Tài liệu Cơ kỹ thuật

Phương pháp khối lượng-gia tốc FMA được ứng dụng trực tiếp từ các định luật chuyển động của Newton, nó thể hiện quan hệ giữa các lực tác dụng lên vật thể với khối lượng và gia tốc của lự

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

GIÁO TRÌNH CƠ KỸ THUẬT 2

BỘ MÔN CƠ HỌC

Thái Nguyên 2014

Chương 1 Giới thiệu về động lực học

Sir Isaac Newton (1643-1727) trong luận án của ông về nguyên lý toán học trong tự nhiên và triết học đã thiết lập nền tảng cho động lực học với ba định luật chuyển động và vạn vật hấp dẫn, sẽ được thảo luận trong chương này (Ảnh thời gian và cuộc sống/Ảnh Getty)

1.1 Giới thiệu

Động lực học cổ điển nghiên cứu chuyển động của các vật thể sử dụng các nguyên lý được thiết lập bởi Newton và Euler Đối tượng của quyển sách này được dựa trên những phần nhỏ của động lực học cổ điển được thể hiện trong Hình 1.1

Phần đầu tiên của quyển sách này liên quan đến động lực học chất điểm Một chất điểm là một điểm có khối lượng, nó có khối lượng nhưng không có kích thước Chất điểm là mô hình xấp xỉ của vật thể mà kích thước của nó được bỏ qua khi so sánh với các kích thước xuất hiện trong công thức của bài toán Ví dụ, trong nghiên cứu chuyển động của trái đất quanh mặt trời, ta có thể coi trái đất như một chất điểm, bởi vì bán kính của nó nhỏ hơn rất nhiều so với quĩ đạo của nó

Phần thứ hai của quyển sách này được đề cập chủ yếu tới động lực học vật rắn Một vật thể được nói là rắn nếu khoảng cách giữa hai điểm vật chất bất kỳ của vật thể là không đổi, nghĩa là nếu vật thể không biến dạng Bởi vì vật thể bất kỳ sẽ bị một vài biến dạng khi tải trọng tác dụng lên nó, một vật thể hoàn toàn rắn là không tồn tại Tuy nhiên, trong rất nhiều ứng dụng biến dạng là quá nhỏ (so với kích thước của vật thể) nên sự lý tưởng hóa vật rắn là một xấp xỉ tốt

Như thấy trong Hình 1.1, những nhánh chính của động lực học là động học và động lực học Động học nghiên cứu chuyển động hình học Nó không quan tâm tới nguyên nhân của chuyển động Động lực học, lại khác, liên quan đến những quan hệ giữa lực tác dụng lên vật thể và kết quả chuyển động Động học không chỉ là một chủ đề quan trọng theo tính đúng đắn của nó mà còn là vấn đề tiên quyết cho động lực học Do đó, nghiên cứu động lực học luôn bắt đầu với những vấn đề cơ bản của động học

Động học có thể được chia thành hai phần như trong Hình 1.1: chuyển động tuyệt đối và chuyển động tương đối Thuật ngữ chuyển động tuyệt đối được sử dụng khi chuyển động được mô tả tương ứng với một khung tham chiếu cố định (hệ tọa độ) Chuyển động tương đối, mặt khác, mô tả chuyển động tương ứng với một hệ tọa độ chuyển động

Hình 1.1, cũng liệt kê ba phương pháp chính của phân tích động lực học Phương pháp khối lượng-gia tốc (FMA) được ứng dụng trực tiếp từ các định luật chuyển động của Newton, nó thể hiện quan hệ giữa các lực tác dụng lên vật thể với khối lượng và gia tốc của

lực-nó Những quan hệ này, được gọi là các phương trình chuyển động, phải được tích phân hai lần để thu được vận tốc và vị trí như là hàm của thời gian

Chuyển động tuyệt đối

Chuyển động tương đối

Phương pháp lực- lượng-gia tốc

Phương pháp công – năng lượng Phương pháp xung lực-động lượng Hình 1.1

Phương pháp công-năng lượng và xung lượng-động lượng là các dạng tích phân của các định luật của Newton về chuyển động (các phương trình chuyển động được tích phân theo

vị trí và thời gian) Trong cả hai phương pháp gia tốc được tính toán bởi tích phân Các phương pháp này có thể rất hữu ích trong việc giải các bài toán liên quan đến các quan hệ vận tốc-vị trí hay vận tốc-thời gian

Mục đích của chương này được thể hiện thông qua các khái niệm cơ bản của cơ học Newton: dịch chuyển, vận tốc, gia tốc, các định luật của Newton, và các đơn vị đo lường

1.2 Đạo hàm của các hàm véc tơ

Một sự hiểu biết về tính toán véc tơ là một yêu cầu thiết yếu để nghiên cứu động lực học Ở đây chúng ta thảo luận về đạo hàm của các véc tơ; tích phân được giới thiệu trong quyển sách là cần thiết

Véc tơ A được nói là một hàm véc tơ của một đại lượng vô hướng u nếu độ lớn và chiều của

A phụ thuộc vào u (Trong động lực học, thời gian thường được chọn là đại lượng vô

hướng) Mối quan hệ hàm này được ký hiệu bởi A(u) Nếu biến vô hướng thay đổi từ giá trị

u đến (u+∆𝑢), véc tơ A sẽ thay đổi từ A(u) đến A(u+∆𝑢) Do đó, thay đổi trong véc tơ A có

thể được viết như sau

Như trong hình 1.2, ∆𝑨 đúng với sự thay đổi cả về độ lớn và chiều của A

Đạo hàm của A theo đại lượng vô hướng u được định nghĩa như sau:

(1.2) giả sử rằng giới hạn tồn tại Định nghĩa này giống với đạo hàm của hàm vô hướng y(u), được định nghĩa như sau:

(1.3)

Chú ý: liên quan đến một hàm véc tơ, độ lớn của đạo hàm 𝑑𝑨/𝑑𝑢 không được nhầm với đạo hàm của độ lớn 𝑑 𝑨 /𝑑𝑢 Tổng quát, hai đạo hàm này sẽ không bằng nhau Ví dụ, nếu

độ lớn của véc tơ A là hằng số, thì 𝑑𝑨/𝑑𝑢 = 0 Tuy nhiên, 𝑑𝑨/𝑑𝑢 sẽ không bằng không ngoại trừ chiều của A cũng là hằng số

Các đồng nhất thức sau đây có thể suy ra từ định nghĩa đạo hàm (A và B được giả thiết là

các hàm véc tơ của đại lượng vô hướng u, và m cũng là một vô hướng):

1.3 Vị trí, vận tốc và gia tốc của một chất điểm

Xét chuyển động của một chất điểm dọc một quĩ đạo trơn như trong Hình 1.3 Vị trí

của chất điểm tại thời điểm t được chỉ ra bởi véc tơ vị trí r(t), đó là véc tơ được vẽ từ điểm

cố định O đến chất điểm Gọi vị trí của chất điểm là A tại thời điểm t, và B tại thời điểm t+Δt, với Δt là khoảng thời gian có hạn Sự thay đổi tương ứng trong véc tơ vị trí của chất điểm,

được gọi là véc tơ dịch chuyển của chất điểm

Như được chỉ ra trong Hình 1.3, vị trí của chất điểm tại thời điểm t cũng có thể được chỉ ra bởi tọa độ quĩ đạo s(t), đó là chiều dài của quãng đường giữa một điểm cố định E và chất điểm Sự thay đổi chiều dài quĩ đạo trong khoảng thời gian Δt là

(1.9)

Chú ý: Sự thay đổi chiều dài quĩ đạo không được nhầm lẫn với khoảng di chuyển được của

chất điểm Hai đại lượng này chỉ bằng nhau nếu chiều chuyển động của chất điểm không thay đổi trong khoảng thời gian Nếu chiều của chuyển động thay đổi trong thời gian Δt, thì khoảng di chuyển được sẽ lớn hơn Δs

b Vận tốc

Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t được định nghĩa là

(1.10) Với dấu chấm ở trên chỉ đạo hàm theo thời gian Bởi vì vận tốc là đạo hàm của hàm véc tơ

r(t), nên nó cũng là véc tơ Từ Hình 1.3, chúng ta thấy rằng Δr trở thành tiếp tuyến với quĩ

đạo tại A khi ∆𝑡 → 0 Do đó, véc tơ vận tốc là tiếp tuyến với quĩ đạo của chất điểm

Chúng ta cũng rút ra từ Hình 1.3 rằng ∆𝒓 → ∆𝑠 khi ∆𝑡 → 0 Do đó, độ lớn của vận tốc, cũng được biết như là tốc độ của chất điểm, là

(1.12) Gia tốc của chất điểm tại thời điểm t được định nghĩa là

(1.13) Gia tốc là một véc tơ có thứ nguyên [chiều dài/thời gian2]; do đó đơn vị của nó là m/s2 hoặc ft/s2

Chú ý: véc tơ gia tốc thường không tiếp tuyến với quĩ đạo của chất điểm Chiều của gia tốc

trùng với Δv khi ∆𝑡 → 0, như thể hiện trong Hình 1.4(b), nó không cần thiết giống chiều của

v

1.4 Cơ học Newton

a Phạm vi của cơ học Newton

Năm 1687, Issac Newton (1642-1727) đã xuất bản những qui luật đột phá của ông về

chuyển động trong Những nguyên lý cơ bản (Những nguyên lý toán học của vật lý tự nhiên)

Không nghi ngờ, công trình này được xếp vào số những quyển sách khoa học có tầm ảnh hưởng lớn nhất đã từng được xuất bản Chúng ta không nên nghĩ là sự xuất bản đó ngay lập tức thiết lập nên cơ học cổ điển Công trình của Newton về cơ học liên quan mật thiết với cơ học vũ trụ và do đó được giới hạn cho chuyển động chất điểm Hai trăm năm nữa hoặc nhiều năm trôi qua trước khi động lực học vật rắn, cơ học chất lỏng, và cơ học vật thể biến dạng được phát triển Mỗi một lĩnh vực đòi hỏi những tiên đề mới trước khi nó có thể giả thiết thành một dạng thích hợp

Tuy nhiên, công trình của Newton là nền tảng của cơ học cổ điển, hay cơ học Newton Những nỗ lực của ông đã ảnh hưởng tới hai nhánh khác nhau của cơ học được sinh

ra ở thế kỷ thứ hai mươi: cơ học tương đối và cơ học lượng tử Cơ học tương đối đặt các hiện tượng xảy ra trên một thang chia vũ trụ (vận tốc xấp xỉ với tốc độ của ánh sáng, những trường hấp dẫn mạnh,…) Nó thủ tiêu hai tiên đề không đúng nhất của cơ học Newton: sự tồn tại của khung tham chiều cố định hoặc quán tính và giả thiết rẳng thời gian là một biến tuyệt đối, “chuyển động” với cùng tỉ lệ trong tất cả các phần của vũ trụ (Có bằng chứng rằng tự mình Newton đã băn khoăn bởi hai tiên đề này) Cơ học lượng tử tập trung với chất điểm trên thang chia nguyên tử hoặc thang chia dưới nguyên tử Nó cũng thủ tiêu hai khái niệm yêu mến của cơ học cổ điển: Sự xác định và liên tục Cơ học lượng tử cần thiết một lý thuyết xác suất, thay vì chỉ ra một sự kiện, nó xác định khả năng mà một sự kiện sẽ xảy ra

Hơn nữa, theo lý thuyết đó, các sự kiện xảy ra từng bước phân rã (được gọi là định lượng) hơn là theo một cách liên tục

Cơ học tương đối và cơ học lượng tử không có hiệu lực đối với các nguyên lý của cơ học Newton Trong phân tích chuyển động của các vật thể bắt gặp trong đời sống hàng ngày, cả hai lý thuyết hội tụ đến các phương trình của cơ học Newton Do đó, các lý thuyết

bí truyền hơn thường củng cố sự đúng đắn của các luật chuyển động của Newton

b Các định luật của Newton về chuyển động của chất điểm

Sử dụng kỹ thuật hiện đại, các định luật của Newton về chuyển động của chất điểm

có thể được phát biểu như sau:

1 Nếu một chất điểm đang đứng yên (hoặc chuyển động với vận tốc không đổi), nó

sẽ mãi đứng yên (hoặc tiếp tục chuyển động với vận tốc không đổi) trừ khi nó chịu tác dụng bởi một lực

2 Một chất điểm chịu tác dụng bởi một lực sẽ chuyển động với gia tốc cùng chiều với lực Độ lớn của gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của chất điểm

3 Với mọi tác động, sẽ có một phản lực cân bằng và ngược chiều; nghĩa là, các lực tương tác giữa hai chất điểm là bằng nhau về độ lớn và ngược chiều

Mặc dù định luật thứ nhất đơn giản là trường hợp đặc biệt của định luật thứ hai, nhưng người ta thường phát biểu định luật thứ nhất riêng rẽ bởi tầm quan trọng của nó đối với phần tĩnh học

c Các khung tham chiếu quán tính

Khi áp dụng định luật thứ hai của Newton, cần tập trung xây dựng một hệ tọa độ mà trong đó gia tốc có thể đo được Một khung tham chiếu quán tính (cũng được biết như là khung tham chiếu Newton hoặc Gallile) được định nghĩa là một hệ tọa độ rắn bất kỳ mà trong đó các định luật của Newton về chuyển động của chất điểm tương đối so khung tham chiếu đo là có hiệu lực với một độ chính xác chấp nhận được Trong hầu hết các ứng dụng thiết kế đã sử dụng bề mặt trái đất, một khung quán tính có thể được xấp xỉ với đủ sự chính xác bằng cách gắn hệ tọa độ vào trái đất Trong nghiên cứu về vệ tinh trái đất, một hệ tọa độ gắn vào mặt trời thường được sử dụng Đối với chuyển động hành tinh, cần thiết sử dụng các hệ tọa độ gắn vào các ngôi sao cố định đã được đặt tên

Có thể thấy rằng khung tham chiếu bất kỳ mà đang tịnh tiến với vận tốc không đổi tương đối so với khung tham chiếu quán tính thì tự nó cũng là khung tham chiếu quán tính

Thông thường để bỏ qua từ quán tính khi thể hiện các khung tham chiếu đối với các định

luật Newton rõ ràng nghiệm đúng

d Các đơn vị và các thứ nguyên

Các chuẩn của việc đo đạc được gọi là các đơn vị Thuật ngữ thứ nguyên thể hiện cách đo đạc, bất chấp đơn vị được sử dụng Ví dụ, kilogam và mét/giây là các đơn vị, trong khi đó khối lượng và chiều dài/thời gian là các thứ nguyên Các thứ nguyên cơ bản trong hệ SI (từ System international unit) là khối lượng [M], chiều dài [L], và thời gian [T], và các đơn vị

cơ bản là kilogam (kg), mét (m), và giây (s) Tất cả các thứ nguyên hay đơn vị khác đều là các tổ hợp của các đại lượng cơ bản đó Ví dụ, thứ nguyên của vận tốc là [L/T], đơn vị vận tốc là km/h, m/s, và vân vân

Một hệ với các thứ nguyên cơ bản [FLT] (chẳng hạn hệ đo lường US), được gọi là một hệ hấp dẫn Nếu các thứ nguyên cơ bản là [MLT] (như hệ SI), hệ được gọi là hệ tuyệt đối Trong mỗi hệ đo đạc, các đơn vị cơ bản được định nghĩa bởi hiện tượng sinh sản vật lý, hoặc các đối tượng vật lý Ví dụ, giây được định nghĩa bởi khoảng thời gian của một số xác định chu kỳ bức xạ trong một đồng vị xác định, và kilogam được định nghĩa là khối lượng của một khối sắt xác định được giữ gần Paris, Pháp

Tất cả các phương trình thể hiện các hiện tượng vật lý phải đồng nhất về thứ nguyên; nghĩa là, mỗi số hạng của phương trình phải cùng thứ nguyên Ngược lại, phương trình sẽ không có ý nghĩa vật lý (nó không có nghĩa, ví dụ, để cộng một lực với một chiều dài) Kiểm tra các phương trình để đồng nhất thứ nguyên là một thói quen tốt để học, bởi vì nó có thể kiểm tra lỗi sinh ra trong khi thao tác các phép toán đại số

e Khối lƣợng, lực, và trọng lƣợng

Nếu một lực F tác dụng lên một chất điểm khối lượng m, định luật thứ hai của Newton chỉ

ra rằng

(1.14)

với a là véc tơ gia tốc của chất điểm Với hệ hấp dẫn [FLT], đồng nhất thứ nguyên của

phương trình (1.14) đòi hỏi thứ nguyên của khối lượng là

Trọng lực là lực hấp dẫn tác dụng lên một vật Nếu ký hiệu gia tốc trọng trường (gia tốc rơi tự do của vật) là g, trọng lượng W của vật có khối lượng m được tính từ định luật thứ hai của Newton là

Chú ý rằng khối lượng là một đại lượng bất biến của một vật, trong khi trọng lượng là một biến phụ thuộc vào giá trị địa phương của g Gia tốc trọng trường danh nghĩa tại mực nước biển, được gọi là sự hấp dẫn chuẩn, được định nghĩa là g=9.80665m/s2 Giá trị thực của g biến đổi từ 9.78 đến 9.84, phụ thuộc vào vĩ độ và sự xấp xỉ khối lượng đất lớn Trong quyển sách này, chúng ta hầu hết sử dụng giá trị trung bình

trong tính toán Tuy nhiên, trong một số trường hợp tính toán ta sử dụng giá trí làm tròn là 9.8m/s2 Do đó nếu khối lượng của một vật là 1.0kg, trọng lượng của nó trên trái đất là (9.81m/s2)(1.0kg)=9.81N

f Sự chuyển đổi các đơn vị

Một phương pháp thuận tiện để chuyển đổi một sự đo đạc từ một tập đơn vị này sang một tập khác là nhân đại lượng đo đạc với các thừa số chuyển đổi thích hợp Ví dụ, để chuyển đổi 180km/h sang m/s, chúng ta thực hiện như sau:

Chúng ta thấy rằng mỗi thừa số chuyển đổi là không thứ nguyên và độ lớn bằng 1 Do đó, một sự đo đạc là không thay đổi khi nó được nhân với các thừa số chuyển đổi – chỉ khi đơn

vị của nó được sửa lại Chú ý rằng cho phép không dùng đơn vị trong quá trình chuyển đổi nếu chúng là các đại lượng đại số

Các thừa số chuyển đổi thích hợp cho cơ học được liệt kê ở bảng trước của quyển sách

g Định luật hấp dẫn

Ngoài rất nhiều thành tích, Newton cũng công bố định luật vạn vật hấp dẫn Xét hai chất điểm có khối lượng mA và mB mà cách nhau một khoảng cách R, như trong Hình 1.5 Định luật hấp dẫn phát biểu rằng hai chất điểm hấp dẫn nhau bởi các lực có độ lớn F mà tác dụng dọc đường thẳng nối hai chất điểm, với

Nếu chúng ta đặt mA=Me (khối lượng của trái đất), mB=m (khối lượng của vật thể),

và R=Re (bán kính trung bình của trái đất), thì F trong phương trình (1.17) sẽ là trọng lượng

W của vật thể So sánh 𝑊 = 𝐺𝑀𝑒𝑚/𝑅𝑒2, với W=mg, chúng ta thấy rằng 𝑔 = 𝐺𝑀𝑒/𝑅𝑒2 Tất nhiên, sự điều chỉnh có thể là cần thiết trong giá trị của g cho một số ứng dụng để tính toán biến địa phương của hấp dẫn

Ví dụ 1.1: Chuyển đổi 1.5km/h sang mm/s

Lời giải:

Sử dụng các thừa số chuyển đổi chuẩn của hệ đơn vị SI, chúng ta thu được

Ví dụ 1.2: Gia tốc a của một chất điểm liên quan đến vận tốc v, vị trí của nó x và thời gian t

Giải phương trình (b), chúng ta được thứ nguyên của A

Trong hệ SI, đơn vị của A là m-2s-3

Thực hiện phân tích thứ nhguyen tương tự đối với số hạng thứ hai bên vế phải của phương trình (a), chúng ta được

Giải phương trình (c), chúng ta được thứ nguyên của B

Trong hệ SI, đơn vị của B là s-3

Ví dụ 1.3: Tính lực hấp dẫn gây ra bởi trái đất lên một người đàn ông nặng 70kg ở độ cao

trên bề mặt của trái đất bằng bán kính của trái đất Khối lượng và bán kính của trái đất là

𝑀𝑒 = 5.9742 × 1024kg và 𝑅𝑒 = 6378 𝑘𝑚

Lời giải:

Xét vật thể khối lượng m đặt tại một khoảng cách 2Re từ tâm của trái đất khối lượng Me Định luật vạn vật hấp dẫn, từ phương trình (1.17), chỉ ra rằng vật thể bị hấp dẫn bởi trái đất với một lực F được tính bởi

với 𝐺 = 6.67 × 10−11 𝑚3/(𝑘𝑔 ∙ 𝑠2) là hằng số hấp dẫn Thay giá trị của G và các thông số

đã cho, lực hấp dẫn của trái đất tác dụng lên người đàn ông nặng 70kg là

Chương 2 Động lực học chất điểm: tọa độ vuông góc

Định nghĩa của các thông số động học (vị trí, vận tốc, và gia tốc) , những đại lượng đã xuất hiện trong các chương trước, không liên quan đến một hệ tọa độ Do đó các định nghĩa này

có thể áp dụng trong bất kỳ hệ tọa độ cố định khác nhau nào Hệ tọa độ cụ thể là thiết yếu khi chúng ta muốn mô tả chuyển động Ở đây chúng ta sử dụng hệ tọa độ đơn giản nhất trong các hệ: hệ tọa độ vuông góc- Hệ tọa độ Đềcác Mặc dù hệ tọa độ vuông góc có thể được sử dụng trong lời giải của bài toán bất kỳ, tuy nhiên nó không hoàn toàn thuận lợi Thường thấy, các hệ tọa độ cong được mô tả trong chương tới dễ phân tích hơn

Hệ tọa độ vuông góc thuận lợi trong việc phân tích các chuyển động thẳng (chuyển động dọc theo đường thẳng) hoặc chuyển động cong mà có thể được mô tả bằng các chuyển động thẳng chồng chất, như chuyển động bay của một vật được phóng Hai ứng dụng này là phần chủ yếu của chương này

Một vấn đề quan trọng của động học được giới thiệu trong phân tích chuyển động thẳng: cho gia tốc của chất điểm, xác định vận tốc và vị trí của nó Việc này tương đương với tích phân hai lớp phương trình x f ( x,x,t ) được nhắc lại xuyên suốt phần động lực học Tất cả các phương trình vi phân bắt gặp trong cuốn sách này là đơn giản đủ để giải Tuy nhiên

chúng ta cũng giải một vài bài toán mà phải tích phân số Mặc dù các bài toán này là tùy chọn, chúng là một chú ý quan trọng rằng hầu hết các bài toán thực tế không có lời giải giải tích

2.2 Động học

Hình 12.1(a) chỉ ra quỹ đạo của chất điểm A, chất điểm này chuyển động trong hệ tọa độ

vuông góc cố định Đặt i, j, k là các véctơ đơn vị chỉ phương, vị trí của chất điểm có thể

được viết như sau:

j

, d dt

được từ công thức sau:

Do độ dốc của quỹ đạo bằng với dy/dx, chúng ta thấy rằng v tiếp tuyến với quỹ đạo, kết quả

đã được nhấn mạnh trong chương trước

Các thành phần vuông góc của a được chỉ ra trong hình 2.2(c) góc  mà xác định hướng

của a được tính toán từ phương trình:

a d x/dt

Do  thông thường không bằng  nên gia tốc không tiếp tuyến với quỹ đạo

x   3t  12t36( m ), trong đó t tính bằng giây Trong khoảng thời gian từ t=0 tới t=3s,

(1) Vẽ biểu đồ vị trí, vận tốc, gia tốc theo thời gian; (2) tính quãng đường đi được; và (3) xác định dịch chuyển của chất điểm

Giải

Phần 1

Do chuyển động là thẳng, véc tơ vận tốc và gia tốc có thể được tính toán như sau:

Các hàm này được biểu diễn trong các hình (a) – (c) trong khoảng thời gian t=0 tới t=3s

Chú ý đồ thị của x là paraboll, nên có đạo hàm là hàm bậc nhất đối với vận tốc và hằng số đối với gia tốc Thời gian để giá trị của x lớn nhất có thể được xác định bằng cách cho

dx/dt=0, hoặc ứng dụng phương trình v=-6t+12=0, ta có kết quả t=2s thay t=2s vào

phương trình (a) ta tìm được

dịch chuyển sang phải (AB) cộng với khoảng nó di chuyển sang trái (BC), ta có

d  AB  BC  12   3 15m

Phần 3

Dịch chuyển trong suốt khoảng thời gian t=0 đến t=3s là véc tơ được vẽ từ vị trí ban đầu

tới vị trí cuối cùng của nó Véc tơ này được minh họa như là ∆r trong biểu đồ (d) là

tính toán (1) véctơ vận tốc của P; và (2) véctơ gia tốc của điểm P

Đặt y=30mm trong phương trình (a) và giải tìm ra t=2.090s Thay giá trị này vào

trong các phương trình (c) và (d) ta có:

Vì vậy , véctơ vận tốc tại y=30mm là

Mô tả bằng hình ảnh của kết quả này được thể hiện dưới đây cũng như trong hình (b)

Bằng việc đánh giá độ dốc của quỹ đạo, dy/dx tại y=30mm dễ dàng chỉ ra rằng véctơ vận tốc

được xác định ở trên thực sự tiếp tuyến với quỹ đạo

Phần 2

Từ các phương trìn (c) và (d) chúng ta có thể xác định các thành phần của gia tốc bằng phép tính vi phân:

Thay t=2.090s , ta có:

Do đó , véctơ gia tốc tại y=30mm là:

Biểu diễn véctơ a là:

Từ hình vẽ của véctơ gia tốc trong hình (b) chúng ta thấy phương của véctơ a không tiếp

tuyến với quỹ đạo

Bài tập mẫu 2.3

Một cánh tay cứng OA có chiều dài R quay quanh khớp cầu O

Tọa độ x và y mô tả chuyển động không gian của điểm A có

phương trình:

trong đó  là hằng số Tìm biểu diễn tọa độ z của A

Giải

Do cánh tay OA là tuyệt đối cứng, tọa độ vị trí của A có phương trình là

Thay x và y ở trên vào phương trình ta có:

Sử dụng phân tích lượng giác và (1 cos  2 t  sin2 t) Ta có:

Do đó , biểu diễn tọa độ z là

Bài tập mẫu 2.4

Cam tròn có bán kính R=16mm được xoay quanh trục tại O, do đó tạo ra độ lệch tâm R/2 Sử dụng lượng giác, nó có thể chỉ ra rằng

mối quan hệ giữa x, tọa độ vị trí của con đội A và góc  là

Nếu Cam quay thuận chiều kim đồng hồ xung quanh O với vận tốc góc không đổi    2000vg / phút, xác định tốc độ của con đội khi 0

45

 

Giải

Thay R=0.016m ,   450 và   2000.( 2 / 60 )rad / s  ta có

Dấu âm chỉ ra rằng con đội chuyển động xuống

2.3 Động lực học: phương pháp lực - khối lượng - gia tốc

F atrong đó F là tổng véctơ của các lực (hợp lực) và a là gia tốc của chất điểm

Các biểu diễn vô hướng của phương trình véctơ trong hệ tọa độ vuông góc là:

Các phương trình (2.11) được biết như là phương trình chuyển động của chất điểm

Nếu gia tốc của chất điểm đã biết, chúng ta có thể sử dụng các phương trình chuyển động để tìm ra các lực Nếu các lực đã biết, các phương trình chuyển động có thể được giải để tìm gia tốc Hầu hết các bài tập là các dạng hỗn hợp, trong đó chỉ có vai lực và vài thành phần gia tốc được biết

Chúng ta gọi phương pháp liên quan tới lực và tốc của chất điểm nhờ vào phương trình

(2.11) là phương pháp lực - khối lượng - gia tốc Sau đó chúng ta sẽ học các phương pháp khác, như là phương pháp công - năng lượng và phương pháp xung lượng – động lượng

(impulse-momentum) Các phương pháp đó cũng có thể được sử dụng để tìm ra mối quan hệ

giữa lực và chuyển động

b Các sơ đồ vật thể tự do và khối lương – gia tốc

Một thực hành chuẩn để bắt đầu phương pháp FMA là vẽ hai sơ đồ, mỗi một sơ đồ biểu diễn một vế của định luật II Newton F m.a Đầu tiên là sơ đồ vật thể tự do (FBD)

để chỉ ra tất cả các lực tác dụng lên chất điểm Sơ đồ thứ hai, ở sơ đồ này chúng ta đề cập

đến sơ đồ khối lượng - gia tốc (MAD), biểu diễn véctơ quán tính của chất điểm Định luật

II Newton bây giờ có thể được thỏa mãn do yêu cầu hai sơ đồ phải tương đương, đó là hai kết quả phải giống nhau

FBD và MAD của chất điểm được chỉ ra trong hình 2.4(a) Dấu bằng giữa hai sơ đồ chỉ ta sự tương đương tĩnh Nếu các tọa độ vuông góc được sử dụng, véctơ quán tính thường được biểu diễn bằng các thành phần vuông góc của nó như đã minh họa trong hình 2.4(b) Một khi các sơ đồ được vẽ, khá là thuận lợi để viết ra các phương trình cân bằng tĩnh, đó là các phương trình chuyển động

Sơ đồ vật thể tự do trong động lực học quan trọng như trong tĩnh học Nó thể hiện tất

cả các lực tác dụng lên chất điểm trong một dạng rõ ràng và ngắn gọn, nó định ra các chú ý được sử dụng cho các đại lượng chưa biết, và nó thể hiện các đại lượng chưa biết Sơ đồ khối lượng - gia tốc phục vụ cho mục đích tương tự Nó cũng định rõ các chú ý về các đại lượng chưa biết, và nó chỉ ra giá trị chưa biết và hướng Nhưng có lẽ lợi ích lớn nhất của sơ

đồ MAD là nó tập trung sự chú ý của chúng ta vào động học được yêu cầu để mô tả véctơ quán tính Sau tất cả, nó là động học mà giúp chúng ta quyết định thành phần nào của véctơ gia tốc đã biết trước và thành phần nào chưa biết

Hình 2.4

Tóm lại, phương pháp FMA bao gồm các bước sau:

Bước 1: Vẽ sơ đồ vật thể tự do FBD của chất điểm mà chỉ ra tất cả các lực tác dụng lên nó Bước 2: Sử dụng động lực học phân tích gia tốc của chất điểm

Bước 3: Vẽ sơ đồ khối lượng – gia tốc cho chất điểm mà thể hiện véctơ quán tính, ứng dụng

kết quả của bước 2

Bước 4: Tiếp theo sơ đồ FBD và MAD, quan hệ lực với gia tốc sử dụng cân bằng tĩnh của

Trong một số các bài toán tất cả các lực tác dụng lên chất điểm theo hướng chuyển động (hướng x) Trong trường hợp này các phương trình (2.13) là hiển nhiên Một trường hợp khác, các phương trình (2.13) có thể được sử dụng để tính toán các lực chưa biết, như là phản lực liên kết

b Xác định vận tốc và vị trí

Chúng ta giả sử rằng chúng ta viết các phương trình chuyển động cho một vị trí tùy ý của chất điểm và sau đó giải chúng tìm gia tốc a Do vị trí của chất điểm là tùy ý gia tốc sẽ là một hàm của vị trí và vận tốc của chất điểm và thời gian:

Nếu tất cả 3 biến số (x, v, t) xuất hiện rõ ràng trong phương trình của a trong phương trình

(2.14) thì cơ hội để có được một lời giải bằng giải tích là rất khó Lý do là f thường là hàm

phi tuyến, nó chứa các đại lượng phi tuyến , như là sinx hoặc v2 Trong tất cả các trường

hợp phương trình vi phân phi tuyến có thể được giải bằng phương pháp số Tuy nhiên, nếu f

chỉ chứa một trong các biến, phương trình vi phân có thể tích phân trực tiếp, như dưới đây: Trường hợp 1: a f t( ) từ dv

a dt

( )

dxv t dt tích phân 2 vế, chúng ta có

x t( )v t dt( ) C2 (2.17) Các hằng số tích phân, C1 và C2 có thể tính toán từ các điều kiện đầu (thường là các giá trị của x và v tại thời điểm t=0)

Trường hợp 2: a f x( ) ở đây chúng ta áp dụng công thức (2.10) :avdv dx/ các biến số

có thể được tách để mà x và v xuất hiện trong hai vế của phương trình:

vdva x dx( ) (2.18) phương trình bây giờ có thể tích phân với kết quả là

3

ở trường hợp này chúng ta có thể thay thế v bằng dx/dt trong công thức (2.19) tách biến x và

t, và tích phân lại để có được x(t) Nhưng tích phân có thế không thuận lợi bởi sự xuất hiện của căn bậc 2

Trường hợp 3: a f v( ) chúng ta có thể bắt đầu với công thức (2.18), ở đây chúng ta thay a(x) bằng a(v) do đó:

( )

vdva v dx

tách các biến x và v ta có:

dxvdv a v/ ( ) (2.20) Tích phân lên ta được x như là một hàm của v:

Lời giải

FBD của khối được chỉ ra trong hình M2.5b, trong đó NA và FA là vuông góc và lực ma sát tác dụng vào khối dọc theo mặt phẳng Hình M2.5b cũng thể hiện MAD Do chuyển động là thẳng nên ay=0

Theo FBD và MAD ta có:

0 0

0 => W sin 30 0 (a) => cos30 (b)

3, 048 3, 048 (c)(3, 048 ) 1,524 (d)

Trong đó C1 và C2 là các hằng số tích phân có thể được tìm ra từ các điều kiện đầu Như đã biết ban đầu v=0 Tuy nhiên chúng ta có nhiều lựa chọn gốc tọa độ x Lựa chọn thuận lợi nhất là đặt x=0 khi t=0 Do đó điều kiện đầu là:

Hình M2.6a chỉ ra một kiện hàng khối lượng m nằm yên trên sàn thùng của một chiếc xe tải

Hệ số ma sát tĩnh giữa hai bề mặt là 0,64 Để cho kiện hàng trượt xuống thì sàn thùng có vị trí như hình vẽ, xe tải phải chuyển động có gia tốc sang phải Xác định gia tốc nhỏ nhất a để

kiện hàng bắt đầu trượt Biểu diễn đáp án theo đại lượng gia tốc trọng trường g

Lời giải

Sơ đồ FBD của kiện hàng được chỉ ra trong hình (M2.6b) Ngoài trọng lượng của kiện hàng W=m.g, kiện hàng còn chịu tác dụng của phản lực vuông góc N và lực ma sát F=0,64N (do kiện hàng ở trạng thái sắp trượt, F bằng với giá trị ma sát tĩnh lớn nhất s N) Hình (M2.6b) cũng chỉ ra sơ đồ MAD của kiện hàng Do kiện hàng và xe tải có cũng gia tốc trước khi sự

trượt xuất hiện, véctơ lực quán tính của kiện hàng là ma, hường theo phương ngang

Theo hình (M2.6b) các phương trình chuyển động của kiện hàng là:

Một khối có khối lượng m được gắn vào lò xo có độ cứng k trong hình (M2.7a) có thể trượt

không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang Tọa độ x được xác định từ vị trí lò xo không biến dạng Nếu khối được làm cho chuyển động sang phải với vận tốc ban đầu v0 tại x=0, xác định (a) gia tốc của khối như là hàm của x; (b) vận tốc của khối như là hàm của x và (c) giá trị của x khi khối dừng lại lần đầu tiên

Lời giải

Phần 1

Sơ đồ FBD của khối với giá trị bất kỳ của x như trong hình (M2.7b) trong đó N là phản lực

vuông góc gây ra bởi mặt phẳng không ma sát, P s =k.x là lực gây ra bởi lò xo Hình (M2.7b)

cũng chỉ ra MAD Do chuyển động xảy ra chỉ theo phương x, chúng ta có ay=0, và giá trị

của véctơ quán tính là ma x =ma Theo FBD và MAD các phương trình chuyển động là:

Chúng ta có thể xác định vận tốc như là một hàm của tọa độ bằng cách chọn x như là biến độc lập, sử dụng a=vdv/dx từ công thức (2.10) phương trình (a) trở thành:

v  k m x v d Phần 3

Vị trí của khối khi dừng lại lần đầu tiên là: khi v=0 trong công thức (d) kết quả là

0 /

Chú ý rằng với

2 0

Bài tập mẫu 2.8

Hình M2.7c

Một quả bóng trong hình (M2.8a) có trọng lượng 1.5N và được ném lên với vận tốc ban đầu 20m/s Tính toán chiều cao lớn nhất mà quả bóng đạt được nếu (1) bỏ qua sức cản không khí; và (2) khi không khí sinh ra lực cản FD được biết như là ảnh hưởng khí động học,

ngược với vận tốc Giả thiết rằng F D =c.v 2 trong đó c=2.10-3N.s2/m2

( 9,8) 9,8 ( )( 9,8 ) 4,9 ( )

quả bóng đạt tới độ cao lớn nhất khi v=0 ta có 9,8t20  0 t 2,04sThay t =2,04s vào phương trình (e) ta có x max 20, 4m

Chú ý trong trường hợp này gia tốc, vận tốc và vị trí của quả bóng độc lập với trọng lượng của nó

Cách giải tốt nhất cho phương trình (f) là sử dụng phương pháp số Tuy nhiên cũng có thể

giải được bằng việc coi vận tốc như là hàm của vị trí nhờ tích phân trực tiếp nếu các biến

độc lập được thay từ t thành x Thay a=vdv/dx từ phương trình (2.10), phương trình (f) trở

ln( ) ( )2

m

c

Trong đó C3 là hằng số tích phân Thay số vào ta được :

c

m m



 

  theo cách giải trong bài tập mẫu 2.8 thời gian bay không sức

cản không khí là 2.2,04=4,08s Do sức cản không khí sẽ làm giảm thời gian này một chút, chúng ta chọn t=0 tới t=3,9s như là khoảng tích phân Chương trình MATLAB được liệt kê

ở đây in ra cách giải số ở mỗi khoảng 0,05s

2.5 Chuyển động cong

a Sự chồng chất của các chuyển động thẳng (Superposition of rectilinear motions)

Ở đây chúng ta xét một trường hợp đặc biệt là chuyển động cong có thể được biểu diễn bằng các chuyển động thẳng độc lập với nhau Trường hợp này xuất hiện khi các thành phần của gia tốc có dạng:

có thể được phân tích thành hai chuyển động thẳng, một theo hướng x và một là hướng y

b Chuyển động cong tổng quát

Nếu các công thức (2.24) là liên kết, một lời giải giải tích sẽ khó hoặc không thể Các phương trình của loại này phải luôn được giải bằng phương pháp số - xem phụ lục 3

trong đó v0=30m/s ; h=10m, b=50m, và t là thời gian tính bằng giây Xác định lực tiếp tuyến

R giữa xe và đường tại A

Lời giải

Các thành phần gia tốc của xe có thể được tính bằng cách đạo hàm các phương trình (a):

HìnhM2.10a

Tại điểm A chúng ta có x=0, và theo công thức (a), t=0 Do đó các thành phần gia tốc tại A là:

Dấu âm chỉ ra rằng gia tốc giảm ( theo chiều âm của y)

Sơ đồ vật thể tự do (FBD)và sơ đồ khối lượng gia tốc (MAD) của xe cho trong hình (M2.10b), trong đó Rx và Ry biểu diễn các thành phần của lực tiếp xúc tác động lên xe Từ các sơ đồ ta có các phương trình chuyển động sau:

Do đó

Bài tập mẫu 2.11

Như cho trong hình (a): Một viên đạn có trọng lượng W được bắn ra từ gốc O Vận tốc ban

đầu v 0 hợp với phương ngang một góc  Viên đạn chạm đất tại A, cách O một khoảng R, được đo dọc theo mặt phẳng nghiêng (1) Giả thiết rằng v0 và  đã biết, tìm các thành phần

HìnhM2.10b

vận tốc theo các phương và vị trí của viên đạn theo thời gian (2) Cho v0=20m/s và 0

30

  , xác định chiều cao lớn nhất h và R

Lời giải

Phần 1:

Từ sơ đồ FBD và MAD trong hình (M 2.11b), chúng ta có các phương trình chuyển động :

Do đó các thành phần của gia tốc là ax= và ay=-g Do ax và a y là các hằng số, vận tốc và vị

trí dễ dàng tính được bằng tích phân, như trong bảng sau:

các phương trình (c) là các phương trình tham số (t là tham số) của một parabol nằm trong mặt phẳng xy Do đó, với sự bỏ qua sức cản không khí, một viên đạn chuyển động theo quỹ đạo là hình parabol

Để tính các hằng số tích phân (C1 tới C4) chúng ta phải phân tích 4 điều kiện ban đầu của chuyển động Kiểm tra các kết quả và hình (M2.11a) thấy rằng 4 điều kiện ban đầu Chọn t=0 khi viên đạn nằm ở gốc tọa độ

thay các điều kiện đầu vào các phương trình (c) ta có (C2=C4=0)

Theo phương trình (c) điều kiện 3 và 4 được thỏa mãn nếu C1v c0 os và C3 v0sin Thay C1 tới C4 vào phương trình (b) và (c), các thành phần vuông góc của gia tốc và vị trí là

Chú ý:Các phương trình (d) và (e) thường hữu dụng trong việc giải các bài toán ném vật khi

bỏ qua sức cản không khí Tuy nhiên, không được áp dụng các phương trình này nếu không

có các điều kiện đầu, đó là những điều kiện được phân tích trong các biểu thức từ 1 tới 4 ở trên

Phần 2

Thay thế v0=20m/s và 0

30

  vào trong các phương trình (d) và (e), chúng ta có được:

Tất cả các tính chất chuyển động có thể được tính toán từ các phương trình (f) và (g)

Giá trị lớn nhất của h bằng giá trị của y khi vy=0 Đặt t1 là thời điểm xảy ra, phương trình (f) của ta trở thành

Thay thế giá trị t1 vào trong phương trình thứ 2 của (g) ta có được chiều cao lớn nhất của viên đạn

Tiếp theo chúng ta đặt t2 là thời gian khi viên đạn chạm đất tại A trên mặt phẳng nghiêng Thay tọa độ của A , x=(4/5)R và y=-(3/5)R, vào trong công thức của (g) ta có:

Hình (M2.12b) thể hiện sơ đồ FBD và MAD của viên đạn Chiều của lực FD trong FBD là

ngược chiều với chiều vận tốc, và các thành phần vuông góc của nó là c.v x và c.v y Các thành

phần của véctơ quán tính là ma x , ma y được thể hiện trong MAD Các phương trình chuyển động tương ứng là :

Phần 2