Kẻ BH vuông góc với AC.. Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành... Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành... ---Hết đáp án---Không phải là đáp án: truy cập trang đó, nếu có lỗi tr
Trang 1đề thi học sinh giỏi Toán 8 5
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2đ)
Chứng minh rằng tổng:
A= 71+72+73+74+ +74k
(trong đó k là số tự nhiên) chia hết cho 400
Bài 2: (2đ)
a) Phân tích biểu thức sau ra nhân tử:
A= x3(x2 – 7)2 – 36x
b) Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh biểu thức:
n3 – (n2 – 7) – 36n
luôn luôn chia hết cho 7 với mọi số nguyên n
Bài 3: (2đ)
Chứng minh rằng nếu:
) 1 ( ) 1 (
2 2
xz y
xz y yz x
yz x
−
−
=
−
− với x ≠y ; xyz ≠0 ; yz ≠1 ; xz ≠1. thì : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z)
Bài 4: (2đ)
a) Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất:
x2 + x + 1
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P(x)= 2+x-x2
Bài 5: (2đ)
Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH vuông góc với AC M, K và N lần lợt là trung điểm của AH, CD và BH
a Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành
b Chứng minh BM ⊥ MK
-Hết đề
thi -Đáp án đề Toán 8 5 Bài 1: (2đ)
Ta nhóm các hạng tử của tổng theo cách:
A= (71+72+73+74+) + (75+76+77+78+) + +(74k-3+74k-2+74k-1+74k) 0,5đ
= (71+72+73+74+) + 74(71+72+73+74) + +74k-4 (71+72+73+74)
= (71+72+73+74)(70+74+78+712+ +74k-4)
= 7(1+7+72+73)(1+74+78+712+ +74k-4)
= 7(1+7+49+343)(1+74+78+712+ +74k-4)
= 7(1+7+49+343)(1+74+78+712+ +74k-4)
Trang 27(1+7+49+343)(1+74+78+712+ +74k-4) 0,5đ
Đặt 1+74+78+712+ +74k-4=M 0,5đ A=7.400.M
Vậy A chia hết cho 400 0,5đ
Bài 2: (2đ)
a) Phân tích biểu thức sau ra nhân tử:
A= x3 (x2 – 7)2 – 36x
= x[x2(x4-14x2 + 49) – 36]
= x(x6-14x4 + 49x2 – 36)
= x[(x6- 9x4) – (5x4 - 45x2) + (4x2 - 36)
= x[ x4(x2- 9) – 5x2(x2 - 9) + 4(x2 - 9)] 0,5đ
= x(x2- 9)( x4– 5x2+ 4)
= x(x2- 9)( x4– 4x2 - x2+ 4)
= x(x2- 9)( x4– 4x2 - x2+ 4)
= x(x2- 9)[x2( x2– 4) - (x2- 4)]
= x(x2- 9)(x2 – 4)(x2-1)
= x(x+3) (x-3) (x+2) (x-2) (x+1) (x-1) 0,5đ b) Theo kết quả trên ta có:
n3 (n2 – 7)2 – 36n
= n(n+3) (n-3) (n+2) (n-2) (n+1) (n-1)
hay xếp theo thứ tự tăng dần các nhân tử nh sau:
(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3) 0,5đ
Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp, trong 7 số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có một số chia hết cho 7, nên tích chia hết cho 7, tức là biểu thức n3 (n2
0,5đ
Bài 3: (2đ)
) 1 (
)
1
(
2 2
xz y
xz y
yz
x
yz
x
−
−
=
−
−
Ta biến đổi từ bài ra:
⇒(x2 -yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y2 - xz) 0,5đ
⇔x2y- x3yz-y2z+xy2z2 = xy2 -x2z - xy3z +x2yz2
⇔x2y- x3yz - y2z+ xy2z2 - xy2 +x2z + xy3z - x2yz2 = 0
⇔xy(x-y) +xyz(yz +y2- xz - x2)+z(x2 - y2) = 0 0,5đ
⇔xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) = 0 0,5đ
⇔(x -y)[xy−xyz(x+y+z) +xz+yz] = 0
Trang 3Do x - y ≠0 nên xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = 0
Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (đpcm) 0,5đ
Bài 4: (2đ)
a) Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất:
x2 + x + 1
Biến đổi biểu thức trên thành:
x2 +2 x
2
1 + (
2
1)2 +
4
3 0,5đ
= (x +
2
1)2 +
4 3
Do (x +
2
1)2 không âm nên nhỏ nhất khi (x +
2
1)2 = 0 tức là x=
-2
1 thì biểu thức có giá trị nhỏ nhất là
4
3 0,5đ b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P(x)= 2+x-x2
Biến đổi:
P(x)= 2+x-x2 = - (x2 –x -2)
P(x)= - (x2 –x +
4
1 -
4
1 -2)
P(x)= - [(x2 –x +
4
1) -
4
1 -2]
2
-4
9] 0,5đ
Vì biểu thức biến đổi trên mang dấu (-) nên P(x) lớn nhất khi [(x –
2
1)2 -
4
9] nhỏ nhất tức là x=
2
1, lúc đó P(x)=
4
9 0,5đ
Bài 5: (2đ) Vẽ hình 0.5 đ
a Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành 0,75đ Xét tam giác AHB có:
NH = NB (gt)
MH = MA (gt) Suy ra MN là đờng trung bình nên
MN//AB
MN =AB/2
mà AB = CD
N
K H
E
Trang 4AB //CD nên MN//CK
CK=CD MN =CK
Suy ra tứ giác MNCK là hình bình hành
b Chứng minh BM ⊥ MK 0,75đ Kéo dài MN cắt BC tại E ta thấy MN//CD và CD ⊥ BC nên ME ⊥BC
Xét tam giác MBC có BH và ME là đờng cao, nên N là trực tâm, do đó
CN⊥ BM mà CN//KM nên BM ⊥ MK (đpcm)
-Hết đáp
án -Không phải là đáp án:
truy cập trang đó), nếu có lỗi trong quá trình biên soạn thầy (cô) báo giúp tại trang http://yuio.violet.vn
Cám ơn thầy (cô)!