bài tạp toán 2

LỜI NÓI ĐẦU Cuốn sách Bài tập Toán cao cấp tập 2 phần Giải tích được biên soạn theo sát chương trình Toán cao cấp dành cho học viên và sinh viên của trường SQKT Quân sự, nhằm mục đích n

TỔNG CỤC KỸ THUẬT

TRƯỜNG SỸ QUAN KỸ THUẬT QUÂN SỰ

BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP

TẬP 2

TP HỒ CHÍ MINH - 2010

TỔNG CỤC KỸ THUẬT

TRƯỜNG SỸ QUAN KỸ THUẬT QUÂN SỰ

BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP

TẬP 2

(Dùng cho đối tượng sỹ quan kỹ thuật, cao đẳng kỹ thuật)

TP HỒ CHÍ MINH - 2010

Trường Sỹ quan Kỹ thuật Quân sự mong được bạn đọc góp ý kiến phê bình (Quyết định ban hành số: /QĐ-SQKTQS ngày tháng năm 2010)

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU

Cuốn sách Bài tập Toán cao cấp tập 2 phần Giải tích được biên soạn theo sát chương trình Toán cao cấp dành cho học viên và sinh viên của trường SQKT Quân

sự, nhằm mục đích nâng cao chất lượng đào tạo, giúp học viên thuận lợi hơn trong việc học tập và nghiên cứu môn Toán tại nhà trường

Nội dung các chương mục được trình bày theo đúng phân phối chương trình mới nhất đã được nhà trường thông qua Giáo trình gồm 4 chương :

Chương I : Hàm số

Chương II : Phép tính vi phân của hàm số

Chương III : Phép tính tích phân của hàm số

Chương IV : Phương trình vi phân

Ở mỗi chương có phần tóm tắt lý thuyết chủ yếu, các bài tập giải sẵn chi tiết

và cuối cùng là các bài tập đề nghị có gợi ý và đáp án Ở phần bài tập, các tác giả

đã sắp xếp từ mức độ dễ, trung bình đến khó và cố gắng đưa ra hầu hết các dạng bài tập tương ứng với mỗi phần

Tuy nhiên các phương pháp giải ở đây không phải là duy nhất và càng không phải là phương pháp chung cho phép giải các tất cả các bài toán khác mà chỉ là phương tiện để tham khảo hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu

Thông qua cuốn giáo trình này tác giả hy vọng minh họa được một phần các phương pháp chủ yếu của Toán học và gợi ý để bạn đọc có điều kiện tiếp thu được những kỹ năng cần thiết cho việc tư học và nghiên cứu môn Toán

Việc biên soạn tập sách này là kết quả của công trình sưu tập, chọn lọc và sáng tạo của các tác giả sau nhiều năm giảng dạy cho học viên và sinh viên Mặc dù

đã có nhiều cố gắng trong biên soạn nhưng chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót Rất mong được sự đóng góp của các đồng nghiệp để nội dung ngày càng hoàn thiện hơn Mọi góp ý xin gửi về Bộ môn Toán - Khoa KHCB

CÁC TÁC GIẢ

được gọi là hàm số một biến X được gọi là tập xác định của hàm f và thường được

ký hiệu là Df , xX gọi là biến số, y = f(x) Y được gọi là hàm số của biến x, y còn được gọi là ảnh của x qua f

Tập giá trị của hàm f được ký hiệu là Rf và được xác định bởi:

- Hàm đơn điệu tăng, đơn điệu giảm: Hàm y = f(x) được gọi là:

+ Hàm đơn điệu tăng ngặt (không ngặt) trên miền A  Dx nếu x1, x2  A,

- Do hai điểm M (x, y) và N (y,x) đối xứng nhau qua đường y = x, nên đồ thị của hàm y = f(x) và hàm ngược y = f-1(x) là hai đường cong đối xứng nhau qua đường thẳng y = x (là đường phân giác góc phần tư thứ I và III)

* Chú ý: Tất cả các hàm số thường gặp đều là hàm sơ cấp

1.1.2 Khái niệm hàm số nhiều biến:

a Định nghĩa:

- Định nghĩa 1: Trong tập Rn , một phần tử x  Rn là một bộ số thực (x1, … , xn) Ta

được gọi là hàm n biến xác định trên tập D

Với n = 2 ta gọi là hàm hai biến và thường ký hiệu hàm z = f(x,y)

Với n = 3 ta gọi là hàm 3 biến và thường ký hiệu là u = f(x,y,z)

b Miền xác định, miền giá trị của hàm nhiều biến:

- Định nghĩa 1: Nếu hàm 2 biến cho ở dạng công thức z = f(x,y) thì tập xác định Df của hàm số là tập tất cả các bộ (x,y) để biểu thức f(x,y) có nghĩa

- Định nghĩa 2: Tập giá trị Rf của hàm z = f(x,y) là tập tất cả các giá trị hàm số thu được khi (x,y) thay đổi trong miền xác định Df của hàm

ẩn số Tập giá trị của y là tập hợp các giá trị của y để từ (1) ta xác định được x

Từ (1) suy ra: yx22x 9y 0  có nghiệm x khi 2 1 1

Từ (1) suy ra: y2   x2 2x 1

     có nghiệm x khi      ' y2 0 y 0

Vậy tập giá trị của hàm số là: Rf  0

3 Để tìm tập giá trị của hàm số y ta giải phương trình y arccos 22x



 (1) với x là ẩn số Tập giá trị của y là tập hợp các giá trị của y để từ (1) ta xác định được x

Từ (1) suy ra: 22x cos y

x 1

2

(cos y)x 2x cos y 0

    có nghiệm x khi   ' 1 cos y 02    1 cos y 1 Theo định nghĩa của hàm arccos ta có: 0 y  

Vậy tập giá trị của hàm số là: Rf  0, 

4 Để tìm tập giá trị của hàm số y ta giải phương trình y sin x 5cos x  (1) với x là ẩn số Tập giá trị của y là tập hợp các giá trị của y để từ (1) ta xác định được x

Từ (1) suy ra: y 26 sin(x  (với tg)   có nghiệm x khi y5)  26

Vậy tập giá trị của hàm số là: Rf   26 , 26

Bài 3: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

1 f (x) 3(1 x) 2  3(1 x) 2

Bài 4: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số sau:

1 f (x) A cos x , f (x) Asin x , f (x) Atg x , f (x) A cot g x (          0)

2 Với f (x) sin x n , lập luận tương tự như trên ta có: sin (x a) sin xn   n (1)



* Nếu n chẵn thì từ (1) suy ra:

 f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ T  

5 Với f (x) sin x 2, lập luận tương tự như trên ta có: sin(x a) 2 sin x2

sin 2x là hàm tuần hoàn với chu kỳ T 2

Bài 5: Tìm hàm ngược (nếu có) của các hàm số sau:

5

2 2

Do đó, y R , y    thì tồn tại hàm ngược duy nhất của y là 1 x 1 y , y 1

4 Phương trình y = signx có vô số nghiệm x

Do đó y = signx không tồn tại hàm ngược

1

x f (y) 

Để tìm x ta xét:

2 2

Vậy Df là toàn bộ miền nằm trong phần Parabol x = y2

Theo tính chất của hàm logarit, suy ra tập giá trị của hàm số là

Đặt u = x2 + y2 với điều kiện 1  u  4

Xét hàm g (u) = (u - 4)(1 - u), dễ thấy 0  g(u)  9

4 Suy ra, miền giá trị của hàm f (x,y) là Rf = 0,3

Ta có thể định nghĩa giới hạn hàm số một biến theo định nghĩa giới hạn dãy

số, hoặc định nghĩa theo ngôn ngữ lân cận  -  và hai định nghĩa là tương đương

- Định nghĩa 1 (theo giới hạn dãy số): Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của

0

x xlim f (x) A

- Định nghĩa 2 (theo ngôn ngữ  - ): Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của

nếu  > 0 nhỏ tùy ý, () > 0 để f (x) A <  khi x x 0 < (), và ta ký hiệu là

* Chú ý: Có thể dùng giới hạn dãy số để định nghĩa các giới hạn mở rộng trên

- Định nghĩa 5 (Giới hạn một phía):



 = 1

* Các giới hạn khác:

x x

1lim 1

g(x)



o

x x

f (x)lim

g(x)

* Chú ý: So sánh các VCL cũng tương tự

g (x)

sinx ~ x , tgx ~ x , arcsinx ~ x , arctgx ~ x , 1 cos x ~ x1 2

2

ln(1 + x) ~ x , ax 1 ~ xlna , ex 1 ~ x , (1 x)  1 ~ x

f Các dạng vô định: Ta có các dạng vô định sau:

: là giới hạn x x o

f (x)limg(x)

yo) là toàn bộ hình tròn tâm tại điểm Mo(xo, yo) bán kính 

nlim (M , M ) 0

n  Dễ thấy nếu Mn(xn, yn)  M(xo, yo) khi và chỉ khi xn  xo và yn  yo

 dãy điểm Mn(xn, yn)  Mo(xo,yo) thì f(xn, yn)  A Lúc đó, ta ký hiệu là

o o o

M(x,y) M (x ,y )lim f (x, y) A

o 0

được gọi là có giới hạn A khi M(x, y)  Mo(xo, yo) nếu  > 0 nhỏ tùy ý,  > 0 để

f(x,y) - A <  khi d(M,Mo) < 

* Chú ý:

- A là hữu hạn

- Giới hạn định nghĩa ở trên được gọi là giới hạn kép hay giới hạn bội, nghĩa là

x  xo, y  yo diễn ra đồng thời

- Ngoài giới hạn bội trên ta còn xét các giới hạn lặp theo cách thức như sau:

b Tính chất:

- Tính chất 1: Giới hạn

o o o M(x,y) M (x ,y )lim f (x, y)

- Tính chất 2: Cho hai hàm f(x,y) và g(x,y) thỏa

o o o M(x,y) M (x ,y )lim f (x, y) A

o o o M(x,y) M (x ,y )lim f (x, y)

o o o M(x,y) M (x ,y )lim f (x, y) g(x, y)

o o o M(x,y) M (x ,y )lim f (x, y).g(x, y)

o o o M(x,y) M (x ,y )

f (x, y)lim

o o o M(x,y) M (x ,y )lim g(x, y)

Bài giải

1 Lấy một dãy bất kỳ xn 1 , xn  1

Khi đó:

3

2 n

Đặt E(x ) nn  (E(x ) được gọi là phần nguyên của x, n E(x ) x )n  n

a

n

Lấy một dãy bất kỳ xn 1 , xn  , E(x ) nn 

x

n n

(a )lim

k

k x

sin(a x) sin(a x) 2cosa sin x

6

a a

1

x 1

xlim(1 x)tg

2x 2lim

x x

1lim e

x 2lim

nên

1 0 cos x x

2 x

nên

2x

3 x

0 khi x1

lim

khi x2

cos x cos 2x (1 cos 2x) (1 cos x) 1 cos 2x

ln(2 e )lim

x 0

1lim



 =

x x x

2

elim

Trường hợp 2:  x

x

ln 2 elim

x



 = 0 (do x

cos x 1 2

2

2 2 (x y) x

2 2 x

y

xylim

lim xe

2 2 x

y

xylim

12

2 2

x

y

xylim

2 2 x

x

x +

2 4

  1

y +

1x

Ta có:

(x,y) (0,a)

sin xylim

xy

t 0

sin tlimt

1n

(4n 1)  (n = 1, 2,…) thì h(xn, y)=0 và h (xn’, y) = ysin1

(2x 3) (3x 2)lim

6

2sin x sin x 1lim

x 0

e cos x 1lim

x 0

1 tgxlim

x 2

xlim 2

x 0

tgxlim

- Định nghĩa 2 (Liên tục một phía): Hàm f(x) được gọi là:

* Lưu ý: Hàm f(x) liên tục tại điểm xo  f(x) liên tục trái và phải tại điểm xo

- Định nghĩa 3 (Liên tục trên khoảng, đoạn):

+ Hàm f(x) liên tục trên [a,b] nếu f(x) liên tục trên (a, b), f(x) liên tục phải tại

a và liên tục trái tại b

* Lưu ý: Hàm f(x) liên tục trên [a,b] thì đồ thị của hàm f(x) là một đường cong liền nét trên [a,b]

b Điểm gián đoạn và phân loại điểm gián đoạn:

điểm gián đoạn nếu xảy ra một trong các trường hợp sau:

- Tính chất 1: Hàm sơ cấp liên tục trên toàn bộ miền xác định của hàm

số), f(x)  g(x), f(x).g(x), f(x)/g(x) (g(xo)  0) cũng là các hàm liên tục tại xo

tục tại uo = u(xo) thì hàm hợp f(u(x)) là hàm liên tục tại xo

- Tính chất 4: Hàm y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì đạt mọi giá trị trung gian nằm giữa f(a) và f(b) (tức là m[f(a),f(b)], luôn c [a,b] để f(c) = m)

- Tính chất 5: Hàm y = f(x) liên tục trên đoạn [a,b] thì đạt giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) trên [a,b] (tức là , [a,b] để f()  f(x)  f()

x[a,b])

- Tính chất 6: Hàm y = f(x) liên tục trên [a,b], có f(a).f(b) < 0 thì c(a,b) để

f(c) = 0 (hay nói cách khác phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c(a,b))

3.1.2 Sự liên tục của hàm nhiều biến:

a Định nghĩa:

+ z = f(x,y) xác định tại điểm Mo(xo, yo) và lân cận điểm Mo

+

o o o M(x,y) M (x ,y )lim f (x, y)

o o o M(x,y) M (x ,y )lim f (M)

khi x 0 khi x = 0

f (x)

khi x

1 khi x = 2

khi x 0 khi x = 0

3x

 = 3  f(0) = 2

 f(x) không liên tục tại x = 0

Vậy f(x) liên tục trên R \ 0  

   f(x) không liên tục tại x = 0

Vậy f(x) liên tục trên R \ 0  

   f(x) không liên tục tại x = 0

Vậy f(x) liên tục trên R \ 0  

1 cos xx

f (x)

khi x

1 khi x = 2

x    f(x) =

1 cos xx

2x

Vậy f(x) liên tục trên R

Bài 3: Xác định a, b để hàm số sau liên tục trên R:

1 f(x) =

2 2

  là hàm sơ cấp nên liên tục

Để hàm liên tục trên R thì f(x) phải liên tục tại x = 0

x < 2  f(x) = 3x + a là hàm sơ cấp nên liên tục

Để hàm liên tục trên R thì f(x) phải liên tục tại x = 2

sin x 1 cos x cos x

    f(x) = x2ax b là hàm sơ cấp nên liên tục

x < 0  f(x) = bx + 2 là hàm sơ cấp nên liên tục

f(x) liên tục trên R  x 1 x 1

x 0 x 0

lim f (x) lim f (x) f (1)lim f (x) lim f (x) f (0)

(x,y) (x ,y )

x ylim

0 0 (x,y) (x ,y )

ylim arcsin

x

 = g(xo, yo)

(x,y) (0,0)

xylim

1

khi x khi x = 0

(1 tg 5x) khi x 0f(x)

1

4 16x

a 3

(1 tg 2x) khi x 0f(x)

a 2

(1 sin 2x) khi x 0f(x)

f (x, y)

(0,0)

khi x

- Định nghĩa: Hàm số y = f(x) xác định trong khoảng (a,b) Đạo hàm của hàm số y

= f(x) tại điểm x0(a,b) là giới hạn (nếu có) của tỷ số 0

Với mọi giá trị của x (a,b) đặt:

x = x - x0 là số gia đối số tại x0

y = f(x) - f(x0) là số gia hàm số tại f(x0)

Đạo hàm bên trái x0: 0

- Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Gọi MoT là tiếp tuyến với đồ thị hàm

y = f(x) tại điểm Mo(xo, f(xo))

Khi xxo thì M  Mo, do đó   

Hình 2.1

(Đây chính là ý nghĩa hình học của đạo hàm tại điểm Mo(xo, f(xo)))

Vậy, phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm y = f(x) tại điểm Mo(xo, f(xo)) có dạng: y = f ’(xo)(x - xo) + f(xo)

- Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:

Dựa vào định nghĩa và các tính chất của đạo hàm người ta đã chứng minh được các công thức đạo hàm của một số hàm sơ cấp sau:

1 (C)’ = 0 (C = const) 2

'1x

 

 

  = 2

1x

u = u '

2 u

3 (u)’ = .u’.u - 1 ( = const, R) 4 (sinu)’ = u’.cosu

5 (cosu)’ = - u’.sinu 6 (tgu)’ = u '2

và ký hiệu là df(xo) Suy ra: df(xo) = f ’(xo) x

Công thức trên gọi là công thức tính gần đúng bằng vi phân

1.1.2 Đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến:

Cho y = yo và ta xem hàm f(x,yo) là hàm một biến của biến x Nếu f(x,yo) có đạo hàm tại xo thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của hàm f đối với biến x tại điểm Mo(xo, yo) và ký hiệu là z (x , y ) hay 'x o o f (x , y ) hay x' o o f (x , y )o o

x

 



Hoàn toàn tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng của f theo biến y tại điểm

Mo(xo, yo) và ký hiệu là z (x , y ) hay 'y o o f (x , y ) hay y' o o f (x , y )o o

y



Vậy: f (x , y )o o

- Định nghĩa: Nếu số gia toàn phần f có thể biểu diễn được ở dạng:

f = Ax +By + x + y Trong đó A, B là các đại lượng chỉ phụ thuộc vào (xo, yo) và

* Chú ý: Trong hàm 1 biến, hàm số có đạo hàm tương đương với hàm số khả vi, và lúc đó ta suy ra được hàm số liên tục Nhưng trong hàm số nhiều biến, có đạo hàm riêng và khả vi là không tương đương, hơn nữa có đạo hàm riêng cũng không suy

ra được liên tục

- Định lý 1: (Mối liên hệ giữa khả vi và sự liên tục)

Nếu hàm z = f(x,y) khả vi tại điểm Mo(xo, yo) thì liên tục tại Mo(xo, yo)

- Định lý 2: (mối liên hệ giữa vi phân toàn phần và đạo hàm riêng)

Nếu hàm z = f(x,y) có các đạo hàm riêng trong lân cận điểm Mo(xo,yo) và các đạo hàm riêng đó liên tục tại Mo thì f(x,y) là khả vi tại Mo và ta có:

dz = df = f (x , y )x' o o x + '

y o o

f (x , y )y

* Chú ý:

- Nếu x, y là hai biến độc lập thì ta có x = dx và y = dy nên df f dx f dyx'  y'

- Tổng quát, hàm n biến z = f(x1, x2, …, xn) thì ta có định nghĩa vi phân tương tự và



 liên tục trong miền (D) và nếu u(x,y), v(x,y) có các đạo hàm riêng u

x



 ,

uy



 ,

vx



 ,

vy

được gọi là ma trận Jacôbi của u, v đối với x, y

Định thức của ma trận trên được gọi là định thức Jacôbi của u, v đối với x, y và ký hiệu là D(u, v)



 dy cho dù x, y là biến độc lập hay biến phụ thuộc

Tương tự:

3

2 2 3

1 x

x 0

1x

x x

4 x a(1 cos )cos 0 t 2

Bài giải

1

3 3

2



4 x a(1 cos )cos , 0 t 2

y'( ) a(1 cos )cos a sin

13x(x 5y)

z y

x

z z

2y3

f (x, y,z) x

+ Tổng quát, đạo hàm cấp n của hàm f(x) trên (a,b) ký hiệu f(n)(x) và xác định bởi công thức f(n)(x) =  (n 1) '

- Định lý: (Quy tắc tính đạo hàm cấp cao)

k 0



b Vi phân cấp cao: Ta gọi:

- Vi phân dy (x) = df(x) = f ’(x)dx là vi phân cấp 1 của hàm f(x)

 d2y(x) = d2f(x) = d d f(x) = f  (2)(x)dx2

dny(x) = dnf(x) = d d n 1 f(x) = f(n)(x)dxn

rõ là lấy vi phân theo biến nào

2.1.2 Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao của hàm nhiều biến:

a Đạo hàm riêng cấp cao:

- Định nghĩa: Cho hàm số hai biến z = f(x,y) Ta gọi:

+ Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp 1 (nếu tồn tại) được gọi là các đạo hàm riêng cấp 2 Ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai sau:

fx

fy

z = f(x,y) có các đạo hàm riêng f (x, y), xy'' f (x, y) Các đạo hàm riêng này là các yx''hàm liên tục tại Mo thì ta có f (x, y)xy'' = f (x, y)yx'' tại Mo

b Vi phân riêng cấp cao:

- Định nghĩa: Cho hàm số hai biến z = f(x,y) Ta gọi:

+ df(x,y) =f ' dx + x f ' dy được gọi là vi phân toàn phần cấp 1 y

+ Vi phân toàn phần của df(x,y) được gọi là vi phân toàn phần cấp 2, ký hiệu

là d2f(x,y)  d2f(x,y) = d[df(x,y)]

+ Tổng quát: Vi phân toàn phần cấp n là vi phân của vi phân toàn phần cấp

n - 1, và được ký hiệu là dnf(x,y)  dnf(x,y) = d[d(n-1)f(x,y)]

fx

  

 

2 2

fy