Tai lieu on thi THPT quoc gia

Đồ thị hàm số trùng phương cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi hàm số có 3 điểm cực trị sao cho 2 giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số trái dấu với nhau... b Với giá trị

Trang 3

M C L C

Phần 1: Hàm số và một số bài toán có liên quan 1

A Tóm tắt lý thuyết 1,2,3,11,14 B Bài tập minh hoạ 3

C Bài tập rèn luyện 16

Phần 2: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit 23

A Tóm tắt lý thuyết 23, 26 B Bài tập minh hoạ 24

Phần 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng 32

A Tóm tắt lý thuyết 32

B Bài tập minh hoạ 35

Phần 4: Phương pháp toạ độ trong không gian 45

A Tóm tắt lý thuyết 45,46,47,53,54 B Bài tập minh hoạ 48

Phần 5: Số phức 67

Phần 6: Khối đa diện, khối tròn xoay 73

Phần 7: Phương trình lượng giác 85

Trang 4

Phần 8: Tổ hợp – Xác suất & Nhị thức Newton 95

Phần 9: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng 109

Phần 10: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình 127

Phần 11: Bất đẳng thức, giá trị lớn nhất & giá trị nhỏ nhất 150

Phụ lục: Phương pháp xét dấu biểu thức chứa biến 164

Phụ lục: Một số vấn đề về tam thức bậc hai 165

Phụ lục: Một số vấn đề về toạ độ trong mặt phẳng 167

Phụ lục: Bảng công thức đạo hàm 168

Phụ lục: Bảng công thức lượng giác 169

Trang 5

KH O SÁT HÀM S VÀ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN

Dùng y′′ tìm điểm uốn Lập bảng giá trị

Vẽ đồ thị và nêu nhận xét

1) Hình dáng của đồ thị hàm số bậc ba y = ax3 +bx2 +cx +d

Số nghiệm của phương trình y′ = 0 a > 0 a < 0

Đồ thị hàm số bậc ba luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

2) Hình dáng của đồ thị hàm số trùng phương y = ax4 +bx2 +c

Số nghiệm của phương trình y′ = 0 a > 0 a < 0 Cực trị

Đồ thị hàm số trùng phương luôn nhận trục tung làm trục đối xứng

Nếu đồ thị của hàm số trùng phương có 3 điểm cực trị thì chúng tạo thành 3 đỉnh của một tam giác cân

Trang 6

Đặt là đồ thị của hàm số đã vẽ

là đường thẳng nằm ngang đi qua

Phương trình (*) cĩ 2 nghiệm ⇔( )C và d cĩ 2 điểm chung ⇔ ⋯

III Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

( )( )

y= f x′ x−x +y (*) Một số cách xác định hệ số gĩc của tiếp tuyến:

Tiếp tuyến của đồ thị ( ) :C y = f x( ) tại x0 cĩ hệ số gĩc k = f x′( )0

Tiếp tuyến song song với △ : y = ax + b cĩ hệ số gĩc k = a

Tiếp tuyến vuơng gĩc với △ : y = ax + b cĩ hệ số gĩc 1 ( 0)

a

Tiếp tuyến tạo với trục hồnh một gĩc ϕ cĩ hệ số gĩc k = ±tanϕ

Dạng 1 (phương trình tiếp tuyến TẠI một điểm)

Xác định đủ ba giá trị x y0, 0 và f x′( )0

Dùng cơng thức (*) để viết phương trình tiếp tuyến

Dạng 2 (phương trình tiếp tuyến biết trước hệ số gĩc k)

Xác định hệ số gĩc k từ giả thiết của bài tốn

Dùng cơng thức f x′( )0 = để xác định k x0rồi tìm y0

Dùng cơng thức (*) để viết phương trình tiếp tuyến

Dạng 3 (phương trình tiếp tuyến thoả một điều kiện nào đĩ cho trước)

Đặt x0 = rồi tính a y0 = f a( ) và f x′( )0 = f a′( )

Viết phương trình tiếp tuyến d của ( ) C tại M a f a0( ; ( )) theo cơng thức

( )( ) ( )

y = f a x′ − +a f a

Dùng điều kiện đề cho để xác định a Từ đĩ viết được phương trình tiếp tuyến

IV Điều kiện xác lập cực trị của hàm số bậc ba và hàm số trùng phương

1 Dấu hiệu nhận biết cực trị bằng đạo hàm cấp hai

( ) 0( ) 0

 ⇒ f x( ) đạt cực tiểu tại x0 f′′( )x0 =0 : phải vẽ bảng biến thiên

Tiếp tuyến của đồ thị

TẠI một điểm

khác hồn tồn với

tiếp tuyến của đồ thị

ĐI QUAmột điểm

Đặc biệt lưu ý

Trang 7

2 Sự tồn tại cực trị của hàm số bậc ba và hàm số trùng phương

Hàm số bậc ba y =ax3 +bx2 +cx + có cực trị d ⇔y′ =0 có 2 nghiệm phân biệt

Nếu hàm số bậc ba y =ax3 +bx2 +cx + có cực trị thì sẽ có một cực đại và một cực tiểu d

Hàm số trùng phương y =ax4 +bx2 + có 3 cực trị c ⇔y′ =0 có 3 nghiệm phân biệt Hàm số trùng phương y =ax4 +bx2 + có 1 cực trị c ⇔y′ =0 có 1 nghiệm duy nhất

V Sự tương giao giữa đồ thị hàm số và một đường thẳng

Số giao điểm của ( ) :C y = f x( ) và :d y=kx + bằng với số nghiệm của phương trình b

( )

f x =kx +b

Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi hàm số ấy có 2 điểm cực trị sao cho 2 giá trị cực trị tương ứng trái dấu với nhau

Đồ thị hàm số trùng phương cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi hàm số

có 3 điểm cực trị sao cho 2 giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số trái dấu với nhau

BÀI TẬP MINH HOẠ VỀ HÀM SỐ BẬC BA

Ví dụ 1.1: Cho hàm số 1 3 3 2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3 2

x − x + m = (1)

Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có đúng 1 nghiệm dương ?

c) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm trên ( )C có hoành độ bằng – 2

hệ số a

Hàm số bậc ba

Trang 8

x y

-2

-1

64

Đồ thị hàm số (1) là một đường cong nhận điểm

I(2;1) làm tâm đối xứng (như hình vẽ)

 thì số nghiệm của (1) bằng với số giao điểm của ( )C và d

(1) có đúng 3 nghiệm ⇔( )C và d có đúng 3 điểm chung

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C song song với đường thẳng y = 4 – 3x

c) Tìm các giá trị của k để đường thẳng y = kx – 2k – 2 cắt ( ) C tại 3 điểm phân biệt

d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C biết tiếp tuyến đó đi qua gốc toạ độ O

Trang 9

x y

-2-1

2

Bài giải Câu a: y = − +x3 3x2−3x Tập xác định: D = R

y′′ = ⇔ − + = ⇔ = ⇒ = −x x y Điểm uốn : I(1;–1)

Bảng giá trị: x 0 1 2

Đồ thị hàm số là một đường cong nhận điểm I(1;–1) làm tâm đối xứng (như hình vẽ)

Câu b: Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = 4 – 3x nên có hệ số góc

y = − x − + ⇔ = − (song song với d) y x

Với x0 =2 thì y0 = −2 Phương trình tiếp tuyến của ( )C tại M(2;–2) có phương trình

y = − x − − ⇔ = − + (trùng với d) y x Như vậy chỉ có một tiếp tiếp song song với d là y = – 3x

Câu c: Hoành độ giao điểm (nếu có) của ( )C và ∆:y =kx−2k − là nghiệm phương trình 2

( )C và ∆ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt ⇔ phương trình (*) có 3 nghiệm x x x1, ,2 3 phân biệt

⇔ phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 2

Trang 10

Để tiếp tuyến trên đi qua gốc toạ độ O thì 0= −( 3a2 +6a−3)(0− −a) a3 +3a2−3a

Giải phương trình trên ta được các nghiệm: a = 0 hoặc 3

Hàm số đạt cực đại tại x0 = −2 nên y′ − = ⇔ −( 2) 0 m2+4m− = ⇔3 0 m =1 hoặc m = 3

Với m = 3 thì y′′ − =( 2) 12>0 ⇒ hàm số đạt cực tiểu tại x0 = −2

Với m = 1 thì y′′ − =( 2) 0 (ta chưa khẳng định được về sự tồn tại cực trị của hàm số)

a) Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại cực tiểu

b) Với giá trị nào của m thì hàm số có các điểm cực trị cùng dương

c) Với giá trị nào của m thì các điểm cực trị x x1, 2 thoả mãn x1+x2 +x x1 2 + =3 0

Bài giải Câu a: Hàm số y =(m +1)x3 +3mx2+ −(3 m x) − 1 có tập xác định D = R

2

y′ = m+ x + mx + −m y′ = ⇔0 3(m+1)x2 +6mx + −(3 m)= 0Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ phương trình y′ =0 có hai nghiệm x x1, 2 phân biệt

m a

Trang 11

Câu b: Hàm số có các điểm cực trị cùng dương ⇔ y′ =0 có hai nghiệm dương phân biệt

m P

⇔ − + − + + = ⇔ + = ⇔ = − (thoả điều kiện (*))

Vậy m = – 6 là giá trị tham số cần tìm

Ví dụ 1.5: Cho hàm số y=x3+3mx2 +m2 + Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 1

có các điểm cực trị A, B sao cho đường thẳng AB đi qua điểm C(1;0)

Trang 12

Hàm số nghịch biến trên ℝ ⇔y′ ≤ ∀ ∈0, x ℝ (*) Ta cần xét 2 trường hợp:

m a

Như vậy, Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;3)

Tiếp tuyến của ( )C tại B và C vuông góc với nhau khi và chỉ khi y x′( ) ( )1 y x′ 2 = −1

Trang 13

x y

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số khi m = 1

b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C biết tiếp tuyến cắt trục hoành và trục tung theo

thứ tự tại các điểm A và B sao cho OB = 24.OA

c) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác vuông

Bài giải

Câu a: Với m = 1 ta có hàm số y =x4−2x2 với tập xác định: D = R

Đạo hàm: y′ =4x3 −4x Cho y ′ = ⇔ 0 4 x3 − 4 x = ⇔ = 0 x 0 hoặc x = ± 1Giới hạn: lim

Hàm số đồng biến trên khoảng (–1;0), (1;+∞) và nghịch biến trên khoảng (–∞;–1), (0;1)

Hàm số đạt cực đại tại xCĐ = 0 với yCĐ= 0

đạt cực tiểu tại xCT= ±1 với yCT= –1

Bảng giá trị: x − –1 2 0 1 2

Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng (như hình vẽ)

Câu b: Gọi α là góc hợp bởi tiếp tuyến và trục hoành

Khi đó tiếp tuyến có hệ số góc tan OB 24

OA

k = ± α = ± = ± 3

Khi đó, 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A(0;m2 – m), ( B− m;−m) , (C m;−m)

Suy ra, AB = −( m;−m2) , AC =( m;−m2) và AB = AC

Từ đó để ABC∆ vuông thì AB AC = Giải tiếp rồi đối chiếu điều kiện ta nhận m = 1 0

Trang 14

y

1

-1 -1

O

1

Ví dụ 1.10: Cho hàm số y =mx4 −(m−2)x2 +2m−3 (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số khi m = 1

b) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

c) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác vuông

Hàm số đạt cực tiểu tại xCT = 0 với yCT= 0 và không đạt cực đại

Bảng giá trị: x –1 0 1

Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng (như hình vẽ bên đây)

Câu b: Hoành độ giao điểm của ( )C và trục hoành (nếu có) là nghiệm của phương trình

⇔ phương trình (2) có hai nghiệm t t1, 2 dương phân biệt

Hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ phương trình y′ =0 có 3 nghiệm phân biệt

⇔ phương trình ( ) 0g x = có 2 nghiệm phân biệt khác 0

Trang 15

y

+

→ −suy ra tiệm cận đứng

+

=+ nghịch biến trên khoảng K ⊂ ⇔D f x′( )< ∀ ∈0, x K (không có dấu “=”)

III Một số công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

IV Một số dạng toán tương tự với dạng toán của hàm số bậc ba

Phương trình tiếp tuyến dạng 1, dạng 2, dạng 3 (xem lại cách giải trình bày ở trang 2) Xét sự tương giao của đồ thị hàm số với một đường thẳng (xem lại trang 3)

Trang 16

x

3 2

−

= và họ đường thẳng d m :y = −m 4x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C biết tiếp tuyến tạo với Ox, Oy một tam giác cân

c) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d m cắt đồ thị ( )C tại 2 điểm phân biệt

Bài giải

1

x x

Hàm số (3) nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞ , (1;;1) +∞ và không có cực trị )

Tiệm cận đứng là ∆1:x =1, tiệm cận ngang là ∆2 :y =2

Đồ thị hàm số gồm 2 nhánh nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng (như hình vẽ)

Câu b: Tiếp tuyến tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân nên tạo với trục Ox một góc bằng 45

Từ đó hệ số góc của tiếp tuyến đó là k = ±tan 45 = ± ⇔1 y x′( )0 = ± 1

Đến đây giải tiếp ta sẽ tìm được hai tiếp tuyến y = − + và x 1 y = − + x 5

Câu c: Hoành độ giao điểm (nếu có) của ( )C và d m là nghiệm của phương trình

41

Trang 17

a) Tìm các giá trị của m để đồ thị ( C m) của hàm số cắt đường thẳng y = 2x – 3 tại hai điểm

M, N phân biệt sao cho tam giác OMN vuông tại O

b) Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của (C m) tại x = 3 có hệ số góc đạt giá trị lớn nhất

Bài giải Câu a: Hoành độ giao điểm (nếu có) của (C m) và :d y =2x − là nghiệm của phương trình 3

m

m m

Trang 18

§3 Đ TH C A HÀM S CH A D U GIÁ TR TUY%T Đ I

BÀI TẬP MINH HOẠ

Ví dụ 3.1: Từ đồ thị của hàm số y = x4 – 2x2 ở hình 1, hãy suy ra đồ thị của hàm số y = |x4 – 2x2|

x − x < thì ( )C và ( )C′ đối xứng nhau qua Ox

Như vậy dựa vào ( )C ta vẽ được ( )C′ như hình 2 dưới đây

Giữ nguyên phần đồ thị ( )C nằm phía trên Ox

Lấy đối xứng với phần còn lại của ( )C qua Ox

neáu neáu

( ) ( ) 0( )

Lấy đối xứng với phần đã giữ lại đó qua Oy

y = f (|x |) là hàm số chẵn

nên có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng

2

(C ) :y = u x v x( ) ( )

Giữ nguyên phần đồ thị

( )C ứng với ( )u x ≥ 0

Lấy đối xứng với phần

còn lại của ( )C qua Ox

neáu

( ) ( ) ( ) 0( ) ( )

Trang 19

Ví dụ 3.2: Từ đồ thị của hàm số 2 1

1

x x

2 11

2 1 0

x x x x

x < thì ( )C và ( )C′ đối xứng nhau qua Ox

Như vậy dựa vào ( )C ta vẽ được ( )C′ như hình 2 dưới đây

2 11

x x

−

=

Trang 20

3. Cho hàm số y =x3−6x2+9x−1

b) Tìm các giá trị của m để phương trình 3 2

x − x + x + − =m có 3 nghiệm phân biệt

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C tại giao điểm của ( )C với trục tung

d) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị ( ) C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

y = x − Xác định tọa độ các giao điểm của đồ thị ( )C với tiếp tuyến vừa tìm được

e) Tìm các giá trị của k để đường thẳng y = kx – 1 cắt đồ thị ( ) C tại 3 điểm phân biệt

4. Cho hàm số 1 3 1 2 2 4

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2x3 +3x2−12x +6m =0 (1) Khi nào

phương trình (1) có đúng 1 nghiệm dương (HD: ý 2 → chỉ xét giao điểm ở bên phải Oy)

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C vuông góc với đường thẳng x +4y− = 8 0

d) Xác định tọa độ các điểm M thuộc đồ thị ( ) C của hàm số sao cho tiếp tuyến của ( ) C tại M

đi qua A(–2;2) (HD: đặt x0 =a, viết pttt của ( )C tại x0 =a rồi cho tiếp tuyến đi qua A)

Trang 21

5. Cho hàm số y =(m−1)x3+3(3m−2)x2+(9m−7)x + 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số khi 7

9

m =

b) Biện luận theo a số nghiệm của phương trình 2x3−9x2+9a =0

c) Tìm các giá trị của a để phương trình 2x3−9x2 +9a = 0 có đúng 1 nghiệm dương

d) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C vuông góc với đường thẳng 3x + 4y + 4 = 0

e) Tìm các giá trị của k để đường thẳng d y : = kx − 3 k + 4 cắt đồ thị ( ) C tại 3 điểm A,B,C phân biệt Với giá trị nào của k thì các điểm A,B,C cùng nằm về phía bên phải trục tung

f) Tìm các giá trị của m để hàm số có các điểm cực trị x x1, 2 thoả mãn 2 2

a) Tìm các giá trị của tham số m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm trên đồ thị có

hoành độ bằng –1 song song với đường thẳng y =5x (HD: biết x0 = −1, viết pttt của đồ

thị hàm số rồi dùng điều kiện song song của hai đường thẳng để xác định giá trị của m )

b) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có các điểm cực trị A, B sao cho chúng cách

nhau một khoảng bằng 2 3 (HD: ý 2 → cho y′ =0 tìm A, B rồi cho AB =2 3 tìm m)

c) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm

d) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số khi m = 3

e) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 27

4

f) Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất trong tất cả các tiếp tuyến của ( )C

HD: tìm giá trị nhỏ nhất của hệ số góc tức là f x′( ), từ đó tìm được hoành độ x0

g) Từ đồ thị ( )C hãy suy ra đồ thị của hàm số 1 3 3 2 9

7. Cho hàm số y = 2x3 – 3mx2 + (m – 1)x + 1 (1), với m là tham số thực

a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số khi m = 1, suy ra đồ thị hàm số y = 2x3−3x2 +1

b) Tìm điểm M thuộc ( ) C sao cho tiếp tuyến của ( )C tại M song song với d : y =12x + 8

c) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên toàn trục số

d) Tìm m để đường thẳng y = − + cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt x 1

8. Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (1 – m)x + m (1) có đồ thị (C m) Tìm các giá trị của tham số m để

a) Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞ ;2) b) Hàm số có 2 điểm cực trị đều nhỏ hơn 1

c) (C m) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x x x1, ,2 3 sao cho 2 2 2

x +x +x <

9. Tìm các giá trị của m để hàm số y =x3−3mx2+(m2−1)x +2 đạt cực tiểu tại x = 2

10. Tìm các giá trị của m để hàm số y =(m2 − −m 2)x3 +mx2 +4x −1 đạt cực đại tại x = 2

Trang 22

12. Cho hàm số 2 3 2 2 2

y = x −mx − m − x + Tìm các giá trị của tham số m để hàm số có

cực đại, cực tiểu tại x x1, 2 sao cho x x1 2 +2(x1+x2)=1 (HD: ý 2 → dùng hệ thức Viét)

13. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y =mx3−3(m+1)x2 +3(2m2 +1)x−1 có các điểm cực trị x x1, 2 thoả mãn hệ thức 3x x1 2 −2(x1+x2)=1 (HD: ý 2 → dùng hệ thức Viét)

14. Cho điểm A(1;1) và hàm số y =x3−3mx2 +4m3. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực trị Gọi B và C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số Tìm m để tam giác ABC vuông tại A

15. Cho điểm A(2;3) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3

y =x − mx +m có hai điểm cực trị A, B sao cho

a) A, B cách nhau một khoảng bằng 2 5 b) A, B nằm cùng phía so với trục hoành

17. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = 2x3 – 3(m + 1)x2 + 6mx có hai điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = + x 2

18. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x3 – 3mx2 + 3m3 có hai điểm cực trị A và

B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48

19. Tìm các giá trị của m để hàm số y = – x3 + 3x2 + 3(m2 – 1)x – 3m2 – 1 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc toạ độ O

20. Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị hàm số y=x3−3x +2 tại 3 điểm A, B, C phân

biệt sao cho BC =2 2 trong đó (2; 4)A

y = x − mx + Tìm m để đường thẳng d : y = – x + 1 cắt đồ thị hàm số tại 3

điểm (0;1),A B và C sao cho B và C đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất

22. Tìm các giá trị của m để trên đồ thị 1 3 2

3

( ) :C y = mx +(m−1)x +(3m−4)x +1 có điểm M sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại M vuông góc với đường thẳng y = +x 2014

23. Tìm m để đường thẳng d đi qua điểm A(–1;0) với hệ số góc bằng m cắt đồ thị ( ) C của hàm số

y = x + mx + m− x + có đồ thị (C m) Gọi △ là tiếp tuyến của (C m)

tại điểm có hoành độ bằng 1 Tìm các giá trị của tham số m để △ đi qua gốc tọa độ O

25. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(2;2), cắt đồ thị ( ) C : 3 2

y = − +x x − tại hai

điểm B, C khác A sao cho tiếp tuyến của ( ) C tại B và C có tích hệ số góc đạt giá trị nhỏ nhất

26. Tìm m để đồ thị hàm số y =x3 +3x2 + có hai điểm cực trị A và B sao góc m AOB =1200

27. Tìm các giá trị của m để hàm số y =(m+2)x3−4(2m−1)x2 +(6m−3)x + −m 1 có cực trị

Với giá trị nào của m các điểm cực trị của hàm số cùng dấu với nhau

Trang 23

28. Cho hàm số 3

1

mx y x

−

=+ (1) với m là tham số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số khi m = 1

b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại giao điểm của ( )C với đường thẳng d : x + y – 4 = 0

c) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 4

d) Xác định tọa độ các điểm thuộc đồ thị ( )C cách đường thẳng y = 2x – 1 một khoảng bằng 5

e) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = x – 1 tại 2 điểm phân biệt có

−

=+ , từ đó vẽ

11

x y x

−

=+

b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2x – 1

c) Tìm các giá trị của k để đường thẳng d : y = kx + k cắt đồ thị ( )C tại 2 điểm phân biệt Với giá

trị nào của k thì các giao điểm của ( ) C và d có hoành độ đều dương?

d) Xác định toạ độ các điểm M trên đồ thị ( ) C sao cho M cách đều 2 trục toạ độ

e) Xác định tọa độ các điểm N thuộc đồ thị ( ) C sao cho khoảng cách từ điểm N đến đường tiệm

cận đứng của ( )C gấp 2 lần khoảng cách từ N đến đường tiệm cận ngang của ( ) C

30. Cho hàm số 3

2

x y

x

−

=

− có đồ thị ( )C và họ đường thẳng d k :y =kx +k

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số

b) Tìm điểm M thuộc ( ) C biết tiếp tuyến của ( ) C tại M song song với đường thẳng x + y + 1 = 0

c) Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị ( ) C tại giao điểm của ( )C với trục hoành Tính diện tích của

tam giác chắn bởi tiếp tuyến d và hai đường tiệm cận của đồ thị ( ) C

d) Tìm các giá trị của k để đường thẳng d k cắt đồ thị ( ) C tại 2 điểm A, B phân biệt sao cho

i ) A và B nằm cùng phía cho với trục tung ii ) A và B nằm cách đều trục hoành e) Xác định toạ độ các điểm M thuộc đồ thị ( ) C biết rằng khoảng cách từ điểm M đến trục hoành gấp 2 lần khoảng cách từ điểm M đến trục tung

f) Tìm tất cả các điểm trên đồ thị ( )C có tọa độ đều là các số nguyên

31 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số 4

1

x y x

−

=

− , từ đó vẽ

4( ) :

b) Xác định toạ độ của các điểm M thuộc đồ thị ( ) C sao cho khoảng cách từ điểm M đến tiệm

cận đứng của ( )C gấp ba lần khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận ngang của ( ) C

c) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d : y = mx – m + 3 cắt đồ thị ( ) C tại 2 điểm A, B phân biệt Với giá trị nào của m thì tam giác OAB là tam giác vuông tại O

d) Xác định tọa độ các điểm M thuộc đồ thị ( ) C sao cho tiếp tuyến của ( )C tại M cắt trục

hoành tại điểm có hoành độ bằng 8.−

Trang 24

32. Cho hàm số y (m 1)x 2m 2

=

− (1) với m là tham số thực và đường thẳng d : y = a – x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số ứng với m = 1

c) Tìm các giá trị của m để hàm số luôn đồng biến trên mọi khoảng của tập xác định hàm số d) Tìm các giá trị của tham số m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị với

trục hoành song song với đường thẳng y =2x (Đáp số: m = 1)

e) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) và đường thẳng y = x – 1 cắt nhau tại

hai điểm ,A B phân biệt nằm khác phía so với trục hoành

f) Xác định tọa độ điểm M trên đồ thị ( ) C sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến hai

đường tiệm cận của ( )C đạt giá trị nhỏ nhất

33. Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = mx + m + 6 cắt đồ thị ( ) : 2 1

+

=

− sao cho khoảng cách từ điểm N đến

trục tung gấp đôi khoảng cách từ điểm N đến trục hoành (HD: x N =2y N )

36. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 2 1

1

x y x

−

=+ và đường thẳng y = x + m cắt

nhau tại hai điểm A, B sao cho chúng cách nhau một khoảng bằng 2 2

37. Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d : y = 2x + 3m cắt đồ thị hàm số 3

2

x y x

+

=+

tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O

38. Tìm các giá trị của k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị hàm số 2 1

1

x y x

+

=+ tại 2 điểm

A, B phân biệt sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau

39. Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = –2x + m cắt đồ thị hàm số 2 1

1

x y x

+

=+ tại

hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3

40. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2

2 3

x y x

+

=+ biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành,

trục tung tại các điểm A, B sao cho tam giác OAB cân tại O

41. Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y= 2x + m cắt đồ thị ( ) : 1

điểm A, B phân biệt sao cho tiếp tuyến của ( ) C tại các điểm A và B song song với nhau

42. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 8

2

x y x

+

=+ biết tiếp tuyến cắt trục hoành và

trục tung theo thứ tự tại hai điểm A, B phân biệt sao cho OA = 2OB

43. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3

2

x y x

Trang 25

44. Cho hàm số 4 4 4 2 1

3

b) Tìm các giá trị của m để phương trình x4−3x2 +logm = có 4 nghiệm phân biệt 0

c) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C song song với đường thẳng d : y = 120x – 2015

d) Tìm các giá trị của tham số a để phương trình sin4x−3 sin2x + = có nghiệm a 0

y = − x + mx − + có đồ thị m (C m)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C2) của hàm số ứng với m = 2

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C2) vuông góc với đường thẳng x – 48y + 24 = 0

c) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị (C m) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

d) Tìm các giá trị của m để (C m) có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác vuông

e) Tìm các giá trị của a để phương trình 4 2

2x −4x + =1 a có một nghiệm lớn hơn 1

46 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số y = − −x4 x2+6

b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x – 6y = 1

c) Từ đồ thị ( )C hãy suy ra đồ thị ( )C′ của hàm số 2 2

( 3) 2

47. Cho hàm số y =x4 −2mx2 +2m−1 (1)

a) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có ba điểm cực trị Với giá trị nào của m thì các điểm

cực trị A, B, C của đồ thị hàm số (1) lập thành 3 đỉnh của tam giác có diện tích bằng 4 2

b) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

Với giá trị nào của m thì trong 4 điểm phân biệt đó có ba điểm có hoành độ nhỏ hơn 3

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số khi m = 2

d) Xác định toạ độ điểm M trên đồ thị ( ) C sao cho M có toạ độ nguyên đồng thời tiếp tuyến

của đồ thị ( )C tại M cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại các điểm A, B với OB = 4OA

e) Tìm các giá trị của tham số a để phương trình x4 −4x2 + =3 a có 4 nghiệm

f) Gọi B và C là các điểm cực tiểu của đồ thị ( ) C Xác định tọa độ các điểm M thuộc ( ) C sao

cho tam giác MAB vuông tại M

48. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x4 – 2mx2 + 2 có ba điểm cực trị A, B, C sao cho tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trực tâm

49. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = (m – 1)x 4 – 2(m2 – 2)x 2 + 3

a) Có 3 điểm cực trị b) chỉ có 1 điểm cực đại duy nhất

50. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + m2 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông

Trang 26

51. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + m có 3 điểm cực trị A,

52. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = 2x4 – 4x2

b) Tìm điều kiện của tham số m để phương trình x2|2 – x2| = m có đúng 6 nghiệm ?

53. Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = –1 cắt đồ thị hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m tại

bốn điểm phân biệt có hoành độ đều nhỏ hơn 2

54. Tìm các giá trị của m để hàm số y = mx4 + (m2 – 9)x2 + 10 (1) có 3 điểm cực trị

55. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y =x4−2mx2 +2m2 −4 có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 1

56. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số 4 2 2

y =x − −m x + +m có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác có diện tích đạt giá trị lớn nhất

57. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 4 2

1

y =x −mx + −m cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ đều lớn hơn 2.−

58. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y =x4−2mx2 + có ba điểm cực trị A, B, C 2

sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đi qua điểm 3 9

y = x − x + sao tiếp tuyến của

đồ thị ( )C tại A cắt ( ) C tại hai điểm B, C phân biệt khác A sao cho AC =3AB (trong đó B

là điểm nằm giữa hai điểm A và ) C

60. Tìm m để đồ thị hàm số 1 4 2

y = x − m+ x + m+ có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh

của một tam giác nhận O làm trọng tâm

61. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 4 2 2

y =x − m − +m x + − có 2 điểm m

cực tiểu và khoảng cách giữa chúng ngắn nhất

62. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 4 2 2

các điểm cực tiểu của ( )C đến △ đạt giá trị nhỏ nhất

64. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y =x4 −3(m+1)x2 +9m2 +3m cắt đường thẳng

2

7

y = m tại bốn điểm A, B, C, D phân biệt sao cho AB = BC = CD

65. Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số y = x 4 – (m + 4)x 2 + 3 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng

Trang 28

Ví dụ 1.1: Giải các phương trình và bất phương trình sau đây:

a) 8x3− +2x2 2 =4x2+ +x 1 b) ( 3 + 2)x2−4x <( 3− 2)6−x

9x −2.3 x− +3x−.3x+ = 15 d) 5x+ 2−5.2x+ 1≥ 2.5x+ 1−2x+ 3

Bài giải Câu a: 8x3− 2x2+ 2 =4x2+ +x 1 ⇔23(x3− 2x2+ 2) =22(x2+ +x 1) 3 2 2

Vậy phương trình có tập nghiệm S ={log 25 }

Trang 29

So với điều kiện t > 0 ta nhận 0< ≤ , khi đó 3t 3 x ≤ ⇔ ≤ 3 x 1

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = −∞ ( ;1]

Trang 30

§2 PH NG TRÌNH, B T PH NG TRÌNH LÔGARIT

I Các định nghĩa và tính chất của lôgarit

Với cơ số 0 <a ≠ 1 ta định nghĩa a x = ⇔ =b x loga b

Với cơ số 0 <a ≠ 1 ta có các tính chất sau đây

10

logb = lgb =log b (b > 0) log (n m) m loga

a b = ⋅n b (n ≠ 0, b > 0)

lnb =loge b (b > 0) log (a m n )= loga m+loga n (m,n > 0)

log 1a = 0 loga( )m loga loga

Trang 31

So với điều kiện x > 0 ta nhận hết các nghiệm nêu trên

Câu b: Với 0< ≠ ta có x 1 log2x +log 4x ≤ ⇔3 log2x +2 log 2x ≤3

x = + làm nghiệm của phương trình

Câu d: log (5 1) log0,2 0

1

x x

1

x

x x

0

x x

Trang 32

log (6t +3 )t = +2t 1⇔ +6t 32t =22t+ 1 ⇔ + =6t 9t 2.4tHướng dẫn: chia 2 vế phương trình cho 4t Đáp số: x = 1

Câu b: Ta có log (33 x −1).log (33 x+1− ≥ ⇔3) 2 log (33 x −1).log33(3x −1) ≥2

x

−+ < ⇔ + < ⇔ + <

Hướng dẫn: xét 2 trường hợp theo cơ số 3x + 2

Giải trường hợp 3x + > ta được 2 1 1 5 1 5

Trang 33

2 Giải các phương trình và bất phương trình lôgarit sau:(đưa về cùng cơ số rồi giải nhé!)

1) log2x +log4x−2 log8x− =5 0 2) 2

13) log (3 x + +3) log (3 x − =1) 2 14) log (22 x − +3) log (2 x − <1) 2

log (x + =3) log (7x −x )−log (x −1)

19) log(x− +2) log(x − +3) log 5= 1 20) log (2 x − +1) log (2 x + =3) log 102 −1

21) log (15 − +x) log (5 x + + ≤3) 1 log 105 22) log (4 x + −3) log (4 x− ≥ −1) 2 log 84

23) log(x − +9) 2 log 2x − = 1 2 24) log (9 x + −8) log (3 x +26)+ =2 0

25) log (2 x − −2) 6 log0,125 3x− > 5 2 26) 2

log (x +2 )x < +1 log (x− 2)

Trang 34

3 Giải các phương trình và bất phương trình lôgarit sau:(đưa về cùng cơ số rồi giải nhé!)

1) 2 log5x −log 125x − =1 0 2) 4 log9x +log 3x =3

3) log 2 logx 2x 2=log4x 2 4) 2 log 2x +log 210.logx > 5

3

1log (3 1) 2 log ( 1)

log (x −3) + =2 log 8− +x log x

9) 1+log(x −1)2 −log(x2 + >1) 2 log(1− 10)x) log(x + −3) 2 log(x − <2) log(0, 4)

4 Giải các phương trình và bất phương trình lôgarit sau:

Trang 35

5 Giải các phương trình và bất phương trình sau đây:

log (x − x − +1) 3 log (x + x − =1) 2 18) logx (log (93 x −72)) ≤ 1

19)log (cosx x −sin )x =log (cosx x +cos 2 )x 20) 2

3logx (5x −18x +16)≤ 2

2 2

Trang 36

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN & NG D NG

I Bảng nguyên hàm cơ bản và nguyên hàm mở rộng

( ) ln (n )

dx x

Trang 37

III Phương pháp nguyên hàm đổi biến số

f x α x α−dx

∫ Gặp x k α−1dx (k ∈ ℤ) kèm biểu thức theo x α t =x α

Đôi khi thay cách đặt t =t x( ) bởi t =m t x ( )+n ta sẽ gặp thuận lợi hơn

IV Công thức Newton-Leibnitz (tính tích phân xác định)

Trang 38

VII Công thức tính diện tích hình phẳng

Hình phẳng ( )H giới hạn bởi

( )

( ) ; ( ),

VIII Công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay

Hình phẳng ( )H giới hạn bởi truïc

( )

( ) ;,

V =π∫ f x  dx

b a

Trang 39

Ví dụ 1: Chứng minh rằng F x( )=ln(x + x2 +1) là 1 nguyên hàm của

2

1( )

F x = x − + là nguyên hàm của ( ) 4 3

x x

–

Trang 40

Ví dụ 5: Tính tích phân sau đây: 3

1

11(2 1)(3 2)

11(2 1)

A B

Định dạng
Số trang	173
Dung lượng	11,85 MB