chạy sai đã chỉ là t’: t’ = N.T = t.T’T = t(1- Rh)

- Thời gian bị sai khác là:

t = t - t’ = t - N.T =

R

h t R

h t

R h t

T T

t T

T t

1

11'

11

- Khối lượng phần trái đất tính từ độ sâu h đến tâm là:

- Gia tốc trọng trường ở độ sâu h là: g’ =

 2

'

h R

M G

- Gọi T’ là chu kì của con lắc ở độ sâu h là T’: T’ =

1'

R

h h

R

R g

g T

h T

T R

h T

T T R

h T

T R

h T

T

.22

2

'2

1'2

 Thời gian mà đồng hồ chạy sai đã chỉ là t’: t' = N.T = t.T

T’ = t(1 -

h2R)  Thời gian bị sai khác là:

t = t - t’ =

R

h t R

h t

R h t

T T

t T

T t t

2.)21(12

1

11'

11

Bài toán 3: Ở nhiệt độ t1 con lắc đồng hộ dao động với chu kì T1, ở nhiệt độ t2 con lắc dao động với chu kì T2 Cho g không đổi Hỏi khi ở nhiệt độ t2 con lắc đồng hồ chạy nhanh hay chậm? Nhanh, chậm bao nhiêu trong 1 chu kì, trong 1 khoảng thời gian , thời gian con lắc đã chỉ sai ’

và thời gian sai khác là bao nhiêu? Biết dây treo đồng hồ bằng kim loại có hệ số giãn nở vì nhiệt

.2

1.1

.1

1 2 1

2 1

2 1

2 1

t

t l

l T

2)

.(

21)

2 1 2 1

T

T T t t T

T t t T

2 1

21.2

1

1

1

t t T

T T

hT

TT)tt.(

2R

h1T

T)tt.(

2R

h1T

T

1 2 1

1 2 1

2 1

2 1

2 1

1

.).(

2)

.(

h T t

t R

h T

(21

11

1 2 1

2 2

1

R

h t

t R

h T

T T

(

2 1 2 1 2 R

h t t t t R

dhR2

dh2

dtg

dgl2

dlT

NĂNG LƯỢNG - VẬN TỐC - LỰC CĂNG DÂY

I Con lắc đơn dao động tuần hoàn (0 > 100)

1 Năng lượng: Xét một con lắc dây có độ dài ℓ, vật nặng

có khối lượng m, dao động với biên độ góc 0

Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng O

- Thế năng: Et = mghB = mgℓ(1 - cos)

- Năng lượng: E =Et max= mghmax= mgℓ(1 - cos0)

(Năng lượng bằng thế năng cực đại ở biên)

 Eđ max = E =

2max

mv

= Et max = mgℓ(1 - cos0) (Năng lượng bằng động năng cực đại ở VTCB)

2 Vận tốc: Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng:

2

B A A

l l h

của dây treo:

Xét tại vị trí B, hợp lực tác dụng lên quả nặng là lực hướng tâm: Fht T P

2

=T - Pcos  T =

R

v m

2

+m.g.cos

Thế R = ℓ vào (1) và (3) ta được T = mg(3cos - 2cos0)

 Tmin =m.g.cos0 < P (tại vị trí biên) và Tmax = mg(3 - 2cos0) > P (Tại vị trí cân bằng) 

m

E t  và năng lượng

l

x g m l

g m E

2

2



(x0 = ℓ.0 là biên độ dao động của con lắc)

- Con lắc đơn dao động điều hòa khi Eđ = n.Et ta có:

2 0



g m

Chú ý: trong các phép tính này  phải dùng đơn vị radian: Gọi  là số đo bằng độ của 1 góc,

a là số đo tính bằng radian tương ứng với  độ khi đó ta có phép biến đổi sau: a =

180

.

(rad);



 180.a (độ)

III Bài toán liên quan đến hiện tượng va chạm:

- Va chạm mềm là hiện tượng sau va chạm các vật bị biến dạng hoặc dính liền nhau, trong hiện tượng va chạm mềm chỉ có động lượng bảo toàn còn động năng thì không bảo toàn do động năng bị chuyển hóa thành năng lượng gây biến dạng Gọi v1, v2, v3’, v4’ là vận tốc của 2 vật m1,

2 1

1 2 1 2 2 1

)(

2'

m m

v m m v m v

2 1 2 1 1 2

)(

2'

m m

v m m v m v









 Trong trường hợp va chạm đàn hồi xuyên tâm và m1 = m2, nếu trước va chạm m1 chuyển động với tốc độ v1 còn m2 đứng yên (v2 = 0) dùng công thức trên ta

có v3 = 0 và v4 = v1

IV Bài toán dao động tắt dần của con lắc đơn: Một con lắc đơn

vật treo khối lượng có là m, dây treo có chiều dài ℓ, biên độ góc

ban đầu là α0 (α0 coi là rất nhỏ) dao động tắt dần do tác dụng lực

cản Fcản không đổi, Fcản luôn có chiều ngược chiều chuyển động

của vật Hãy tìm:

a Độ giảm biên độ của con lắc sau mỗi chu kỳ, sau N chu kì?

b Hỏi sau bao nhiêu chu kì dao động con lắc sẽ dừng hẳn?

c Thời gian từ lúc bắt đầu dao động đến lúc dừng lại?

d Quãng đường đi được đến lúc dừng lại?

Bài làm

a Độ giảm biên độ của con lắc sau mỗi chu kỳ và sau N chu kì?

Gọi Fc là lực cản tác dụng vào quả cầu con lắc khi con lắc dao động tắt dần và S là quãng đường mà vật đi được sau một nửa chu kỳ đầu tiên Gọi biên độ góc còn lại sau một nửa chu kỳ đầu tiên là α1

Ta có S = ℓ(α0 + α1)

2

12

1

1 0 2

1 2

F l

()(

2

1

1 0 1 1

0 2

1 2

0        

nửa chu kì

Tương tự gọi α2 là biên độ và α2 là độ giảm biên sau một nửa chu kỳ tiếp theo (hay là biên độ

ở cuối chu kỳ đầu tiên)

2

12

1

2 1 2

2 2

  mgl F l 

g m

F l

()(

2

1

2 1 2 1

0 2

2 2

lF c

.4

 Công của lực cản trong mỗi chu kì dao động là: W = α.l.mg(α0 - 

2 ) (bằng độ giảm năng lượng)

- Độ giảm biên độ dao động của con lắc sau N chu kì là: N.Δα =

g m

F

N c

4

b Hỏi sau bao nhiêu chu kì dao động con lắc sẽ dừng hẳn và số lần con lắc qua VTCB?

- Nếu sau N chu kì mà vật dừng lại thì: N.Δα =

g m

F

N c

4

= 0 hay số chu kì vật dao động được

- Do một chu kì vật đi qua VTCB hai lần nên số lần vật đi qua VTCB cho đến lúc dừng lại là:

n = 2N =

c

F

g m

.2

0

c Thời gian từ lúc bắt đầu dao động đến lúc dừng lại?

Khoảng thời gian từ lúc vật bắt đầu dao động cho đến lúc vật dừng lại là: Δt = N.T (với chu kỳ

T = 2 l

g)

d Quãng đường S vật đi được đến lúc dừng lại?

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng: mgl F c.S

)cos(

2 2

2

1 1

x

t A

x

,  = 2 - 1

- Nếu  > 0  1 > 2ta nói dao động x1 sớm pha hơn dao động x2

- Nếu  < 0  1 < 2ta nói dao động x1 trễ pha hơn dao động x2

- Nếu  = k.2 (k  Z) ta nói x1 cùng pha x2

- Nếu  = (2k+1) (k  Z) ta nói x1 ngược pha x2

- Nếu  = (2k+1)

2 (k  Z) ta nói x1 vuôngpha x2

2 Tổng hợp của 2 dao động điều hòa cùng tần số là một

dao động điều hòa cùng phương cùng tần số:

- Giả sử cần tổng hợp hai dao động:

)cos(

2 2

2

1 1

x

t A

x

 x = x1 + x2 = Acos(t + )

Với A A12 A22 2A1A2cos(2 1)  A1A2 AA1A2

2 2 1 1

2 2 1 1

cosAcosA

sinAsinAtan

2 1 max 2

A A A x

2 1 1

2 1 2

1

A A khi

A A khi

A A A x

.2cos2

2cos22

2 1 2

1

2 1

2 1

x

a A

3 Tìm phương trình dao động thành phần x2 khi biết phương trình tổng hợp x và x1

Khi biết một dao động thành phần x1 = A1cos(t + ) và dao động tổng hợp x = Acos(t + ) thì dao động thành phần còn lại là x2 = A2cos(t + 2)

Trong đó: 2 2 1cos( 1)

1 2 2

2  A A  AA 

1 1

1 1coscos

sinsin

A A

Khi biết dao động thành phần của 2 vật x1 = A1cos(t + 1)

và x2 = A2cos(t + 2) Khi đó khoảng cách 2 vật có giá trị đại

số là x  x1x2 Acos(t)

 khoảng cách lớn nhất của 2 vật là:

)cos(

5 Viết phương trình tổng hợp của nhiều dao động

Nếu một vật tham gia đồng thời nhiều dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình x1 = A1cos(t + 1); x2 = A2cos(t + 2); … thì dao động tổng hợp cũng là dao động điều hoà cùng phương cùng tần số x = Acos(t + )

- Chiếu lên trục Ox và trục Oy

- Ta được: Ay = Asin = A1sin 1 + A2sin2

Ax = Acos = A1cos1 +A2cos2

;2

;2

23 13 12 123 12 23 12 3 13 23 12 2 23 13

12

1

x x x x x x x x x x x x x x

F0 là biên độ của ngoại lực(N)

ωn = 2πfn với fn là tần số của ngoại lực

b Đặc điểm:

 Dao động cưỡng bức là dao động điều hòa (có dạng hàm sin)

 Tần số dao động cưỡng bức chính là tần số của lực cưỡng bức fcb = fn

 Biên độ dao động cưỡng bức (Acb) phụ thuộc vào các yếu tố sau:

 Sức cản môi trường (Fms giảm→ Acb tăng)

 Biên độ ngoại lực F0 (Acb tỉ lệ thuận với F0)

 Mối quan hệ giữa tần số ngoại lực và tần số dao động riêng (Acb càng tăng khi |fn - f0| càng giảm) Khi |fn - f0| = 0 thì (Acb)max

2 Hiện tượng cộng hưởng

a Khái niệm: là hiện tượng biên độ dao động cưỡng bức đạt giá trị cực đại (Acb)max khi tần số ngoại lực (fn) bằng với tần số riêng (f0 ) của vật dao động Hay: (Acb)max  fn = f0

b Ứng dụng:

 Hiện tượng cộng hưởng có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ: chế tạo tần số kế, lên dây đà n

 Tác dụng có hại của cộng hưởng:

▪ Mỗi một bộ phận trong máy (hoặc trong cây cầu) đều có thể xem là một hệ dao động có tần số góc riêng ω0

▪ Khi thiết kế các bộ phận của máy (hoặc cây cầu) thì cần phải chú ý đến sự trùng nhau giữa tần số góc ngoại lực ω và tần số góc riêng ω0 của các bộ phận này, nếu sự trùng nhau này xảy ra (cộng hưởng) thì các bộ phận trên dao động cộng hưởng với biên độ rất lớn và có thể làm gãy các chi tiết trong các bộ phận này

3 Phân biệt Dao động cưỡng bức và dao động duy trì

a Dao động cưỡng bức với dao động duy trì:

 Giống nhau:

- Đều xảy ra dưới tác dụng của ngoại lực

- Dao động cưỡng bức khi cộng hưởng cũng có tần số bằng tần số riêng của vật

- Biên độ không thay đổi

b Cộng hưởng với dao động duy trì:

 Giống nhau: Cả hai đều được điều chỉnh để tần số ngoại lực bằng với tần số dao động tự do của hệ

 Khác nhau:

- Ngoại lực độc lập bên ngoài

- Năng lượng hệ nhận được trong mỗi chu kì

dao động do công ngoại lực truyền cho lớn hơn

năng lượng mà hệ tiêu hao do ma sát trong chu

D CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH

1 Xác định nhầm pha ban đầu: Lí do chưa đọc kỹ đề bài; xác định điều kiện ban đầu chưa để ý đến dấu của các đại lượng x, v, a hoặc chưa sử dụng ý nghĩa của đạo hàm (ví dụ: tại thời điểmt, nếu x đang giảm thì phải hiểu x' <0)

2 Chưa chuẩn hóa hàm số về dạng chính tắc: Dẫn đến nhầm về độ lệch pha giữa các đài lượng, biễu diễn véc tơ quay không chính xác

3 Chưa đổi đơn vị hợp pháp theo hệ SI: Ví dụ khi tính năng lượng: m (kg), v (m/s), K (N/m),

4 Chưa biết so sánh độ biến dạng  ở VTCB với A: Dẫn đến xác định lực đàn hồi cực đại bị lỗi

5 Lỗi khi tính đường đi: HS không đánh giá được tỉ số t/T dẫn đến tính nhầm góc quét hoặc nhầm chiều chuyển động

6 Khi tổng hợp dao động, nhầm dấu và giá trị của pha ban đầu:

   , nếu Ax >0, Ay>0 thì  =/4; nếu Ax <0, Ay<0 thì  =-3/4

7 Nhầm lẫn giữa li độ với tọa độ: Khi VTCB trùng với gốc tọa độ thì li đô và tọa độ của vật là một; ngược lại, li độ khác tọa độ

8 Nhầm lẫn giữa đường đi và li độ khi tính công của lực ma sát trong bài toán dao động tắt dần

9 Nhầm lẫn khi tính thế năng: Thế năng phụ thuộc vào việc chọn mốc tính thế năng

10 Nhầm lẫn giữa lực đàn hồi với lực phục hồi

11 Nhầm lần gia tốc tiếp tuyến với gia tốc toàn phần, gia tốc hướng tâm khi giải bài toán với con lắc đơn

12 Nhầm lẫn giữa giá trị đại số với độ lớn của các đại lượng có hướng

13 Khi giải trắc nghiệm, không để ý đến từ phủ định "Không", "Sai" trong phần dẫn Hậu quả là HS chọn phát biểu đúng làm đáp án

14 Kỹ năng phân tích đồ thị, đọc đồ thị chưa tốt Không đánh giá được tính tuần hoàn, đồng biến, nghịch biến và các thông tin đã cho trên đồ thị.

E BÀI TẬP VẬN DỤNG

I CON LẮC LÒ XO

I.1 Tìm thời điểm, khoảng thời gian, tính quãng đường bằng phương pháp véc tơ quay:

I.1.1 Phương pháp

- Sử dụng phương pháp véc tơ quay bằng cách vẽ

- Xác định thời điểm đầu, cuối kết hợp với xét trong một chu kì thì điều kiện đầu bài thoả mãn tương ứng bao nhiêu lần

- Tính góc quét của véc tơ quay từ đó xác định khoảng thời gian hoặc thời điểm

I.1.2 Phần bài tập

Câu 1 Một con lắc lò xo gồm lò xo nhẹ có độ cứng k = 10 N/m và vật nhỏ có khối lượng m Con lắc dao động điều hòa theo phương ngang với tần số f Biết ở thời điểm t1 vật có li độ 3 cm, sau t1 một khoảng thời gian 1/4f vật có vận tốc – 30 cm/s Khối lượng của vật là

6 Tìm số lần hai vật gặp nhau trong 2,013s kể

từ thời điểm ban đầu

Giải Câu 4: Chọn gốc toạ độ taị VTCB của vật dao động điều hoà theo phương trình: x = 20cos(πt -

π

2) (cm) Biết

T1T2 =

và chuyển động ngược chiều nhau Lấy π2 = 10 Khoảng thời gian giữa 2013 lần hai vật gặp nhau liên tiếp là

A 402,4 s B 202,1 s C 402,6 s D 201,2

Câu 8 : Hai chất điểm dao động điều hòa trên cùng một trục Ox theo phương trình

x1 = 4cos(4t + π

3) cm và x2 = 4 2cos(4t +

π

12) cm Coi rằng trong quá trình dao động

hai chất điểm không va chạm vào nhau Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm có

giá trị:

A 4 2cm B 8 cm C 4 cm D 0,14 cm

Câu 9: Một vật có khối lượng m = 100g chuyển động có phương trình:

x = (4 + Acosωt) (cm;s) Trong đó A, ω là những hằng số Biết rằng cứ sau một khoảng thời gian ngắn nhất π

30s thì vật lại cách vị trí cân bằng 4 2cm Tốc độ vật và hợp lực tác dụng lên vật tại

vị trí x1 = - 4cm lần lượt là

A 0 cm/s và 1,8 N B 120 cm/s và 0 N C 80 cm /s và 0,8 N D 32 cm/s và 0,9 N Câu 10: Hai vật dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox sao cho không va chạm vào nhau trong quá trình dao động Vị trí cân bằng của hai vật đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox Biết phương trình dao động của hai vật lần lượt là x = 4cos 4πt + π/3 cm 

A Khoảng cách M M

1 2 biến đổi tuần hoàn với tần số f, biên độ A 3

B Khoảng cách M1M2 biến đổi điều hòa với tần số 2f, biên độ A 3

v

1 2

v

1 2

I.2 Bài toán va chạm giữa vật và con lắc lò xo - Tính biên độ dao động, khoảng cách hai vật

I.2.1 Phương pháp

- Áp dụng các định luật bảo toàn trong quá trình va chạm mềm, va chạm đàn hồi

- Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho con lắc lò xo sau va chạm để tính biên độ

- Tính khoảng cách hai vật theo yêu cầu của đề bài

I.2.2 Phần bài tập

Câu 1 Một con lắc lòxo được treo trên trần một thang máy Khi thang máy đứng yên thì con lắc

lò xo dao động điều hòa với chu kỳ T = 0,4s và biên độ A = 5cm Vừa lúc quả cầu con lắc đang

đi qua vị trí lò xo không biến dạng theo chiều từ trên xuống thì thang máy chuyển động nhanh dần đều đi lên với gia tốc a = 5m/s2 Biên độ dao động của con lắc lò xo lúc này là

A 5 3cm B 5cm C 7 cm D 3 5cm

Câu 2 Trong thang máy treo một con lắc lò xo có độ cứng 25N/m, vật nặng có khối lượng 400g Khi thang máy đứng yên ta cho con lắc dao động điều hoà, chiều dài con lắc thay đổi từ 32 cm đến 48 cm Tại thời điểm mà vật ở vị trí thấp nhất thì cho thang máy đi xuống nhanh dần đều với gia tốc a = g/10 Lấy g = π2m/s2 = 10 m/s2 Biên độ dao động của vật trong trường hợp này là

va chạm là 2cm/s và sau va chạm vật m bật ngược trở lại với tốc độ là 1cm/s Gia tốc của vật nặng của con lắc ngay trước va chạm là -2cm/s2 Sau va chạm con lắc đi được quãng đường bao nhiêu thì đổi chiều chuyển động?

A 5cm B 2 + 5 cm C 2 5cm D 2 + 2 5cm Câu 5 Một vật có khối lượng m1 = 1,25 kg mắc vào lò xo nhẹ có độ cứng k = 200 N/m, đầu kia của lò xo gắn chặt vào tường Vật và lò xo đặt trên mặt phẳng nằm ngang có ma sát không đáng

kể Đặt vật thứ hai có khối lượng m2 = 3,75 kg sát với vật thứ nhất rồi đẩy chậm cả hai vật cho lò

xo nén lại 8 cm Khi thả nhẹ chúng ra, lò xo đẩy hai vật chuyển động về một phía Lấy π2 = 10 Khi lò xo giãn cực đại lần đầu tiên thì hai vật cách xa nhau một đoạn là

A 4π - 8(cm) B 16 (cm) C 2π - 4 (cm) D 4π - 4(cm)

Câu 6: Một con lắc lò xo dao động điều hòa trên mặt phẳng nằm ngang với chu kì T = 2 (s), quả cầu nhỏ có khối lượng m1 Khi lò xo có độ dài cực đại và vật m1 có gia tốc - 2 cm/s2 thì một vật có khối lượng m2 = 0,5m1 chuyển động dọc theo trục của lò xo đến va chạm đàn hồi xuyên tâm với m1 có hướng làm lo xo bị nén lại Vận tốc của m2 trước khi va chạm là 3 3cm/s Khoảng cách giữa hai vật kể từ lúc va chạm đến khi m1 đổi chiều chuyển động là

A 9,63 cm B 6 cm C 8 cm D 11,63 cm

Câu 7: Một con lắc lò xo đạt trên mặt phẳng nằm ngang gồm lò xo nhẹ có một đầu cố định, đầu kia gắn với vật nhỏ có khối lượng m Ban đầu vật m được giữ ở vị trí để lò xo bị nén 9 cm Vật M có

khối lượng bằng một nửa khối lượng vật m nằm sát m Thả nhẹ m để hai vật chuyển động theo phương của trục lò xo Bỏ qua mọi ma sát Ở thời điểm lò xo có chiều dài cực đại lần đầu tiên, khoảng cách giữa hai vật m và M là

A 9 cm B 4,5 cm C 4,19 cm D 18 cm

Câu 8 Một con lắc lò xo nằm ngang có vật nhỏ khối lượng m, dao động điều hoà với biên độ A khi vật đến vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng thì một vật khác m' (cùng khối lượng với vật m) rơi thẳng đứng và dính chặt vào vật m thì khi đó 2 vật tiếp tục dao động điều hoà với biên độ

là

A 5A

7A

5A

2A2

Câu 9: Một con lắc lò xo đặt thẳng đứng gồm lò xo có độ cứng k = 100 N m, vật nặng khối lượng m = 1 kg Nâng vật lên tới vị trí sao cho lò xo có chiều dài tự nhiên rồi thả nhẹ để con lắc dao động điều hòa Bỏ qua mọi lực cản Khi vật nặng tới vị trí thấp nhất thì nó tự động được gắn thêm vật nặng khối lượng m = 500 g

0 một cách nhẹ nhàng Chọn gốc thế năng tại vị trí cân

- Tìm vị trí cân bằng từ đó tính độ giảm biên độ sau mỗi lần vật qua vị trí cân bằng

- Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng để tính quãng đường, tốc độ lớn nhất, độ dãn, nén lớn nhất trong quá trình vật dao động

I.3.2 Phần bài tập

Câu 1 Một con lắc lò xo nằm ngang có độ cứng k = 20N/m, khối lượng của vật m = 40g Hệ số

ma sát giữa mặt bàn và vật là 0,1 lấy g = 10m/s2, đưa vật tới vị trí mà lò xo nén 5cm rồi thả nhẹ (Chọn gốc O là vị trí vật khi lò xo chưa bị biến dạng, chiều dương theo chiều chuyển động ban đầu) Quãng đường mà vật đi được từ lúc thả đến lúc véc tơ gia tốc đổi chiều lần thứ 2 là

A 30cm B 29,2cm C 14cm D 29cm

Câu 2 Một con lắc lò xo gồm một vật nhỏ khối lượng 100 g và lò xo nhẹ có độ cứng 0,01 N/cm Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo dãn 10 cm rồi buông nhẹ cho vật dao động Trong quá trình dao động lực cản tác dụng lên vật có độ lớn không đổi 10-3 N Lấy π2 = 10 Sau 21,4s dao động, tốc

độ lớn nhất của vật chỉ có thể là

A 58π mm/s B 57π mm/s C 56π mm/s D 54π mm/s

Câu 3 Một CLLX nằm ngang gồm lò xo có độ cứng k = 20 N/m và vật nặng m = 100g Từ VTCB kéo vật ra một đoạn 6 cm rồi truyền cho vật vận tốc20 14cm/s hướng về VTCB Biết rằng hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,4 Lấy g = 10m/s2 Tốc độ cực đại của vật sau khi truyền vận tốc bằng

A 20 22cm/s B 80 2cm/s C 20 10cm/s D 40 6cm/s

Giải:

Câu 4: Hai vật nhỏ A và B có khối lượng lần lượt là m1 = 900g và m2 = 4kg đặt trên mặt phẳng nằm ngang, được nối với nhau bằng lo xo nhẹ có độ cứng là k = 15N/m Vật B dựa vào bức tường thẳng đứng Hệ số ma sát giữa A, B và mặt phẳng ngang là 0,1 coi là nhỏ Coi hệ số ma sát nghỉ cực đại bằng hệ số ma sát trượt Ban đầu hai vật nằm yên và lò xo không biến dạng Một vật nhỏ C có khối lượng m = 100g từ phía ngoài bay dọc theo trục của lò xo với vận tốc v đến va

chạm hoàn toàn không đàn hồi (va chạm mềm) với vật A Bỏ qua thời gian va chạm Lấy g = 10m/s2 Giá trị nhỏ nhất của v để vật B có thể rời tường và dịch chuyển là

A 17,9 m/s B 17,9 cm/s C 1,79 cm/s D 1,79m/s

Câu 5 Một con lắc lò xo có độ cứng k = 10N/m, khối lượng vật nặng m = 200g, dao động trên mặt phẳng ngang, được thả nhẹ từ vị trí lò xo dãn 6cm; hệ số ma sát trượt giữa con lắc và mặt bàn là 0,1 Thời gian chuyển động thẳng của vật m từ lúc thả tay đến lúc m đi qua vị trí lực đàn hồi của lò xo nhỏ nhất lần thứ nhất là

A 0,296s B 0,222s C 0,444 s D 0,592 s

Câu 6 Một con lắc lò xo gồm vật có m = 100g và lò xo có k = 10N/m đặt nằm ngang Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,2 Lấy g = 10 m/s2 Ban đầu vật được thả nhẹ tại vị trí lò xo giãn 6cm Tốc độ trung bình của vật trong thời gian kể từ thời điểm thả đến thời điểm vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần đầu tiên là

A 28,66 cm/s B 38,25 cm/s C 25,48 cm/s D 32,45 cm/s

Câu 7 Cho một chất điểm dao động điều hoà với biên độ A = 5cm, chu kì T = 0,2s, công suất tức thời của lực hồi phục tại x = 3cm là 1,86 W Hỏi P cực đại của lực hồi phục trong quá trình dao động là

A 1,94 W B 3,1W C 2,63W D 5,17W

Câu 8 Một con lắc lò xo nằm ngang gồm lò xo có độ cứng k = 100N/m và quả cầu nhỏ A có khối lượng 200g đang đứng yên, lò xo không biến dạng Dùng quả cầu B có khối lương 50g bắn vào quả cầu A dọc theo trục lò xo với vận tốc có độ lớn 4m/s lúc t = 0; va chạm giữa hai quả cầu

là va chạm mềm Hệ số ma sát giữa A và mặt phẳng đỡ là  = 0,01; lấy g = 10m/s2 Vận tốc của hai vật lúc gia tốc đổi chiều lần 3 kể từ t = 0 là

thì ngừng tác dụng lực F

Khi đó vật dao động điều hòa với biên độ A2 Biết trong quá trình sau đó lò xo luôn nằm trong giới hạn đàn hồi Bỏ qua ma sát giữa vật và sàn Tỉ số 2

Hệ số ma sat trượt giữa M và mặt phẳng ngang là  = 0,2 Xác định tốc độ cực đại của M sau khi

lò xo bị nén cực đại, coi va chạm là hoàn toàn đàn hồi xuyên tâm

A 0,4m/s B 0,5m/s C 1m/s D 0,8 m/s

II CON LẮC ĐƠN

II 1 Các bài toán về chu kì, tần số

II.1.1 Phương pháp

- Áp dụng công thức tính chu kì, tấn số của con lắc đơn

- Sử dụng các công thức gần đúng để tính chu kì do biến thiên những giá trị nhỏ của l, g

- Sử dụng phương pháp tìm gia tốc trọng trường hiệu dụng trong trường hợp con lắc chịu tác dụng của ngoại lực không đổi ngoại trọng lực như lực quán tính, lực điện trường, lực đẩy Acsimet, lực từ

II.1.2 Phần bài tập

Câu 1: Một con lắc đơn gồm vật nặng có khối lượng 100g mang điện tích q Để xác định q, người ta đặt con lắc đơn trong điện trường đều có cường độ 104V/m Khi điện trường hướng thẳng đứng lên trên thì con lắc dao động với chu kì T1 = 2s Khi điện trường hướng theo phương ngang thì con lắc dao động với chu kì 2,17s Giá trị của q là

A -2.10-5C B 2.10-5C C 4.10-5C D - 4.10-5C

Câu 2: Một con lắc lò xo thẳng đứng và một con lắc đơn được tích điện có cùng khối lượng m, điện tích q Khi dao động điều hòa không có điện trường thì chúng có cùng chu kì T1 = T2 Khi đặt cả hai con lắc trong cùng điện trường đều có vectơ cường độ điện trường nằm ngang thì độ giãn của con lắc lò xo tăng 1,44 lần, con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì là 5/6 s Chu kì dao động của con lắc lò xo trong điện trường là

Câu 3: Một con lắc đơn gồm hòn bi nhỏ bằng kim loại được tích điện q > 0 Khi đặt con lắc vào trong điện trường đều có véc tơ cường độ điện trường nằm ngang thì tại vị trí cân bằng dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc  với tan = 3/4, lúc này con lắc dao động nhỏ với chu kỳ

T1 Nếu đổi chiều điện trường này sao cho véctơ cường độ diện trường có phương thẳng đứng hướng lên và cường độ không đổi thì chu kỳ dao động nhỏ của con lắc lúc này là:

A T1

5

1T

A 2.10−3 N B 2.10−4 N C 0,2N D 0,02N

II.2 Các bài toán về tính vận tốc, lực căng dây, năng lượng dao động

II.2.1 Phương pháp

- Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng để tính vận tốc

- Áp dụng định luật II Niuton để tính lực căng dây

- Áp dụng công thức tính năng lượng dao động bé của con lắc đơn để tính toán các đại lượng như biên độ, vận tốc, li độ

II.2.2 Phần bài tập

Câu 1: Một con lắc đơn gồm một sợi dây kim loại nhẹ chiều dài

l = 1,2 m có đầu trên cố định, đầu dưới treo một quả cầu nhỏ bằng kim

loại Kéo vật nặng ra khỏi vị trí cân bằng một góc α = 0,1 rad0 rồi thả

nhẹ để vật dao động điều hòa Con lắc dao động trong từ trường đều có

véctơ B

vuông góc với mặt phẳng dao động của con lắc và có độ lớn

B = 0,04 T Suất điện động cực đại xuất hiện giữa hai đầu dây kim

A

l

loại là

A 0,0783 V B 0,0083 V C 0,0166V D 0,1566V

Câu 2: Một con lắc đơn dao động điều hòa trong thang máy đứng yên tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8m/s2 với năng lượng dao động là 150 mJ, gốc thế năng là vị trí cân bằng của quả nặng Đúng lúc vận tốc của con lắc bằng không thì thang máy chuyển động nhanh dần đều đi lên với gia tốc 2,5 m/s2 Con lắc sẽ tiếp tục dao động điều hòa trong thang máy với năng lượng dao động

A 150 mJ B 129,5 mJ C 111,7 mJ D 188,3 mJ

Câu 2: Một con lắc đơn đồng hồ có chu kì T = 2s, vật nặng có khối lượng 1kg, dao động tại nơi

có g = 10m/s2 Biên độ góc ban đầu là 50 Do chịu tác dụng của lực cản Fc = 0,011N nên dao động tắt dần Người ta dùng một pin có suất điện động E = 3V, điện trở trong không đáng kể để

bổ sung năng lượng cho con lắc với hiệu suất của quá trình bổ sung là 25% Pin có điện tích ban đầu là Q0 = 104C Hỏi đồng hồ chạy bao lâu thì phải thay pin?

A 40 ngày B 46 ngày C 92 ngày D 23 ngày

Câu 4: Hai con lắc đơn có cùng khối lượng vật nặng, dao động trong hai mặt phẳng song song cạnh nhau và cùng vị trí cân bằng Chu kì dao động của con lắc thứ nhất bằng hai lần chu kì dao động của con lắc thứ hai và biên độ dao động của con lắc thứ hai bằng ba lần con lắc thứ nhất Khi hai con lắc gặp nhau thì con lắc thứ nhất có động năng bằng ba lần thế năng Tỉ số độ lớn vận tốc của con lắc thứ hai và con lắc thứ nhất khi chúng gặp nhau bằng

A 4 B 14

140

Câu 5 : Một con lắc đơn được treo vào trần của một thang máy có thể chuyển động thẳng đứng

g = 10 m/s Khi thang máy đứng yên, cho con lắc dao động nhỏ với biên độ góc 0

và có năng lượng E Khi vật có li độ góc α = +α0thì đột ngột cho thang máy chuyển động lên trên nhanh dần đều với gia tốc 2

a = 2 m/s Con lắc vẫn dao động điều hòa với biên độ góc β0và năng lượng mới là E' Đáp án nào dưới đây là đúng?

A α0 2/3 B 0 C 0 D α / 20

Câu 8 Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc α0 = 0,1rad Tỉ số giữa độ lớn gia tốc của con lắc tại vị trí biên và vị trí có động năng bằng 2 lần thế năng là

A 9 B 3 C 1,72 D 1,63

Câu 9: Một con lắc đơn gồm dây treo chiều dài l và vật nặng khối lượng m có thể dao động

không ma sát trong mặt phẳng thẳng đứng Từ vị trí cân bằng, kéo vật sao cho dây treo hợp với phương thẳng đứng góc 0

0 45

  rồi thả nhẹ Gia tốc trọng trường là g Độ lớn cực tiểu của gia tốc con lắc trong quá trình dao động là

A 0 B g 1

3 C g D

2g3Câu 10 Có ba con lắc đơn cùng chiều dài dây treo, cùng treo tại một nơi Ba vật treo có khối lượng m1 > m2 > m3, lực cản của môi trường đối với 3 vật là như nhau Đồng thời kéo 3 vật lệch một góc nhỏ rồi buông nhẹ thì

A con lắc m1 dừng lại sau cùng B cả 3 con lắc dừng cùng một lúc

C con lắc m3 dừng lại sau cùng D con lắc m2 dừng lại sau cùng

Câu 11: Đưa vật nhỏ của con lắc đơn đến vị trí dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc 50rồi thả nhẹ cho dao động Khi dao động vật luôn chịu tác dụng bởi một lực cản có độ lớn bằng 0,01% trọng lượng vật biết biên độ của vật giảm đều trong từng chu kỳ Sau khi qua vị trí cân bằng được 20 lần thì biên độ dao động của vật là

A 4,90 B 4,60 C 4,70 D 4,80

Câu 12: Một con lắc đơn dao động điều hoà theo phương trình li độ góc  = 0,1cos(2t + /4) (rad) Trong khoảng thời gian 5,25s tính từ thời điểm con lắc bắt đầu dao động, có bao nhiêu lần con lắc có độ lớn vận tốc bằng 1/2 vận tốc cực đại của nó?

Câu 13: Một con lắc đơn có chiều dài l = 40cm, được treo tại nơi có g = 10 m/s2 Bỏ qua sức cản không khí Đưa con lắc lệch khỏi VTCB một góc 0,1 rad rồi truyền cho vật nặng vận tốc 20 cm/s theo phương vuông góc với dây hướng về VTCB Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng của vật nặng, gốc thời gian lúc gia tốc của vật nặng tiếp tuyến với quỹ đạo lần thứ nhất Phương trình dao động của con lắc có dạng

A 8cos(25t + ) cm B 4 2cos(25t + )cm

C 4 2cos(25t + /2) cm D 8cos(25t) cm

Câu 14: Một con lắc đơn có khối lượng m1 = 400g, có chiều dài 160cm ban đầu người ta kéo vật lệch khỏi VTCB một góc 600 rồi thả nhẹ cho vật dao động, khi vật đi qua VTCB vật va chạm mềm với vật m2 = 100g đang đứng yên, lấy g = 10m/s2 Khi đó biên độ góc của con lắc sau khi

va chạm là

A 53,130 B 47,160 C 77,360 D 530

III TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ

III 1 Tổng hợp dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số

III.1.1 Phương pháp

- Áp dụng công thức về tổng hợp dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số

- Có thể áp dụng tổng hợp dao động bằng phương pháp lượng giác

- Sử dụng phương pháp véc tơ quay

- Sử dụng phương pháp chiếu lên các trục toạ độ

- Với bài toán tìm biên độ lớn nhất thì dùng phương pháp véc tơ quay, áp dụng định lí hàm số sin

để giải

III.1.2 Phần bài tập

Câu 1: Hai dao động điều hòa cùng tần số x1 = A1cos(ωt - π

6 ) cm và x2 = A2cos(ωt - π) cm, có phương trình dao động tổng hợp là x = 9cos(ωt + φ) Để biên độ A2 có giá trị cực đại thì A1 có giá trị

A 18 3 cm B 7 cm C 15 3 cm D 9 3 cm

Câu 2: Một vật thực hiện đông thời hai dao động điều hòa: x = A1cos(t) cm; x = 2,5 3 cos(ωt + φ2) cm và người ta thu được biên độ dao động tổng hợp là 2,5cm Biết A1 đạt cực đại, hãy xác định φ2?

Câu 3: Dao động của một chất điểm là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình li độ lần lượt là x1 = 3cos(2π

1 1 ;x = A cos(ωt)2 2 ;x = A cos(ωt - π/2)3 3 Tại thời điểm t1

các giá trị li độ x = - 10 31 cm, x = 15cm2 , x = 30 33 cm Tại thời điểm t2 các giá trị li độ x1=

−20cm, x2= 0cm, x3= 60cm Biên độ dao động tổng hợp là

Câu 5: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động trên trục Ox có phương trình x1 =

A1cos10t; x2 = A2cos(10t + 2) Phương trình dao động tổng hợp x = A1 3cos(10t + ), trong

G HƯỚNG DẪN GIẢI, ĐÁP SỐ

I CON LẮC LÒ XO

Câu 1 Một con lắc lò xo gồm lò xo nhẹ có độ cứng k = 10 N/m và vật nhỏ có khối lượng m Con lắc dao động điều hòa theo phương ngang với tần số f Biết ở thời điểm t1 vật có li độ 3 cm, sau t1 một khoảng thời gian 1/4f vật có vận tốc – 30 cm/s Khối lượng của vật là

A 200 g B 100 g C 300 g D 50 g

Giải

Cách 1: Dùng phương pháp lượng giác

Giả sử phương trình dao động của vật: x = Acos(2πft + )v = -2πfAsin(2πft + )

Tại thời điểm t + T/4 vận tốc của vật:

Đổi x = 4sin(2t + /2) cm = 4cos2t (cm)

- Khi t = 0 vật ở biên độ dương (M0), chu kì T = 1s

- Trong 1 chu kì chất điểm có hai lần đi qua vị trí x = 3cm

- Chất điểm đi qua vị trí x = 3 cm lần thứ 2012 sau khoảng thời gian

Câu 3: Hai vật dao động điều hòa quanh gốc tọa độ O (không va

π

x = 2cos(4πt) cm; x = 2 3cos(4πt + ) cm

6 Tìm số lần hai vật gặp nhau trong 2,013s kể từ thời

điểm ban đầu

Giải

Cách 1: Phương pháp lượng giác

+ Khi 2 vật gặp nhau: 2cos4t = 2 3cos(4t + /6)

cos4t = 3(cos4t 3/2 – sin4t.1/2)  3/2 sin4t = 1/2cos4t

4 ; Quãng đường vật đi từ thời điểm t1 = 0,5(s) đến t2 = 6s là

S = 12A – S1 với S1 là quãng đường vật đi được trong thời gian T

4 đầu tiên

Từ: x = 20cos(5πt -

4

3) cm Biên độ A = 20 (cm)

Cách 2: Phương pháp véc tơ quay

- Tại t1 = 0,5(s) thì vị trí véc tơ quay xác định bởi góc - /4

- Góc quét trong t là  = t = 5,5 = 2.2 +  + /2

 M

M0

20

10 2

-10 2

- Từ hình vẽ tính được S = 3.4A - A 2

= 240 – 20 2 = 211,7157 cm = 211,72 cm

Câu 5: Hai chất điểm cùng thực hiện dao động điều hòa trên cùng một trục Ox (O là vị trí cân bằng), có cùng biên độ A nhưng tần số lần lượt là f1 = 3 Hz và f2 = 6 Hz Lúc đầu cả hai chất điểm đều qua li độ A/2 theo chiều dương Thời điểm đầu tiên các chất điểm đó gặp nhau là

2(60 - α) = 60 + αα = 20 Như vậy từ khi bắt đầu

chuyển động đến khi gặp nhau chất điểm M1 chuyển

động được góc 40 độ Khi đó thời gian chất điểm M1

chuyển động đến khi gặp nhau là :

1

140

π

2) (cm) Biết

T1T2 =

Vẽ giản đồ vectơ như hình vẽ

Ở thời điểm ban đầu hai chất điểm ở M01 và M02

Sau thời gian t = T 1

và chuyển động ngược chiều nhau Lấy π2 = 10 Khoảng thời gian giữa 2013 lần hai vật gặp nhau liên tiếp là

α α

- Coi hai vật chuyển động tròn đều với cùng chu kì trên hai đường tròn bán kính R1 = 2R2

- Hai vật gặp nhau khi hình chiếu lên phương ngang trùng

nhau và một vật ở phía trên, một vật ở phía dưới

- Giả sử lần đầu tiên chúng gặp nhau khi vật 1 ở M1; vật 2

- Suy ra M1N1 và M2N2 đối xứng nhau qua O tức là sau

nửa chu kì hai vật lại gặp nhau Do đó khoảng thời gian

giữa 2013 lần hai vật gặp nhau liên tiếp là t = (2013 -

12) cm Coi rằng trong quá trình dao động

hai chất điểm không va chạm vào nhau Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm có

giá trị:

A 4 2cm B 8 cm C 4 cm D 0,14 cm

Giải:

Ký hiệu A1A2 là đường nối ngọn hai véc tơ ở thời điểm t

- Hai vật chuyển động cùng tần số, nên tam giác OA1A2

không đổi

(A1A2)2 = A12 + A22-2A1A2cos(φ1 - φ2)

= 42 + 2.42 - 2.4.4 2/ 2= 42  (A1A2) = 4

Khoảng cách 2 vật là hình chiếu đoạn A1A2 trên Ox

Khoảng cách đó cực đại khi A1A2//Ox đạt cực đại bằng

A1A2 = 4 cm

Câu 9: Một vật có khối lượng m = 100g chuyển động có phương trình:

x = (4 + Acosωt) (cm;s) Trong đó A, ω là những hằng số Biết rằng cứ sau một khoảng thời gian ngắn nhất π

30s thì vật lại cách vị trí cân bằng 4 2cm Tốc độ vật và hợp lực tác dụng lên vật tại

vị trí x1 = - 4cm lần lượt là

A 0 cm/s và 1,8 N B 120 cm/s và 0 N

C 80 cm /s và 0,8 N D 32 cm/s và 0,9 N

Giải:

Phương trình CĐ của vật có dạng: x = 4 + Acost Chọ gốc tọa độ là O

 vật dao động điều hòa quanh vị trí O’ có tọa độ x0 = OO’= 4 cm