Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc... 4. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng: a) H là trực tâm của tam giác ABC; b) Hướng dẫn. (h.3.32) a) H là hình chiếu của O trên mp (ABC) nên OH ⊥ (ABC) => OH ⊥ BC. Mặt khác OA ⊥ OB, OA ⊥ OC => OA ⊥ (OBC) => OA ⊥ BC suy ra BC ⊥ (AOH) => BC ⊥ AH. Chứng minh tương tự ta được AB ⊥ CH => H là trruwjc tâm của tam giác ABC. b) Trong mặt phẳng (ABC) gọi E = AH ∩ BC, OH ⊥ (ABC), AE ⊂ (ABC) => OH ⊥ AE tại H; ÒA ⊥ (ABC), OE ⊂ (ABC) => OA ⊥ OE tức là OH là đường cao của tam giác vuông OAE, mặt khác OE là đường cao của tam giác vuông OBC => Nhận xét: Biểu thức này là mở rộng của công thức tính đường cao thuộc cạnh huyền của tam giác vuông:
Trang 1Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc
4 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ
O tới mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng:
a) H là trực tâm của tam giác ABC;
b)
Hướng dẫn.
(h.3.32)
a) H là hình chiếu của O trên mp (ABC) nên OH (ABC)⊥ (ABC) => OH BC Mặt khác OA⊥ (ABC) OB, OA⊥ (ABC) ⊥ (ABC)
OC => OA (OBC)⊥ (ABC) => OA BC suy ra BC⊥ (ABC) (AOH)⊥ (ABC) => BC AH Chứng minh tương tự ta được ⊥ (ABC)
AB CH⊥ (ABC) => H là trruwjc tâm của tam giác ABC
b) Trong mặt phẳng (ABC) gọi E = AH ∩ BC, OH (ABC), AE (ABC) => OH AE tại H; ÒA ⊥ (ABC) ⊂ (ABC) => OH ⊥ AE tại H; ÒA ⊥ ⊥ (ABC) ⊥ (ABC) (ABC), OE (ABC) => OA OE tức là OH là đường cao của tam giác vuông OAE, mặt khác OE là ⊂ (ABC) => OH ⊥ AE tại H; ÒA ⊥ ⊥ (ABC) đường cao của tam giác vuông OBC =>
Nhận xét: Biểu thức này là mở rộng của công thức tính đường cao thuộc cạnh huyền của tam giác
vuông: