ĐỊNH NGHĨA ĐỒ THỊ - LÝ THUYẾT THÔNG TIN

Lý Thuyết Đồ Thị - Các khái niệm cơ bản - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 7̈ Ngoàira, trong giáotrìnhnầy chúng tachỉlàm việc với trư øng hợp các đ à thị có tập đỉnh và tập cạnh h õu hạn Để cho

Trang 1

ĐỊNH NGHĨA

̈ Một đồ thị có hướng G=(X, U) được định nghĩa bởi:

̊tập hợp X ≠ ∅ được gọi là tập các đỉnh của đồ thị;

̊tập hợp U là tập các cạnh của đồ thị;

̊mỗi cạnh u∈U được liên kết với một cặp đỉnh (i,

j)∈X2

Trang 2

Lý Thuyết Đồ Thị - Các khái niệm cơ bản - Khoa CNTT - Đại Học KHTN 3

Hìnhvẽbênlàminhhọahìnhhọccủamộtđ àthịcó:

̈ Tậpđỉnhlà{A, B, C, D}

̈ Tậpcạnhlà{u1,u2,u3,u4,u5,u6}

̈ Ánhxạϕđịnhnghĩanhưsau:

̊u1 vàu2 liênkếtvớicặp(A, B)

̊u3 liênkếtvớicặp(A, C)

̊u4 liênkếtvớicặp(D, A)

̊u5 liênkếtvớicặp(C, B)

̊u6 liênkếtvớicặp(C, D)

̈ Nếu chúng ta không phân biệt thứ tự của cặp đỉnh liên

kếtvới mỗicạnhthì sẽcóđược đ àthịvô h ớng Đồthị

vôhư ùngG=(X, E) đượcđịnhnghĩabởi

̊tậphợpX ≠∅đượcgọilàtậpcácđỉnhcủađ àthị;

̊tậphợpE làtậpcáccạnhcủađ àthị

̊mỗi cạnh e∈E được liên kết với một cặp đỉnh

{i, j} ⊆Xkhôngphânbiệtthứtự

Trang 3

Hìnhvẽd ớilàminhhọahìnhhọccủamộtđ àthịcó:

̈ Tậpđỉnhlà{A, B, C, D}

̈ Tậpcạnhlà{e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7}

̈ Ánhxạϕđịnhnghĩanhưsau:

̊e1 vàe2 liênkếtvới{A, B}

̊e3 liênkếtvới{A, C}

̊e4 liênkếtvới{A, D}

̊e5 liênkếtvới{B, C}

̊e6 liênkếtvới{C, D}

̊e7 liênkếtvới{D}

e7

̈ Khimộtcạnhu đượcliênkếtvớicặpđỉnh(i, j):

̊tanóicạnh u kềvớiđỉnh i vàkềvớiđỉnh j (hay cũng

nóiđỉnhi vàđỉnhj kềvớicạnhu);

̊tacóthểviết tắtu=(i, j), như vậy cólúc taviếtu=(i,

j) vàv=(i, j) nhưnglạihiểuu ≠v;

̊nếu đ à thị vô h ớng, ta nói hai đỉnh i và j được nối

vớinhau, nếuđ àthịcóh ớng(tứccặpđỉnh(i, j) được

tôntrọngthứtự) tanóiđỉnhi đượcnốitớiđỉnhj

̊nếuđồthịcóh ớngthìtanóicạnhu bắtđ àutừđỉnh i

và kết thúc tại đỉnh j, ta cũng nói cạnh u đi ra khỏi

đỉnhi vàđivàođỉnhj

Trang 4

̈ Ngoàira, trong giáotrìnhnầy chúng tachỉlàm việc với

trư øng hợp các đ à thị có tập đỉnh và tập cạnh h õu hạn

Để cho chính xác thì phải nhấn mạnh là ĐỒ THỊ HỮU

HẠN, tuy nhiên đ å ngắn gọn chúng ta chỉ dùng thuật

ngữĐỒTHỊ vàhiểungầmđ ùlàđ àthịh õuhạn

̈ Ví dụ: Trong hai ví dụ trên u1 và u2 là hai cạnh song

song trong đồ thị thứ nhất, e1 và e2 là hai cạnh song

songvàe7 làmộtkhuyêntrongđ àthịthứhai

e7

Trang 5

̈ ĐỒ THỊ ĐƠN: không có khuyên và không có cạnh

song song

̈ ĐỒTHỊ ĐỦ: đ àthịvôh ớng, ơn màgiữahaiđỉnh bất

kỳđ àucóđúngmộtcạnhnốichúng Ta có:

̊ Mộtđồthịđ ûn đỉnhsẽcón(n-1)/2 cạnh.K5

̊ Đồthịđ ûn đỉnhđượckýhiệulàKn

̈ ĐỒTHỊ LƯỠNG PHÂN (HAI PHẦN)

̊ ChoG=(X, E) làmộtđ àthịvôh ớng, ồthịG được

gọilà đ àthị lưỡngphân nếu tập X được chia thành

haitậpX1vàX2saocho:

̈ hai tập X1 và X2 phân hoạch X, nghĩa là:

X1≠∅≠X2vàX1∩X2=∅;

̈ hai đỉnh bất kỳ trong X1 không được nối với

nhau; hai đỉnh bấtkỳtrongX2 cũng khôngđượcnốivớinhau

Trang 6

̈ ĐỒTHỊ LƯỠNG PHÂN ĐỦ

̊ Cho G=(X, E) là một đ à thị vô h ớng lưỡng phân

vớihaitậpX1vàX2địnhnghĩanhưtrên G đượcgọi

làđ àthịlưỡngphânđ ûnếu:

̊ Vớimọicặpđỉnh(i, j) mài∈X1 vàj∈X2thìcóđ ùng

mộtcạnhcủaG nốii vàj

̊ Nếu ⏐X1⏐=n và ⏐X2⏐=m thì G có mxn cạnh và

đượckýhiệulàKm, n

Trang 7

BẬC CỦA ĐỈNH

̈ BẬC (ĐỒTHỊ VÔ HƯỚNG)

̊ Bậccủamộtđỉnhx trongđ àthịvôh ớnglàtổng số

các cạnh kềvớiđỉnh x, qui ư ùc làmỗikhuyên phải

được tnh hai lần Bậc của đỉnh x trong đ à thị G

được ký hiệu là dG(x) (hay d(x) nếu đang xét một

đ àthịnàođó)

̊ Ví dụ: đ à thị vô h ớng trong ví dụ 2 có d(B)=3 và

d(D)=4

̈ BẬC (ĐỒTHỊ CÓHƯỚNG)

̊ Nửa bậc ngoài của đỉnh x: ký hiệu d+(x) là số các

cạnhđirakhỏiđỉnhx (hay khởiđ àutừđỉnhx)

̊ Nửa bậc trong của đỉnh x: ký hiệu d-(x) là số các

cạnhđivàođỉnhx (hay kếtthúctạiđỉnhx)

̊ Bậccủađỉnhx: d(x) = d+(x) + d-(x)

̊ Ví dụ: đ àthị cóhư ùng trong ví dụ 1 cód+(A)=1 và

d-(A)=3.(A)=3

Trang 8

̈ ĐỈNH TREO, ĐỈNH CÔ LẬP

̊ Đỉnhtreolàđỉnhcóbậcbằng1

̊ Đỉnhcôlặplàđỉnhcóbậcbằng0

̈ ĐỊNH LÝ(côngthứcliênhệgiữabậcvàsốcạnh)

̊a) Xétđ àthịcóh ớngG=(X, U) Ta có:

∑d+(x) = ∑d-(x) = ⏐U⏐và∑d(x) = 2⏐U⏐

̊b) Xétđ àthịvôh ớngG=(X, E) Ta có:

∑d(x) = 2⏐E⏐

x∈X

̈ Hệquả: số lư ïng các đỉnh cóbậclẻtrongmộtđồthị là

mộtsốchẳn

Trang 9

̈ ĐẲNG CẤU ĐỒTHỊ VÔ HƯỚNG

̊ Cho hai đ à thị vô h ớng G1=(X1, E1) và

G2=(X2, E2)

̊ Hai đ à thị G1 và G2 được gọi là đ úng cấu với nhau

nếutồn tại haisong ánh ψ vàδthỏamãn điềukiện

sau:

̈ ψ: X1→X2vàδ: E1→E2

̈ Nếu cạnh e ∈ E1 liên kết với cặp đỉnh {x, y} ⊆

X1 xét trong đ à thị G1 thì cạnh δ(e) sẽ liên kếtvới cặp đỉnh {ψ(x), ψ(y)} xét trong đ à thị G2(điềunầyđượcgọilàsựtươngứngcạnh)

̈ ĐẲNG CẤU ĐỒTHỊ CÓHƯỚNG

̊ Cho hai đ à thị có h ớng G1=(X1, U1) và G2=(X2,

U2)

̊ Hai đ à thị G1 và G2 được gọi là đ úng cấu với nhau

nếutồn tại haisong ánh ψ vàδthỏamãn điềukiện

sau:

̈ ψ: X1→X2vàδ: E1→E2

̈ Nếu cạnh e ∈ E1 liên kết với cặp đỉnh (x, y) ∈

X1 xét trong đ à thị G1 thì cạnh δ(e) sẽ liên kếtvới cặp đỉnh (ψ(x), ψ(y)) xét trong đ à thị G2(điềunầyđượcgọilàsựtươngứngcạnh)

Trang 10

̈ Đồthị(G1) và(G2) đ úngcấunhau

̈ Haiđồthịvôhư ùngG1 vàG2 đẳngcấunhau

Trang 11

̈ Haiđồthịcóh ớngG3 vàG4 khôngđ úngcấunhau

1

2

3

G 4 1

G 3

̈ ĐỒTHỊ CON

̊ ChohaiđồthịG=(X, U) vàG1=(X1, U1) Ta nóiG1

làđ àthịcon củađồthịG vàkýhiệu G1 ≤G nếu:

X1 ⊆X; U1 ⊆U

̊ Với mọi cạnh u=(i, j) ∈ U của G, nếu u ∈ U1

thìi, j ∈X1

̈ ĐỒTHỊ BỘPHẬN

̊ Cho đ à thị G1=(X1, U1) là đ à thị con của đồ thị

G=(X, U) G1 gọi là đ à thị bộ phận của G nếu

X=X1

Trang 12

̈ ĐỒTHỊ CON SINH BỞI TẬP ĐỈNH

̊ Chođ àthị G=(X, U) vàA ⊆X Đồthị con sinh bởi

tập A, ký hiệu là <A> được định nghĩalà <A>=(A,

V), trongđó:

̈ (i) tậpcạnhV ⊆U

̈ (ii) Gọiu=(i, j) ∈U làmộtcạnhcủaG, nếui, j ∈

A thìu ∈V

̈ G1, G2, G3 làđ àthịcon củađ àthị G G2 làđồthị(con)

bộ phận của G G3 là đ à con của G sinh bởi tập đỉnh

{1, 2, 4, 5} G1 không phải là đ à thị bộ phận và cũng

khôngsinhbởitậpđỉnh{1, 2, 3, 4} vìthiếucạnhe7

Trang 13

DÂY CHUYỀN, CHU TRÌNH,

̈ Chođ àthịG=(X, U)

̈ DÂY CHUYỀN:

̈ MộtdâychuyềntrongG làmộtdãyluânphiêncácđỉnh

vàcạnh:

̊x1u1x2u2 xm-1um-1xm (xilàđỉnhvàuilàcạnh)

trongđ àthị thỏamãn điều kiện uiliên kết với cặp đỉnh

xi, xi+1 khôngphânbiệtthứtự, nghĩalà:

̊ui=(xi, xi+1) hay ui=(xi+1, xi) nếuđ àthịcóh ớng,

̊ui={xi, xi+1} nếuđ àthịvôh ớng

̈ Khi đ ù ta gọi x1 làđỉnh đ àu và xm là đỉnh cuối của dây

chuyền

̈ DÂY CHUYỀN SƠ CẤP: dây chuyền không có đỉnh

lặplại

̈ CHU TRÌNH: làmộtdây chuyền x1 u1 x2 u2 xm-1 um-1

xm um x1 sao cho các đỉnh x1, x2, , xm đôi một khác

nhau

Trang 14

̈ ĐƯỜNG ĐI

̈ Một đường đi trong G là một dãy luân phiên các đỉnh

vàcạnh:

x1u1x2u2 xm-1um-1xm (xi làđỉnhvàuilàcạnh)

trongđồthịthỏamãnđiều kiệnui liênkếtvớicặpđỉnh

(xi, xi+1), nghĩalà:

̊ uiliênkếtvới(xi, xi+1) nếuđ àthịcóh ớng,

̊ uiliênkếtvới{xi, xi+1} nếuđ àthịvôh ớng

̈ Khi đ ù ta gọi x1 là đỉnh đ àu và xm là đỉnh cuối của

đườngđi

̈ ĐƯỜNG ĐI SƠ CẤP: đườngđikhôngcóđỉnhlặplại

̈ MẠCH: làmộtđường đix1 u1x2 u2 xm-1 um-1xm um x1

saochocácđỉnhx1, x2, , xm đôimộtkhácnhau

Trang 15

̈ Trongtrư ønghợpđồthịvôh ớngthì

̊haikháiniệmdâychuyềnvàđườngđilànhưnhau,

̊haikháiniệmchutrìnhvàmạchlànhưnhau

̊Do đ ù, chúngtacũngdùngthuậtngữđườngđichođ à

thịvôh ớng Đôikhimộtmạchtrongđ àthịcóh ớng

cũng được gọi làmột “chu trình có h ớng”, hay một

đường đi trong đ à thị có h ớng cũng được gọi là

“đườngđicóh ớng”đ ånhấnmạnh

̈ Khi các cạnh hoàn toàn được hiểu rõ (chẳng hạn trong

mộtđ àthịvôh ớngkhôngcócạnhsong song) thì

̊mộtdây chuyền x1 u1 x2 u2 xm-1 um-1 xm có thể viết

gọnlàx1x2 xm-1xm ;

̊một chu trình x1 u1 x2 u2 xm-1 um-1 xm um x1 có thể

viếtgọnlàx1x2 xm-1xm x1

Trang 16

̈ Trongđồthịcóh ớng(G):

̊ Dãy các đỉnh cạnh: 1 e 1 2 e 6 3 e 8 5 là

một dây chuyền sơ cấp (nhưng không

phải đường đi vì cạnh e6ngư ïc h ớng).

̊ Dãy các đỉnh cạnh: 1 e12 e63 e8 5 e41

là một chu trình (nhưng không phải

mạch vì cạnh e6ngư ïc h ớng).

̊ Dãy các đỉnh cạnh: 1 e 3 4 e 7 3 e 6 2 e 9 5

là một đường đi sơ cấp.

̊ Dãy các đỉnh cạnh: 1 e 3 4 e 7 3 e 6 2 e 9 5 e 4 1

là một mạch.

e 6

e 7

e 8

e 9 (G)

̈ Trongđồthịvôhư ùng(H):

̈ Dãy các đỉnh cạnh: 5 e4 1 e3 4 e2 2 e1 1

là một dây chuyền không sơ cấp.

là một dây chuyền sơ cấp và cũng là một

đường đi sơ cấp.

̈ Dãy các đỉnh cạnh: 1 e4 5 e5 1 là một chu

trình.

là một chu trình

Trang 17

BIỂU DIỄN BẰNG MA TRẬN

̈ XétđồthịG=(X, U) (cóhư ùnghay vôh ớng)

̈ Giả sử tập X gồm n đỉnh và được sắp thứ tự

X={x1, x2, …, xn}, tập U gồm n cạnh và được sắp thứ tự

U={u1, u2, …, um}

̈ Ma trận kề của đ à thị G, ký hiệu B(G), là một ma trận

nhịphâncấpn x n đượcđịnhnghĩanhưsau: B=(Bij) với

̊Bij=1 nếucócạnhnốixitớixj,

̊Bij=0 nếungư ïclại

̈ Nếu G là đ à thị vô hư ùng, ma trận liên thuộc (hay liên

kết đỉnh cạnh ) của đ à thị G, ký hiệu A(G), là ma trận

nhịphâncấpn x m đượcđịnhnghĩanhưsau: A=(Aij) với

̊Aij=1 nếuđỉnhxikềvớicạnhuj,

̊Aij=0 nếungượclại

Trang 18

̈ NếuG làđ àthịcóh ớngkhôngcókhuyên, ma trậnliên

thuộc (hay liên kết đỉnh cạnh) của đồ thị G, ký hiệu

A(G), là ma trận n x m được định nghĩa là A=(Aij) với

qui ư ùc:

̊Aij= 1 nếucạnhujh ớngrakhỏiđỉnhxi,

̊Aij= -1 nếucạnhujhư ùngvàođỉnhxi,

̊Aij= 0 nếucạnhujkhôngkềđỉnhxi

̈ Nếu ta sắp thứ tự các đỉnh và cạnh của đ à thị G là

X={A, B, C, D} và U={u1, u2, u3, u4, u5, u6} thì ma trận

liênthuộccủađ àthịlà:

Trang 19

̈ Nếu ta sắp thứ tự các đỉnh và cạnh của đ à thị G là

X={A, B, C, D} và U={u1, u2, u3, u4, u5, u6} thì ma trận

kềcủađ àthịlà:

̈ Gọi H là đ à thị có được từ đồ thị G nói trên bằng cách

bỏđih ớngcáccạnhvàtasắpthứtựcácđỉnh, cạnhnhư

trênthìma trậnliênthuộccủađ àthịlà::

e7

Trang 20

̈ Gọi H là đ à thị có được từ đồ thị G nói trên bằng cách

bỏđih ớngcáccạnhvàtasắpthứtựcácđỉnh, cạnhnhư

trênthìma trậnkềcủađ àthịlà:

e7

CÁC THÀNH PHẦN LIÊN THÔNG

̈ Cho đ à thị G=(X, U) vô h ớng hay có h ớng Ta định

nghĩamộtquanhệ∼nhưsautrêntậpđỉnhX:

∀i, j∈X, i ∼j ⇔

(i=j hay códâychuyềnđỉnhđ àulài vàđỉnhcuốilàj)

Trang 21

̈ Quan hệ nầy có ba tnh chất: phản xạ, đ ái xứng và bắc

cầu nên nó là một quan hệ tương đương Do đ ù tập X

được phân hoạch thành các lớp tương đương và ta định

nghĩa:

̊một thành phần liên thông của đồ thị là một lớp

tươngđươngđượcxácđịnhbởiquanhệ∼nóitrên;

̊số thành phần liên thông của đ à thị làsố lượng các

lớptươngđương;

̊một đ àthị liên thông là một đ à thị chỉ có một thành

phầnliênthông

̈ Đồthị(G) gồm2 thành phầnliênthông,

̈ Khi một đ à G gồm p thành phần liên thông G1, G2, …,

Gp thì các đồ thị Gi cũng là các đ à thị con của G và

chúngtacódG(x) = dGi(x) vớimọiđỉnhx củaGi

(G)

Trang 22

̈ Đồthị(H) làmộtđ àthịliênthông

(H)

̈ Giảsửđ àthịG=(X, E) gồmn đỉnh

̈ Thuậttoánđượctómtắtnhưsau:

̈ Bư ùc 1.Khởi tạo biến label=0vàgắnnhãn 0 cho tất cả

cácđỉnh

̈ Bư ùc2.Lặpi=1, 2, …, n làm

̊Nếuđỉnhi cónhãn0 thì

̈Viếngvàgắnnhãnđỉnhi vớinhãnlàlabel

̊Cuốinếu

Trang 23

̈ Việc viếngvàgắnnhãnđượcthựchiệnbằngmộtthủtục

đ äqui Visitnhưsau:

̈ ThủtụcVisit(đỉnhi, nhãnlabel)

̊Gắnnhãnlabelchođỉnhi

̊Vớimọi đỉnh j màcócạnh nốii với j vàj có nhãn 0

ta gọiđ äqui Visit(j, label)

̈ Chú ý: Khi thuật toán kết thúc thì các đỉnh nằm trong

cùng một thành phần liên thông se õđược gắn cùng một

nhãn

Trang 24

BÀI TẬP CHƯƠNG I

̈ Viết chương trình nhập vào mộtđồthị vô h ớng (tối đ

30 đỉnh), xác định xemđ àthị có liên thông hay không,

nếu đồ thị không liên thông hãy in ra các thành phần

liên thông của đ à thị Giả sử d õ liệu nhập cho bài tập

nầy là ma trận kề được lư trên đĩa dư ùi dạng các tệp

vănbảnASCII theoqui ư ùcnhưsau:

̈ Dòng1 củatệp: lưusốđỉnhcủađồthị

̈ Từdòng2 đ ándòngn+1 củatệp: mỗidòng gồmn sốcó

giátrị0 hay 1, dòngthứi củatệpchínhchínhlàdòngi-1

củama trậnkề

1 G là một đồ thị đơn, vô h ớng cósố đỉnh n>3 Chứng

minhG cóchứa2 đỉnhcùngbậc

2 Đồthị G cóđ ùng2 đỉnhbậclẻ Chứngminhtồntại một

dâychuyềnnốihaiđỉnhđ ùvớinhau

Trang 25

3 Xét đ à thị G đơn, vô h ớng gồm n đỉnh, m cạnh và p

thànhphầnliênthông

a) Chứngminh:

m ≤(n-p)(n-p+1)/2,suyranếum > (n-1)(n-2)/2 thìG liênthông

b) Một đ àthị đơn có 10 đỉnh, 37 cạnh thì có chắc liên

thônghay không?

4 Đồthị G đơn, vôh ớnggồmn đỉnh vàd(x)≥(n-1)/2 với

mọiđỉnhx ChứngminhG liênthông

5 Đồthị vôhư ùngG liênthônggồm n đỉnh Chứng minh

sốcạnhcủaG ≥n-1

6 Xét đ à thị G vô h ớng đơn Gọi x là đỉnh có bậc nhỏ

nhất của G Giả sử d(x)≥k≥2 với k nguyên d ơng

Chứng minh G chứa một chu trình sơ cấp có chiều dài

lớnhơnhay bằngk+1

Trang 26

7 G là đ à thị vô h ớng đơn Chứng minh G hay liên

thông

8 Cho G làđồthị vô h ớng liên thông Giả sử C1 vàC2

là2 dây chuyền sơ cấp trong G có số cạnh nhiều nhất

ChứngminhC1 vàC2 cóđỉnhchung

9 .G làđ àthị vôh ớng khôngkhuyênvàd(x) ≥3 vớimọi

đỉnh x Chứng minh G có chứa chu trình với số cạnh

chẵn

Định dạng
Số trang	26
Dung lượng	318,84 KB