Bài Giảng Hình Chiếu Thẳng Góc

Tính chất 5: Điều kiện ắt có và đủ để một góc vuông chiếu thẳng góc thành một góc vuông là góc vuông có một cạnh song song với mặt phẳng hình chiếu... bĐường thẳng có vị trí đặc biệt đố

CHƯƠNG 2:

HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC

2.1 PHÉP CHIẾU THẲNG GÓC

2.2 BIỂU DIỄN ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG,

MẶT PHẲNG TRONG HỆ THỐNG CÁC

MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC

 2.3 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC YẾU

TỐ HÌNH HỌC CƠ BẢN

 2.4 ĐƯỜNG CONG

2.1.1 THÀNH LẬP PHÉP

CHIẾU:

Trong không gian lấy mặt phẳng P

và một điểm S không thuộc P.

Chiếu một điểm A bất kỳ của không

gian từ tâm S lên mặt phẳng P là:

• Trường hợp nếu A P thì A’ A∈ ≡

P S

 Nếu tâm chiếu S ở vô tận thì ta có phép chiếu song song.

 Nếu hướng chiếu vuông góc với mặt phẳng hình chiếu thì

B

• Nếu đường thẳng đi qua tâm chiếu thì hình chiếu của nó suy biến thành một điểm.

A’ B’

P

A S

B

≡

Tính chất 2: Phép chiếu bảo tồn tỷ số kép của 4 điểm thẳng hàng.

' '

'

' : ' '

'

'

B D

D

A B

C

C

A DB

AD CB

B

Tính chất 3: Trong một phép chiếu song song hai đường thẳng song song chiếu thành hai đường thẳng song song.

Tính chất 4: Trong phép chiếu song song tỷ số đơn của

ba điểm bằng tỷ số đơn của ba điểm hình chiếu của

C’

' '

'

'

B C

C

A CB

AC

=

Tính chất 5: Điều kiện ắt có và đủ để một góc vuông chiếu thẳng góc thành một góc vuông là góc vuông có một cạnh song song với mặt phẳng hình chiếu

2.2 BIỂU DIỄN ĐIỂM, ĐƯỜNG

THẲNG, MẶT PHẲNG TRONG HỆ THỐNG CÁC MẶT PHẲNG HÌNH

Trong không gian lấy hai

mặt phẳng thẳng góc P1 và P2

cắt nhau theo đường thẳng x

P1, P2 chia không gian ra 4

phần gọi là các góc phần tư

G là mặt phẳng phân giác của góc nhị diện hợp bởi P1, P2

2.2.2 ĐIỂM:

♦ Để biểu diễn một điểm A

bất kỳ người ta làm như sau:

- Chiếu thẳng góc điểm A lên

- Mặt phẳng (AA1A2) vuông

góc và cắt x tại Ax

cặp hình chiếu A1, A2 của điểm A

được biểu diễn trên đồ thức.

♦ Ta dùng các tên gọi như sau:

P1: mặt phẳng hình chiếu đứng.

P2: mặt phẳng hình chiếu bằng.

x: trục hình chiếu.

A1: hình chiếu đứng của điểm A.

A2: hình chiếu bằng của điểm A

Đường thẳng nối A1, A2 gọi là đường

dóng của điểm A

Cặp điểm A1, A2 gọi là hình biểu diễn

hay là đồ thức của điểm A.

♦ Độ cao, độ xa:

Khoảng cách từ điểm A đến mặt

phẳng hình chiếu bằng được gọi là

độ cao của điểm A

P1

P2

♦Điểm có vị trí đặc biệt đối với mặt phẳng hình chiếu:

- Điểm thuộc mặt phẳng hình chiếu:

- Điểm thuộc mặt phẳng phân giác:

• Thí dụ: Vẽ đồ thức A thuộc góc phần tư thứ II biết A có độ cao là 32mm và độ xa là 18mm.

• Giải: Phân tích: Vì A thuộc góc phần tư thứ II:

A1Ax > 0

A2Ax < 0

Ta có đồ thức điểm A là: A (32, -18)

Vậy A1, A2 nằm phía trên trục x

* Đồ thức của điểm trong hệ thống 3 mặt phẳng hình chiếu vuông góc:

Trong hệ thống mặt phẳng P1, P2

ta lấy P3 vuông góc với P1 và P2

Quay A2, A3 theo phương hình

vẽ ta được đồ thức điểm A trong

hệ thống 3 mặt phẳng hình

Ta có A1, A2, A3 là đồ thức của

điểm A trong hệ thống 3 mặt

phẳng hình chiếu vuông góc P1,

P2, P3

Ta có các tên gọi:

A3: hình chiếu cạnh của điểm A

P3: mặt phẳng hình chiếu cạnh

y, z: trục hình chiếu

• Thí dụ: Cho đồ thức của điểm A Hãy vẽ hình chiếu cạnh

A3

• Giải: Đường dóng A2 y(z) = Ay

Đường dóng 450 Ay y(x) = Ay

Đường dóng đứng Ay này giao

đường dóng ngang A1 tại A3

A3 là hình chiếu cạnh phải tìm

• Vết của đường thẳng:

•Trên hình vẽ đường thẳng có hai điểm cần chú ý:

- Điểm của đường thẳng có độ xa bằng 0 (là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu đứng P1) gọi là vết đứng của đường thẳng.

- Điểm của đường thẳng có độ cao bằng 0 (là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu bằng P2) gọi là vết bằng của đường thẳng.

b)Đường thẳng có vị trí đặc biệt đối với các mặt phẳng hình chiếu:

- Đường bằng: là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng

Đường bằng có hình chiếu đứng song song với trục x

- Đường mặt:là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng

Đường mặt có hình chiếu bằng song song với trục x

- Đường cạnh: là đường thẳng vuông góc với trục x

Các hình chiếu của nó cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x

P3

A3

B3

- Đường thẳng chiếu đứng: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng

Đường thẳng chiếu đứng có hình chiếu đứng suy biến thành một điểm

- Đường thẳng chiếu bằng: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng

Đường thẳng chiếu bằng có hình chiếu bằng suy biến thành một điểm

- Một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng ấy.

- Hai đường thẳng cắt nhau.

- Hai đường thẳng song song nhau.

• Vết của mặt phẳng:

- Là giao tuyến của mặt phẳng với các mặt phẳng hình chiếu.

- Vết đứng của mặt phẳng là giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng hình chiếu đứng P1.

- Vết bằng của mặt phẳng là giao tuyến của mặt phẳng với mặt

phẳng hình chiếu bằng P2.

• Thí dụ: Cho mặt phẳng Q (p // q) Tìm các vết của mặt phẳng đó.

b) Mặt phẳng có vị trí đặc biệt đối với các mặt phẳng

- Mặt phẳng chiếu bằng: là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng

Mặt phẳng chiếu bằng có hình chiếu bằng suy biến thành một đường thẳng

- Mặt phẳng cạnh: là mặt phẳng vuông góc với cả hai mặt phẳng hình chiếu Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của mặt phẳng này đều suy biến thành đường thẳng.

- Mặt phẳng bằng: là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng

Mặt phẳng bằng có hình chiếu đứng song song với trục x

- Mặt phẳng mặt: là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng

Mặt phẳng mặt có hình chiếu bằng song song với trục x

P2

P1

A

C B

2.3.1 ĐIỂM VỚI ĐƯỜNG

THẲNG:

thẳng thường:

Định lý: Điều kiện ắt có và đủ để

điểm A thuộc đường thẳng thường d là

các hình chiếu của A thuộc các hình

chiếu cùng tên của d

2.3 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC

YẾU TỐ HÌNH HỌC CƠ BẢN

b) Sự liên thuộc của điểm và đường cạnh:

Định lý: Điều kiện ắt có và đủ để một điểm C thuộc một đường cạnh

AB là tỷ số đơn của ba điểm hình chiếu đứng của A, B, C bằng tỷ số đơn của ba điểm hình chiếu bằng của chúng.

• Thí dụ: Cho đường cạnh AB (A1B1, A2B2) và hình chiếu đứng C1 của điểm C thuộc AB, hãy tìm hình chiếu bằng C2 của nó.

• Giải: Vẽ tia A2m’ bất kỳ.

Đặt trên tia này các đoạn thẳng: A2C’ = A1C1, C’B’ = C1B1.

2.3.2 HAI ĐƯỜNG THẲNG:

a) Hai đường thẳng song song hay cắt nhau:

Hình biểu diễn hai đường thẳng s, t song song với nhau (cắt nhau ở vô tận).

• Hai đường thẳng chéo nhau:

- Nếu hình biểu diễn của hai đường thẳng không thõa mãn các điều kiện cắt nhau hay song song nói trên thì chúng chéo nhau.

- Dưới đây là hình biểu diễn hai đường thẳng p, q chéo nhau vì các hình chiếu cùng tên của chúng cắt nhau tại các điểm không nằm trên một đường dóng.

• Đường thẳng thường và đường cạnh:

- Cho p là đường thẳng thường và AB là đường cạnh

- Gọi I1 = p1 A1B1; I2 = p2 A2B2  I p

- Nếu I AB  2 đường thẳng cắt nhau.

- Nếu I AB  2 đường thẳng chéo nhau.

- Hai đường thẳng đều là đường cạnh:

Trên hình vẽ hai đường cạnh AB và CD

Hai đường này hoặc song song hoặc chéo

nhau Ta chứng minh mệnh đề sau đây:

Mệnh đề: điều kiện ắt có và đủ để hai

đường cạnh AB và CD song song nhau là:

2 2

2 2 1

1

1 1

B A

D C B

A

D C

2.3.3 ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT

E2

E1

m1

Thí dụ 3: Cho mặt phẳng xác

định bằng hai đường thẳng song

song nhau a, b Vẽ một đường

2.4.1 KHÁI NIỆM VỀ

ĐƯỜNG CONG:

♦ Đường cong là quỹ tích những vị trí

của một điểm chuyển động theo một

quy luật nhất định

♦ Nếu mọi điểm của đường cong đều

nằm trong một mặt phẳng thì đường

cong gọi là đường cong phẳng

♦ Nếu mọi điểm của đường cong

không cùng nằm trong một mặt phẳng

thì đường cong gọi là đường cong

ghềnh

♦Nếu đường cong thoả mãn phương

trình đại số bậc n thì được gọi là đường

cong đại số bậc n.

2.4 ĐƯỜNG CONG

chiếu (xuyên tâm hay song

song) của tiếp tuyến của

một đường cong tại một

điểm nói chung là tiếp

tuyến của hình chiếu của

đường cong tại điểm đó

Tính chất 2: Hình chiếu của đường cong đại số bậc n nói chung là đường cong đại số bậc n

♦Hình chiếu thẳng góc của một elip là một elip nào đó hoặc có thể là một đường tròn

♦Hình chiếu thẳng góc của một parabol, một hypebol là một parabol, một hypebol

♦Hình chiếu song song của một đường tròn là một elip Ta có:

Tâm của elip là hình chiếu của tâm đường tròn

Hai đường kính liên hợp của elip là hình chiếu của hai đường kính vuông góc của đường tròn

2.4.3 BIỂU DIỄN ĐƯỜNG CONG:

• Người ta thường biểu diễn

đường cong bằng hình chiếu đứng

và hình chiếu bằng của nó

• Hình bên là hình biểu diễn của một đường xoắn ốc trụ

2.4.4 MỘT SỐ ĐƯỜNG CONG THƯỜNG

GẶP:

a) Elíp: Elip là quỹ tích những điểm có tổng số khoảng

cách đến hai điểm cố định F1 và F2 bằng một hằng số lớn hơn khoảng cách giữa hai điểm F1 và F2

MF1 + MF2 = AB = 2a

F1 và F2 là hai tiêu điểm của elíp, đoạn thẳng nối liền hai tiêu điểm là trục dài của elíp

b) Đường xoáy ốc Ácimét:

• Đường xoáy ốc Ácsimét

là quỹ đạo của một điểm

chuyển động thẳng đều trên một bán kính quay, khi bán kính này quay đều quanh

tâm O.

• Đường Ácimét được

dùng để vẽ prôfin của lưỡi dao phay, rãnh trên mâm

cặp máy tiện v.v

c) Đường thân khai của đường tròn:

• Đường thân khai của đường tròn là quỹ đạo của một điểm thuộc đường thẳng , khi đường thẳng này lăn không trượt

trên một đường tròn cố định

• Đường tròn cố định gọi là đường tròn cơ sở

• Đường thân khai đường tròn được dùng để vẽ prôfin răng bánh răng,dao cắt v.v

3.1 ĐA DIỆN

3.1.1 KHÁI NIỆM:

Đa diện là một mặt kín tạo thành bởi các đa giác phẳng gắn liền với nhau bởi các cạnh.

3.1.2 HÌNH BIỂU DIỄN CỦA ĐA DIỆN:

• Muốn biểu diễn một đa diện chúng ta cần biểu diễn:

- Các cạnh và mặt bên của đa diện

- Chỉ rõ thấy, khuất của các cạnh và mặt bên

- Xác định được một điểm bất kỳ của đa diện

• Hình bên biểu diễn một tứ

diện SABC

3.2 MẶT CẦU

3.2.1 KHÁI NIỆM:

• Mặt cầu có thể coi là quỹ tích của một đường tròn

quay quanh một trục Ngoài ra đường tròn còn là mặt cong bậc hai có phương trình chính tắc:

x2 + y2 + z2 = R2

ở đây R là bán kính của mặt cầu

3.2.2 HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MẶT CẦU:

• Đường bao quanh hình chiếu đứng và hình chiếu bằng

của mặt cầu là hai đường tròn bằng nhau

• Đường kính của hai đường tròn đó bằng đường kính của mặt cầu đã cho

• Mặt cầu hoàn toàn xác định khi biết hai đường bao

quanh hình chiếu bằng và hình chiếu đứng của nó

3.2.3 ĐIỂM THUỘC MẶT CẦU:

• Một điểm sẽ thuộc mặt cầu khi nó thuộc một vĩ tuyến hoặc một kinh tuyến của nó Để dễ hình dung ta xét thí dụ sau:

• Thí dụ 1: Cho mặt cầu (H

3-2) và hình chiếu bằng M2của một điểm M thuộc mặt cầu Hãy vẽ hình chiếu đứng

M1 của M biết rằng M thấy trên hình chiếu bằng

• Giải: Điểm M thuộc mặt

cầu nên nó thuộc một đường tròn vĩ tuyến v của mặt cầu

đó Nếu v nằm trong mặt

phẳng bằng thì v gọi là

đường tròn bằng, nếu v nằm trong mặt phẳng mặt thì v gọi là đường tròn mặt

• Trên hình a, để tìm M1 ta coi

m thuộc đường tròn bằng Trên hình b, để tìm M1 ta coi

m thuộc đường tròn mặt

và tựa lên một đường cong

gọi là đường chuẩn của mặt

nón

3.3.2 HÌNH BIỂU

DIỄN CỦA MẶT NÓN:

• Để biểu diễn mặt nón ta chỉ cần biểu

diễn đường chuẩn và đỉnh của nón Một điểm sẽ thuộc mặt nón khi nó thuộc một đường sinh của nón.

• Thí dụ: Cho một mặt nón xác định bằng

đường chuẩn là đường tròn nằm trong mặt phẳng hình chiếu bằng và đỉnh S Biết hình chiếu đứng của điểm M thuộc mặt nón đã cho và biết M thấy trên hình chiếu đứng , hãy vẽ hình chiếu bằng của

M

• Giải: Để xác định M2 ta vạch đường sinh

SM Đường sinh này thấy trên hình

chiếu đứng nên nó cắt nửa phần phía trước của đường tròn chuẩn ở điểm 1;

M2 phải tìm thuộc S212.

• Cũng có thể tìm M2 bằng cách vẽ đường tròn v của mặt nón và đi qua điểm M Cách vẽ thấy rõ trên những hình vẽ

biểu diễn đường chuẩn và

hướng đường sinh của nó