Hình học xạ ảnh 40

Bài tập và bài học môn hình học xạ ảnh

Bài 40:

Chứng minh rằng, nếu có một hình bình hành có hai đỉnh đối diện nằm trên hyperbol H và mỗi cạnh song song với một đuờng tiệm cận của H thì hai

đỉnh còn lại sẽ thẳng hàng với tâm của H

Áp dụng kết quả trên để dựng tâm và các đường tiệm cận của hyperbol khi cho trước 3 điểm và hai phương tiệm cận của hyperbol

BÀI GIẢI

Phát biểu bài toán Aphin

Trong A2, cho hyperbol (H)

với hai tiệm cận d1, d2 và

tâm O Hình bình hành

ABCD có A, C nằm trên

hyperbol (H) và AB//d1,

AD//d2 Chứng minh rằng

B, D, O thẳng hàng

d 2

C A

B

d 1

O

D

 Xét P A 2  2  V A 2  2  

Phát biểu bài toán xạ ảnh:

Trong P2 cho một đường cônic (S)

cắt đường thẳng tại 2 điểm M,



O

D

1





Hai tiếp tuyến lần lượt

nhận M, N làm tiếp điểm 1 2

,

 

Gọi O  1 2

Trên (S) lấy 2 điểm A, C

Gọi B AM CN, D=AN CM.  

D

B

1





 Giải bài toán xạ ảnh:

Xét lục giác MMANNC

nội tiếp conic (S) có:

O MM NN

B MA NC

D AN CM

   

 

 

Theo định lý Pascal

thì O, B, D thẳng

hàng

Áp dụng:

Giả sử cho trước 3 điểm A, C, E thuộc (H),

là hai phương của 2 đường tiệm cận của (H)

Dựng hình:

@ Cách dựng:

* Dựng tâm O

Qua A dựng

Qua C dựng

Gọi

a a 

Ax//a , Ay//a 

Cx //a , Cy //a 

' '

B Ax Cy

D Ay Cx

 

Qua E dựng

Gọi

Khi đó:

* Dựng 2 tiệm cận của (H)

+ Dựng đường thẳng d1qua O và nhận a1 làm vtcp + Dựng đường thẳng d2 qua O và nhận a2 làm vtcp

'' ''

Q Ex Ay

P Ey Ax

 

 

Ex //a , Ey //a 

O BD PQ 

@Chứng minh

Theo chứng minh trên ta có:

*ABCD là hình bình hành

B, D thẳng hàng với tâm O (1)

* QAPE là hình bình hành

Q, P thẳng hàng với tâm O (2)

Từ (1) và (2) suy ra O QP BD 





y

A

E

B Q

C

2

y ’

x ’

x

x ’’

y ’’

O