GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT MA TRẬN

LÝ THUYẾT MA TRẬN.LÝ THUYẾT MA TRẬN.LÝ THUYẾT MA TRẬN.LÝ THUYẾT MA TRẬN.LÝ THUYẾT MA TRẬN.LÝ THUYẾT MA TRẬN.LÝ THUYẾT MA TRẬN.LÝ THUYẾT MA TRẬN.LÝ THUYẾT MA TRẬN.LÝ THUYẾT MA TRẬN.LÝ THUYẾT MA TRẬN.LÝ THUYẾT MA TRẬN.LÝ THUYẾT MA TRẬN.LÝ THUYẾT MA TRẬN.

NỘI DUNG

-I Định nghĩa ma trận và ví dụ

III Các phép toán đối với ma trận

II Các phép biến đổi sơ cấp

IV Hạng của ma trận

V Ma trận nghịch đảo

I Các khái niệm cơ bản và ví dụ.

-Định nghĩa ma trận

Ma trận cỡ mxn là bảng số (thực hoặc phức) hình chữ nhật có mhàng và n cột

m

in ij

i

n j

a a

a

a a

a

a a

11

I Các khái niệm cơ bản và ví dụ.

-Ví dụ 1

32

5 0

2

1 4

; 2

; 1

; 4

3

2 1

i A

Tập hợp tất cả các ma trận cở mxn trên trường K được ký hiệu

-Ma trận có tất cả các phần tử là không được gọi là ma trận không,

ký hiệu 0, (aij = 0 với mọi i và j)

0

0 0

0

A

I Các khái niệm cơ bản và ví dụ

-Định nghĩa ma trận dạng bậc thang

1 Hàng khơng cĩ phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng

2 Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm bên phải (khơng cùng

cột) so với phần tử cơ sở của hàng trên

Phần tử khác khơng đầu tiên của một hàng kể từ bên trái

được gọi là phần tử cơ sở của hàng đĩ

I Các khái niệm cơ bản và ví dụ.

0 0

3 0

0 0

2 1

1 2

B Không là ma trận bậc thang

Ví dụ

540

0 0

0 0

5 2

1 4

0

6 2

7 0

0

2 3

0 1

I Các khái niệm và ví dụ cơ bản.

-Là ma trận dạng bậc thang

Ví dụ

540

0 0

0 0

5 2

0 0

0

4 1

7 0

0

2 2

0 3

0 0

3 1

0 0

2 0

2 1

B

2 3

93

01

42

90

4

312

I Các khái niệm cơ bản và ví dụ

23

12

I Các khái niệm cơ bản và ví dụ

I Các khái niệm cơ bản và ví dụ

-Ma trận vuông được gọi là ma trận tam giác trên nếu

Định nghĩa ma trận tam giác trên

0

63

0

31

I Các khái niệm cơ bản và ví dụ

-Ma trận vuông A được gọi là ma trận chéo nếu các phần tử nằmngoài đường chéo chính đều bằng không, có nghĩa là (aij = 0, i ≠j)

0

03

0

00

2

D

Ma trận chéo với các phần tử đường chéo đều bằng 1 được gọi là

ma trận đơn vị, tức là (aij = 0, i ≠ j; và aii = 1 với mọi i)

0

01

0

00

1

I

I Các khái niệm cơ bản và ví dụ

-Ma trận ba đường chéo là ma trận các phần tử nằm ngoài bađường chéo (đường chéo chính, trên nó một đường, dưới nó mộtđường) đều bằng không

Định nghĩa ma trận ba đường chéo

00

18

40

07

13

00

21

A

I Các khái niệm cơ bản và ví dụ.

3

74

1

312

II Các phép biến đổi sơ cấp.

II Các phép biến đổi sơ cấp.

-Mọi ma trận đều có thể đưa về ma trận dạng bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng

Định lý 1

Khi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng ta thu được

nhiều ma trận bậc thang khác nhau

Chú ý

II Các phép biến đổi sơ cấp.

Bước Che tất cả các hàng từ hàng chứa phần tử cơ sở và những

hàng trên nó Áp dụng bước 1 và 2 cho ma trận còn lại

II Các phép biến đổi sơ cấp.

-Nếu dùng các biến đổi sơ cấp đưa A về ma trận bậc thang

U, thì U được gọi là dạng bậc thang của A

III Các phép toán đối với ma trận

-Hai ma trận bằng nhau nếu: 1) cùng cỡ; 2) các phần tử ở những

vị trí giống nhau thì bằng nhau (aij = bij với mọi i và j)

Sự bằng nhau của hai ma trận

Tổng A + B:

Cùng cỡCác phần tử tương ứng cộng lại

1

6 2

3

; 5 0 3

4 2

4

100

2

B A

Ví dụ

III Các phép toán đối với ma trận

4 2

6

8 4

III Các phép toán đối với ma trận

-Để tìm phần tử c2,3 ở ma trận tích: lấy hàng 2 của A nhân với cột 3

của B (coi như nhân tích vô hướng hai véctơ với nhau)

Phép nhân hai ma trận với nhau

( ij m) p; ( i j )p n

n m ij

c C

1 0

3

2 2 1

; 0 1

4

4 1

2

B A

III Các phép toán đối với ma trận

III Các phép toán đối với ma trận

-a A(BC) = (AB)C; b A(B + C) = AB + AC;

e k (AB) = (kA)B = A(kB)

III Các phép toán đối với ma trận

-n n ij

n n

n

a x

III Các phép toán đối với ma trận

24 13

III Các phép toán đối với ma trận

III Các phép toán đối với ma trận

III Các phép toán đối với ma trận

199 199 200

IV Hạng của ma trận

-Giả sử ma trận hình thang U nhận được từ ma trận A bằngmột số phép biến đổi sơ cấp trên hàng (cột) Ta nói

+ Ma trận A tương đương hàng (cột) với ma trận U

+ Hạng của Ma trận A (ký hiệu là r(A)) là số hàng kháckhông của U

Định nghĩa hạng của ma trận

 

 

h h h 

h h h

V Ma trận nghịch đảo

-Định nghĩa ma trận nghịch đảo

Ma trận vuông A được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại

ma trận I sao cho AB = I =BA Khi đó B được gọi là nghịch đảo của A và ký hiệu là A -1

V Ma trận nghịch đảo

-Không phải bất kỳ ma trận vuông A nào cũng khả nghịch Có

rất nhiều ma trận vuông không khả nghịch

2 2

1

1 1

1

0 1

1

0 0

1

2 1

0

1 1

0

1 1

1

1 0

0

0 1

0

0 0

1

3 2

1

2 2

1

1 1

1 ]

|

[ A I

1 2

1

1 1

1

1 0

0

0 1

0

0 1

1

1 1

0

0 1

1

0 0

1

1 0

0

1 1

0

1 1

1

]

| [ 1

1 0

1 2

1

0 1

2

1 0

0

0 1

0

0 0

0

1 2

1

0 1

2

1

A

V Ma trận nghịch đảo

-Tính bằng các phép sơ cấp đối với hàng của ma trận [ A|I ] ta cần sử dụng

Độ phức tạp của thuật toán tìm A-1

n3 phép nhân hoặc chia

(AB)-1 = B-1A-1(AT)-1 = (A-1)T

Đưa ma trận sau về dạng bậc thang bằng biến đổi sơ cấp

Bài tập 9

Tìm các giá trị của s và t, sao cho ma trận sau là đối xứng

2

2 1

Bài tập 11

Cho A, B, C là các ma trận, đơn giản biểu thức sau

(3 ) ( 3 ) 2 ( 2 )

A B C  A B C  B C  A

Cho là ma trận vuông.

Bài tập 14

cos sin sin cos

Bài tập 20

Giả sử A là ma trận khả nghịch cấp 5 Tìm r(A) và r (A-1)