Chương 7 THỰC HIỆN lọc và NHỮNG HIỆU ỨNG CHIỀU dài từ hữu hạn

Mặc khác, hiện thực phần cứng hoặc phần mềm của một lọc từ cấu trúc của nó không thể chính xác, vì một vài nguồn của lỗi, như lượng tử đầu vào, cắt cụt hoặc làm tròn những hệ số lọc.. Ph

Chương 7

THỰC HIỆN LỌC VÀ NHỮNG HIỆU ỨNG CHIỀU DÀI TỪ HỮU HẠN

Thực hiện, cấu trúc, của một lọc số là trình bày phương trình tín hiệu vào ra, hoặc hàm truyền, bằng giảng đồ (hoặc đồ thị tín hiệu) (phần 1.6.2), sử dụng ba khối cơ bản, cộng, nhân, và đơn vị trễ Nhưng

để có một lọc đang làm việc, ta phải thiết kế mạch logic (phần cứng) hoặc xử lý phần mềm Những cách thực hiện khác nhau trong chương này sẽ trình bày cho cả lọc FIR và IIR

Mặc khác, hiện thực phần cứng hoặc phần mềm của một lọc từ cấu trúc của nó không thể chính xác, vì một vài nguồn của lỗi, như lượng tử đầu vào, cắt cụt hoặc làm tròn những hệ số lọc Vì

vậy, phần hai của chương này thảo luận những hiệu ứng độ dài từ hữu hạn

7.1 TIẾN HÀNH LỌC FIR

Lọc FIR nhân quả có bậc M có phương trình (công thức 5.2) và hàm truyền (5.4a) tương ứng

)(

)(

)2()2()1()1()()0(

)()()

(

0

M n x M h n

x h n

x h n x h

k n x k h n

h z h h z X

z Y z

H   (0) (1)   (2)    ( ) 

)(

)()

Với những hệ số h(n) là đáp ứng xung của lọc Chú ý rằng một lọc có bậc M có M+1 hệ số

Ở đây có một vài hình thức khác nhau của sự thực hiện lọc FIR được nói đến như sau

h

)3(

h

)0(

h

Hình 7.2: Tapped-đường trễ (đường chuyển)lọc FIR bậc M

Theo lý thuyết chuyển vị, hay định lý đảo ngược, ta có thể di chuyển đơn vị trễ ở đường trên hình 7.2 xuỗng đường dưới và đảo bậc của những nhánh hệ số như hình 7.3, mà không ảnh hưởng đến

sự quan hệ vào-ra

Hình 7.3: Thay đường tapped trễ (đường chuyển tiếp) lọc FIR bậc M

7.1.2 Cấu trúc pha tuyến tính

Như thảo luận trong chương 6, hầu hết lọc FIR được thiết kế để có pha tuyến tính (bao gồm pha tuyến tính tổng quát), và ở đây có 4 loại được chú thích như FIR-1 đến FIR-4 (hình 5.5) phụ thuộc bậc lọc M

là chẵn hay lẻ và những hệ số lọc (đáp ứng xung) h(n) là đối xứng hoặc phi đối xứng

Đầu tiên, xét trường hợp FIR-1, với M chẵn, h(n) đối xứng với hệ số giữa h(M/2), nghĩa là

)(

1 2 (

)]

1 (

) 1 ( )[

1 ( )]

( ) ( )[

0 (

) (

) 0 ( ) 1 (

) 1 (

) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 0 (

) (

) ( ) 1 (

) 1 (

) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 0 ( )

M n x

M h

M n x n

x h M n x n x h

M n x h M

n x h n

x h n x h

M n x M h M

n x M h n

x h n x h n

)[

(

)]

1 (

) 1 ( )[

1 ( ) (

) ( )[

0 (

) (

) 0 ( ) 1 (

) 1 (

) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 0 (

) (

) ( ) 1 (

) 1 (

) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 0 ( )

(

2 1 2

1 2

h

M n x n

x h M n x n x h

M n x h M

n x h n

x h n x h

M n x M h M

n x M h n

x h n x h n

h

)2(

Hình 7.4: Dạng tực tiếp cho FIR -1

Cấu trúc được chỉ trong hình 7.5

Hình 7.5: Dạng trực tiếp với FIR-2

Ta có thể xử lý giống như thế cho FIR-3 và FIR-4

Lọc FIR có thể có dạng khác gọi là dạng lưới mà sẽ nói kèm với lọc IIR trong phần 7.4

7.2 THỰC HIỆN LỌC IIR: DẠNG TRỰC TIẾP VÀ DẠNG CHUYỂN VỊ

Phương trình tín hiệu của lọc IIR nhân quả là

k

k y n k b x n k a

n y

0 1

)()

()

k

k y n k b x n k a

0 0

)()

Theo cách này những hệ số ak , trừ a0, có dấu ngược với dấu của ak trong(7.4) Ta đánh dấu dạng (7.7)

từ hàm truyền là (4.13a)

N N

M M N

k

k k

M k

k k

z a z

a z a

z b z

b z b b z a

z b z

Y

z X z

)()

2 1 1

2 2 1 1 0

1 0

) (

) (

z D

z N

3(M 

1(M 

h

)12

2(M

Như ví dụ, xét một lọc IIR bậc hai có những hệ số đệ qui a1 và a2 , và ba hệ số không đệ qui b0 , b1 và b3 ,thì

)2()1()()2()1()

(n a1y n a2y n b0x n b1x n b2x n

và

2 2 1 1

2 2 1 1 01 )

z b z b b z

7.2.1 Dạng trực tiếp I

Dạng trực tiếp(hoặc dạng trực tiếp I) là giản đồ trực tiếp trình bày công thức truyền (7.7) Ví dụ với lọc (7.8) thực hiện dạng trực tiếp là hình 7.6 Chú ý rằng ta có thể tách tổng thành hai tổng nối tiếp, một cho phần vào và một cho phần ra (xem hình 7.8a)

Hình 7.6: Dạng trực tiếp I của lọc IIR bậc hai (7.9)

Ví dụ 7.2.1

Tìm cấu trúc thực tế của lọc IIR có hàm truyền

4 2

1

3 1

4 0 5 0 3 0 1

5 4 3 )

z

z z z

H

Giải

Ta có thể vẽ cấu trúc bằng sự quan sát Kết quả trong hình 7.7 Phương trình có thể dễ dàng tìm thấy là

)3(5)1(4)(3)4(4.0)2(5.0)1(3.0)

1 ) (

1 ) ( ) (

) ( )

z D z D z N z D

z N z

Hình 7.7: Ví dụ 7.2.1

Nghĩa rằng bậc của lọc vào N(z) và lọc ra 1 D ( z ) của cấu trúc như hình 7.6 có thể hoán đổi mà không thay đổi sự quan hệ vào-ra (phương trình vào ra) để có cấu trúc khác Xét lần nữa lọc bậc hai (7.8) Dạng trực tiếp với cấu trúc I như hình 7.8a (vẽ lại hình 7.6) với ngõ ra của tầng 1 N(z) đưa đến tầng ngõ ra 1/D(z) Trong hình 7.8b bậc của hai tầng được đảo ngược, bây giờ tầng vào là 1/D(z) và tầng

ra là N(z) Lấy chú thích tín hiệu trực tiếp là by v(n) thì ta thấy rằng nó bị trễ cùng số mẫu với hai đơn

vị trễ của hai lọc Hoặc cách nói khác, hai tập trễ có cùng nội dung, vì vậy ta có thể kết nối thành một tập duy nhất để có cấu trúc hình 7.8c mà là dạng trực tiếp II, cũng gọi là dạng chính tắc với số đơn vị trễ ít hơn

Ta có thể kiểm tra cấu trúc bằng cách viết phương trình cho v(n) và y(n):

) 2 ( ) 1 ( ) ( ) ( n  x n  a1v n   a2v n 

)2()1()()(n b0v n b1v n b2v n

y

Mà trong miền z là

)()

()

()

)()

()

()

(z b0V z b1z 1V z b2z 2V z

Giải phương trình với V(z) và Y(z) ta có

)()(

1)(1

1)

2 1 1

z X z D z X z a z a z

1)(

)()()()(

)

z X z D z N

z V z N z V z b z b b z Y

) ( ) (

) ( ) (

z D

z N z Y

z X z

Như đề cập trong phần 7.1.1, lý thuyết của giản đồ tín hiệu ở đây là lý thuyết chuyển vị, cũng được gọi

là lý thuyết đảo ngược, mà phát biểu rằng sự liên hệ vào ra của hệ thống duy trùy không đổi khi ta đảo hướng của tất cả các nhánh, hóa vị vào và ra, và đổi điểm nguồn vào điểm bên trong và ngược lại Lý thuyết này dẫn đến cấu trúc chuyển vị mà có thể hữu ích hơn cấu trúc thông thường Vì vậy ta có chuyển vị trực tiếp

3

Hình 7.10: Chuyển vị trực tiếp dạng II (cải tiến từ hình 7.6)

Dạng I và dạng chuyển vị trực tiếp II Ví dụ, cấu trúc của hình 7.6 chuyển thành hình 7.10, và cấu trúc hình 7.8c trở thành hình 7.11

Hình 7.11: Chuyển vị trực tiếp dạng II (cải tiến từ hình 7.8c)

7.3 THỰC HIỆN LỌC IIR: CẤU TRÚC TẦNG VÀ SONG SONG

Lọc IIR bậc cao có thể được phân tích dẫn đến dạng tầng, hoặc mở rộng thành phân tích thành phần để thành dạng song song

7.3.1 Cấu trúc tâng

Nhìn chung lọc IIR nhân quả (7.5) có hàm truyền (7.7) và phương trình

) (

) 1 ( ) (

) (

) 2 ( ) 1 ( )

(

1 0

2 1

N n x b n

x b n x b

M n y a n

y a n

y a n

0

2 2 1 1

2 2 1 1 0

) ( 1

) (

N i i N

i i

i

z H G z

a z a

z b z b b G z

9

Phân tích thừa số dẫn đến dạng tầng, với ngõ ra của tầng một là ngõ vào của tầng hai và tiếp tục như vậy Phương trình của lọc gốc có được bằng cách tìm phương trình của mỗi tầng và lấy ngõ ra của tang một như ngõ ra của tầng hai…

Ví dụ 7.3.1

Tìm dạng trực tiếp II và cấu trúc dạng tầng của lọc bậc 4 có hàm truyền

4 2

4 225 0 8 0 1

4 4 9 )

z z z

2 1 2

1

2 1

5 0 4 0 1

2 4 3 5

0 4 0 1

2 4 3 )

z z z

z

z z z

-4 -0,84

w0

-4 -0.84

Vì vậy cấu trúc tầng bao gồm hai lọc bậc hai (hình 7.12b) Chú ý với hai thừa số một trong tử và một trong mẫu, ta có thể sắp xếp để có bốn lọc bậc hai khác nhau, và vì vậy ở đây có bốn cấu trúc tầng mà

có hiệu ứng độ dài từ khác nhau, ảnh hưởng sự chính xác của hệ thống khác nhau Lý do là một tầng

sẽ cho một lỗi chắc chắn mà được truyền đến tầng tiếp theo

Ví dụ 7.3.2

Tìm dạng cấu trúc tầng của lọc bậc 4

) 7 0 )(

8 0 ](

16 0 ) 3 0 [(

) 1 ( 2 )

z

z z z

H

Giải

Phân tích thừa số có kết quả như

2 1

1 2

1

2 1

56 0 1 0 1

1 25

0 6 0 1

1 2 )

z z

z

z z z

H

Fig 7.13: Ví dụ 7.3.2

Hình 7.13 Chỉ cấu trúc tầng

Phân tích của hàm truyền

Vấn đề của sự biến đổi một lọc bậc cao thành dạng tầng của lọc bậc một và bậc hai là quá trình xử lý của sự phân tích thừa số tử và mẫu của hàm truyền Với đa thức mâu D(z) có bậc N ta xử lý để tìm căn bậc hai của nó (giống như tìm cực của hệ thống)

) 1

) (

1 )(

1 (

1 ) (

1 1

2 1

1

2 2 1 1

p z

p

z a z

a z a z

D

N

N M

(7.13) Nếu căn bậc hai là thực, ta có thể để D(z) thành hình thức trên hoặc kết nối đôi thừa số thành hàm bậc hai với những hệ số thực Ví dụ với p1, p2 thực, ta có

))

(1()1

)(

1(  p1z1  p2z1   p1 p2 z1 p1p2z2

Nếu căn là phức, chúng sẽ xuất hiện như đôi liên hiệp phức Ví dụ, với p1, p2 liên hiệp phức là

2

* 2 1 1

* 2 1 1

* 1 1

1

|

| ) Re(

2 1

) (

1 ) 1

)(

1 (

z p p z p p z

p z

p

Kết quả có thể viết trong trục tọa độ cực với 1

1 1



j e r

p  , như

2 2 1 1 1 1

* 1 1

Tìm cấu trúc tầng cho lọc sau

3 2

1

5 4

3 2

1

52 0 77 1 2 2 1

5328 0 9376 0 33 0 48 0 5 1 1 )

z

z z

z z

z z

H

Giải

Sử dụng Matlab, ta có thể tìm căn của mẫu và tử như sau:

4.07.0,

8.0

4.08.0,7.05.0,

9

0

j p

j j

)0.7zz

(1]j0.7)z-(-0.5-][1j0.7)z(-0.5

)8.06.11(])4.08.0(1][

)4.08.0(1

Và mẫu gồm hai thừa số

) 8 0 1 (  z1

)65.04.11(])4.07.0(1][

)4.07.0(1

Với những thừa số trên, một cấu trúc tầng có thể là

) 8 0 6 1 1 ( 65 0 4 1 1

74 0 1

8 0 1

9 0 1 )

2 1

z z

z

z z

H

Trong hình thức này, hệ thống là một tầng của lọc bậc một, một lọc bậc hai và một lọc FIR bậc hai Ta

có thể có sự kết hợp khác của những thừa số để có cấu trúc tầng khác

Ví dụ 7.3.4

Xét một lọc comb đỉnh (phần 4.7.3)

8 80625 0 1

1 )

e e z

Với e j 2nk,với k là một số nguyên, bằng 1 Vì vậy, 8 nghiệm là

7, ,1,0,

8 / ) 1 2

k e

 H(  ) 

0  /8 2  /8 3  /8 4  /8 5  /8 6  /8 7  /8 

2 1 2

1 8 7 1

4 1

3

2 1 2

1 8 5 1

5 1 2

2 1 2

1 8 3 1

6 1

1

2 1 2

1 8 1

7 1

0

8478 1 1 )

(cos 2 1 ) 1

)(

1 (

7654 0 1 )

(cos 2 1 ) 1

)(

1 (

7654 0 1 )

(cos 2 1 ) 1

)(

1 (

8478 1 1 )

(cos 2 1 ) 1

)(

1 (

z z

z z

z

z z z

z z

z z

z

z z z

z z

z z

z

z z z

z z

z z

.0

z

Hoặc

k j k

j

e e

z8 0.06250.0625 2 0.54 2

Vì vậy, 8 nghiệm là

7 , , 1 , 0 ,

5

1 1

4 1

0 )( 1 ) ( 1 0 5 )( 1 0 5 ) 1 0 5 1

6 nghiệm phức còn lại được kết hợp thành 3 đôi liên hiệp phức (p1, p7), (p2, p6), và (p3, p5) để hình thành đôi bậc hai như sau

2 1

2 1

8 6 1

5 1

3

2 2

1 8 4 1

6 1

2

2 1

2 1

8 2 1

7 1

1

5 0 1

5 0 ) (cos 2 1 ) 1

)(

1 (

5 0 1 5 0 ) (cos 2 1 ) 1

)(

1 (

5 0 1

5 0 ) (cos 2 1 ) 1

)(

1 (

z z

z p z

p

z z

z z

p z

p

z z

z z

z p z

2 1 2

2 1 2

1

2 1 2

1

5 0 1

8478 1 1 5

0 1

7654 0 1 5

0 1

7654 0 1 5

0 1

8478 1 1 )

z z z

z z z

z

z z z

z z

H

Vì vậy, lọc comb đỉnh thể hiện bằng dạng tầng của lọc IIR bậc 4 như sau

7.3.2 Cấu trúc song song

Thay vì phân tích thừa số hàm truyền để có cấu trúc dạng tầng, ta có thể khai triển nó thành phân số từng phần để có cấu trúc dạng song song Vấn đề khai triển phân số từng phần đã khảo xác kỹ trong phần 4.6

k N

k

k k

M k

k k

z

z G

z a

z b z

H

1

1 1

1

1

0

) 1

(

) 1

(

1

) (

H

1

11

) (

Với thừa số độ lợi Ak và nghiệm knhìn chung là phức Kết quả trên chỉ rằng lọc bậc cao có thể tín hành bằng M lọc bậc một song song Trong hầu hết các trường hợp đáp ứng xung h(n) là thực, thì cực của H(z) xuất hiện trong đôi liên hiệp phức, mà dẫn đến hệ thống bậc hai với những hệ số thực

z a z a

z b b z

1 1 01 )

Nếu N  M, khai triển phân số từng phần sẽ chứa một lọc FIR mà được đặt song song với lọc IIR bậc hai Khi N = M, ở đây sẽ tồn tại một hằng số trong khai triển, đó là b /M aN Bậc của lọc song song thì không quan trọng

Cấu trúc song song không phổ biến như cấu trúc tầng vì sự nhạy của không với sự lượng tử hệ

số và một số lý do khác

Ví dụ 7.3.5

Tìm cấu trúc song song của lọc Butterworth bậc ba

3 2

1

3 2 1

0165 0 3419

0 1801 0 1

) 3

3 1 ( 1432 0 )

z

z z z z

H

Giải

Kết quả của khai triển phân số từng phần là

2 1

1 1

3355 0 131 0 1

08407 0 2916 1 049

0 1

1764 10 7107 8 )

z z

z H

Hình.7.15: Ví dụ 7.3.5

Cấu trúc được diễn tả trong hình 7.15

7.4 CẤU TRÚC LƯỚI

Một dạng không trực tiếp khác là dạng mắc lưới mà có nhiều ưu điểm trong những ứng dụng như xử

lý giọng nói, xử lý đa phân giải, và lọc thích nghi Một số ưu điểm chính như sau:

- Lọc mắc lưới ít nhạy với hiệu ứng lượng tử hơn dạng trực tiếp

- Lọc mắc lưới có thuộc tính điều chỉnh, nghĩa là bổ sung nhiều tầng sẽ tăng bậc lọc hơn là việc thiết kế lại

- Trong dự đoán tuyến tính, cấu trúc mắc lưới cho dự đoán lỗi tới trước và lỗi hồi tiếp một cách tức thì

7.4.1 Cấu trúc lọc FIR mắc lưới

Viết hàm truyền của lọc bậc M như

M M

z M a z

M a z

a z a a z

A( ) (0) (1) 1 (2) 2  ( 1) ( 1)  ( )  (7.20) Với a(0) lấy bằng 1 (a(0) = 1), vì vậy

i M

i z i a z

)(1

)

Chú ý rằng ta sử dụng chú thích khác so với thông thường (so với 7.2) Trong cách này lọc bậc nhất là

) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( n  x n  a1 x n 

1 1

()

1 n  f n K g n

)1()()

2(z)1a (1)z a (2)zA

) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( n  x n  b2 x n   b2 x n 

Với chú thích 2 cho lọc bậc hai Cấu trúc mắc lưới (hình 7.17) là một tầng của hai mắc lưới đơn Ngõ

ra y(n) là

) 2 ( )

1 ( )

1 ( )

( ) ( ) ( n  f2 n  x n  K1x n   K1K2x n   K2x n 

Hình 7.16b: Mắc lưới FIR bậc hai

So sánh cái này với phương trình (7.25), ta có

) 2 (

2 n g

1 n g

) (

0 n g

0 n f

) 2 ( 1

) 1 (2

2 1

a

a K



Với lọc FIR bậc M cấu trúc tổng quát là một tầng gồm M tầng đơn, như trước, kênh trên là ngõ ra của tín hiệu y(n) Tầng mắc lưới hoán đổi (tầng thứ k) chỉ trong hình 7.18 Nó có hai mạng lưới cổng với hai đầu vào f k1(n)và gk1( n ), và hai ngõ ra fk(n )vàgk(n ) liên hệ với hai ngõ vào thông qua hệ

số phản xạ Kk trong dạng của đôi phương trình khác nhau

)1()

()

(n  f 1 n K g 1 n

)()

()

Hình 7 17: Một tầng FIR lọc mắc lưới hoán đổi

Một lọc bậc M có những tầng với cùng cấu trúc nhưng hệ số phản xạ K khác nhau Tần thứ nhất có đầu vào chung x(n), nghĩa là f0(n)g0(n) x(n), tầng cuối cho ngõ ra y(n) ở nhánh trên như nói ở trước (Hình 7.18)

Công thức Ak(z )là

)()

()

2 n g

1 n f

) (

1 n g

1 n

f k

) (

1 n

+

Mà được gọi là step-up recursion Đệ qui với giá trị đầuA0(z)1 Công thức đệ qui này cũng định nghĩa một sự liên hệ hiện hành của những hệ số ak(i )với Ak(z ):

k k

k k k

k

K k a

k i

i k a K i a i a

1 , , 2 , 1 ),

( )

( )

) 1 ( 0

0

) 1 (

) ( 1

) (

) 1 (

) 1 ( 1

1 1

1 1

k

k k k

k

k k

k

a

k a K k

a

k a

k a

k a

0 1 1 0

1(z) A (z)K z A (z )1 zA

Và hàm truyền bậc hai liên hệ x(n) với f2(n) là

2 4 1 1 8 5

2 1 2 4 1 1 2 1

1 1 2 2 1

2

1

) 1 ( )

1 (

) ( )

( ) (

z z

z

z A z K z A z A

Công thức (7.32) là thuật toán để tìm hàm truyền AM(z )khi hệ số phản xạ K1, K2,…,KM-1 cho trước Ngược lại, khi hàm truyền AM(z) cho trước ta sẽ tìm những hệ số phản xạ Kk sử dụng step- down đệ qui như sau:

1

1)

2 1

)1(

2, ,2,1,)()

(1

1)(

k k k

k k

K k

a

k i

i k a K i a K i

(1

1)(

2 2 1 2 2 1 2 2 1 3 4

1 2 2 2 2

2 2 1

z

z A z K z A K z

A

Với a1( 1 )  0 thìK1  0 Vì vậy, những hệ số phản xạ là

2

1,

(z A( )1 z X z

Sự liên hệ giữa hàm hệ thống AM(z ) và AM(R)( z )là

)()

) ( z  z A z

Với

) (

) ( )

(

1

z A

z A z z H

M M M all





Một thuộc tính của lọc mắc lưới là nghiệm của AM(z )sẽ ở bên trong đường tròn đơn vị nếu

và chỉ nếu những hệ số phản xạ được bao bởi biên độ 1:

M k

K k | 1, 1,2, ,

Một lọc nhân quả với hàm truyền hữu tỉ

)(

)()(

z A

z B z

Là ổn định khi và chỉ khi những hệ số phản xạ liên hệ với A (z)được bao trong biên độ 1 Chú ý rằng

ta chú thích hàm hữu tỉ H(z) như B(z)/A(z), thay vì N(z)/D(z)như thông thường, để kiểm chứng với những tác giả khác

7.4.2 Cấu trúc mắc lưới lọc IIR

Cấu trúc mắc lưới cho một lọc IIR bao gồm một cấu trúc mắc lưới cho tất cả cực và phần gồm những

bộ nhân và bộ cộng để thực hiện lọc IIR cho không Xét một lọc gồm tất cả cực

A z

H

1) ( 1

1 )

(

1 )

Hình 7 19: Tầng hóan đổi của một mắc lưới tất cả cực

Với một ngõ vào cho trước f N(n)x(n)ta sẽ tìm f N1(n), f N2(n), , f0(n) Sự liên hệ vào ra với tầng hoán đổi thứ k là

) ( )

( )

(

) 1 ( )

( ) (

1

1 1

n f K n g n g

n g K n f n f

k k k

k

k k k

Với lọc tất cả cực, ta cần tính công thức trước (trong bậc đảo so sánh với bậc của lọc FIR) Với lọc tất

cả cực bậc M, ở đó sẽ có M tầng (hình 7.20) cho ngõ ra được gọi là v(n) (thay vì của y(n) mà được đảo cho ngõ ra của lọc IIR như thấy ngắn hơn)

Hình 7.20: Mắc lưới tất cả cực bậc M

Bây giờ xét đa thức lọc IIR cực –không với ngõ vào x(n) và ngõ ra y(n)(so sánh với (7.17))

)()(

1)(

)(1

)(

1

0

z B z A z A

z B z

a

z b z

k

k k

M k

k k

Hình 7.21: Tầng của mắc lưới tất cả cực với phần FIR

)(

1

z A

)

(z

B

)(

0 n f

1 n

fM

) (

1 n g

) (

1 n f

) (

1 n

gM

)(

0 n f

1 n

gk

)(

Hình 7.22: Cấu trúc thang mắc lưới của lọc IIR

Những hệ số bk bằng công thức đệ qui

0, ,2,1,

)(

M k i

i i k

y

0

)()

Ví dụ 7.4.3

Một lọc Butterworth thông thấp bậc ba có hàm truyền

3 2

1

3 2

1

0276 0 3564

0 2971 0 1

129 0 3869

0 3867 0 129 0 )

z

z z

z z

1

0276.03564.02971.01)

A

3 2

1

129.03869.03867.0129.0)

B

Những hệ số mắc lưới cho A (z)được tìm thấy là

2132 0 )

1 (

2875 0 ) 1 (

3485 0 )

2 (

2971 0 ) 1 (

3564 0 ) 2 (

0276 0 )

3 (

1 1

2

2 2

3 3

3 3

a

K a

a a

K a

Bây giờ ta sử dụng đệ qui (7.43) để tìm những hệ số FIR Kết quả là

0831 0 ) 3 ( )

2 ( )

1 (

4630 0 ) 2 ( )

1 (

4252 0 ) 1 (

129 0

3 3 2

2 1

1 0 0

3 3 2

2 1 1

3 3 2 2

3 3

a b

a a

b

a b

Từ kết quả trên ta có cấu trúc mắc lưới của lọc IIR Butterworth

7.5 PHÂN TÍCH KHÔNG GIAN-TRẠNG THÁI [Trích từ Tamal Bose, 2004]

Phân tích không gian-trạng thái cho phép tính ngõ ra hệ thống và những trạng thái nội tại những nơi khác nhau bên trong hệ thống Trong mạch liên tục thời gian, sự thay đổi trạng thái được định nghĩa như dòng hoặc thế tại những phần tử tích trữ năng lượng như điện dung và cuộn dây Trong hệ thống

(

1 n

gM

) (

1 n

fM

) (

1 n g

) (

rời rạc thời gian, sự thay đổi trạng thái được định nghĩa như ngõ ra của phần tử trễ (gọi là thanh ghi trễ hoạc bộ đệm trễ)

7.5.1 Phương trình trạng thái không gian

Mô hình trạng thái không gian của một hệ thống một vào-một ra bậc N được miêu tả bằng hai công thứa trạng thái-không gian:

)()()1(n Avn Bv n

Với v(n)v1(n)v2(n) v n(n) là vector trạng thái với v1(n), v2(n)…là những biến trạng thái, được gọi

là trạng thái nội, x(n) là ngõ vào, y(n) ngõ ra, A là một matran NxN, B là một vector Nx1, C là một

vector 1xN, và D là tỉ lệ Công thức đầu tiên là công thức trạng thái, và công thức thứ hai là công thức ngõ ra Những công thức này được trích ra từ giản đồ thực hiện của lọc như miêu tả ở phân trước, vì phụ thuộc vào dạng của sự thực hiện

Xét một lọc IIR bậc hai với phương trình

)2()1()()2()1()(n a1y n a2y n b0x n b1x n b2x n

y

Thực hiện dạng chính tắc (dạng trực tiếp II) được cho trong hình 7.24 Đầu tiên ta chú thích những biến trạng thái tại hai ngõ ra trễ một đơn vị như v2(n) và v1(n)

Hình 7 23: Dạng chính tắc (dạng trực tiếp II) của lọc IIR bậi hai

Kế đến, bằng cách xét sự thực hiện, ta có thể viết những công thức như sau

)()1

)()()

()1

)()()(

)()(

)(n b1 b0a1 v1 n b2 b0a2 v2 n b0x n

Công thức ngõ ra và trạng thái trên thường được viết trong dạng ma trận

)(1

0)(

)(10)1(

)1(

2 1 2 1 1

2

n x n

v

n v a a n

)()

2

1 2 0 2 1 0

n v

n v a b b a b b n

7.5.2 Giải phương trình không gian-trạng thái

Biến đổi z được sử dụng để giải phương trình không gian trạng thái Lấy biến đổi z một bên của công thức trạng thái (7.45a):

)()()0

z (z)

Mà cho

)0()()()()

Với I là ma trận đồng nhất và v(0) là giá trị ban đầu của những biến trạng thái Sau đó lấy biến đổi z ngược để có biến trạng thái v(n), đây là cách giải của phương trình trạng thái:

Và thay V(z) vào (7.47), ta có

)()0()()()()

v A I B

A I

Ngõ ra trong miền thời gian là biến đổi z ngược của Y(z) ở trên Hàm truyền là tỉ số của ngõ ra đối với ngõ vào trong miền z với điều kiện đầu bằng không

D z

z X

z Y z

B A I

C( ) 1)

(

)()(

Ma trận đảo (zI - A)-1 có được bằng cách tìm ma trận adjoist và chia cho định thức của nó

}det{

}{)

A I

A I A

Bây giờ, hàm truyền là

D z

z Adj z

X

z Y z

A I C

}det{

}{)

(

)()

0,

3.002.0

10

(a) Tìm cực, hàm truyền và phương trình của lọc

(b) Tìm cách giải của phương trình trạng thái với đầu vào bậc đơn vị và điều kiện đầu bằng không

Giải

(a) Những cực của lọc là nghiệm của mẫu:

03.002.0

10

10

01

12

1

)()(

1 1

z z

D z

z

The adjoint của ma trận 2x2 được tìm thấy bằng cách hoán đổi những thành phần đường chéo và đổi dấu của những thành phần ngoài đường chéo Đảo lại và sau đó chia cho định thức Hàm truyền trở thành

2 1

2 1 2

2

02.03.01

202

.03.0

12

1

002.0

13.002

.03.0

12

1)(

z z z

z z

z

z z

z z

H

Vì vậy phương trình tín hiệu vào ra bằng cách so sánh (4.12) với (4.13a), là

)2()1(2)2(02.0)1(3.0)(n  y n  y n  x n x n

Tín hiệu vào bậc đơn vị x(n) có biến đổi z of X(z)z (z1) v(0) = 0 trong công thức trên:

)(76.0)2.0(66.1)1.0(91.0

1

102.03.0

1)

n u

n u z

z z z

z Z n v

n n

n n

Giải

Từ ma trận ta viết phương trình hệ thống:

(E1)

(E2) (E3)

Now we cross-multiply above equation to have

Vì vậy phương trình tín hiệu của hệ thống là

Trong sử lý mẫu sang mẫu, hoặc xử lý mẫu ngắn, mẫu hiện tại được xử lý với mẫu trước mà được cất trong bộ nhớ Mẫu này thường được cất trong bộ nhớ và là mẫu cũ nhất được phát hiện Xử lý này là một state machine và mẫu được cất dữ được gọi là biến trạng thái (trạng thái nội) của máy như nói đến trong phần đầu Nó là một xử lý thời gian thực cho một chuỗi tín hiệu đến liên tục Xử lý DSP có cấu trúc và tập lệnh được tối ưu cho xử lý mẫu

Xét một lọc FIR đơn giản có phương trình

)2(2.0)1(3.0)(5.0)(n  x n  x n  x n

y

Tại mỗi thời điểm n, mẫu hiện tại 0.5x(n) được xử lý với hai mẫu được cất trước 0.3x(n-1) và 1) Công thức lọc được chia thành những công thức nhỏ để miêu tả xử lý mẫu

0.2x(n-)()1(

)()1

)(2.0)(3.0)(5.0)

1 n x n

)1()2

2 n v n

v

)1(2.0)1(3.0)1(5.0)1(n  x n  v1 n  v2 n

y

Những hoạt động được lập lại Mỗi thời gian biến trạng thái mới v1 và v2 được cập nhập trong bộ nhớ

Xử lý được minh họa trong ví dụ sau

Ví dụ 7.5.2

Cho một lọc FIR bậc ba

)3()2()1()()(n b0x n b1x n b2x n b3x n

y

Cấu trúc dạng trực tiếp của nó chỉ trong hình 7.25 với những biến trạng thái đã được chú thích

Viết công thức xử lý mẫu và xếp thành bảng những biến trạng thái và ngõ ra từ n =0 đến n=7, giả sử tất cả nhớ được xóa tại thời điểm đầu và ở đó chỉ có 5 mẫu tín hiệu đến, từ x(0) đến x(4)

Giải

Phương trình xử lý mẫu là

)()1(

)()1

)()1

)()

()

()()(n b0x n b1v1 n b2v2 n b3v3 n

Bảng 7.1: Tín hiệu ngõ ra trong trường hợp lọc FIR bậc ba

Z-1

+ x(n)

0

0

0

0 x(0) x(1) x(2) x(3) x(4)

Ban đầu (tại thời gian n = 0) tất cả đơn vị trễ được xóa, chỉ mẫu x(0) đến và y = b0x(0); tại thời điểm n

= 1, x(0) và x(1) tồn tại và y = b0x(1) + b1x(0),… Bảng 7.1 cho thấy thời điểm mở, trạng thái ổn định,

và thời điểm đóng của tín hiệu ngõ ra y(n) 

7.6 BỘ XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ

Thuật toán lọc, FIR hoặc IIR, có thể thực hiện bằng phần mềm (lập trình máy tính) hoặc bằng phần cứng (mạch logic) với sự giúp đỡ của những chương trình liên quan, hoặc phần cứng thuần túy (chỉ mạch điện tử số) Ở đây có nhiều bộ xử lý tín hiệu số (DSPs) mà là những vi xử lý đặc biệt được thiết

kế cho những mục đích khác nhau DSPs bao gồm hai đặc tính chính: dấu chấm cố định và dấu chấm động Họ DSP điển hình là TMS320 của Texas Instruments, DSP9600 của Motorola, ADSP2100 của Analog Devices Chúng có cấu trúc tối ưu với sự tính toán lặp lại với xử lý mẫu (phần 2.6.3) Trước khi đi vào tính toán của DSPs, ta cần biết nhiều về xử lý này

7.6.1 DSP cơ bản cho lọc

Thuật toán lọc FIR trên và những thuật toán khác của lọc FIR và IIR có thể xử lý thuật tiện bằng DSPs Kiến trúc cơ bản của DSPs được chỉ trong hình 7.26 Tapped-delay thanh ghi vi là vị trí nhớ tuần tự trong RAM 1 ngược lại những hệ số lọc được cất trong RAM 2, và ROM cất dữ chương trình thuật toán lọc

Mở rộng của một DSP là MAC (nhân tích lũy) với bộ nhân và cộng được thực hiện sử dụng kiến trúc dấu chấm cố định hoặc dấu chấm động, phụ thuộc vào DSP thực tế Lệnh là

i

i v b y

y  

Thời gian với một lệnh Tinst thường một phần mười của nanoseconds, không đề cập đến thời gian overhead (vào, ra chuyển, lặp…) Một lọc bậc M yêu cầu (M + 1) lệnh và tổng số thời gian xử lý cho một mẫu đến x là

T M

f

)1(

Turn-on transient

Turn-off transient

Hình 7.26: Kiến trúc cơ bản của DSPs với hoạt động FIR

Ví dụ 7.6.1

Một lệnh MAC của một DSP cần 25ns bao gồm overhead, tìm chiều dài lớn nhất của lọc FIR để xử lý

âm thanh trong thời gian thực

Giải

Với lọc bậc M tổng số thời gian lệnh được cho bởi (7.47) Với băng thông hạn chế cho tiếng nói tại 3.4 kHz thường tần số lấy mẫu là f s 8kHz Vì vậy

5000 )

10

* 25 )(

10

* 8 (

1 1

Tinst f Tins

T M

s x

Bậc lọc này là cao, mà chứng minh rằng DSP có khả năng lọc tiếng nói, thậm chí âm nhạc, trong thời gian thực

Bộ đệm vòng

Thuật toán xử lý mẫu sang mẫu được thực hiện sử dụng bộ đệm vòng để cất dữ trạng thái nội v0, v1,

…Tại một thời điểm, dữ liệu cất dữ được dịch tới trước một vị trí ô nhớ Cách này thì không hiệu quả Thay vào đó, dữ liệu được dữ cố định và địa chỉ dịch chuyển ngược về trong mô hình vòng Sự dịch chuyển giữa dữ liệu và địa chỉ được duy trùy không đổi Xét một lọc FIR bậc ba Bộ đêm vòng của nó

có 4 taps (M + 1 = 4) Trong hình 7.27 bộ đệm tuyến tính được hóan đổi vòng (với mục đích so sáh với bộ đệm vòng trình bày sau đó) Khi thời gian tăng từ n đến n + 1 , nội dung của mỗi thanh ghi (vị trí nhớ) được dịch theo ngược chiều kim đồng hồ đến thanh ghi kế Địa chỉ của những thanh ghi v0, v1,

v2, v3 không thay đổi nhưng bây giờ những thanh ghi cất dữ giá trị được dịch Địa chỉ con trỏ p luôn trỏ đến địa chỉ đầu v0 và được cố định

x(n) x(n-1)

x(n+1) x(n)