Ta có tứ giác AEHF là hình chữ nhật tứ giác có ba góc vuông Suy ra I là trung điểm của AH suy ra IK là đường trung bình của tam giác ADH suy ra IK//AD, mà AD vuông góc với AB suy ra IK v
Trang 2HƯỚNG DẪN
Câu 3.
2x y 2 2 2x 0 2
Từ (1) x y 2x y 1 0 x y hoặc y = -2x – 1
*) Nếu x = y thay vào (2) ta có: 3x 2 2x 2 Giải phương trình ta được x = 2 suy ra y = 2
*) Nếu y = - 2x – 1 hệ vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (2;2)
Câu 4
I
M K
E
C
D
a) Chứng minh I là trực tâm tam giác ABK.
Ta có tứ giác AEHF là hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông)
Suy ra I là trung điểm của AH suy ra IK là đường trung bình của tam giác ADH suy
ra IK//AD, mà AD vuông góc với AB suy ra IK vuông góc với AB Lại có AH vuông góc với BK nên I là trực tâm tam giác ABK
b) Tứ giác ABMK nội tiếp
Vì IK là đường trung bình của tam giác ADH nên IK // AD và IK = ½ AD do đó
IK // BC, IK = MC nên tứ giác BMKI là hình bình hành suy ra BI//KM
Lại có I là trực tâm tam giác ABK nên BI vuông góc với AK do vậy KM vuông góc với AK suy ra tứ giác ABMK nội tiếp
c) AH3 BE.BD.DF
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABD, đường cao AH ta có:
2
AH DH.BH (1)
Ta có tam giác BEH đồng dạng với tam giác BAD suy ra BE BH BH BE.BD
Kết hợp (1) ta được 2 DH.BE.BD
AH
AB
Chứng minh được tam giác DFH đồng dạng với tam giác AHB suy ra:
AH
Trang 3Từ (2) và (3) suy ra 3 DH.BE.BD DF.AB
Câu 5 Đặt xy = a, yz = b, zx = c, ta có a + b + c = 1, 2 ac 2 ab 2 bc
2
suy ra :
2
4x yz 2 2a b 2c b , tương tự:
2
4y zx 2 2b c 2a c ;
2
4z xy 2 2c a 2b a
Do đó P =
2a b 2c b 2b c 2a c 2c a 2b a Mặt khác ta có 4xy x y 2 nên 4 2a b 2c b 2a 2b 2c 2 suy ra
2a b 2c b 2a 2b 2c , tương tự
2b c 2a c 2a 2b 2c ;
2c a 2b a 2a 2b 2c suy ra P
1
a b c 2a 2b 2c
Dấu = xảy ra khi a = b = c = 1
3 khi đó
1
x y z
3