CÁC mô HÌNH CHUỖI THỜI GIAN tài CHÍNH

là một chủ đề thu hút rất nhiều sự quan tâm của các chuyên gia, nhà đầu tư, nhà khoa học.Chính vì tầm quan trọng của nó mà đã có rất nhiều nhà nghiên cứu dành công sứccho lĩnh vực này vớ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Vũ Duy Thắng

CÁC MÔ HÌNH CHUỖI THỜI GIAN TÀI CHÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Vũ Duy Thắng

CÁC MÔ HÌNH CHUỖI THỜI GIAN TÀI CHÍNH

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 60.46.15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS Trần Hùng Thao

Hà Nội - 2011

Lời mở đầu

Phân tích dự báo giá tài sản tài chính như cổ phiếu, trái phiếu, tỷ giá là một chủ

đề thu hút rất nhiều sự quan tâm của các chuyên gia, nhà đầu tư, nhà khoa học.Chính vì tầm quan trọng của nó mà đã có rất nhiều nhà nghiên cứu dành công sứccho lĩnh vực này với nhiều phương pháp phân tích khác nhau Cho đến nay có thể

kể đến hai phương pháp phân tích đã quen thuộc với hầu hết các nhà đầu tư là phântích kĩ thuật (Technical analysic) và phân tích cơ bản (Fundamental analysic) Bêncạnh hai phương pháp này còn có phương pháp phân tích định lượng thông qua các

mô hình toán học Dự báo thị trường bằng phương pháp phân tích định lượng hiệnnay được sử dụng rất phổ biến trên thế giới Hầu hết các quỹ đầu tư,quỹ phòng hộ(Hedge fund) và các phòng giao dịch (Trading desk) của các ngân hàng đầu tư đều

có hệ thống giao dịch tự động bằng phương pháp định lượng (Quantitative ing) Hiệu quả của phương pháp này đã được chứng minh tại rất nhiều thị trường

trad-Lí do hiệu quả của phương pháp này là tín hiệu đưa ra khách quan dựa trên nhữngtiêu chí thống kê từ mô hình Do đó sẽ giảm thiểu được sự sai sót do cảm xúccủa con người Phương pháp phân tích định lượng giả định rằng mối liên hệ giữacác yếu tố được thiết lập trong quá khứ sẽ có ảnh hưởng, lặp lại trong tương lai.Hay nói cách khác, phương pháp này dựa trên các dữ liệu từ quá khứ để phát hiệnchiều hướng vận động của chúng trong tương lai theo một quy luật nào đó Phổbiến nhất là sử dụng chuỗi thời gian (Time series analysis) hoặc sử dụng phân tíchnhân quả Ngoài ra, người ta còn sử dụng phương pháp khá phức tạp là Mạng thầnkinh(Neural network) Trong phạm vi đề tài này chúng tôi để cập đến các mô hìnhchuỗi thời gian trong thị trường tài chính Các mô hình chuỗi thời gian nhằm để

dự báo giá trị tương lai của một tài sản tài chính chỉ dựa trên phân tích số liệu quákhứ và hiện tại của nó Do đó với phương pháp này điều kiện quan trọng là chuỗithời gian cần có tính ổn định thể hiện ở tính dừng của nó

Luận văn chia làm ba chương:

Chương I: Trình bày những khái niệm cơ bản như phương trình sai phân, toán

tử trễ, chuỗi thời gian dừng, kỳ vọng điều kiện và martingale làm cơ sở cho các

chương sau

Chương II: Trình bày một số mô hình chuỗi thời gian dừng và không dừng

như MA, AR, ARMA, ARIMA

Chương III: Trình bày các mô hình dự báo rủi ro như ARCH, GARCH cùng

các mô hình cải tiến của nó như IGARCH, TGARCH, EGARCH cùng các ứngdụng trong thực tế phân tích tỷ giá Đây cũng là phần chính của luận văn

Qua đây tôi cũng xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc tới PGS.TS.Trần Hùng Thao người

đã tận tình giảng giải và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi xincảm ơn các thày cô trong tổ bộ môn khoa Toán –Cơ-Tin trường Đại Học Khoa Học

Tự Nhiên-Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã giúp tôi trong suốt quá trình học tập caohọc, cảm ơn công ty tư vấn đầu tư MHT http://www.mhtgold.com mà tôi đã từnghợp tác trong 3 năm qua đã giúp tôi trong phần cung cấp số liệu, xin cảm ơn giađình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học và làmluận văn này

Hà Nội, tháng 12 năm 2011

Vũ Duy Thắng

Bảng ký hiệu

ACF:Hàm tự tương quan

ADF:Thống kê kiểm định Dickey-Fuller

AIC:Tiêu chuẩn thông tin Akaike

AR:Quá trình tự hồi quy

ARMA:Quá trình trung bình trượt tự hồi quy

MA:Quá trình trung bình trượt

MSE:Sai số dự báo bình phương trung bình

MLE:Ước lượng hợp lí cực đại

PACF:Hàm tự tương quan riêng

RMSE:Căn bậc hai của MSE

GARCH:Mô hình ARCH tổng quát

EGARCH:Mô hình GARCH dạng mũ

TGARCH:Mô hình GARCH đồng tích hợp

Mục lục

1.1 Chuỗi thời gian và toán tử trễ 1

1.1.1 Chuỗi thời gian 1

1.1.2 Chuỗi dừng 1

1.1.3 Toán tử trễ(Lag operator) 3

1.2 Phương trình sai phân 3

1.2.1 Sai phân 3

1.2.2 Phương trình sai phân 4

1.2.3 Phương trình sai phân cấp 1 4

1.2.4 Phương trình sai phân cấp p 6

1.3 Kỳ vọng điều kiện và martingale 9

1.3.1 Không gian xác suất được lọc 10

1.3.2 Kỳ vọng điều kiện 10

1.3.3 Martingale 11

2 Các mô hình chuỗi thời gian tuyến tính 14 2.1 Quá trình trung bình trượt 14

2.1.1 Quá trình trung bình trượt MA(1) 14

2.1.2 Quá trình trung bình trượt bậc q- MA(q) 15

2.1.3 Quá trình trung bình trượt vô hạn MA(∞) 16

2.2 Quá trình tự hồi quy AR(Autoregressive) 16

2.2.1 Quá trình tự hồi quy cấp một AR(1) 16

2.2.2 Quá trình tự hồi quy cấp p AR(p) 20

2.2.3 Xác định bậc của AR(p) bằng PACF 21

2.2.4 Ước lượng tham số của quá trình AR(p) 22

2.2.5 Quá trình trung bình trượt tự hồi quy ARMA(p,q) 25

2.2.6 Dự báo 26

2.2.7 Kiểm định 29

3 Các mô hình phi tuyến Gauss có điều kiện và ứng dụng 37

3.1 Rủi ro 38

3.2 Cấu trúc mô hình 38

3.3 Mô hình ARCH(p) 39

3.3.1 Mô hình ARCH(1) 39

3.3.2 Mối liên hệ giữa ARCH(p) và AR(p) 41

3.3.3 Ước lượng mô hình ARCH(p) 43

3.3.4 Kiểm định hiệu ứng của ARCH 43

3.3.5 Dự báo 44

3.3.6 Mô hình AR(1)/ARCH(1) 45

3.3.7 Đánh giá về mô hình ARCH(p) 48

3.4 Mô hình GARCH(p,q) 48

3.4.1 Dạng mô hình 48

3.4.2 Mối liên hệ GARCH và ARMA 49

3.4.3 Mô hình GARCH(1,1) 50

3.4.4 Dự báo phương sai 52

3.5 Các mô hình GARCH khác 54

3.5.1 Mô hình TGARCH(Threshold) 54

3.5.2 Mô hình EGARCH 54

3.6 Ứng dụng 57

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Mục đích của chương này là trình bày các kiến thức cơ bản về phương trình sai phân, toán tử trễ, chuỗi dừng, toán tử kì vọng điều kiện và Martingale sẽ được sử dụng ở chương sau khi nghiên cứu về các mô hình chuỗi thời gian MA, ARMA, ARIMA .

1.1 Chuỗi thời gian và toán tử trễ

1.1.1 Chuỗi thời gian

Chuỗi thời gian là dãy các quan sát về một biến số nào đó theo thời gian Mẫuquan sát có thể xem như một đoạn hữu hạn của một chuỗi vô hạn quan sát

(yt)+−∞∞= ( y−1, y0, y1, y2 yn, )

Ví dụ: Chuỗi nhiễu trắng Gauss(white noise)εt∼ N 0;σ2
với cácεt độc lập cùngphân phối

1.1.2 Chuỗi dừng

Chuỗi dừng là một khái niệm rất quan trọng trong phân tích chuỗi thời gian Nóđược chia làm hai loại là dừng yếu (weakly stationarity) và dừng chặt (strict sta-tionarity)

1.1.2.1 Chuỗi dừng chặt

Chuỗi y t được gọi là dừng chặt nếu với các giá trị tùy ý j1, j2 jn thì phân bố đồng

thời của y t, yt + j1, , yt + j n
chỉ phụ thuộc vào khoảng j1, j2 jn mà không phụthuộc vào thời gian t

Như vậy với chuỗi dừng yếu thì kì vọng,phương sai và hệ số tương quan của quá

trình yt đều không phụ thuộc vào thời gian Ngược lại chuỗi thời gian gọi là khôngdừng nếu nó không thỏa mãn một trong ba điều kiện trên Trong phạm vi đề tàinày nếu không có gì đặc biệt thì tính dừng ở đây được hiểu là dừng yếu

có tính ổn định được thể hiện ở tính dừng của nó Theo Gujarati(2003) cho rằngmột chuỗi thời gian không dừng thì chúng ta chỉ có thể nghiên cứu hành vi của nótrong khoảng thời gian đang xét mà thôi Nghĩa là chúng ta không thể khái quát

nó cho giai đoạn khác,không thể dự báo được điều gì cho tương lai nếu như bảnthân dữ liệu luôn thay đổi, tất cả chỉ là ngẫu nhiên Một ví dụ nổi tiếng cho chuỗikhông dừng là bước ngẫu nhiên(Random walk) sẽ được đề cập ở chương sau

1.1.3 Toán tử trễ(Lag operator)

Toán tử trễ là một công cụ hữu hiệu khi nghiên cứu chuỗi thời gian Các phươngtrình sai phân và mô hình chuỗi thời gian sẽ được trình bày nhất quán dưới công

1.2.2 Phương trình sai phân

Phương trình sai phân đề cập đến việc thiết lập hoặc phân tích định tính quỹ đạo

y t =φ(t)

thỏa mãn phương trình

F (t; yt ; y t+1 yt +n) = 0Nghiệm tổng quát phương trình sai phân cấp n là hàm số đối số rời rạc

y t =φ(t;C1;C2 Cn) với C1;C2 Cn là các hằng số

Phương trình sai phân gọi là otonom nếu nó không chứa biến thời gian t dưới dạnghiện

y t +n = f (yt ; y t+1 yt +n−1) (1.6)

1.2.3 Phương trình sai phân cấp 1

Phương trình sai phân cấp 1 mô tả mối quan hệ tuyến tính của y t (giá trị của biến

số y nào đó thay đổi theo thời gian tại thời điểm t) theo biến trễ ở thời kì trước đó

y t−1 và biến đầu vào (input variable) wt

Trong đó w t có thể là hàm tất định hoặc ngẫu nhiên còn ϕ là một hàm số

y1 =ϕy0+ w1

y2 =ϕy1+ w2 =ϕ2y0+ϕw1+ w2

y t =ϕt y0+ϕt−1w1+ϕt−2w2+ + wt

Nhân tử này gọi là nhân tử động (dynamic multiplier) Nó chỉ phụ thuộc vào j là

độ dài khoảng thời gian từ t đến t+j chứ không phụ thuộc vào thời gian t là thờiđiểm quan sát Kết luận này đúng cho bất kì phương trình sai phân tuyến tính nào.-Nếu

sự thay đổi của w t sẽ bị triệt tiêu Còn nếu |ϕ| ≥ 1 hệ thống sẽ phân kì.

Bây giờ, ta sẽ xét phương trình trên dưới cái nhìn của toán tử trễ

Phương trình được viết dưới dạng:

Từ đó, nếu |ϕ| < 1;y−1 <∞ta có thể viết

1.2.4 Phương trình sai phân cấp p

Phương trình sai phân bậc p mô tả mối quan hệ tuyến tính của y t theo p biến trễ

của chính nó và giá trị hiện thời của biến đầu vào w t

y t =ϕ1y t−1+ϕ2y t−2+ +ϕp y t −p+ wt (1.9)Dạng vecto

···

01



1−ϕ1z−ϕ2z2− −ϕpz p



= (1 −λ1z) (1 −λ2z) (1 −λpz) (1.12)

Ta chuyển sang đa thức ẩn z vì thực hiện điều này với toán tử L là không có nghĩa

Chia hai vế cho z p và đặtλ = z−1 ta được



λp

−ϕ1λp−1−ϕ2λp−2− −ϕp= (λ−λ1) (λ−λ2) (λ−λp) (1.13)

Vậy (λ1,λ2 λp) là nghiệm của phương trình

λp−ϕ1λp−1−ϕ2λp−1− −ϕp = 0

Việc phân tích đa thức toán tử

1−ϕ1L−ϕ2L2− −ϕpL p

= (1 −λ1L) (1 −λ2L) (1 −λpL) được thực hiệngiống như việc tìm các giá trị riêng của ma trận

Sau đó nhân cột thứ p-1 với 1

λ rồi cộng vào cột thứ p-2 Tiếp tục quá trình này tanhận được ma trận tam giác trên

= (−1)p λp−ϕ1λp−1−ϕ2λp−2− ··· −ϕp

Vì vậy các giá trị riêng của ma trận F phải thỏa mãn phương trình (1.14) do đó ta

có điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.2.4.2 Giả sử ma trận F có p giá trị riêng phân biệt nằm trong đường

c1, c2 cp trong (1.15) có thể tìm từ đồng nhất thức

1 (1− λ 1z)(1− λ 2z) (1− λp z) = c1

Như vậy phương trình sai phân là ổn định nếu các giá trị riêng có môdun nhỏ hơn

1 hoặc chúng nằm trong đường tròn đơn vị Điều này tương đương với các nghiệmphương trình sau nằm ngoài đường tròn đơn vị:

1−ϕ1z−ϕ2z2− −ϕpz p = 0 (1.17)

1.3 Kỳ vọng điều kiện và martingale

Kỳ vọng điều kiện và martingale là những khái niệm đặc biệt quan trọng trong líthuyết xác suất có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực toán tài chính Ở đây chúng tôi

sẽ nhắc lại khái niệm và các kết quả cơ bản nhằm mục đích sử dụng ở chương 3trong phân tích các mô hình rủi ro như ARCH, GARCH

1.3.1 Không gian xác suất được lọc

Cho (Ω,ℑ, P) là không gian xác suất Một họσ-trường conℑt ⊂ℑđược gọi là bộlọc nếu nó thỏa mãn

i) Nó là một họ tăng tức làℑs ⊂ℑt(s < t)

ii) Họ đó liên tục phải tức làℑt = T

ε >0ℑt+ ε

iii) Mọi tập P-bỏ qua được A ∈ℑđều được chứa trong ℑ0

Một không gian xác suất (Ω,ℑ, P) được gắn thêm bộ lọc ℑt ⊂ℑgọi là không gianxác suất được lọc

Ta định nghĩa E (X |Y ) là kỳ vọng điều kiện của X theoσ-trườngσ(Y )

1.3.2.2 Tính chất của kỳ vọng điều kiện

Các tính chất sau đều được hiểu là hầu chắc chắn(h.c.c)

(1) Nếu c là hằng số thì E (c|G ) = c

(2) Tính tuyến tính E (aX + bY |G ) = aE (X |G )+ bE (Y |G )

(3) Nếu G làσ-trường tầm thường {φ,Ω} thì E (X |G ) = X

(4) E (E (X |G )) = EX

(5) Nếu X độc lập với G tức làσ(X) độc lập với G thì E (X |G ) = EX

(6) Nếu Y là G -đo được,E |Y| <∞; E |XY | <∞ thì E (XY |G ) = YE (X |G )

Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (X t) t≥0 thích nghi với bộ lọc ℑt và khả tích

E |X t| <∞ với mỗi t Với s, t là hai số không âm và s ≤ t

i)X t là martingale trên nếu E (X t|ℑs) ≤ Xs

ii) X t là martingale dưới E (Xt|ℑs) ≥ X s

iii) X t là martingale nếu nó vừa là martingale trên và dưới tức là E (Xt|ℑs) = Xs

Khi không nói rõ bộ lọc nào ta hiểu đó là bộ lọc tự nhiên sinh ra từ lịch sử của Xnghĩa làℑt =σ(Xs) s ≤t

Theo lí thuyết trò chơi nếu coi X t là số vốn ở thời điểm t,ℑt =σ(Xs) s ≤t là thôngtin tích lũy đến thời điểm t thì trò chơi thiệt hại nếu nó là martingale trên, trò chơi

có lợi nếu nó là martingale dưới và công bằng nếu nó là martingale Các kết quảchính của martingale là các bất đẳng thức và định lý hội tụ, nhất là các định lý củaDoob

1.3.3.2 Hiệu martingale(Martingale difference)

Dãy tương thích (ξt;ℑt) là hiệu martingale nếu E |ξt| <∞ và E (ξt+1|ℑt) = 0

ở đóξ0 = X0; X t = ∑t

k=1ξk

Thật vậy, dễ thấy X t là ℑt-đo được và E |Xt| <∞ Hơn nữa

E (X t+1|ℑt) = E (ξ t+1+ Xt|ℑt) = E (ξ t+1|ℑt) + Xt = X t

1.3.3.3 Khai triển Doob

Kết quả chính là một martingale dưới được phân tích duy nhất qua một martingale

và một dãy tăng dự báo được Kết quả này được chứng minh không quá khó khănchúng tôi không trình bày ở đây

Định lý 1.3.3.3(Xem [6], Chương 9, Định lý 9.3.7)

Giả sử X = (X t;ℑt) là martingale dưới khi đó tồn tại martingale M = (M t;ℑt) và

dãy tăng dự báo được A = (A t;ℑt−1) : 0 = A0 ≤ A1≤ ≤ At ≤ sao cho

Khai triển Doob là duy nhất.

Trong định lí này dãy (A t ),(Mt) được xác định bởi

Bây giờ ta sẽ đề cập đến martingale bình phương khả tích Giả sử M = (M t;ℑt) là

martingale bình phương khả tích tức là M = (M t;ℑt) là martingale và E |Mt|2<∞

Do M = (Mt;ℑt) là martingale và áp dụng bất đẳng thức Jensen kì vọng điều kiện

với hàm lồi g(x) = x2 suy ra quá trình M2 = M t2;ℑt
là martingale dưới Theokhai triển Doob ta có

trong đó m = (mt,ℑt) là martingale và hMi = (hMit,ℑt−1) là dãy tăng dự báo

được Ta gọi hMi = (hMit,ℑt−1) trong (1.21) là đặc trưng bình phương của tingale M(quadratic characteristic)

Đặc biệt nếu M0 = 0 thì EM k2 = E hMik

(i)Giả sử M = (M t;ℑt) là martingale bình phương khả tích và giả sử A = (At;ℑt−1)

là dãy tăng dự báo được sao cho A1≥ 1,A∞=∞ Nếu với xác suất 1:∑∞

2.1 Quá trình trung bình trượt

2.1.1 Quá trình trung bình trượt MA(1)

Quá trình MA(1) mô tả quá trình y t (giá tài sản tài chính,trái phiếu,cổ phiếu,tỷ

giá ) theo thời gian phụ thuộc vào u t (nhiễu trắng) nhưng không phụ thuộc vàobiến trễ của nó

Mặt khác

γ1 = cov (yt ; y t−1) = E (yt−µ) (yt−1−µ)

= E (ut+θu t−1) (ut−1+θu t−2) =θEu2t−1 =θσ2 (2.3)và

γk = cov (y t ; y t −k ) = E (y t−µ) (y t −k−µ)

= E (ut+θu t−1) (ut −k+θu t −k−1 ) = 0 (k > 1) (2.4)Như vậy với quá trình MA(1) thì từ (2.2), (2.3), (2.4) ta có

Vậy với bất kì các giá trị củaθ1;θ2 θq thì giá trị trung bình, phương sai và hệ số

tương quan của y t đều không phụ thuộc vào thời gian Do đó MA(q) cũng là quátrình dừng

2.1.3 Quá trình trung bình trượt vô hạn MA( ∞ )

Quá trình trung bình trượt vô hạn có dạng:

2.2 Quá trình tự hồi quy AR(Autoregressive)

2.2.1 Quá trình tự hồi quy cấp một AR(1)

2.2.1.1 Quá trìnhAR(1) không có hệ số chặn

Quá trình AR(1) không có hệ số chặn có dạng như sau

γ2 = cov (yt ; y t−2) = cov (ϕy t−1+ ut ; y t−2) = cov

ACF (k) =ρk = γk

γ0

=ϕk

Từ (2.10), (2.11) thì ta vẫn có thể coi AR(1) là chuỗi dừng khi −1 <ϕ < 1 và với

t đủ lớn Như vậy ta có nhận xét là với chuỗi dừng thì ACF(k) sẽ giảm về 0 khi k

tăng còn với chuỗi không dừng thì không có xu hướng đó

Điều này ngụ ý là AR(1) dừng có thể được trình bày như quá trình MA(∞).Tính

toán ta cũng thu được kết quả tương tự như trên

2.2.1.2 Bước ngẫu nhiên(Random walk)

Bước ngẫu nhiên là trường hợp đặc biệt của AR(1) vớiϕ = 1

có xu hướng giảm về 0 khi độ trễ k tăng lên

Để tạo một bước ngẫu nhiên trong Eviews ta làm như sau:

Hình 2.1: Bước ngẫu nhiênPlot yt

Những người theo trường phái lí thuyết thị trường hiệu quả (efficient market)cho rằng giá một tài sản tài chính ở thời điểm hiện tại là phản ánh đầy đủ thôngtin hiện có trên thị trường Điều đó có nghĩa là giá chuyển động là ngẫu nhiên(Random walk),do đó không thể dự báo và phân tích kĩ thuật (technical analysis)

là hoàn toàn vô nghĩa Ngược lại,những người theo trường phái kĩ thuật cho rằnggiá tài sản tài chính phản ánh không phải tốt nhất thông tin hiện có, đôi khi chậmhơn thông tin được công bố và thị trường trong nhiều trường hợp là có thể dự báođược

Như vậy từ (2.17) thì AR(1) có thể coi là một chuỗi dừng khi |ϕ| < 1 và t đủ lớn.

2.2.2 Quá trình tự hồi quy cấp p AR(p)

Trong mục này ta sẽ xem xét quá trình hồi quy tổng quát cấp p

y t =ϕ0+ϕ1y t−1+ϕ2y t−2+ +ϕpy t −p + ut (2.18)trong đó cácϕi(i = 0; p) là các hàm thực còn ut là nhiễu trắng Như vậy yt ngoàiphụ thuộc vào nhiễu trắng còn phụ thuộc vào p biến trễ của chính nó

Khi đó

Ey t = ϕ0

1−ϕ1−ϕ2− −ϕp

=µ

Hệ số tương quanγk = E (yt−µ) (yt −k−µ)

2.2.3 Xác định bậc của AR(p) bằng PACF

Hàm tương quan riêng PACF là công cụ hữu ích trong việc xác định bậc của quá

trình AR PACF(k) được sử dụng để đo lường mức độ giữa y t và y t −k khi các ảnh

hưởng của các độ trễ từ 1 đến k-1 đã được loại trừ

Giả sử a kl là hệ số của quá trình AR(k)

y t = ak1 y t−1+ ak2 y t−2+ + akk y t −k + ukt thì PACF(k) =ρkk = a kk

Ta có k phương trình Yule-Walker

ρj = a k1ρj−1+ a k2ρj−2+ + a kkρj −k ( j = 1, 2 k) (2.22)hoặc viết dưới dạng ma trận

ρk−2

ρk−1 ρk−2···

ρ11

ρk−1 ρk−2··· ρ1

k là tổ hợp tuyến tính của nhỏ hơn k-1 cột đầu tiên nên

Nhận xét:

-Như vậy với AR(p) thì PACF sẽ khác 0 cho đến độ trễ p và bằng 0 ngay sau đó.Tính chất này cho phép ta xác định được bậc quá trình AR từ việc quan sát PACFnhận được từ mẫu

-Với quá trình MA(q) thì ACF sẽ bằng 0 sau độ trễ thứ k=q

Hai nhận xét quan trọng này giúp ta xác định mô hình phù hợp cho chuỗi dữ liệutuân theo MA hoặc AR bằng cách quan sát lược đồ tự tương quan của chuỗi dữliệu đó

2.2.4 Ước lượng tham số của quá trình AR(p)

Trong mục này,ta viết lại quá trình AR(p) dưới dạng

Một trong những phương pháp ước lượng phổ biến là ước lượng hợp lí cực đại(maximumlikelihood) Ta tìm tham số ước lượng bθ làm cực đại hàm hợp lí,tức là

b

θt = max

θ pθ(y1, y2 yt)

trong đó pθ(y1, y2 yt) là hàm mật độ đồng thời của vecto Gauss (y1, y2 yt)

Để đơn giản ta xét quá trình AR(1)

Ta có kết quả ước lượng sau đây:

Mệnh đề 2.2.4 Với các giả định trên thì ước lượng hợp lí cực đại của tham số

ϕ1 của quá trình AR(1) trong (2.25) là cϕ1 =ϕ1+hMi Mt

với tham số cần ước lượngθ = (ϕ0,ϕ1).Lấy loga hai vế

log pθ(y1, y2 y t) = log 1

(√2 π)t −12 ∑t

k=1

(y k− ϕ 0 − ϕ 1y k−1)2

2

Ước lượng hợp lí cực đại là nghiệm của phương trình hợp lí

Giải hệ (2.27) ta thu được cϕ0;ϕc1

Trong trường hợpϕ0 = 0 đã biết thì AR(1) viết thành yt =ϕ1y t−1+ ut Từ hệ trên

2.2.5 Quá trình trung bình trượt tự hồi quy ARMA(p,q)

Quá trình ARMA là quá trình tích hợp của hai quá trình tự hồi quy AR và trungbình trượt MA Do đó nó có dạng tổng quát sau

y t =ϕ0+ϕ1y t−1+ϕ2y t−2+ +ϕpy t −p + ut+θ1u t−1+θ2u t−2+ +θqu t −q

(2.31)Hay dạng toán tử trễ

Chú ý: Ta nói chuỗi thời gian khả nghịch nếu ta có thể tái hiện các u t qua các giá

trị hiện tại và quá khứ y t, yt−1 Ví dụ MA(1) là khả nghịch, AR(p) là khả nghịch

2.2.6 Dự báo

2.2.6.1 Dự báo quá trình AR(p)

Xét quá trình AR(1)

y t =α+ϕy t−1+ u t (2.33)với |ϕ| < 1

Ta có

Ey t = µ = 1−αϕ ⇒α =µ(1 −ϕ)Phương trình (2.33) viết dưới dạng toán tử trễ:

y t +s =µ+ϕs(1 −ϕL)−1(1 −ϕL ) (yt−µ) = µ+ϕs (yt−µ)

2.2.6.2 Dự báo quá trình MA(q)

Quá trình MA(q) có dạng

y t =µ+ ut+θ1u t−1+θ2u t−2+ +θqu t −q (2.35)Hay dạng toán tử trễ

1 1+ θ 1L+ + θqL q

2.2.6.3 Dự báo quá trình ARMA(1;1)

Dạng toán tử của ARMA(1;1)

(1 −ϕL ) (yt−µ) = (1 +θL ) ut (2.37)Quá trình này dừng với |ϕ| < 1

Dự báo

d

y t +s =µ+(1−(1+ϕθL L )L)s u t =µ+11+−θϕL L u t +s

= µ+(1−1+ϕθL L )L s.11+−ϕθL L (yt−µ)Mà

i

(yt−µ) =ϕ(yt−µ) +θεtvớiεt =

2.2.6.5 Dự báo quá trình ARIMA(p;d;q)

Ta hiểu quá trình này là quá trình ARMA(p;q) sau khi lấy sai phân bậc d Kí hiệu

y∗t =∆d (yt):sai phân bậc d là chuỗi dừng

Gọi p là bậc tự hồi quy và q là bậc trung bình trượt của y∗

t =∆d (yt) ta có quá trìnhARIMA(p;d;q)

1−ϕ1L−ϕ2L2− −ϕpL p

(y∗t −µ) = 1 +θ1L+θ2L2+ +θqL q

u t

Khi dự báo ta sẽ dự báo cho chuỗi y∗

t =∆d (yt ) sau đó suy ra cho chuỗi yt.Box và Jenkin(1976) đã đưa ra các bước để dự báo quá trình ARIMA(p;d;q) gọi làphương pháp Box-Jenkin được ứng dụng rất nhiều trong các lĩnh vực khác nhau từkinh tế,kĩ thuật,y tế Nó gồm ba bước:

-Định dạng mô hình,xác định các tham số p,d,q

-Ước lượng các tham số

-Kiểm định

Ý nghĩa của mô hình ARIMA trong tài chính

Thông thường các chuỗi dữ liệu kinh tế và tài chính như GDP, CPI, GNP, giá cổphiếu đều là các chuỗi không dừng, có yếu tố xu thế Chính vì vậy để tạo ra chuỗidừng ta phải khử yếu tố xu thế trong các chuỗi dữ liệu gốc thông qua quy trình lấysai phân hoặc lợi nhuận logarit Từ việc dự báo chuỗi dừng này ta suy ra dự báocho chuỗi dữ liệu gốc

2.2.7 Kiểm định

2.2.7.1 Kiểm định đơn vị(Unit Root Test)

Đây là một kiểm định quan trọng khi phân tích tính dừng của chuỗi thời gian Việctìm ra kiểm định đơn vị là một trong các phát hiện quan trọng của kinh tế học hiệnđại

Kiểm định ADF(Augument Dickey-Fuller)

Dickey-Fuller đã nghiên cứu quá trình AR(1)

với y0 <∞; u t ∼ IID Dễ thấy với ρ = 1 thì nó là bước ngẫu nhiên và do đó nó là

chuỗi không dừng Do đó, để kiểm định tính dừng của y t ta sẽ kiểm định cặp giảthiết

H0:ρ = 1/H1:ρ < 1

Test thống kê T = ρ b −1

Se(b ρ ) có phân bố DF

Nếu |T| > |Tα| thì ta bác bỏ H0 chấp nhận H1 có nghĩa là chuỗi dừng

Bây giờ chúng ta sẽ xét đến việc ứng dụng quá trình ARIMA vào dự báo GDP của

Mỹ tính theo giá năm 2005 Số liệu theo năm từ 1929 đến 2010(nguồn BEA-Cụcphân tích kinh tế Mỹ: http://bea.gov/)

Hình 2.2: GDP của Mỹ tính theo giá 2005

Quan sát lược đồ tự tương quan thì đây không phải chuỗi dừng

Hình 2.3: Lược đồ tự tương quan của chuỗi GDP2005

Lấy sai phân bậc một của chuỗi GDP_2005 trong Eviews:

GenrDGDP _2005 = GDP_2005 − GDP_2005(−1)

-Ước lượng tham số

-Kiểm định

Ý nghĩa mơ hình ARIMA tài chính< /b>

Thơng thường chuỗi liệu kinh tế tài GDP, CPI, GNP, giá cổphiếu chuỗi. .. dừng, có yếu tố xu Chính để tạo chuỗidừng ta phải khử yếu tố xu chuỗi liệu gốc thơng qua quy trình lấysai phân lợi nhuận logarit Từ việc dự báo chuỗi dừng ta suy dự báocho chuỗi liệu gốc

2.2.7... thứ k=q

Hai nhận xét quan trọng giúp ta xác định mơ hình phù hợp cho chuỗi liệutn theo MA AR cách quan sát lược đồ tự tương quan chuỗi dữliệu

2.2.4 Ước lượng tham số trình