Hệ thống bài tập thuyết tương đối

Một biến cố có tọa độ trong hệ k là x, y, z,t và trong hệ k’ là x’,y’, z’,t’các công thức biến đổi Galilê không thể dùng để xác định quan hệ giữa cáctọa độ trên vì chúng mâu thuẫn với ti

Trờng đại học vinh Khoa vật lý

-

-Hệ thống bài tập thuyết tơng đối

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Chuyên ngành: vật lý lý thuyết

Giáo viên hớng dẫn: Lê Thị ThaiSinh viên thực hiện: Mai Thị HảoLớp: 44A – Vật lý

Vinh , 2007

Phần I

Mở đầu

Cuối thể kỷ XIX đầu thế kỷ XX khi vật lí học nghiên cứu đến nhữnghiện tợng có liên quan đến vận tốc ánh sáng hoặc những vận tốc lớn hơn, sosánh đợc với vận tốc ánh sáng Ngời ta nhận thấy rằng những khái niệm cũ(những khái niệm cổ điển) không có khả năng giải thích một số hiện tợng mớihoặc dẫn đến những cách giải thích sai lầm Thuyết tơng đối Anhstanh ra đờinăm 1905 đã xây dựng lại những khái niệm không gian và thời gian khác hẳnvới những khái niệm cũ của Niutơn Tới nay, thuyết tơng đối Anhstanh đã đợcthử thách trong thực nghiệm và trở thành một trong những cơ sở không thểthiếu đợc của vật lí học hiện đại

Trong quá trình học thời gian hạn chế nên đa số sinh viên không có

điều kiện đi sâu nghiên cứu thuyết tơng đối Anhstanh Nhng với sự phát triểncủa khoa học kĩ thuật hiện nay là một giáo viên vật lí tơng lai chúng ta cầnnắm vững đợc những nội dung cơ bản của vật lí học hiệu đại

Việc học tập môn vật lí ngoài phần nghiên cứu lí thuyết ngời học cầnthiết phải tiến hành giải các bài tập Đối với phần thuyết tơng đối là một líthuyết trừu tợng Vì vậy việc giải bài tập sẽ giúp học sinh vận dụng lí thuyết,củng cố hoàn thiện khắc sâu kiến thức lí thuyết

Hiện nay tài liệu tham khảo khi học phần “thuyết tơng đối” là khôngnhiều Nói chung các bài tập cha đợc sắp xếp phân loại thành một hệ thống

Vì những lí do trên mà tôi đã chọn đề tài: “Hệ thống bài tập thuyết tơng

Chơng II: Động lực học tơng đối

I- Cơ sở lí thuyếtII- Bài tập

Chơng IV: Điện động lực học tơng đối

I- Cơ sở lí thuyếtII- Bài tập

Phần III: Kết luận

Vì kinh nghiệm của bản thân còn ít nên bản luận văn này không tránhkhỏi các thiếu sót Rất mong sự góp ý xây dựng của các thầy cô giáo và cácbạn sinh viên để cho bản luận văn này hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới cô giáo Lê Thị Thai –Ngời giúp đỡ cho em rất nhiều về kiến thức, phơng pháp nghiên cứu và nguồntài liệu quý giá

Vinh, tháng 05 năm 2007

Ngời thực hiện

Mai Thị Hảo

Phần II

Nội dung

Chơng I: Động học tơng đối I- Cơ sở lí thuyết

1.1 Nguyên lí tơng đối Galilê, phép biến đối tọa độ:

Theo nguyên lí: mọi hiện tợng cơ học đều diễn ra nh nhau trong các hệquy chiếu quán tính

Nguyên lí tơng đối Galile cũng có thể phát biểu một cách khác: Khôngthể dùng bất cứ một thí nghiệm cơ học nào trong nội bộ một hệ quy chiếuquán tính để xét xem hệ đó là đứng yên hay chuyển động thẳng đều

Về mặt toán học các định luật cơ học là bất biến đổi với phép biến đổiGalilê

Chúng ta xét hai hệ tọa độ đề các vuông góc gắn với hai hệ quy chiếuquán tính Hệ k(oxyz) coi đứng yên còn hệ k’(o’x’y’z’) chuyển động thẳng

đều dọc theo trục ox với vận tốc v Tại thời điểm t = 0 hai hệ hoàn toàn trùngnhau

Đối với hai hệ k và k’ nh trên, phép biến đổi Galilê có dạng:

Chúng ta có thể viết dới dạng:

u’ = u – v

u = u’ + v

1.2 Các tiên đề của thuyết tơng đối Anhstanh.

- Tiên đề 1: Mọi hiện tợng vật lí đều diễn ra nh nhau trong các hệ quychiếu quán tính Hay không thể dùng bất cứ một thí nghiệm vật lý nào trongnội bộ hệ quy chiếu quán tính để xét xem hệ đó là đứng yên hay chuyển độngthẳng đều đối với hệ quy chiếu quán tính khác

- Tiên đề 2: Vận tốc ánh sáng trong chân không là không thay đổi theomọi phơng và không phụ thuộc vào chuyển động của nguồn sáng

1.3 Phép biến đổi Lorenxơ:

Một biến cố đợc xác định bởi 4 tọa độ: Ba tọa độ không gian và một tọa

độ thời gian

Một biến cố có tọa độ trong hệ k là x, y, z,t và trong hệ k’ là x’,y’, z’,t’các công thức biến đổi Galilê không thể dùng để xác định quan hệ giữa cáctọa độ trên vì chúng mâu thuẫn với tiêu đề thứ hai của Anhstanh Trong thuyếttơng đối vận tốc ánh sáng không tuân theo định lí cộng vận tốc cổ điển rút ra

từ phép biến đổi Galilê.Chúng ta phải tìm những công thức biến đổi khác thaythế

- Công thức biến đổi Lorenxơ:

x’ =

2

2 1

c v

vt x

' '

c v

vt x

c v

x c

v t





t =

2 2 2 1

' '

c v

x c

v t





- ý nghĩa của các công thức biến đổi Lorenxơ:

+ Các công thức biến đổi Lorenxơ chỉ có ý nghĩa khi v < c.Trong đó v làvận tốc chuyển động của hệ k’ là hệ vật chất chuyển động Điều đó chứng tỏkhông có một vật thể nào chuyển động đợc với vận tốc lớn hơn hoặc bằng vận

tốc ánh sáng trong chân không.Vận tốc ánh sáng c là giới hạn của vận tốc vậtchất chuyển động.

+ Không gian và thời gian gắn liền với nhau mỗi vật thể chuyển động

có không gian riêng và thời gian riêng Không có không gian tách rời vật chất,không có thời gian chung cho mọi hệ

+ Khi v ô c thì công thức biến đối Lorenxơ trở về công thức biến đổiGalilê Nói rộng ra thuyết tơng đối Anhstanh là một thuyết có tính tổng quáthơn và cơ học cổ điền chỉ là một trờng hợp riêng của thuyết tơng đốiAnhstanh

1.4 Sự co lại chiều dài trong hệ chuyển động

Xét một thanh AB không biến dạng

nằm yên trong hệ k’ và có chiều

dài song song với trục 0’x’

Trong hệ k’ điểm A có tọa độ '

(l0 là chiều dài riêng của thanh)

Trong hệ k thanh AB đang chuyển động

Muốn xác định chiều dài của AB trong

hệ k ta phải xác định đợc các tọa độ xA, xB

của các đầu thanh vào cùng thời điểm tA = tB

Theo phép biến đổi Lorenxơ ta có:

c v

c v

c v

c

v

Chứng tỏ khoảng cách không gian là một lợng tơng đối phụ thuộc hệquy chiếu

1.5 Sự chậm lại thời gian trong hệ chuyển động.

Xét một vật hình điểm đứng yên trong hệ k’ và có tọa độ bằng x’ Trênvật đó xẩy ra hai biến cố A, B vào những thời điểm t'

' 2 '

1

c v

x c

' 2 '

1

c v

x c

v





Vì trong hệ k’ hai biến cố cùng xẩy ra một chỗ nên '

A

B

x và khoảngthời gian giữa hai biến cố đo trong hệ k là:

t = tB – tA =

2 2

' '

1

c v

c v

t



 > t0

Chứng tỏ thời gian trong hệ chuyển động trôi chậm hơn thời gian trong

hệ đứng yên, một đồng hồ chuyển động chạy chậm hơn một đồng hồ đứngyên và nói chung mọi quá trình trong hệ chuyển động đều diễn ra chậm hơncác quá trình tơng ứng trong hệ đứng yên

Lấy vi hai vế của các côngthức biến đổi Lorenxơ ta có:

dx =

2

2 1

' '

c v

vdt dx

dt =

2 2 2 1

' '

c v

dx c

v dt

' '

dx c

v dt

vdt dx dt

1 ' 2

2 2

dx c

v dt

c

v dy

1 ' 2

2 2

dx c

v dt

c

v dz

v u

' 1

v u

v u

' 1

1 ' 2 2 2

v u

2 2 2

v u

' 1

1 ' 2 2 2

v u

2 2 2

v u





c v

v u

2

1 



1.7 Các lợng bất biến trong thuyết tơng đối – khoảng:

* Định nghĩa và tính chất của khoảng:

Xét hai biến cố A và B, khoảng cách không gian của chúng trong hệ k:

l =  2  2  2

A B A B A

x      = x2  y2  z2

Khoảng cách thời gian giữa hai biến cố:

t = tB - tA

Trong thuyết tơng đối ngời ta định nghĩa khoảng của hai biến cố là lợng

c v

t v x

c v

x c

v t

Vậy khoảng là một lợng bất biến

* Một cặp biến cố và khoảng của chúng có thể chia làm ba loại sau:

- Khoảng dạng thời gian (khoảng ảo) và biến cố có quan hệ nhân quả

- Khoảng không gian (khoảng thực) và biến cố không có quan hệ nhânquả

- Khoảng giới hạn (khoảng không – zêrô)

Một biến cố đợc biểu diễn bằng một điểm không gian bốn chiều gọi là

điểm thế giới.Quá trình đợc biểu diễn bằng một đờng trong không gian bốn

chiều gọi là đờng thế giới Khoảng s là khoảng cách hai điểm thế giới trongkhông gian bốn chiều.

Đặt x  x1, y  x2, z  x3,   x4

Ta tởng tợng một phép quay tọa độ trong không gian 4 chiều trong đótrục 0x1, 0x4 quay trong mặt phẳng x10x4 một góc φ, còn 0x2 và 0x3 vẫn đứngyên.Trong phép quay đó tọa độ điểm thế giới sẽ biến đổi

Phép quay tọa độ trong không gian bốn chiều tơng đơng với phép biến

đổi Lorenxơ.Nh vậy có thể tìm đợc quan hệ giữa góc φ và vận tốc của hệ k’

Góc O’ của hệ k’ có tọa độ trong hệ k’ là x’ = 0 và trong hệ k là x = vt(chú ý rằng x = x1 và t =

c

ix ic

1

c

v

Thay vào (8.1) ta có:

x'

1 =

2 2

4 1

1

c v

x c

iv x

1 4

1

c v

x c

iv x





Nếu thay các kí hiệu cũ: x1 = x, x2 = y, x3= z, x4= ict

Thì ta đợc các công thức biến đổi Lorenxơ

- Định nghĩa vectơ 4 chiều A là một tập hợp 4 lợng A1, A2, A3, A4 saocho trong phép quay hệ tọa độ thì nó biến đổi giống nh biến đổi của tọa độ

A'

1 =

2 2

4 1

1

c v

A c

iv A

1 4

1

c v

A c

iv A

VD: Vận tốc ánh sáng c, khoảng S, thời gian riêng t0…

1.9 Vectơ vận tốc 4 chiều và gia tốc 4 chiều.

a) Vectơ vận tốc 4 chiều

Trong không gian ba chiều vectơ vận tốc là tỉ số của vi phân bán kínhvectơ với vi phân thời gian: u =

dt dr

Tơng tự vectơ vận tốc 4 chiều u là tỉ số của vi phân bán kính vectơ 4chiều r với vi phân của một vô hớng 4 chiều chỉ thời gian vô hớng 4 chiều

đó chỉ có thể là thời gian riêng t0

c

u dt

u x



u2 =

2 2 2

1

c

u dt

dx

 =

2

2 1

c u

u y



u3 =

2 2 3

1

c

u dt

u Z



u4 =

2 2 4

1

c

u dt

dx

 =

2

2 1

c u

ic

Khi uôc thì dẫn tới các thành phần vận tốc thông thờng của chất điểm:

Bốn thành phần của u không độc lập với nhau nếu ta biết 3 thànhphần thì có thể tìm đợc thành phần còn lại

II- Bài tập Loại bài tập sử dụng công thức biến đổi lorenxơ.

Bài 1.1: Một đĩa tròn bán kính R chuyển động thẳng đều với vận tốc v

theo phơng // với mặt đĩa Hỏi trong hệ quy chiếu gắn với trái đất đĩa có hình

dạng gì?

Bài giải

Chọn hệ k’ với đĩa tròn

k gắn với trái đất xét trong hệ k’

phơng trình của đờng chu

R

y = 1

Do khi chuyển động kích thớc dọc theo phơng chuyển động

của đĩa co lại còn R 1   2

Vậy phơng trình của đờng chu vi của đĩa trong hệ k là:

2

1

c

v R

x

+ 22

R

Nh vậy địa có dạng hình elíp

Bài 1.2: Thời gian sống riêng của một hạt không bền nào đó là  0 =

10ns tìm quãng đờng hạt đi đợc trớc khi phân rã trong hệ quy chiếu phòng thí

nghiệm trong đó thời gian sống của hạt là:  = 20ns

Bài giải:

Xét hệ quy chiếu k’ gắn với hạt

Hệ quy chiếu k gắn với hệ quy chiếu phòng thí nghiệm

áp dụng công thức sự chậm lại của thời gian trong hệ chuyển động

 =

2 2 0 1





<=> v = c

2 0

Quảng đờng hạt đi đợc trong hệ k là:

l = v  = c 

2 0

Bài 1.3: Ba hệ k, k’, k’’ có các trục tơng ứng song song với nhau Hệ

"

k chuyển động đối với hệ k’ với vận tốc bằng v’ Hệ k’ chuyển động

đối với hệ k bằng v Viết công thức biến đổi lorenxơ từ hệ k’’ sang k và rút racông thức cộng vận tốc song song

c v

vt x





2 2 2

1

c v

x c

v t

' ' '

c v

t v x

'

' '

c v

x c

v t

2 2 2 2

x c

v t v c v

vt x

2

' 1

' 1 1

' 1 '

v v c

t c vv

v v x

2 2

2 2

' 1

' 1 1

' 1

' 1

v v c

x c vv v v c t

(3)

Gọi u là vận tốc tơng đối của hệ k '' đối với hệ k ta có:

2 2 ''

1

c u

ut x x

2 ''

1

c u

x c

u t t

'

c vv

v v





Bài 1.4: Một thanh chuyển động dọc theo chiều dài của nó với vận tốc

bằng v Ta đo chiều dài của nó bằng cách đo khoảng thời gian t nó đi quamột điểm p đứng yên và nhân t với vận tốc v của thanh.Chứng minh rằngchiều dài l đo đợc bằng phơng pháp đo so với chiều dài riêng l0 của thanhbằng: l = l0

2

2 1

Xét hệ k’ gắn với thanh AB, hệ k gắn với trái đất

- xA, xB là tọa độ điểm A, B khi nó đi qua điểm p đứng yên nên ta có

xA= xB (trong hệ k)

- tA, tB thời điểm A, B đi qua điểm P trong hệ k

- t'A,t B' thời điểm A, B đi qua điểm P trong hệ k’

áp dụng công thức biến đổi lorenxơ:

t’A = 2

2 1

c v

c v

c v

c v

Chiều dài của thanh trong hệ k’: l’ = t’.v = l0

Chiều dài của thanh trong hệ k:

c v



Vậy l = l0 2

2 1

c

v

 (đpcm)

Bài 1.5: a.Tìm thời gian sống trung bình của một dòng mezon  +

chuyển động với vận tốc   0 , 73.Thời gian sống riêng trung bình của mezon

 + là t0 = 2.5.10-8 (s)

b Quãng đờng mezon  + đi đợc bằng bao nhiêu

c Quảng đờng mezon  + đi đợc bằng bao nhiêu nếu không kể đến hiệuứng tơng đối

Bài giải:

Xét hệ k’ gắn với menzon  + Hệ k gắn với trái đất

Thời gian sống của menzon  + trong hệ k’ là:

t0 = 2,5 10-8 (s)

Vậy thời gian sống cỉa menzon  + trong hệ k là:

t =

2 2 0 1

c v

t

8

73 , 0 1

10 5 , 2

Bài 1.6: Theo quan điểm của một quan sát viên trên một xe chuyển

động thì hai sét đánh tại hai điểm A (trớc xe) và điểm B (sau xe) xảy ra đồngthời

- Hỏi sét nào đánh trớc theo quan điểm của ngời đứng trên mặt đất

vào thời điểm tB.

Ta lại có 2 sét đánh tại 2 điểm A, B

cùng một lúc đối với quan sát viên trên xe

c v

x c

c v

x c

) (

c v

x x c

v t

a Khi đồng hồ trong hệ k chỉ thời điểm t =

c

3

2 thì tọa độ các đỉnhA,B,D trong hệ k’ là bao nhiêu? Đồng hồ tại các đỉnh đó chỉ những thời điểmnào ?

b Khi đồng hồ trong hệ k’ chỉ thời điểm t’ =

c

3

2 thì tọa độ các đỉnhA,B,D trong hệ k’ là bao nhiêu?

c Tính kích thớc của hình vuông trong hệ k’ và so sánh với kích thớccủa nó trong hệ k

Cho biÕt vËn tèc cña hÖ k’ lµ v =

3 2 2

3 1

t'

A =

2 2 2

1

c v

x c

1 2

3 3

c v

3 2 2

3 3

1

c v

x c

3 2

3 3

c v

vt



 =

2 1

3 2 2

3 3

1

c v

x c

3 2

3 3

áp dụng công thức biến đổi lorenxơ ta có:

t'

A =

2 2 2 1

c v

x c

c v

3 1

3 3

A B

x x

x x

Nh vậy trong hệ k’ kích thớc của nó giảm một nửa so với kích thớctrong hệ k

Bài 1.8: Một ”đoàn tàu Eintein” có chiều dài riêng l0 = 8,64 108km vàvận tốc v = 2,4.105km/s chuyển động ngang qua một sân ga AB có chiều dàiriêng cũng bằng l0 ở đầu (B’) và cuối (A’) đoàn tàu có những đồng hồ chạy

đồng bộ với nhau ở đầu (A) và cuối (B) sân ga cũng có những đồng hồ chạy

đồng bộ với nhau Lúc đầu tàu đi ngang qua đầu sân ga đồng hồ ở A và B’cùng chỉ Oh Hỏi:

a Có thể khẳng định là khi đó mọi đồng hồ trong các hệ quy chiếu gắnvới sân ga và đoàn tàu đều chỉ 0h đợc không?

b Khi đuôi tàu đi ngang qua đầu sân ga thì các đồng hồ ở A,B,A’,B’ chỉmấy giờ

c Khi đuôi tàu đi ngang qua cuối sân ga thì các đồng hồ đó chỉ mấygiờ

đặt tại điểm B’ của đoàn tàu khi đó trùng với A chỉ 0h mà thôi Các chỉ số củacác đồng hồ đặt tại các điểm khác nhau trên tàu ta không thể thấy đợc

b Khi đuôi tàu đi ngang qua đầu sân ga

*Theo quan điểm của ngời đứng trên

sân ga (hình a) đoàn tàu có chiều dài l0

Khi “đuôi tàu” đi ngang qua đầu “sân ga”

thì “đoàn tàu” đi đợc một đoạn đờng

v l

8 11

10 4 , 2

10 3

10 4 , 2 1 10

10 4 , 2

c

v

 (Hình a)Gọi t A', t B' là thời điểm tơng ứng của “đuôi tàu” và “đầu tàu” theo

đồng hồ gắn với sân ga Rõ ràng t A' và t B' cũng bằng tA và tB

' 2 '

1

c v

x c

0 10 3

10 4 , 2 60

' 2 '

1

c v

x c

6 , 0 10 64 , 8 10 3

10 4 , 2 60

* Theo quan điểm của ngời đứng

đầu tàu (hình b)khi đuôi tàu đi ngang qua

đầu sân ga đầu tàu đã đi qua đợc một

đoạn đờng dài bằng l0 Nh vậy thời gian

trôi đi phải là:

10 64 , 8



v

l

= 3600 (s) = 60 (phút)Cũng nh quan sát viên đứng ở trên sân ga

ngời đó phải thấy mọi đồng hồ trên đoàn tàu cùng chỉ một giá trị

y

x x'B

Đối với ngời này sân ga chuyển động với vận tốc v theo chiều ngợc lại

và do đó chiều dài của nó bằng l0 2

2 1

c

v

 Tọa độ của đầu sân ga và tọa độ cuối sân ga trong hệ k’ là:

áp dụng công thức biến đổi lorenxơ ngời ở trên tàu sẽ biết đợc thời

điểm tA, tB tơng ứng trong hệ gắn với sân ga là:

tA =

2 2

' 2 '

1

c v

x c

' 2 1

'

c v

x c

B là thời điểm tơng ứng của đầu sân ga và cuối sân ga theo đồng

hồ gắn với đoàn tàu, rõ ràng ta có:

10 456 , 3 10 3

10 4 , 2 60

2 8

10 64 , 8 10 3

10 4 , 2 60

2 8

8





= 2160 (s) = 36 (phút)

Nhận xét: Đồng hồ ở 2 điểm không gian trùng nhau có sổ chỉ không

phụ thuộc hệ tọa độ k, k’

c Khi đầu tàu đi ngang qua cuốisân ga

- Theo quan điểm của ngời đứng trên sân ga (hình c) khi đầu tàu đingang qua cuối sân ga đoàn tàu đi đợc quãng

đờng l = l0

Nh vậy thời gian trôi đi:

11 0

10 4 , 2

10 64 , 8



v

l

= 3600 (s) = 60 (phút)Theo câu a đối với ngời đứng trên sân

Tọa độ của đầu tàu và đuôi tàu trong hệ k là:

Gọi tA’, tB’ là thời điểm tơng ứng của đuôi tàu và đầu tàu theo đồng hồgắn với sân ga, rõ ràng ta có:

tA’ = tB’ = tA =tB = 60 (phút)Khi đó quan sát viên đứng ở sân ga sẽ biết đợc thời điểm t A'' , '

'

B

t tơng

ứng trong hệ gắn với con tàu

áp dụng công thức biến đổi lorenxơ ta có:

' 2 '

1

c v

x c

10 456 , 3 10 3

10 4 , 2 60

2 8

' 2 1

' '

c v

x c

10 64 , 8 10 3

10 4 , 2 60

2 8

8



= 2160 (s) = 36

(phút)

- Theo quan điểm của ngời đứng ở

đầu tàu (hình d) sân ga có chiều dài l0 2

2 1

c

v

 Khi đầu tàu đi ngang qua cuối sân ga đoàn

tàu đi đợc l = l0 2

2 1

6 , 0 10 64 , 8

= 2160 (s) = 36 (phút)

Cũng nh mọi quan sát viên đứng ở trên đoàn tàu ngời đó thấy mọi đồng

hồ trên tàu chỉ nh đồng hồ ở B’ tức là:

t' '

xA’

Đối với ngời này sân ga chuyển động với vận tốc v theo chiều ngợc lại

và do đó chiều dài của nó bằng: l0 2

2 1

A, t'

B là thời điểm tơng ứng của đầu sân ga và cuối sân ga theo

đồng hồ gắn với đoàn tàu ta có:

' '

c v

x c

10 184 , 5 10 3

10 4 , 2 60

2 8

' '

c v

x c

0 60

= 3600 (s) = 60 (phút)

Bài 1.9: Có hai nhóm đồng hồ giống nhau (đồng bộ) chuyển động đối

với nhau nh hình vẽ Lấy gốc tính thời gian là lúc đồng hồ A’ đi qua đối diệnvới đồng hồ A Hỏi khi ngời quan sát đứng yên so với nhóm đồng hồ A cáckim đồng hồ chỉ tại thời điểm đó nh thế nào?

Vẽ vị trí các kim của tất cả các đồng hồ:

A

Bài giải:

Xét hệ k’ gắn với nhóm đồng hồ chuyển động hệ k gắn với nhóm đồng

hồ đứng yên

Khi ta đứng yên so với đồng hồ A ta thấy tất cả các đồng hồ thuộcnhóm A cùng chỉ một giờ: t = 0h

Chọn gốc tọa độ 0’,0 tại A’, A ta có t’0= 0,t0 = 0 khi này hệ k trùng hệ k’

- Nếu các đồng hồ nằm bên phải điểm A’ ta có x’ > 0

áp dụng công thức biến đổi lorenxơ ta có:

t =

2 2 2 1

' '

c v

x c

v t

c v

x c

v t

Loại bài tập sử dụng công thức cộng vận tốc

Bài 1.10: Một giọt ma rơi do trọng lợng của nó để lại vết trên cửa kính

của một ô tô chạy với vận tốc v Xác định gốc lệch của vết giọt ma so với

ph-ơng thẳng đứng theo quan niệm cổ điển và quan niệm tph-ơng đối Coi hạt ma rơi

Hệ k’ gắn với xe chuyển động với vận tốc v.

Theo quan niệm cổ điển vận tốc của ô tô trong

Trong đó u’ là vận tốc hạt ma trong hệ k’

+ Đối với hệ k ta có: ux= 0, uy = -u, uz = 0

-Theo quan điểm tơng đối:- Đối với hệ k ta cũng có: u x  0 ,u y  u,u z  0

+ Đối với hệ k’: áp dụng công thức vận tốc Anhstanh ta có:

u’x =

2

1

c vu

v u

x x

1

1

c vu c

v u

x y

1

1

c vu c

v u

x z





= 0

v u

Bài 1.11: Hai tên lửa đợc phóng đi từ trái đất trên cùng một phơng theo

hai hớng ngợc nhau với vận tốc 0,8c đối với trái đất

a Hai tên lửa tách xa nhau với vận tốc bằng bao nhiêu ? theo quan điểmcủa ngời đứng trên trái đất

b Vận tốc chuyển động của một tên lửa đối với hệ quy chiếu gắn vớitên lửa kia

Bài giải:

a Xét hệ k gắn với trái đất

Vận tốc của tên lửa thứ nhất trong hệ k là: v1 = v

Vận tốc của tên lửa thứ 2 trong hệ k là: v2  v

Vậy vận tốc tơng đối của tên lửa thứ nhất so với tên lửa thứ 2 trong hệ klà: v12v1 v2  2v

v u

2

1 

 =

2

2 1

2

c v

v



 =

2

2 64 , 0 1

8 , 0 2

c c

c





= - 0,976cDấu “-” chứng tỏ chuyển động ngợc chiều so với tên lửa 1

Bài 1.12: Hai thanh có chiều dài riêng bằng l0 và chuyển động trong hệ

k với vận tốc +v và -v dọc theo chiều dài của chúng.Tính chiều dài của mỗithanh đo trong hệ gắn với thanh kia

Xét hệ k gắn với trái đất

Hệ k’ gắn với thanh 1.Hệ k’ chuyển động với vận tốc v so với hệ k.Vận tốc của thanh 2 trong hệ k là: u = -v

Gọi u’ là vận tốc của thanh 2 trong hệ k’

u’=

2 1

c uv

v u



 =

2

2 1

c v

v v

2

c v

1

c c v v

1

1

c v c v

c u

u x

2

2 1

c u

u y

u3 =

2

2 1

c u

u z

2

2 1

c u

4 1

1

c v

u c

iv u

2 1 1

c

u c

c u

c u

1 4

1

c v

u c

iv u

2 1 1

c

u c

v

u c

' '

1

1

c u

' '

2

1

c u

' '

3

1

c u

' 4

1

c u

ic u

2 2 2

1

u c

u c

2

2 1

u c

2

2 1

u c

u

u z



2 '

1

c u

ic

 =

2

2 2

2 1 1

c

u c

v

u c

v u

x x

1

1

c vu c

v u

x y

1

1

c vu c

v u

x z

2.1 Khối lợng tơng đối tính và xung lợng tơng đối tính.

- Xây dựng một vectơ xung lợng 4 chiều p tơng tự trong cơ học cổ

điển: p = m0u

u là vận tốc 4 chiều

m0 là vô hớng 4 chiều chỉ khối lợng

Các thành phần của p là:

p1 = m0u1 =

2 2 0 1

c u

u

 ; p2 = m0u2 =

2 2 0 1

c u

1

c u

u

 ; p4 = m0u4 =

2 2 0

1

c u

ic m

Ta đặt m =

2 2 0

1

c u

1

c u

m

 gọi là khối lợng tơng đối tính của hạt

Khi hạt đứng yên thì m = m0, m0 gọi là khối lợng tính (hay khối lợngnghỉ của hạt), tức là khối lợng đo trong hệ quy chiếu mà hệ đứng yên

Xung lợng định nghĩa bằng:

p = mu =

2 2 0

1

c u

m

đợc gọi là xung lợng tơng đối tính của hạt khi u ô v thì thì:

p ≈ m0u = p0 xung lợng trong cơ học cổ điển

2.2 Phơng trình động lực học tơng đối tính của chất điểm

dt

u m

f là một vectơ 4 chiều gọi là lực 4 chiều hay là lực Mincopki chiếuphơng trình trên lên 3 trục không gian và chú ý:

c u

u m

dt

= f1 2

2 1

1

c u

u m

dt

= f2 2

2 1

1

c u

u m

dt

= f3 2

2 1

Đó là phơng trình động lực học tơng đối tính của chất điểm

Chiếu phơng trình (2.3) lên trục thời gian ta có:

dt

d

2 2 0 1

c u