Dạng 7: giải bài toán bằng cách lập phương trỡnh, hệ phương trỡnh... Bài 6: Giải toán bằng cách lập phương trình Một rạp hát có 300 chỗ ngồi.. Bài 7: Giải toán bằng cách lập phương trìn
Trang 1PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Dạng 1: Giải phương trình, hệ phương trình:
-Phân tích cỏc tử và mẫu của từng phân thức thành nhân tử (Nếu cụ thể)
-Thu gọn từng phân thức nếu tử và mẫu có nhân tử chung
-Quy đồng mẫu (có thể trục căn thức ở mẫu) rồi thu gọn
(Lưu ý: Trong quá trình biến đổi để ý đến việc áp dụng các hằng đẳng thức đặc biệt là bình phương của 1 tổng hoặc 1 hiệu đề biến đổi)
Dạng 3: Rỳt gọn biểu thức cú chứa dấu căn
-Tỡm điều kiện để biểu thức có nghĩa (xác định)- nếu đề bài không cho
-Phân tích các tử và mẫu của từng phân thức thành nhân tử (Nếu cú thể)
-Thu gọn từng phõn thức nếu tử và mẫu cú nhân tử chung
-Quy đồng mẫu (có thể trục căn thức ở mẫu) rồi thu gọn
(Lưu ý: Trong quá trình biến đổi để ý đến việc áp dụng các hằng đẳng thức đặc biệt là bình phương của 1 tổng hoặc 1 hiệu đề biến đổi)
Trang 2b Tính giá trị của P với x= − 3 2 2
Bài 2 Cho biểu thức 1 1 : 2 1 2
b Tính giá trị của P với x= − 7 4 3
Bài 3 Cho biểu thức 3 2( 3) ( 3)
* a > 0 hàm số đồng biến với x > 0, nghịch biến với x< 0
* a< 0 hàm số đồng biến với x < 0, nghịch biến với x>0
3.4 Vị trí tương đối của parabol ( p): y = ax 2 và đường thẳng (D): y = ax + b
- Phương trỡnh hoành độ giao điểm của (p) và (D): ax2 = ax + b (1)
- (D) cắt (p) tại 2 điểm (có 2 điểm chung) (1) cú 2 nghiệm phõn biệt ∆ > 0
- (D) tiếp xỳc (p) (1) cú nghiệm kộp ∆ = 0
- (D) và (p) không có điểm chung (1) cú 2 nghiệm phõn biệt ∆ > 0
3.5 Lập phương trỡnh đường thẳng đi qua 2 điểm A, B (đường thẳng AB).
- Phương trỡnh đường thẳng đi qua A,B có dạng: y = ax + b (a ≠ 0)
- Vỡ đường thẳng đi qua A, B nên thay tạo độ của A, B vào hàm số y = ax + b ta được:
Trang 33.6 Tỡm hàm số biết đồ thị của nó đi qua 1 điểm, 2 điểm: Thay tọa độ của các điểm vào
hàm số tỡm được tam số a, b => kết luận
3.7 Tỡm tọa độ 1 điểm khi biết hoành độ( tung độ) và biết nó thuộc đồ thị của 1 hàm số: Thay hoành độ vào hàm số để tỡm tung độ.
3.8 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng A, B, C:
- Lập phương trỡnh đường thẳng AB
- Kiểm tra xem C có thuộc AB hay không bằng cách thay tọa độ của nó vào phương trỡnh của AB
3.9 Cho (d): y = ax + b
(d’): y = a;x + b’
(p): y = cx2
*Tỡm hàm số y = ax + b biết (d) song song với (d’) và tiếp xỳc với (p):
- (d) song song với (d’) => a = a’ và b ≠ b’ => a = ?
- (d): y = ?x + b
- Phương trỡnh hoành độ giao điểm của (p) và (D): ax2 = ax + b (1)
- (d) tiếp xỳc với (p) (1) cú nghiệm kộp ∆ = 0 b =??
- Vậy y = ?x + ??
*Tỡm hàm số y = ax + b biết (d) vuụng gúc với (d’) và tiếp xỳc với (p):
- (d) song song với (d’) => a.a’ = 1 => a = ?
- (d): y = ?x + b
- Phương trỡnh hoành độ giao điểm của (p) và (D): ax2 = ax + b (1)
- (d) tiếp xỳc với (p) (1) cú nghiệm kộp ∆ = 0 b =??
- Vậy y = ?x + ??
*Tỡm hàm số y = ax + b biết (d) đi qua A và tiếp xúc với (p):
- (d) đi qua A => yA = axA + b => b = ?a
- (d): y = ax + ?a
- Phương trỡnh hoành độ giao điểm của (p) và (D): ax2 = ax + ?a (1)
- (d) tiếp xỳc với (p) (1) cú nghiệm kộp ∆ = 0 a =??, b = ?a = ???
b Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lượt có hoành độ là - 2; 1 Viết phưong trình đường thẳng MN.
c Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đường thẳng MN và chỉ cắt (P) tại 1 điểm.
Bài 2 Cho hàm số 1 2
2
y= − x .
a Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
b Lập phưong trình đường thẳng (D) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc với (P).
Bài 3 Cho hàm số: y = x 2 và y = x + m (m là tham số).
a Tìm m sao cho đồ thị (P) của hàm số y = x 2 và đồ thị (D) của y = x + m có hai giao điểm phân biệt A và B.
b Tìm phưong trình của đường thẳng (d) vuông góc với (D) và (d) tiếp xúc với (P).
Trang 4Bài 4 Trong cùng hệ trục tọa độ gọi (P) là đồ thị hàm số y = ax 2 và (D) là đồ thị hàm số y = - x + m.
a Tìm a biết rằng (P) đi qua A(2; -1) và vẽ (P) với a tìm được.
b Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P) (ở câu 1) và tìm tọa độ tiếp điểm.
c Gọi B là giao điểm của (D) (ở câu 2) với tung độ C là điểm đối xứng của A qua trục tung Chứng tỏ rằng C nằm trên (P) và tam giác ABC vuông cân.
Bài 5 Trong cùng mặt phẳng tọa độ cho hai đường thẳng:
(D 1 ): y = x + 1; (D 2 ): x + 2y + 4 = 0
a Tìm tọa độ giao điểm A của (D1) và (D2) bằng phép toán.
b Tìm a trong hàm số y = ax 2 có đồ thị (P) qua A Khảo sát và vẽ đồ thị (P) với a vừa tìm được.
c Tìm phưong trình của đường thẳng tiếp xúc với (P) tại A.
Bài 6 Cho (P) là đồ thị của hàm số y = ax 2 và điểm A(- 2; -1) trong cùng hệ trục.
1 Tìm a sao cho A thuộc (P) Vẽ (P) với a tìm được.
2 Gọi B là điểm thuộc (P) có hoành độ là 4 Viết phưong trình đường thẳng AB.
3 Viết phưong trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và song song với AB.
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
b Viết phưong trình của (D).
Bài 8 Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol (P): 1 2
4
y= − x và đường thẳng (D): y = mx - 2m - 1.
a Vẽ (P).
b Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P).
c Chứng tỏ rằng (D) luôn luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P).
Bài 9.Trong cùng hệ trục vuông góc có parabol (P): 1 2
a Vẽ (P) và viết phưong trình của (D).
b Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P).
c Tìm m sao cho (D) và (P) có hai điểm chung phân biệt.
Bài 10 Trong cùng hệ trục tọa độ cho parabol (P): 1 2
b Bằng phép toán, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D).
c Tìm tọa độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đường tiếp tuyến của (P) song song với (D).
Dạng 5: Giải và biện luận số nghiệm phương trỡnh bậc 2 và ứng dụng của định lí viet
4.1 Phương trỡnh cú nghiệm:
a = 0 hoặc a ≠ 0
Trang 54.5 Chứng tỏ phương trỡnh luụn cú nghiệm: ∆≥ 0, với mọi m.
4.6 Tỡm điều kiện để phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt thỏa món: a) ax1 + bx2 = c
-Điều kiện 1: Phương trỡnh cú 2 nghiệm phần biệt ∆ > 0
-Tỡm x1; x2 thay vào (*) tỡm được m.
-Kết hợp 2 điều kiện rút ra kết luận.
b) x2
1 + x2
2 = k -Điều kiện 1: Phương trỡnh cú 2 nghiệm phần biệt ∆ > 0 Theo hệ thức viet, ta cú: 1 2
Trang 6-Giải phương trỡnh tỡm m -Kết hợp 2 điều kiện rút ra kết luận.
Bài toán 1: Cho phương trình (m+ 1)x2 − 2(m− 1)x m+ − = 2 0
a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 2, tìm nghiệm kia
c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x x1 ; 2 thoả mãn
1 2
4
x + x =
Bài toán 2: Cho phương trình x2 − 2(m− 1)x m+ − = 3 0
CMR: với mọi giá trị của m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Bài toán 3: Cho phương trình 2x2 − 6x m+ = 0
a) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm dương
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm x x1 ; 2 thoả mãn 1 2
Trang 7a) Xác định m để phương trình có nghiệm.
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x x1 ; 2 thoả mãn 3(x1 +x2 ) 5 = x x1 2
Bài toán 5: Cho phương trình x2 − 2(m+ 1)x+ 2m+ = 10 0 (m là tham số)
Bài 2: Chứng minh: Với mọi a,b,c ta luụn cú : a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
Bài 3: a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác chứng minh: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
Bài 4: Chứng minh: 200300 > 3200
Bài 5: Chứng minh: 2 + 3 + 2 − 3 = 6
Bài 6: a > 1, b > 1 Chứng minh: a b− + 1 b a− ≤ 1 ab
Bài 7: a + b + c = 0 chứng minh: a3 + b3 +c3 = 3abc
Dạng 7: giải bài toán bằng cách lập phương trỡnh, hệ phương trỡnh
Trang 8Hai đội công nhân trồng rừng phải hoàn thành kế hoạch trong cùng một thời gian Đội 1 phải trồng 40
ha , đội 2 phải trồng 90 ha Đội 1 hoàn thành công việc sớm hơn 2 ngày so với kế hoạch Đội 2 hoàn thành muộn hơn 2 ngày so với kế hoạch Nếu đội 1 làm công việc trong một thời gian bằng thời gian đội 2 đã làm và đội 2 làm trông thời gian bằng đội 1 đã làm thì diện tích trồng được của hai đội bằng nhau Tính thời gian mỗi đội phải làm theo kế hoạch ?
Bài 3: Một người đi xe mỏy từ A đến B với vận tốc trung bỡnh 30km/h Khi đến B, người đó nghỉ 20 phỳt rồi quay trở về A với vận tốc trung bỡnh 25km/h Tớnhquóng đường AB, biết rằng thời gian cả
đi lẫn về là 5 giờ 50 phỳt
Bài 4: Một tàu thủy chạy trờn một khỳc sụng dài 80km, cảđi lẫn về mất 8giờ 20phỳt. Tớnh vận tốc
của tàu thủy khi nước yờn lặng, biết rằng vận tốc của dũng nước là 4km/h.
Bài 5: Có hai máy bơm bơm nước vào bể Nếu hai máy cùng bơm thì sau 22h55 phút đầy bể Nếu để mỗi máy bơm riêng thì thời gian máy một bơm đầy bể ít hơn thời gian máy hai bơm đầy bể là 2 giờ Hỏi mỗi máy bơm riêng thì trong bao lâu đầy bể?
Bài 6: Giải toán bằng cách lập phương trình
Một rạp hát có 300 chỗ ngồi Nếu mỗi dãy ghế thêm 2 chỗ ngồi và bớt đi 3 dãy ghế thì rạp hát sẽ giảm
đi 11 chỗ ngồi Hãy tính xem trước khi có dự kiến sắp xếp trong rạp hát có mấy dãy ghế
Bài 7: Giải toán bằng cách lập phương trình
Một đội công nhân xây dựng hoàn thành một công trình với mức 420 ngày công thợ Hãy tính số người của đội, biết rằng nếu đội vắng 5 người thì số ngày hoàn thành công việc sẽ tăng thêm 7 ngày.
Bài 8: Giải toán bằng cách lập phương trình
Một xe tải đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 40 km/h Sau đó 1 giờ 30 phút, một chiếc xe con cũng khởi hành từ A để đến B với vận tốc 60 km/h Hai xe gặp nhau khi chúng đẫ đi được nửa quãng đường Tính quãng đường AB
Bài 9: Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Một nhóm thợ đặt kế hoạch sản xuất 1200 sản phẩm Trong 12 ngày đầu họ làm theo đúng kế hoạch đề
ra, những ngày còn lại họ đã làm vượt mức mỗi ngày 20 sản phẩm, nên hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm.
Bài 10: Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Một nhóm thợ đặt kế hoạch làm 120 sản phẩm trong một thời gian dự định Khi làm được một nửa số sản phẩm nhóm thợ nghỉ giải lao 10 phút Do đó, để hoàn thành số sản phẩm còn lại theo đúng thời gian dự định nhóm thợ tăng năng suất mỗi giờ thêm 6 sản phẩm Tính năng suất dự kiến.
Bài 11: Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Một công nhân dự định làm 120 sản phẩm trong một thời gian dự định Sau khi làm được 2 giờ với năng suất dự kiến, người đó đã cải tiến các thao tác hợp lý hơn nên đã tăng năng suất được 3 sản phẩm
Trang 9mỗi giờ và vì vậy người đó hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định 1giờ 36 phút Hãy tính năng suất dự kiến.
Bài 12: Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Một tổ có kế hoạch sản xuất 350 sản phẩm theo năng suất dự kiến Nếu tăng năng suất 10 sản phẩm một ngày thì tổ đó hoàn thành sản phẩm sớm 2 ngày so với giảm năng suất 10 sản phẩm mỗi ngày Tính năng suất dự kiến
Bài 13: Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Một đoàn xe vận tải dự định điều một số xe cùng loại để vận chuyển 40 tấn hàng Lúc sắp khởi hành đoàn xe được giao thêm 14 tấn hàng nữa do đó phải điều thêm 2 xe cùng loại trên và mỗi xe chở thêm 0,5 tấn hàng Tính số xe ban đầu biết số xe của đội không quá 12 xe.
Bài 14: Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 60 km rồi quay trở lại A ngay với vận tốc cũ Nhưng lúc
về, sau khi đi được 1 giờ thì xe hỏng nên phải dừng lại sửa 20 phút Sau đó người ấy đi với vận tốc nhanh hơn trước 4 km/h trên quãng đường còn lại Vì thế thời gian đi và về bằng nhau Tính vận tốc ban đầu của xe.
Bài 15: Một ô tô dự định đi từ A đền B trong một thời gian nhất định Nếu xe chạy với vận tốc
35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ Tính quãng
đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu
Dạng 8: Hệ phương trỡnh bậc nhất 1 ẩn.
7.1 Cho: ax + by = c (1)
(*)a’x + b’y = c’ (2)
*Hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất
7.2 Tỡm điều kiện để hệ (*): có nghiệm duy nhất; vô số nghiệm, vô nghiệm
- Từ (1) hoặc (2) tỡm y theo x rồi thay vào phương trỡnh cũn lại, ta cú phương trỡnh cú dạng:
Ax = B (A, B là biểu thức chứa tham số) (3)
- (*) cú nghiệm duy nhất (3) cú nghiệm duy nhất A ≠ 0
- (*) cú vụ số nghiệm (3) cú vụ số nghiệm A = 0 và B = 0
Trang 10Bài 2: Cho Hệ phương trỡnh: x + y = 1
mx + 2y = m
Tỡm m đề:
a)Hệ cú vụ số nghiệmb)Hệ cú nghiệm duy nhất Tỡm nghiệm duy nhất đó
Bài 3: Cho Hệ phương trỡnh: x + my = 1
mx - y = -m
a) Chứng tỏ rằng với mọi m hệ luụn cú nghiệm duy nhất
b) Tỡm giỏ trị của m để hệ có nghiệm (x, y) là tọa độ của một điểm thuộc góc phần tư thứ I
Bài 4: Cho Hệ phương trỡnh: x + my = 2
mx + y = m + 1
a) Giải hệ với m = 1
b) Chứng tỏ rằng với mọi m ≠ ±1 hệ luụn cú nghiệm duy nhất
c) Tỡm giỏ trị của m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa món x + y < 0
d) Tỡm m nguyờn để hệ có nghiệm nguyên duy nhất
Bài 5: Cho Hệ phương trỡnh: x - my = 0
mx - y = m + 1
a) Giải hệ với m = -1
b) Chứng tỏ rằng với mọi m ≠ ±1 hệ luụn cú nghiệm duy nhất thỏa món: x – y =1c) Tỡm giỏ trị của m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa món x2 – y2 < 0
d) Tỡm m nguyờn để hệ có nghiệm nguyên duy nhất
Bài 6: Cho hệ phương trỡnh
a) Giải hệ phương trỡnh khi cho m = 1
b) Tỡm giỏ trị của m để hệ phương trỡnh vụ nghiệm
Bài 7: Cho hệ phương trỡnh: x my 1mx 3my 2m 3+− = = +
Trang 11Bài 9: Cho hệ phương trỡnh: 2mx y 5
Trang 12Bài 2: Chứng minh: Với mọi a,b,c ta luụn cú : a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
Bài 3: a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giỏc chứng minh: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
Trang 13-Với điều kiện (*), hai vế của phương trỡnh khụng õm, bỡnh phương hai vế và thu gọn ta được phương trỡnh giống như dạng 6.1
6.3 Giải phương trỡnh dạng: f x( ) + g x( ) = h x( ) giải tương tự dạng 6.2.
8.1 Chứng minh 2 đường thẳng a và b song song:
- Chứng minh a và b cùng song song với đường thẳng c
- Chứng minh a và b cựng vuụng gúc với c
- Chứng minh cặp gúc so le trong, đồng vị bằng nhau, 2 góc trong cùng phía bù nhau
- Chứng minh chúng là 2 cạnh đáy của hỡnh thang, 2 cạnh đối của hỡnh bỡnh hành, hỡnh thoi, hinh chữ nhật, hỡnh vuụng
Trang 148.2 Chứng minh 2 đường thẳng a và b vuụng gúc:
- Chứng minh: a c/ / và b ⊥ c
- Chứng minh: a//c, b//d, c ⊥ d
- Chứng minh chúng là đường cao và cạnh đối diện cúa 1 tam giỏc
- đường kính đi qua trung điểm của dây cung
- Chúng là 2 đường phân giác của 2 góc kề bù
-1 đường là đường trung trực của đoạn thẳng thuộc đường thẳng kia
(AB là đường trung trực của CD thỡ AB ⊥ CD)8.3 Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy (cắt nhau tại 1 điểm(có 1 điểm chung)):
Chứng minh chúng là 3 đường cao/trung tuyến/trung trực/phân giác của 1 tam giác.8.4 Chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hang:
- Chứng minh: ABD và DBC kề bự.
- Chứng minh: AB⊥d AC, ⊥d
- Chứng minh: AB//DE, AC//DE
8.5 Chứng minh tứ giỏc nội tiếp:
- Chứng minh 2 góc đối bù nhau (tổng bằng 1800)
- Tứ giỏc ABCD cú:
ABC = ADC = 900
=> B,C thuộc đường trũn đường kính AC
=> A,B,C,D cùng thuộc đường trũn cú đường kính AC
=> Tứ giác ABCD nội tiếp đường trũn cú tâm trung điểm của AC, đường kính AC
- Tứ giác ABCD nội tiếp đường trũn ta chứng minh: ‘Gúc B bằng với gúc kề bự với gúc
D hay gúc C bằng gúc kều bự với gúc A’
8.6 Chứng minh tiếp tuyến
* OA ⊥Ax tại A ∈ (O) => Ax là tiếp tuyến của (O)
* Chứng minh: khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng Ax bằng bán kính
8.7 Một số cụng thức cần nhớ:
- Diện tớch tam giỏc: SABC = ẵ h.BC ; Chu vi hỡnh
- Diện tớch hỡnh thang: SABCD = 1/2h.(a + b)
- Diện tớch hỡnh chữ nhật: S = a.b
- Diện tớch hỡnh vuụng: S = a2
- Các công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông
* b2 = ab’ * c2 = a.c’ * h2 = b’c’ *a.h = bc * 2 2 2
h =b +c
- MT2 = MA.MB (Vỡ ∆MTA ∆MBT do M là góc chung và T = B = ½ sđ AT)
Trang 15(Lưu ý: có thể dùng để chúng minh 2 tỉ số bằng nhau)
- AC + CB = AB thỡ AC.CB lớn nhất AC = CB => C là trung của AB
-Tập hợp các điểm M cách đều 2 cạnh của 1 góc là là đường phõn giỏc của góc đó
-Tập hợp các điểm M cách đường thẳng d một khoảng không đổi a là 2 đường thẳng Song song với d và cỏch d một khoảng bằng a
-Tập hợp các điểm M nhỡn đoạn thẳng BC dưới một góc vuông là đường trũn đường kớnh BC
-Tập hợp các điểm M cách điểm O một khoảng không đổi R là đường trũn tõm O bỏn kớnh R
8.9 Tỡm giỏ trị lớn nhất nhỏ nhất của 1 tổng hoặc 1 tích 2 đoạn thẳng:
Tỡm mối liờn hệ của tổng tích đó với 1 đoạn thẳng khỏc.
Bài 1:
Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn nội tiếp đường trũn tõm O (AB < AC) Hai tiếp tuyến tại B
và C cắt nhau tại M AM cắt đường trũn (O) tại điểm thứ hai D E là trung điểm đoạn AD EC cắt đường trũn (O) tại điểm thứ hai F Chứng minh rằng:
a) Tứ giỏc OEBM nội tiếp
a) Chứng minh tứ giỏc CPKB nội tiếp
b) Chứng minh AI.BK = AC.CB
c) Chứng minh tam giỏc APB vuụng
d) Gỉa sử A, B, I cố định Hóy xỏc định vị trớ của điểm C sao cho diện tớch hỡnh thang vuụng ABKI lớn nhất
Bài 3: